Análisis modal utilizando FEM 1

Análisis modal utilizando FEMEl objetivo del Análisis modal en la mecánica estructural es determinar las frecuencias naturales y modos de vibrarde un objeto o estructura durante vibración libre. Es común utilizar el Método de los elementos finitos (MEF, o FEMpor sus siglas en inglés) para desarrollar el análisis porque, como en otros cálculos usando el MEF, el objeto que seanaliza puede tener formas arbitrarias y los resultados de los cálculos son aceptables. Los tipos de ecuaciones quesurgen del análisis modal son vistas en Sistemas propios. La interpretación física de los valores propios y vectorespropios, los cuales vienen de resolver el sistema, representan las frecuencias y modos de vibrar correspondientes. Aveces, los únicos modos deseados son los correspondientes a las menores frecuencias porque pueden ser los modospredominantes en la vibración del objeto.También es posible determinar las frecuencias naturales y modos de vibrar de un objeto mediante ensayosexperimentales. En este caso, el procedimiento se denomina análisis modal experimental. Los resultados de laspruebas experimentales pueden usarse para calibrar un modelo de elementos finitos para determinar si las hipótesissubyacentes hechas fueron correctas (Por ejemplo, propiedades correctas de materiales y condiciones de bordeconsideradas en el modelo).

Sistemas propios FEAPara los problemas más básicos envolviendo un material linealmente elástico el cual obedece la Ley de elasticidad deHooke, las ecuaciones de matriz tomando la forma de un sistema de masas de resorte tridimensional dinámico. Laecuación generalizada de movimiento es dada como:

Donde:

es la matriz de masa,es la 2a derivada de tiempo del desplazamiento,es el desplazamiento,es la velocidad,

es la matriz de amortiguación,es la matriz de rigidez, y

es el vector fuerza.El problema general, con la amortiguación diferente de cero, es un problema de valor propio cuadratico. Sinembargo, para análisis modal vibracional, la amortiguación es generalmente ignorada, dejando solo el primer y tercertérminos en el lado izquierdo:

Esta es la forma general de los sistemas propios encontrados en ingeniería estructural usando el Método de loselementos finitos. Adicionalmente, el movimiento armónico es típicamente asumido para la estructura que si estomada a ser igual , donde es un valor propio (con unidades de cuadrado de tiempo reciproco, e.g., ),y la ecuación se reduce a:

en contraste, la ecuación para el problema estático es:

La cual es esperada cuando todos los términos teniendo un tiempo derivativo son fijados a cero.

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Comparación al álgebra linealEn Álgebra lineal, es más común ver la forma estándar de un sistema propio el cual es expresado como:

Ambas ecuaciones pueden ser vistas como la misma porque si la ecuación general es multiplicada por el inverso dela masa, , tomara la forma de este último. debería notarse que los modos inferiores son deseados,resolviendo el sistema más probablemente envolvería el equivalente de multiplicando por el inverso de la rigidez,

, un proceso llamado iteración inversa. Cuando esto es hecho, los valores propios resultantes, , relacionana aquel del original por:

pero los vectores propios son los mismos.

Métodos de soluciónPara problemas linealmente elásticos que son correctamente creados (sin rotación o translación de cuerpo rígido), lasmatrices de rigidez y masa y el sistema en general son positivos definidos. Estas son las matrices más fáciles paratratar con falta algo porque los métodos numéricos comúnmente aplicados son garantizados para converger a unasolución. Cuando todas las cualidades del sistema son consideradas:1.1. Solo los pequeños valores proios y vectores propios de los bajos modos son deseados2. Las matrices de masa y rigidez son dispersas y altamente bandeadas3.3. El sistema es positivo definitivouna descripción típica de la solución es primero para tridiagonalzar el sistema usando el Algoritmo de Lanczos.Después, usa el Algoritmo QR para encontrar los vectores propios y valores propios de este primer sistematridiagonal. Si la iteración inversa es usada, los nuevos valores propios serán relacionados a los viejos por ,

mientras los vectores propios del original pueden ser calculados de aquellos de las matrices tridiagonalizadas por:

donde es un vector Ritz aproximadamente igual a el vector propio del sistema original, es la matriz devectores Lanczos, y es el vector propio de la matriz tridiagonal.

EjemploLa malla mostrada abajo es el marco de un edificio modelado mediante elementos tipo viga (específicamentemediante 930 elementos y 385 puntos nodales). La edificación tiene movimiento restringido en su base, donde losdesplazamientos y giros son nulos. Las siguientes imágenes muestran los primeros cinco modos propios de vibraciónde esta edificación. Este problema puede ser visto como una representación de las probables deflexiones que unedificación tomaría durante un sismo. Tal como cabe esperar, el primer modo propio corresponde a un balanceo deledificio desde el frente hacia atrás. El siguiente modo es un balanceo del edificio lado a lado. El tercer modo es unmodo de estiramiento y compresión en la vertical dirección . Para el cuarto modo, el edificio asume casi la formade una onda sinusoidal. El quinto modo es un modo de torsión.

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Fuentes y contribuyentes del artículoAnálisis modal utilizando FEM  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=60379624  Contribuyentes: Aswarp, B25es, Davius, Edodiez, ING 4LB3R70, Juan Mayordomo, Koke0 0,Marvelshine, Savh, Slffea, UA31, 5 ediciones anónimas

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