Analisis-Sismico-De-Edificios - J. PIQUE DEL POZO

7/18/2019 Analisis-Sismico-De-Edificios - J. PIQUE DEL POZO

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SECC. 8.3: GRADOS DE LIBERTAD DINÁMICOS 3

Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO

masas se encuentran todas interconectadas dando origen a lo que se denomina modelo

de acoplamiento lejano. Este modelo se representa en la Fig. 8.2.

Fig. 8.2 Modelo de acoplamiento lejano

8.3 GRADOS DE LIBERTAD DINÁMICOS

Los grados de libertad dinámicos son aquellos en los cuales se generan las fuerzasinerciales ( masa por aceleración o momento de inercia por aceleración angular). Por

ende, dichos grados son los que interesarán para realizar el análisis.

En la Fig. 8.3.a se muestra se muestra el modelo de una edificación de 2

niveles, conformada por vigas y columnas. Su planta esta esquematizado en la

Fig. 8.3.b, en ella se resalta las columnas cuyos ejes fuertes son paralelos al eje “ y

”. En la Fig. 8.3.c se muestra un pórtico secundario típico. Finalmente en la Fig.

8.3.d se puede apreciar un pórtico principal típico, el cual será usado, de aquí en

adelante, para poder explicar los conceptos.

1m

2m

3m

1 P

2 P

3 P

4 CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

Fig. 8.3 Edificación de 2 niveles: ( a ) Modelo. ( b ) Planta. ( c ) Pórtico Secundario.

( d ) Pórtico Principal.

1 L 1 L 1 L

2 L

2 L

x

y

( a ) Modelo de una edificación de 2 niveles.

( b ) Planta de la edificación.

x

( c ) Pórtico secundario

típico. Elevación “ y ”.

( d ) Pórtico Principal

Típico. Elevación “ x ”.

2 L2 L

1 L 1 L 1 L

z y

x

y

z

[Figura obtenida del programa SAP 2000 versión educacional]



SECC. 8.4: VIBRACIÓN FORZADA Y LIBRE DE SISTEMAS DE VARIOS GDL. AMORTIGUAMIENTO 7


8.4 VIBRACIÓN FORZADA Y LIBRE DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOSDE LIBERTAD (GDL). AMORTIGUAMIENTO

En esta sección nuestro estudio estará basado en el sistema simplificado de 2 GDL

Dinámicos visto en la Fig. 8.6 , en el que además de las fuerzas inerciales también

se considerarán fuerzas actuantes en cada GDL tal como se puede observar en la Fig..8.7 . Primeramente obtendremos una expresión general para la vibración

forzada del sistema no amortiguado. Luego haremos algunas simplificaciones para

poder obtener la vibración libre (en la Secc. 8.4.2 presentaremos la expresión

general que considera el amortiguamiento). Para poder estudiar las propiedades

básicas de un sistema como el que se muestra en la Fig. 8.7 se hará uso del modelo

tipo cortante (ver Secc. 8.2).

Fig.8.7 Sistema no amortiguado simplificado mas fuerzas actuantes.

El desplazamiento relativo es esquematizado en la Fig. 8.8 debido a su

importancia mencionada en el Cap..5. Puesto que para poder obtener las fuerzas

del resorte, en el diagrama de cuerpo libre del sistema que se muestra en la Fig.

8.9 se emplea el desplazamiento relativo.

Fig.8.8 Desplazamiento relativo generado en un sistema de 1 GDL

V

k

∆

∆k V =

1m

)(2 t f P

)(1 t f P

2k

2m

1k


Fig.8.9 Diagrama de cuerpo libre ( DCL ) del Sistema Simplificado.

De la Fig.8.9 aplicando equilibrio dinámico para el primer y segundo nivel,

resulta:

)()()()( 1221211111221111 t f P uk uk k umt f P uuk uk um =−++→=−−+ &&&& (8.1)

)()()( 2221222212222 t f P uk uk umt f P uuk um =+−→=−+ &&&& (8.2)

Ordenando matricialmente las Ecs. (8.1) y (8.2) se tiene:

)(0

0

2

1

2

1

22

221

2

1

2

1t f

P

P

u

u

k k

k k k

u

u

m

m

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−++

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

&&

&&

O lo que es lo mismo escribir:

)(t f F KU U M =+&& (8.3)

donde:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=2

1

2

1

2

1,

P

P F y

u

uU

u

uU

&&

&&&&

son el vector aceleración, desplazamiento y fuerza (P1 y P2 son constantes) en

ese orden; y

2u

2∆

1m

2m

1k

2k

11um &&

)(2 t f P

)(1 t f P

1u

1∆

1111 uk k =∆

)( 12222 uuk k −=∆

)( 12222 uuk k −=∆

22um &&



SECC. 8.4: VIBRACIÓN FORZADA Y LIBRE DE SISTEMAS DE VARIOS GDL. AMORTIGUAMIENTO 11


0

0)(

=+∴

==+⇒

KU U M

t f F KU U M

&&

&&

(8.8)

SECC. 8.4.1.1: ECUACIÓN CARACTERÍSTICA 11


donde 0 representa un vector con n componentes, todas ellas cero. Las condiciones

iniciales son:

00 )0()0( U U yU U && ==

Recordemos que en el Cap. 5 se observó que un sistema de 1 GDL sometido a una

perturbación inicial desde su posición de equilibrio estaría forzado a vibrar con un

movimiento periódico de período T o frecuencia circular π /T ω = 2 , que es una

característica del sistema = k/M)ω( 2 . Por analogía es interesante averiguar si un

sistema de varios grados de libertad, al que se le imponen un juego inicial de

desplazamientos (o velocidades) vibrará armónicamente, manteniendo la forma

relativa de estos desplazamientos y variando solamente sus amplitudes por un factor de

proporcionalidad. Basado en esto, para nuestro sistema de 2 GDL el vector de

desplazamientos vendría a ser:

)t ( Sen X U )t ( Sen x

x

)t ( Sen x

)t ( Sen x

u

uU φ ω φ ω

φ ω

φ ω +=→+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+

+=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=2

1

2

1

2

1

donde “ x1 y x2 ” son los máximos desplazamientos de los pisos 1 y 2

respectivamente (los cuales obviamente no son función del tiempo).

Derivando la Ec. (8.9) dos veces, obtenemos:

)t ( Sen X U φ ω ω +−= 2&&

(8.10)

Reemplazando las Ecs. (8.9) y (8.10) en la Ec. (8.8) se tiene:

( ) ( ) 02 =+++− )t ( Sen X K )t ( Sen X M φ ω φ ω ω

Al simplificar la última expresión se obtiene:

02 =− X M X K ω (8.11)

8.4.1.1 Ecuación Característica

El problema, en la Ec. (8.11), es determinar si es que hay valores de2ω y

vectores correspondientes X que satisfacen esta ecuación matricial, además de la

solución trivial 00 , X =ω = . Este es un problema matemático llamado de

valores característicos o de valores propios [ Ref. 9 ].

Al factorizar el vector de máximos desplazamientos en la Ec. (8.11), el

problema a considerar resulta de la forma:

0)(2 =− X M K ω

(8.12)

(8.9)




IERÍA SISMORRESISTENTE

X a=V i1

n

1=i

∑ (8.24)

Los coeficientes ai se obtienen usando las condiciones de ortogonalidad.

Siendo “ai(t)” una variable dependiente del tiempo que expresa la contribución ó participación dinámica (ello se verá en el Cap. 9).

Pre-multiplicando ambos lados de la ecuación por la matriz M y el vector X T j :

iT j

n

ii

T j X M X aV M X ∑

=

=1

(8.25)

pero como 0= jT i X M X para i diferente de j :

i

T i

T i

i X M X

V M X a = (8.26)

Esta propiedad es extremadamente importante porque permite expresar la solución

de cualquier problema dinámico como una sumatoria donde cada término representa la

contribución de un modo. Permite reducir la solución de un sistema de n grados de

libertad a la solución de n sistemas independientes de 1 GDL, desacoplando así las

ecuaciones de movimiento.

8.4.1.6 Aplicación y Verificación de las Propiedades de las Formas de

Modo de Vibración Libre

Para el sistema mostrado calcule:

a ) La ecuación característica.

b ) Las frecuencias y los periodos.

c ) Formas de modo.

d ) Normalizar las formas de modo.

e ) Verificar las propiedades.

Datos:

1m

2u

1u2k

1k

2m

m

t k y

m

t k

m

st g pesomm

88,279387,6893

437,11/

21

2

21

==

−===

SECC. 8.4.1.6: APLICACIÓN Y VERIFICACIÓN DE LAS PROPIEDADES DE LAS FORMAS DE MODO

19


Solución:

a) Sabemos que para este tipo de sistema la ecuación característica, por ser de

vibración libre (ver Secc 8.4.1.1, Ec.(8.13)), viene dada por:

02 =− M K ω

ó

000

0

22

22

21

2

21

2

12

22

221 =−−

−−+→=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−+

mk k

k mk k

m

m

k k

k k k

ω

ω ω

Siendo las matrices K (de rigidez) y M (de masas) al reemplazar los datos:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−=→⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−+=

⎥⎦⎤⎢

⎣⎡=→⎥

⎦⎤⎢

⎣⎡=

9,27939,2793

9,279375,9696

437,1100437,11

00

22

221

2

1

K k k

k k k K

M m

m M

Luego el determinante de la ecuación característica vendría dado por:

0437,119,27939,2793

9,2793437,1175,96962

2

=−−

−−

ω

ω

b) Es la solución del determinante la que nos permitirá la obtención de las

frecuencias y los periodos. Luego, operando el determinante:

0)9,2793()437,119,2793).(437,1175,9696( 222 =−−−− ω ω

Resolviendo esta última ecuación, sabiendo que es el valorcaracterístico, se tiene:

0988,51692133,8962 =+− λ λ

Esta última ecuación es llamada el polinomio característico. Polinomio cuyas

raíces nos proporcionarán las frecuencias y periodos, para ello es necesario que

las frecuencias angulares se ordenen de menor a mayor:

2

ω λ =

077,777059,119

:

21 == λ λ y

por dadasvienenraícesCuyas




Frecuencias angulares:

21

21

:

/876,27/91,10

ω ω

ω ω

<

==

queObserve

srad y srad

Como el periodo natural se define como:

s ,T y s ,T 22505760 21 ==

Observe que según la Ec. (8.16): 21 T )damental PeriodoFun( T >

Frecuencias naturales:

21

21

:

44,474,1

f f queObserve

Hz f y Hz f

<

==

c) Las Formas de modo se obtendrán a partir de las frecuencias angulares ya

calculadas. De la siguiente igualdad (ver Secc 8.4.1.3) :

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−+

0

0

2

1

2

2

22

21

2

21

i

i

i

i

x

x

mk k

k mk k

ω

ω

Al usar la primera fila, puesto que la segunda fila es dependiente de la primera

o viceversa, tenemos:

( ) ( ) 02211

2

21 =−−+ iii xk xmk k ω

Reemplazando:

( ) ( ) 09,2793437,1175,9696 21

2=−− iii

x xω

Notar que cada producirá una forma de modo distinta , cuyascomponentes, al despejar la última ecuación, serían:

( )( ) i

i

ii x y

x x 22

21

437,1175,9696

9,2793

ω −=

Se suele hacer , es decir la componente segunda en cada modo tomará

el valor de uno. En general para sistemas de “ n ” GDL se hace siendo

dicho valor a elegir arbitrario.

ii λ ω +=

i

iT ω

π 2=

i

iT

f 1

=

iω i X

12 =i x

1=n x

(ordenamiento que se ha hecho para obtener T 1>T 2 )


21


Recordar que en la Secc 8.4.1.3 se despejó en función de . En este

problema optaremos por despejar en función de , que es equivalente a lo

hecho en la sección antes mencionada puesto que la única finalidad es obtener de

manera cualitativa las formas de modo correspondientes a . Luego para:

( )

( )

)(

1

5848,0

5848,0

91,10437,1175,9696

9,2793

1/91,10:1

1111

1

21

11

1

11

211

212

1121

211

211

φ ω

ω

ω ω

+=∴

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⇒

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=

=→

−=

−+=

====

t Sen X U

X

x

x X luego

x

x x

xmk k

k x

x y srad i i

( )

( )

)(

1

7104,1

7104,1

876,27437,1175,9696

9,2793

1/876,27:2

2222

2

22

12

2

12

212

222

2121

212

222

φ ω

ω

ω ω

+=∴

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

=⇒

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=

−=→

−=

−+=

====

t Sen X U

X

x

x X luego

x

x x

xmk k

k x

x y srad ii

i X iω

i x1i x2

)876,27(1

7104,1

2]2[

22 φ +⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

=

→=

t SenU

Modoi

)91,10(1

5848,0

1]1[

11 φ +⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=

→=

t SenU

Modoi

121 = x

5848,011 = x

122 = x

7104,112 −= x

⎯→ ⎯

⎯→ ⎯




d) La Normalización de las formas de modo será hecha basada en la Secc 8.4.1.4 :

d.1 ) Se deja como ejercicio para el lector.

d.2 ) Haciendo las componentes de los correspondientes modos ,

siendo dicha componente “ r ” arbitraria. Luego los componentes restantes de

cada modo “ i ” serán calculados en función de dicha componente “ r ”.En la parte ( c ) se ha visto cuando . A continuación veremos el caso

cuando , para lo cual es necesario dividir su valor actual (positivo o

negativo) al modo correspondiente, obteniendo modos equivalentes “ e ”. Esto se

verá a continuación:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⇒

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

==

→=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⇒

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧==

→=

5848,0

1

)7104,1(1

1

2]2[

7097,1

1

5848,01

1

1]1[

)(

22

)(

12)(

2

1222

1212

12

2)(

2

)(

21

)(

11)(

1

1121

1111

11

1)(

1

e

ee

eeequivalent

e

ee

eeequivalent

x

x X

x x

x x

x

X X

Modoi

x

x X

x x

x x

x

X X

Modoi

d.3 ) Normalizando con respecto a la matriz de masas “ M ” :

1=i

T

i M Φ Φ

de donde:

-

( )

∑=

=Φ=Φn

j ji j

i

i

i

T

i

i

i

xm

X ó

X M X

X

1

2)(

i X 1=ri x

12 =i x11 =i x


23


Observar que son los modos normalizados con respecto a la matriz de

masas. Trabajando con los vectores normalizados de la parte ( c ) del problema

tenemos para:

iΦ




INGENIERÍA SISMORRESISTENTE

[ ]

[ ]

)1493,0(437,11)2553,0(437,11)(

11493,0

2553,0

1

7104,1

8956,44

1

8956,44

)1(437,11)7104,1(437,11

1

7104,1

437,110

0437,1117104,1

1

7104,1:2]2[

)!(1

)2553,0(437,11)1493,0(437,11)(

1

2553,01493,0

1

5848,0

3484,15

1

3484,15

)1(437,11)5848,0(437,11

1

5848,0

437,110

0437,1115848,0

1

5848,0:1]1[

222

1

2

222

22

22

12

2

22

22

22

2222

22

22

12

2

11

222

1

2

111

11

21

11

1

11

11

11

22

11

11

21

11

1

x xm M como

M overificand

MX X

X luego

MX X

x x MX X

MX X

x

x X con Modoi

Ok M

x xm M como

M overificand

MX X

X luego

MX X

x x MX X

MX X

x

x X con Modoi

j

j jj

T

T

T

T

T

T

T

j

j jj

T

T

T

T

T

T

+−==ΦΦ

=ΦΦ⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧−

=

⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧

=Φ⇒

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

==Φ

=+−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=→=

≅ΦΦ

+==ΦΦ

=ΦΦ

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=Φ⇒

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

==Φ

=

+=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=→=

∑

∑

=

=

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ ϕ


25


e) La Verificación de las propiedades de las formas de modo será hecha basada en

la Secc 8.4.1.5. Luego, siendo las matrices de masas ( M ) y rigidez ( K )

simétricas y K corresponde a una estructura estable, podemos garantizar que:e.1 ) Existen tantas frecuencias angulares como grados de libertad se han

considerado. Es decir, si existen “ n = 2 ” GDL, entonces, existirán “ 2 ”

frecuencias naturales y por ende “ 2 ” periodos siendo el mayor el fundamental.

e.2 ) Para cada frecuencia existe una única forma de modo. Esto se ha podido

observar durante la solución del problema.

e.3 ) Condición de Ortogonalidad ; las formas de modo que corresponden a dos

frecuencias naturales son ortogonales (perpendiculares para un sistema uno, dos ó

e tres grados de libertad ).

Cumpliéndose:

Siendo C la matriz de constantes

de amortiguamiento. La construcción de dicha matriz es análoga a la de K como se

verá en la siguiente sección. Verificando la condición de ortogonalidad por ejemplo

para:

[ ]

0

)11(437,11)7104,1()5848,0(437,111

7104,1

437,110

0437,1115848,0

21

21

21

=→

+−=⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧−

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ =

MX X

x x x x MX X

MX X

T

T

T

Los demás productos con M, C, K y combinaciones de formas modales, de 2 en 2,

son análogos.

e.4 ) Para nuestro caso, no se tienen multiplicidad en la raíces por tratarse de un

sistema sencillo de 2 GDL.

i j para X K X

i j para X C X

i j para X M X

j

T

i

j

T

i

j

T

i

≠=

≠=

≠=

0

0

0



SECC. 8.5: SISTEMAS CONTINUOS O DE MASA DISTRIBUIDA: VIGA DE CORTE, VIGA DE FLEXIÓN

29


con una frecuencia Ω .Resolviendo el problema resultante para esas incógnitas

obtendremos que la solución corresponderá a las características de la vibración libre.

Fig. 8.14 Viga de Corte en Voladizo

Supóngase que la viga vibrará siguiendo una función t)v(x, dependiente de la

altura de la viga y del tiempo, que es a su vez función de una " forma" (x)v0

independiente del tiempo y de una función armónica de frecuencia Ω ,

)+t sen( Ψ Ω .

)+t sen( ). x( v )t , x( v o Ψ Ω = (8.35)

Sustituyendo esta función y sus derivadas en la ecuación diferencial anterior se

tiene:

0=v p+ xd

vd 0

2

2

2

(8.36)

donde:

G =

p

22 Ω ρ

(8.37)

Obsérvese que la solución de esta ecuación diferencial proveerá la forma de la

función (x)v0 que será la que adoptará la viga al vibrar libremente con la frecuencia

Ω incluida en el parámetro p . En buena cuenta representa la forma modal y Ω la

frecuencia modal asociada.

La solución general de la ecuación diferencial Ec. (8.36) es:

Bsenpx+ px A=v0 cos (8.38)

Para el caso de la viga en voladizo las condiciones de borde son ( Fig. 8.14):

SECC. 8.5.1.1: VIGA LIBRE: VIGA EN VOLADIZO 29


- desplazamiento en la base cero v(0) = 0

- giro en la parte superior cero, porque el cortante en el extremo es cero y por

consiguiente en este caso eso requiere que la primera derivada del desplazamiento

en ese punto sea cero, o sea 0=(H)v′ . Se obtiene como solución no trivial:

/(2H)1)-(2n= p π (8.39)

o expresado en términos de la frecuencia Ω :

ρ π Ω G/ /(2H)]1)-[(2n=n (8.40)

Las frecuencias naturales corresponderán a valores sucesivos de 3;2;1:n

El término ρ G/ corresponde a la velocidad de propagación de las ondas de

corte, V s , en un estrato de suelo que se modela elásticamente como si fuera una viga

de este tipo para las ondas transversales que causan esa deformación.

Los períodos se expresan como:

Ω π / 2=T n (8.41)

V 1)-4H/(2n=T sn (8.42)

El período fundamental, cuando 1=n viene dado por la expresión:V 4H/ =T s1 (8.43)

Las formas modales vienen expresadas por ( Fig. 8.15)

x/2L Bsenn=(x)von π (8.44)



32 33




Cuadro 8.2 Comparación de períodos promedio entre una viga de corte y una

de flexión con los de un pórtico de 12 pisos con placas o muros de

corte [ Ref. 9 ]

REFERENCIAS 33


REFERENCIAS

1. Biggs, J.M., "Dynamic Analysis of One-Degree Systems", en Notas del

curso Fundamentals of Earthquake Engineering for Buildings . Massachusetts

Institute of Technology. Cambridge, Massachusetts. 1972

2. Röesset, J.M. "Structural Dynamics". Notas de clase. Massachusetts Institute

of Technology. Cambridge, Mass. 1974.

3. Biggs, J.M., Introduction to Structural Dynamics. McGraw-Hill. New York.

1964

4. Craig Jr., R.R., Structural Dynamics. John Wiley & Sons. New York. 1981

5. Clough, R.W. & Penzien, J. Dynamics of Structures. McGraw-Hill. New

York. 1975

6. Okamoto, S. Introduction to Earthquake Engineering. Halsted Press. John

Wiley & Sons. New York. 1973

7. Hurty, W.C. & Rubinstein, M.F. Dynamics of Structures. Prentice Hall. New

Jersey 1964.

8. Bathe, K.J., Wilson, E.L. Numerical Methods in Finite Element Analysis,

Prentice-Hall. Englewood Cliffs, New Jersey. 1976

9. Wilkinson, J.H., The Algebraic Eigenvalue Problem, Clarendon Press.

Oxford. . 1965

10. Piqué, J., Echarry, A. "A Modal Combination for Dynamic Analysis of

Reinforced Concrete Frames". 9a. Conferencia Mundial de Ingeniería

Antisísmica. Tokyo-Kyoto. Japón. 1988

11. Bazán, E., Meli, R. Diseño Sísmico de Edificios, Editorial Limusa.

Balderas, México. 2002

12. Piqué, J., Scaletti, H., Análisis Sísmico de Edificios, Ediciones Capítulo de

Ingeniería Civil. Lima, Perú. 1991

34 Ó 35



34 CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD ANEXO - CAP. 8: COCIENTE DE RAYLEIGH 35


ANEXO

COCIENTE DE RAYLEIGH

Factorizando el vector de máximos desplazamientos en la ecuación

característica, Ec. (8.11), el problema a considerar resulta de la forma:

0)( 2 =− X M K ω (8.49)

reordenando esta última ecuación se tiene:

X M X K 2ω = (8.50)

Suponiendo que se conoce la solución X i de la Ec. (8.50), entonces se cumple que:

iii X M X K

2ω = (8.51)

y haciendo ii λ ω =2

la Ec. (8.51) queda:

iii X M X K λ = (8.52)

multiplicando la Ec. (8.52) por T

i X :

i

T

iii

T

i X M X X K X λ = (8.53)

despejando la Ec. (8.53) :

i

T

i

i

T

i

ii X M X

X K X == 2

ω λ (8.54)

El cociente de Rayleigh nos permite calcular el valor de iλ conocido su

correspondiente vector característicoi

X . Esto se puede apreciar en la Ec. (8.54).

Debido a que la Ec. (8.54) puede ser usada con aproximaciones a los vectores

propios [ Ref. 12 ], entonces, suponiendo que se conoce una forma de modo de

manera aproximada:

V X i ← (8.55)

Reemplazando la Ec. (8.55) en la Ec. (8.54) se tiene:

36 CAP 8 VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD ANEXO CAP 8 COCIENTE DE RAYLEIGH 37




V M V

V K V T

T

ii == 2ω λ (8.56)

Las fuerzas aplicadas serían:

F V K = (8.57)

Al reemplazadas deichas fuerzas en la Ec. (8.56) tenemos:

V M V

F V T

T

i =λ (8.58)

La Ec. (8.58) escritas en forma de sumatorias es:

( )2

1

1

j

n

j j

j

n

j j

i

v M

v F

∑

∑

=

==λ (8.59)

donde j j v y F son elementos de los vectores columnas V y F , y j M es un

elemento que pertenece a la diagonal principal de la matriz de masas M .

Como2

ii ω λ = , entonces la Ec. (8.59) quedaría:

( ) ( )2

1

1

2

1

12

j

n

j j

j

n

j j

i

j

n

j j

j

n

j j

ii

v M

v F

v M

v F

∑

∑

∑

∑

=

=

=

==→== ω ω λ (8.60)

Si en la Ec. (8.60) se trabaja con pesos en vez de masas, entonces:

( )2

1

1

.

j

n

j j

j

n

j j

i

V P

V F g

∑

∑

=

==ω (8.61)

Y como se conoce quei

iT ω

π 2

= , entonces el periodo correspondiente a la forma

de modo X i según la Ec. (8.61) sería:

ANEXO - CAP. 8: COCIENTE DE RAYLEIGH 37


( ) ( )

j

n

j j

j

n

j j

j

n

j j

j

n

j j

i

v F g

v P

v F

v M

T

∑

∑

∑

∑

=

=

=

===

1

2

1

1

2

1

.

.2.2 π π (8.62)

EJEMPLO:

Para el siguiente sistema que se muestra calcule de manera aproximada el periodo:

Solución:

Suponiendo de manera aproximada las fuerzas aplicadas, se tiene:

1m

2m

3m

m

t k 000101 =

m

t k 00082 =

m

t k 00083 =

m

st m

2

1 10 −

=

m st m

2

2 9 −=

m

st m

2

3 8 −

=

1m

2m

3m

t F 000101 =

t F 000202 =

t F 000303 =

38 CAP 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD




Resumiendo todos los cálculos en tablas se tiene:

Nivel

jk j

(t/m)

F j supuestas

(t)

V’ j = F j acumuladas

(t) j

j

jk

V '=∆

v j= ∆ j acumuladas

3 8 000 30 000 30 000 3,75 16,00

2 8 000 20 000 50 000 6,25 12,25

1 10 000 10 000 60 000 6,00 6,00

Nivel

M j

(t-s2

/m)

M j .v j2 F j .v j

3 8 2 048,00 480 000

2 9 1 350,56 245 000

1 10 360,00 60 000

∑= 3 758,56 ∑= 785 000

Usando la Ec. (8.60): sT T 435,0000785

56,75832 =→= π

1v

2v

3v

3∆

2∆

1∆

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