Analisis-Sismico-De-Edificios - J. PIQUE DEL POZO UJCM

8/10/2019 Analisis-Sismico-De-Edificios - J. PIQUE DEL POZO UJCM

1/22


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3/22

SECC.8.3:GRADOSDELIBERTAD

DINMICO

S

3

Dr.JAVIER

PIQUDELPOZO

masasseencuentrantodasinterconectadasdandoorigenaloquesedenominamodelo

deacoplamientolejano.Estemodelose

representaenlaFig.8.2.

Fig.8.2Modelodeacoplamientolejano

8.3

GRADOSDELIBERTADDIN

MICOS

Losgradosdelibertaddinmicosson

aquellosenloscualessegeneranlasfuerzas

inerciales(masaporaceleracinomo

mentodeinerciaporaceleracinangular).Por

ende,dichosgradossonlosqueinteresa

rnpararealizarelanlisis.

EnlaFig.8.3.asemuestrasemuestraelmodelodeunaedificacin

de2

niveles,conformadaporvigasycolumnas.Suplantaestaesquematizado

enla

Fig.8.3.b,enellaseresaltalascolum

nascuyosejesfuertessonparalelosalejey

.EnlaFig.8.3.csemuestraunprticosecundariotpico.Finalmenteenla

Fig.

8.3.dsepuedeapreciarunprticoprincipaltpico,elcualserusado,deaquen

adelante,parapoderexplicarlosconceptos.

1m2m3m

1P2P

3P

4

CAP.8:VIBRACIN

DESISTEMASDEVARIOSGRADOSDELIBERTAD

Fig.8

.3Edificacinde2niveles:(a)Modelo.(b)Planta.(c)PrticoSecundario.

(d)PrticoPrincipal.

1L

1L

1L

2L

2L

x

y

(a)Modelodeunaedificacinde2niveles.

(b)Plantadelaedificacin.

x

(c)Prticosecundario

tpico.Elevaciny.

(d)PrticoPrincipal

Tpico.Elevacinx

.

z

2L

2L

1L

1L

1L

z

y

x

y

z

[Figu

raobtenidadelprogramaSAP2000versin

educacional]


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5/22

SECC.8.4:VIBRACIN

FORZADAYLIBREDE

SISTEMASDEVARIOSGDL.AMORTIGUAMIENTO

7

Dr.JAVIER

PIQUDELPOZO

8.4VIBRACIN

FORZADA

YLIBREDESISTEMASDEVARIOSGRA

DOS

DELIBERTAD(GDL).AMORTIGU

AMIENTO

Enestaseccinnuestroestudioestar

basadoenelsistemasimplificadode2GDL

DinmicosvistoenlaFig.8.6,enelqueademsdelasfuerzasinercialestam

bin

seconsiderarnfuerzasactuantesen

cadaGDLtalcomosepuedeobservar

enla

Fig..8.7.Primeramenteobtendremos

unaexpresingeneralparalavibracin

forzadadelsistemanoamortiguado.Luegoharemosalgunassimplificaciones

para

poderobtenerlavibracinlibre(en

laSecc.8.4.2presentaremoslaexpresin

generalqueconsideraelamortiguam

iento).Parapoderestudiarlaspropiedades

bsicasdeunsistemacomoelquesemuestraenlaFig.8.7seharusodelmodelo

tipocortante(verSecc.8.2).

Fig.8.7Sistemanoamortiguado

simplificadomasfuerzasactuantes.

EldesplazamientorelativoesesquematizadoenlaFig.8.8debido

asu

importanciamencionadaenelCap..5

.Puestoqueparapoderobtenerlasfuerzas

delresorte,eneldiagramadecuerpo

libredelsistemaquesemuestraenla

Fig.

8.9seempleaeldesplazamientorelativo.

Fig.8.8Desplazamientorelativo

generadoenunsistemade1GDL

V

k

k

V

1

m

)(2

tfP

)(1

tfP

2k2

m

1k

8

CAP.8:VIBRACIN

DESISTEMASDEVARIOSGRADOSDELIBERTAD

Fig.8.9Diagramadecuerpolibre(DCL)delSiste

maSimplificado.

DelaFig.8.9aplicandoequilibriodinmicopara

elprimerysegundonivel,

resulta:

)(

)

(

)(

)

(

1

2

2

1

2

1

1

1

1

1

2

2

1

1

1

1

tfP

uk

u

k

k

um

tfP

u

u

k

uk

um

(8.1)

)(

)(

)

(

2

2

2

1

2

2

2

2

1

2

2

2

2

tfP

uk

uk

um

tfP

u

uk

um

(8.2)

Ordenando

matricialmentelasEcs.(8.1)y(8.2)setiene:

)(

0

0

21

21

2

2

2

2

1

21

2

1

tf

PP

uu

k

k

k

k

k

uu

m

m

Oloqueeslomismoescribir:

)

(tfF

KU

UM

(8.3)

donde:

21

21

21

,

PP

F

y

uu

U

uu

U

sonelvectoraceleracin,desplazamientoyfuerza

(P1yP2sonconstantes)en

eseorden;y

2u

2

1m

2m

1

k2

k

1

1um

)(2

tf

P )(1

tfP

1u 111

1

1

uk

k

)

(

1

2

2

2

2

u

uk

k

)

(

1

2

2

2

2

u

uk

k

2

2um


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7/22

SECC.8.4:VIBRACIN

FORZADA

YLIBREDE

SISTEMASDEVARIOSGDL.AMORTIGUAMIENTO1

1

Dr.JAVIER

PIQUDELPOZO

0

0

)(

K

U

UM

tfF

KU

UM

(8.8)

SECC.8.4.1.1:ECUACIN

CARACTERSTICA

11

Dr.JAVIER

PIQU

DELPOZO

donde0repre

sentaunvectorconncomponentes,todasellascero.Lascondiciones

inicialesson:

0

0

)0(

)0(

U

U

y

U

U

Recordemo

squeenelCap.5seobservqueunsistemade1GDLsometidoauna

perturbacininicialdesdesuposicindeequilibrioestaraforzadoavibrarconun

movimientope

ridicodeperodoTo

frecuenciacircular

/T

=

2

,queesuna

caractersticad

elsistema

=k/M)

(

2

.Poranalogaesinteresanteaveriguarsiun

sistemadeva

riosgradosdelibertad,alqueseleimponenunjuegoinicialde

desplazamientos(ovelocidades)vibrararmnicamente,manteniendolaforma

relativadeesto

sdesplazamientosyvariandosolamentesusamplitudesporunfactorde

proporcionalidad.Basadoenesto,paranuestrosistemade2GDLelvectorde

desplazamientosvendraaser:

)

t

(

Sen

X

U

)

t

(

Sen

xx

)

t

(

Sen

x

)

t

(

Sen

x

uu

U

21

21

21

dondex

1yx2sonlosmximosdesplazam

ientosdelospisos1y2

respectivamen

te(loscualesobviamentenosonfuncin

deltiempo).

Derivando

laEc.(8.9)dosveces,obtenemos:

)t

(

Sen

X

U

2

(8.10)

Reemplaza

ndolasEcs.(8.9)y(8.10)enlaEc.(8.8)setiene:

0

2

)

t

(Sen

XK

)

t

(

Sen

X

M

Alsimplificarlaltimaexpresinseobtiene:

0

2

XM

XK

(8.11)

8.4.1.1EcuacinCaracterstica

Elproblem

a,enlaEc.(8.11),esdeterminarsie

squehayvaloresde

2

y

vectorescorre

spondientesXquesatisfacenestaecua

cinmatricial,ademsdela

solucintrivial

0

0,X=

=

.

Esteesunproble

mamatemticollamadode

valorescaractersticosodevalorespropios[Ref.9].

AlfactorizarelvectordemximosdesplazamientosenlaEc.(8.11),el

problemaaconsiderarresultadelaforma:

0

)

(

2

X

M

K

(8.12)

(8.9)


8/22


9/22


10/22


11/22

18

CAP.8:VIBRAC

IN

DESISTEMASDEVARIOSGRADOSDELIBE

RTAD

IERA

SISMORRESISTENTE

Xa

=

V

i

1

n 1=i

(

8.24)

Loscoeficientesaiseobtienen

usandolascondicionesdeortogonalidad.

Siendoai(t)unavariabledependie

ntedeltiempoqueexpresalacontribucin

participacindinmica(elloseverenelCap.9).

Pre-multiplicandoambosladosdelaecuacinporlamatrizMyelvectorXTj:

i

Tj

n i

i

Tj

XM

Xa

VM

X

1

(

8.25)

perocomo

0j

Ti

XM

X

paraidiferentedej:

i

TiTi

i

XMX

VMX

a

(

8.26)

Estapropiedadesextremadamenteimportanteporquepermiteexpresarlasolucin

decualquierproblemadinmicocomounasumatoriadondecadatrminorepresentala

contribucindeunmodo.Permitereducirlasolucindeunsistemadengradosde

libertadalasolucindensistemasindependientesde1GDL,desacoplandoaslas

ecuacionesdemovimiento.

8.4.1.6

Aplicacin

yVerificacin

de

las

Propiedadesde

lasForma

s

de

MododeVibracinLibre

Paraelsistemamostradocalcule:

a)Laecuacincaracterstica.

b)Lasfrecuenciasylosperiodos.

c)Formasdemodo.

d)Normalizarlasformasdemodo.

e)Verificarlaspropiedades.

Datos:

1m

2u 1u

2k1k

2m

mt

k

y

mt

k

mst

g

peso

m

m

88,

27

9

3

87,

689

3

437,11

/

2

1

2

2

1

SECC.8.4.1.6:APLICACIN

YVERIFICACIN

DELASPROPIEDADESDELASFORMASDEMODO 19

Dr.JAVIER

PIQU

DELPOZO

Solucin:

a)Sabemosqueparaestetipodesistemalaecuaci

ncaracterstica,porserde

vibracinlibre(verSecc8.4.1.1,Ec.(8.13)),vienedadapor:

0

2

M

K

0

0

0

0

2

2

2

2

2

1

2

2

1

2

1

2

2

2

2

2

1

m

k

k

k

m

kk

m

m

k

k

k

k

k

Siendolas

matricesK(derigidez)yM(demasas)alreemplazarlosdatos:

9,

279

3

9,

27

9

3

9,

279

3

75,

9696

437,

11

0

0

437,11

0

0

2

2

2

2

1

2

1

K

k

k

k

k

k

K

M

m

m

M

Luegoeldeterminantedelaecuacincaractersticavendradadopor:

0

4

37

,11

9,

279

3

9,

279

3

9,2793

437,11

75,

969

6

2

2

b)

Eslasolucindeldeterminantelaquenospermitirlaobtencindelas

frecuenciasylosperiodos.Luego,operandoeldeterminante:

0

)9,

279

3(

)

437,11

9,

279

3).(

437,11

75,

969

6(

2

2

2

Resolviend

oestaltimaecuacin,sabiendoque

eselvalor

caracterstico,setiene:

0

988,

516

92

133,

896

2

Estaltimaecuacinesllamadaelpolinomiocaracterstico.Polinomiocuyas

racesnospro

porcionarnlasfrecuenciasyperiodos

,paraelloesnecesarioque

lasfrecuenciasangularesseordenendemenoramayo

r:

2

077,

777

059,

119

:

2

1

y

por

dadas

vienen

races

Cuyas


12/22

20

CAP.8:VIBRAC

IN


RTAD

Frecuenciasangulares:

2

1

2

1

:

/

876

,27

/

91,10

que

Observe

s

rad

y

s

rad

Comoelperiodonaturalsedefine

como:

s

,

T

y

s

,

T

225

0

576

0

2

1

ObservequesegnlaEc.(8.16):

2

1

T

)

damental

PeriodoFun

(

T

Frecuenciasnaturales:

2

1

2

1

:

44,4

74,1

f

f

que

Observe

Hz

f

y

Hz

f

c)LasFormasdemodoseobtendrnapartirdelasfrecuenciasangularesya

calculadas.Delasiguienteigualdad(verSecc8.4.1.3):

00

21

2

2

2

2

2

1

2

2

1

ii

i

i

xx

m

k

k

k

m

k

k

Alusarlaprimerafila,puestoque

lasegundafilaesdependientedelaprimera

oviceversa,tenemos:

0

2

2

1

1

2

2

1

i

i

i

x

k

x

m

k

k

Reemplazando:

0

9,

279

3

437,11

75,

969

6

2

1

2

i

i

i

x

x

Notarquecada

producir

unaformademododistinta

,c

uyas

componentes,aldespejarlaltimaecuacin,seran:

i

i

i

i

x

y

x

x

2

2

2

1

437,11

75,

969

6

9,

279

3

Sesuelehacer

,esdecirlacomponentesegundaencadamodotomar

elvalordeuno.EngeneralparasistemasdenGDLsehace

siendo

dichovaloraelegirarbitrario.

i

i

i

iT

2

i

i

T

f

1

i

iX

1

2

i

x

1nx

(ordenamien

toquesehahechoparaobtenerT1>T2)


YVERIFICACIN


Dr.JAVIER

PIQU

DELPOZO

Recordarqueen

la

Secc8.4.1.3

se

despejenfuncinde

.Eneste

problemaoptaremospordespejarenfuncinde

,queesequivalentealo

hechoenlase

ccinantesmencionadapuestoquela

nicafinalidadesobtenerde

maneracualitativalasformasdemodo

correspondientesa

.Luegopara:

)

(

15848

,05848

,0

91,10

437,11

75,

969

6

9,

279

3

1

/

91,10

:

1

1

1

1

1

1

2111

1

11

2

11

21

21

1

2

1

2

11

21

1

t

Sen

X

U

X

xx

X

luego

x

x

x

x

m

k

k

k

x

x

y

s

rad

i

i

)

(

17104

,17104

,1

876,27

437,11

75,

969

6

9,

279

3

1

/

876,27

:

2

2

2

2

2

2

2212

2

12

2

12

22

22

1

2

1

2

12

22

2

t

Sen

X

U

X

xx

X

luego

x

x

x

x

m

k

k

k

x

x

y

s

rad

i

i

iX

iix1

i

x

2

)

876,27(

17104

,1

2

]2

[

2

2

t

Sen

U

Modo

i

)

91,10(

15848

,0

1

]1

[

1

1

t

Sen

U

Modo

i

1

21x

5848

,0

11x

1

22

x

7104

,1

12

x


13/22

22

CAP.8:VIBRAC

IN


RTAD

d)LaNormalizacindelasformasde

modoserhechabasadaenlaSecc8.4.1

.4:

d.1)Sedejacomoejercicioparaellector.

d.2)Haciendolascomponentes

deloscorrespondientesmodos

,

siendodichacomponenterarbitr

aria.Luegoloscomponentesrestantesde

cadamodoiserncalculadosenfuncindedichacomponenter.

Enlaparte(c)sehavistocuando

.Acontinuacinveremosel

caso

cuando

,paralocualesnecesariodividirsuvaloractual(positivoo

negativo)almodocorrespondiente,obteniendomodosequivalentese.Es

tose

veracontinuacin:

5848

,01

)

7104

,1(1

1

2

]2

[

7097,11

5848

,01

1

1

]1

[

)

(

22

)

(

12

)

(2

12

22

12

12

122

)

(

2

)

(

21

)

(

11

)

(1

11

21

11

11

111

)

(

1

ee

e

ee

equivalentee

e

ee

equivalent

xx

X

x

x

x

x

xX

X

Modo

i

xx

X

x

x

x

x

xX

X

Modo

i

d.3)Normalizandoconrespectoa

lamatrizdemasasM:

1i

Ti

M

dedonde:

-

n j

ji

ji

i

i

T i

i

i

x

mX

XM

XX

1

2)

(

iX

1rix

1

2

i

x

1

1

ix


YVERIFICACIN


Dr.JAVIER

PIQU

DELPOZO

Observarque

sonlosmodosnormalizados

conrespectoalamatrizde

masas.Trabajandoconlosvectoresnormalizadosde

laparte(c

)delproblema

tenemospara:

i


14/22

24

CAP.8:VIBRAC

IN


RTAD

INGENIERASISMORRESISTENTE

)

1493

,0(

437,

11)

2553

,0(

437,11

)

(

11493

,0255

3

,0

17104

,1

8956

,44

1

8956

,44

)1(

437,11

)

7104

,1(

437,11

17104

,1

437,11

0

0

437,11

1

7104

,1

17104

,1

:2

]2

[

)!

(1

)

2553

,0(

437

,11

)

1493

,0(

437,11

)

(

12553,0

1493,0

15848

,0

3484

,15

1

3484

,15

)1(

437,11

)

5848

,0(

437,11

15848

,0

437,11

0

0

437,11

1

5848

,0

15848

,0

:1

]1

[

2

2

2 1

2

2

2

2

2

2

2212

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

22

12

2

1

1

2

2

21

2

1

1

1

1

1

2111

1

1

1

1

11

1

2

2

1

1

1

1

2111

1

x

x

m

M

como

M

o

verificand

MX

XX

luego

MX

X

x

x

MX

X

MX

X

xx

X

con

Modo

i

Ok

M

x

x

m

M

como

M

o

verificand

MX

XX

luego

MX

X

x

x

MX

X

MX

X

xx

X

con

Modo

i

j

j

jj

T

TT

TTT

T

j

j

jj

T

TT

TTT


YVERIFICACIN


Dr.JAVIER

PIQU

DELPOZO

e)LaVerificacindelaspropiedadesdelasformasdemodoserhechabasadaen

laSecc8.4.1.5.Luego,siendolasmatricesdema

sas(M

)yrigidez(K)

simtricasyK

correspondeaunaestructuraestable,podemosgarantizarque:

e.1)Exis

tentantasfrecuenciasangularescomo

gradosdelibertadsehan

considerado.Esdecir,siexistenn=2GDL,entonces,existirn2

frecuenciasna

turalesyporende2periodossiendo

elmayorelfundamental.

e.2)Para

cadafrecuenciaexisteunanicaforma

demodo.Estosehapodido

observardurantelasolucindelproblema.

e.3)CondicindeOrtogonalidad;lasformasdem

odoquecorrespondenados

frecuenciasna

turalessonortogonales(perpendicularesparaunsistemauno,dos

etresgradosd

elibertad).

Cumplind

ose:

SiendoC

la

matrizdeconstantes

deamortiguam

iento.Laconstruccindedichamatrize

sanlogaaladeKcomose

verenlasiguienteseccin.Verificandolacondicindeortogonalidadporejemplo

para:

0

)11(

437,11

)

71

04

,1()

5848

,0(

437,11

17104

,1

437

,11

0

0

437,11

1

5848

,0

2

1

2

1

2

1

MX

X

x

x

x

x

MX

X

MX

X T

TT

Losdems

productosconM,C,Kycombinacionesdeformasmodales,de2en2,

sonanlogos.

e.4)Paranuestrocaso,nosetienenmultiplicidadenlaracesportratarsedeun

sistemasencillode2GDL.

i

j

para

XK

X

i

j

para

XC

X

i

j

para

XM

X

j

T i

j

T i

j

T i

000


15/22


16/22


17/22

SECC.8.5:SISTEMASCONTINUOSOD

EMAS

A

DISTRIBUIDA:VIGA

DECORTE,VIGADEFLEXIN

29

Dr.JAVIER

PIQUDELPOZO

conunafrecuencia.Resolviendo

elproblemaresultanteparaesasincgnitas

obtendremosquelasolucincorresponderalascaractersticasdelavibracinlibre.

Fig.8.14VigadeCorteenVoladizo

Supngasequelavigavibrarsig

uiendounafuncin

t)

v(x,dependientedela

alturadelavigaydeltiempo,que

esasuvezfuncindeuna"forma"

(x)

v0

independiente

deltiempo

y

deu

na

funcin

armnica

de

frecuencia

,

)

+t

sen(

.

)

+t

sen(

).x(

v)t,x(v

o

(

8.35)

Sustituyendoestafuncinysusderivadasenlaecuacindiferencialanteriorse

tiene:

0=vp+

xdvd

0

2

2

2

(

8.36)

donde:

G=

p

2

2

(

8.37)

Obsrvesequelasolucindeesta

ecuacindiferencialproveerlaforma

dela

funcin

(x)

v0

queserlaqueadoptarlavigaalvibrarlibrementeconlafrecu

encia

incluidaenelparmetrop.Enbu

enacuentarepresentalaformamodalyla

frecuenciamodalasociada.

Lasolucingeneraldelaecuacind

iferencialEc.(8.36)es:

Bsenpx

+px

A=v0c

os

(8.38)

Paraelcasodelavigaenvoladizolascondicionesdebordeson(Fig.8.14):

SECC.8.5.1.1:VIGA

LIBRE:VIGAEN

VOLADIZO

29

Dr.JAVIER

PIQU

DELPOZO

-desplazamientoenlabasecerov(0)=0

-giroenla

partesuperiorcero,porqueelcortante

enelextremoesceroypor

consiguienteenestecasoesorequierequelaprimeraderivadadeldesplazamiento

enesepuntoseacero,osea

0=

(H)

v

.Seobtienecomosolucinnotrivial:

/(2H)

1)-

(2n=p

(8.39)

oexpresadoentrminosdelafrecuencia:

G/

/(2H)]

1)-

[(2n

=n

(8.40)

Lasfrecuenciasnaturalescorrespondernavaloressu

cesivosde

3;2;1:n

Eltrmino

G/correspondealavelocidaddepropagacindelasondasde

corte,Vs,enunestratodesueloquesemodelaelstica

mentecomosifueraunaviga

deestetipoparalasondastransversalesquecausanesadeformacin.

Losperodosseexpresancomo:

/2=Tn

(8.41)

V1)-

4H/(2n

=T

s

n

(8.42)

Elperodo

fundamental,cuando

1=n

vienedadoporlaexpresin:

V

4H/

=T

s

1

(8.43)

Lasformasmodalesvienenexpresadaspor(Fig.8.15)

x/2L

Bsenn

=(x)

von

(8.44)


18/22


19/22

32

CAP.8:VIBRAC

IN


RTAD

Cuadro8.2Comparacindepe

rodospromedioentreunavigadecorteyuna

deflexinconlosd

eunprticode12pisosconplacasomuros

de

corte[Ref.9]

REFERENCIAS

33

Dr.JAVIER

PIQU

DELPOZO

REFERENCIAS

1.

Biggs,J.M.,"DynamicAnalysisofOne-De

greeSystems",enNotasdel

curso

FundamentalsofEarthquakeEngineering

forBuildings.Massachusetts

InstituteofTechnology.Cambridge,Massachus

etts.1972

2.

Resset,J.M."StructuralDynamics".Notasde

clase.MassachusettsInstitute

ofTechnology.Cambridge,Mass.1974.

3.

Biggs,J.M.,IntroductiontoStructuralDynamics.McGraw-Hill.NewYork.

1964

4.

Craig

Jr.,R.R.,StructuralDynamics.JohnWiley&Sons.NewYork.1981

5.

Clough,R.W.&Penzien,J.DynamicsofStructures.McGraw-Hill.New

York.1975

6.

Okam

oto,S.IntroductiontoEarthquakeEngineering.HalstedPress.John

Wiley

&Sons.NewYork.1973

7.

Hurty

,W.C.&Rubinstein,M.F.DynamicsofStructures.PrenticeHall.New

Jersey1964.

8.

Bathe

,K.J.,Wilson,E.L.NumericalMethodsinFiniteElementAnalysis,

Prentice-Hall.EnglewoodCliffs,NewJersey.1976

9.

Wilkinson,J.H.,

TheAlgebraicEigenvalueProblem,ClarendonPress.

Oxford..1965

10.

Piqu

,J.,Echarry,A."AModalCombinationforDynamicAnalysisof

ReinforcedConcreteFrames".9a.ConferenciaMundialdeIngeniera

Antissmica.Tokyo-Kyoto.Japn.1988

11.

Bazn,E.,Meli,R.

DiseoSsmicodeEdificios,EditorialLimusa.

Balderas,Mxico.2002

12.

Piqu

,J.,Scaletti,H.,AnlisisSsmicodeEd

ificios,EdicionesCaptulode

Ingen

ieraCivil.Lima,Per.1991


20/22

34

CAP.8:VIBRAC

IN


RTAD

ANEXO-

CAP.8:

COCIENTEDERAYLEIGH

35

Dr.JAVIER

PIQU

DELPOZO

ANEXO

COCIENTED

ERAYLEIGH

Factorizando

elvectorde

mximos

desplaz

amientos

en

la

ecuacin

caracterstica,Ec.(8.11),elproblemaaconsiderarresultadelaforma:

0

)

(

2

X

M

K

(8.49)

reordenand

oestaltimaecuacinsetiene:

XM

XK

2

(8.50)

SuponiendoqueseconocelasolucinXidelaEc.(8

.50),entoncessecumpleque:

i

i

i

XM

XK

2

(8.51)

yhaciendo

i

i

2

laEc.(8.51)queda:

i

i

i

XM

XK

(8.52)

multiplican

dolaEc.(8.52)por

TiX

:

i

Ti

i

i

Ti

XM

X

XK

X

(8.53)

despejando

laEc.(8.53):

i

Ti

i

Ti

i

i

XM

X

XK

X

2

(8.54)

ElcocientedeRayleighnospermitecalcularelvalorde

i

conocidosu

correspondientevectorcaracterstico

i

X.Estosepuede

apreciarenlaEc.(8.54).

DebidoaquelaEc.(8.54)puedeserusadaconaproximacionesalosvectores

propios[Ref.

12],entonces,suponiendoquesecon

oceunaformademodode

maneraaproximada:

V

Xi

(8.55)

Reemplaza

ndolaEc.(8.55)enlaEc.(8.54)setiene

:


21/22

36

CAP.8:VIBRAC

IN


RTAD

VM

V

VK

VTT

i

i

2

(8.56)

Lasfuerzasaplicadasseran:

F

VK

(8.57)

AlreemplazadasdeichasfuerzasenlaEc.(8.56)tenemos:

VM

V

F

VTT

i

(8.58)

LaEc.(8.58)escritasenformadesumatoriases:

2

1

1

j

n j

j

j

n j

j

i

v

M

vF

(8.59)

donde

j

j

vy

F

sonelementosdelosvectorescolumnas

VyF

,y

j

Mesun

elementoquepertenecealadiagonalprincipaldelamatrizdemasasM.

Como

2i

i

,entonceslaEc.(8

.59)quedara:

2

11

2

11

2

j

n j

j

j

n j

j

i

j

n j

j

j

n j

j

i

i

v

M

vF

v

M

vF

(8.60)

SienlaEc.(8.60)setrabajaconpes

osenvezdemasas,entonces:

2

1

1

.

j

n j

j

j

n j

j

i

VP

VF

g

(8.61)

Ycomoseconoceque

i

iT

2

,en

tonceselperiodocorrespondientealaf

orma

demodoXisegnlaEc.(8.61)sera:

ANEXO-

CAP.8:

COCIENTEDERAYLEIGH

37

Dr.JAVIER

PIQU

DELPOZO

j

n j

jj

n j

j

j

n j

j

j

n j

j

i

vF

g

vP

vF

v

M

T

1

2

1

1

2

1

..2

.2

(8.62)

EJEMPLO:

Paraelsigu

ientesistemaquesemuestracalculedemaneraaproximadaelperiodo:

Solucin:

Suponiendodemaneraaproximadalasfuerzasaplica

das,setiene:

1m

2m

3m

mt

k

000

10

1

mt

k

000

8

2

mt

k

000

8

3

mst

m

2

1

10

mst

m

2

2

9

mst

m

2

3

8

1m

2m

3m

t

F

000

10

1

t

F

000

20

2

t

F

000

30

3


22/22

CAP.8:VIBRAC

IN


RTAD

Resumiendotodoslosclculosenta

blassetiene:

Nivel j

kj(t/m)

Fjsupuestas

(t)

Vj=Fjacumuladas

(t)

jj

j

kV'

vj=j

acumuladas

3

8000

30000

30000

3,75

16,00

2

8000

20000

50000

6,25

12,25

1

10000

10000

60000

6,00

6,00

Nivel

Mj

(t-s2/m)

Mj.vj2

Fj.vj

3

8

2048,00

480000

2

9

1350,56

245000

1

10

360,00

60000

3758,56

785000

UsandolaEc.(8.60):

s

T

T

435,0

000

785

56,

758

3

2

1v

2v

3v

3

2

1

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