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Análisis Vectorial en

Mathematica

Elaborado por: Miguel Ángel Serrano.

A continuación presentaré el desarrollo de los ejercicios sugeridos

para el laboratorio. El repaso va dirigido a vectores y sus respectivas

operaciones, cambios de coordenadas, integrales de linea y superfi-

cie así como campos vectoriales en electrostática.

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Operaciones Vectoriales

Básicas

Definimos los vectores con los que trabajaremos.

A1 = 85, 7, 1 ê 2<;

B1 = 82, 4, 3<;

a1 = 8Log@2D, π, Sqrt@2D<;

b1 = 8Tan@π ê 8D, E^2, 1<;

Suma y Resta de Vectores.

C1s = A1 + B1

:7, 11,

7

2

>c1s = a1 + b1

:Log@2D + TanB π

8

F, ã2

+ π, 1 + 2 >C1r = A1 − B1

:3, 3, −

5

2

>c1r = a1 − b1

:Log@2D − TanB π

8

F, −ã2

+ π, −1 + 2 >

Producto Interno y Producto Cruz

Para realizar el producto interno (producto punto) utilizamos el comando “Dot[]”.

C1p = Dot@B1, A1D

79

2

c1p = Dot@a1, b1D

2 + ã2

π + Log@2D TanB π

8

F

Para el producto cruz se utiliza el comando “Cross[]”

C1c = Cross@B1, A1D

8−19, 14, −6<c1p = Cross@a1, b1D

:− 2 ã2

+ π, −Log@2D + 2 TanB π

8

F, ã2

Log@2D − π TanB π

8

F>

2 Análisis_Vectorial_Presentación.nb

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Vector Unitario

Para encontrar el vector unitario en la dirección de un vector “V”.

V = 81 ê 2, 9, Sqrt@5D<;

Vu = V ê Sqrt@Dot@V, VDD

: 1

345

, 6

3

115

,

2

69

>

Podemos comprobar que el nuevo vector es unitario y paralelo a “V” calculando su

magnitud y el producto cruz con “V”

Dot@Vu, VuD

1

Cross@Vu, VD

80, 0, 0<Tambien se puede usar la función de Mathematica “Normalize[]”

Normalize@VD

: 1

345

, 6

3

115

,

2

69

>

Análisis_Vectorial_Presentación.nb 3

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Integrando y Derivando Vectores.

Es posible tener vectores como argumento de las funciones para derivar e integrar.

A3@t_D = 8Exp@tD, t^2, 1 + t<;

B3@t_D = 8Cos@π t ê 2D, Log@t + 2D, t^H1 ê 3L<;

Integrando

Integrate@A3@tD, tD

:ãt

,

t3

3

, t +

t2

2

>

Derivando

D@B3@tD, tD

:−

1

2

π SinB π t

2

F,

1

2 + t

,

1

3 t2ê3

>

4 Análisis_Vectorial_Presentación.nb

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Operaciones Vectoriales

Intermedias

Divergencia y Rotacional de un campo vectorial.

Definimos los campos que utilizaremos:

V4@x_, y_, z_D = 8z^2, y^4, x^3<;

W4@x_, y_, z_D = 8Sin@x ê yD, Exp@y^2D, z y<;

Divergencias

Div@V4@x, y, zD, 8x, y, z<, "Cartesian"D

4 y3

Div@W4@x, y, zD, 8x, y, z<D

y + 2 ãy

2

y +

CosB x

y

Fy

Rotacionales

Curl@V4@x, y, zD, 8x, y, z<, "Cartesian"D

90, −3 x2

+ 2 z, 0=Curl@W4@x, y, zD, 8x, y, z<D

:z, 0,

x CosB x

y

Fy

2

>

Análisis_Vectorial_Presentación.nb 5

Slide 6 of7

Laplaciano de un campo escalar y Vector Normal a una

Superficie.

Procedemos a definir las funciones a utilizar.

Fgl@x_, y_, z_D = x^2 y z + y ê x + 1;

Ggl@x_, y_, z_D = Hx y z L^2;

Laplaciano de un campo escalar.

Laplacian@Fgl@x, y, zD, 8x, y, z<D

2 y

x3

+ 2 y z

Laplacian@Ggl@x, y, zD, 8x, y, z<D

2 x2

y2

+ 2 x2

z2

+ 2 y2

z2

Vectores Normales: Para ellos procedemos a utilizar el operador Gradiente apli-

cado sobre un campo escalar:

Fnor@x_, y_, z_D = Grad@Fgl@x, y, zD, 8x, y, z<D

:−

y

x2

+ 2 x y z,

1

x

+ x2

z, x2

y>Normalize@Fnor@x, y, zDD

: −

y

x2

+ 2 x y z ì . AbsAx2

yE2

+ AbsB 1

x

+ x2

zF2

+ AbsB−

y

x2

+ 2 x y zF2

,

1

x

+ x2

z ì . AbsAx2

yE2

+ AbsB 1

x

+ x2

zF2

+ AbsB−

y

x2

+ 2 x y zF2

,

Ix2

yM ì . AbsAx2

yE2

+ AbsB 1

x

+ x2

zF2

+ AbsB−

y

x2

+ 2 x y zF2 >

6 Análisis_Vectorial_Presentación.nb

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Operaciones Vectoriales

Avanzadas:

Teorema de Stokes:

B@r_, θ_, φ_D = 84, 3, −2<;

RB@r_, θ_, φ_D = Curl@B@r, θ, φD, 8r, θ, φ<, "Spherical"D

:−

2 Cot@θDr

,

2

r

,

3

r

>db@r_D = 80, −r, 0<;

RBdb = Dot@RB@r, θ, φD, db@rDD;

Integrate@RBdb, 8r, 0, 2<, 8φ, 0, π ê 2<D

−2 π

dl1 = 81, 0, 0<; dl2 = 81, 0, 0<; dl3 = 80, 0, 2<;

Bdl1 = Dot@B@r, θ, φD, dl1D;

Bdl2 = Dot@B@r, θ, φD, dl2D;

Bdl3 = Dot@B@r, θ, φD, dl3D;

Integrate@Bdl1, 8r, 0, 2<D + Integrate@Bdl2, 8r, 2, 0<D + Integrate@Bdl3, 8φ, 0, π ê 2<D

−2 π

Teorema de la Divergencia:

a@ρ_, φ_, z_D = 8ρ^2, 0, 2 ∗ z<;

DA@ρ_, φ_, z_D = Div@a@ρ, φ, zD, 8ρ, φ, z<, "Cylindrical"D

2 + 3 ρ

Integrate@DA@ρ, φ, zD ∗ ρ, 8ρ, 0, 5<, 8φ, 0, 2 ∗ π<, 8z, 0, 4<D

1200 π

da1 = 80, 0, ρ<; da2 = 80, 0, −ρ<; da3 = 85, 0, 0<;

Ada1 = Dot@a@ρ, φ, 4D, da1D ; Ada2 = Dot@a@ρ, φ, 0D, da2D ; Ada3 = Dot@a@5, φ, zD, da3D ;

Integrate@Ada1, 8ρ, 0, 5<, 8φ, 0, 2 ∗ π<D +

Integrate@Ada2, 8ρ, 0, 5<, 8φ, 0, 2 ∗ π<D + Integrate@Ada3, 8φ, 0, 2 ∗ π<, 8z, 0, 4<D

1200 π

Graficando Campos y Superficies Equipotenciales:

v@x_, y_D = 3 ∗ y ê Hx^2 + y^2L^H3 ê 2L;

Análisis_Vectorial_Presentación.nb 7

g1 = ContourPlot@v@x, yD, 8x, −10, 10<, 8y, −10, 10<D

-10 -5 0 5 10

-10

-5

0

5

10

Elec@x_, y_D = −Grad@v@x, yD, 8x, y<, "Cartesian"D

: 9 x y

Ix2

+ y2M5ê2

,

9 y2

Ix2

+ y2M5ê2

−

3

Ix2

+ y2M3ê2

>

g2 = StreamPlot@Elec@x, yD, 8x, −10, 10<, 8y, −10, 10<D

-10 -5 0 5 10

-10

-5

0

5

10

Show@g1, g2D

-10 -5 0 5 10

-10

-5

0

5

10

8 Análisis_Vectorial_Presentación.nb