Introduccin al programa

Mathematica .

Introduccin.

En esta prctica repasaremos conceptos del Clculo Infinitesimal en una variable: representacin de

funciones de una variable, lmites de funciones y continuidad, derivabilidad, integrabilidad y algunas de sus

aplicaciones. Veremos tambin el caso de las funciones definidas a trozos y como Mathematica realiza la

composicin de funciones, en particular en el caso de las funciones inversas.

Definicin y representacin de funciones

Recordemos en primer lugar la diferencia entre la definicin directa y la definicin diferida de una funcin:

a := RandomReal@D;b = RandomReal@D;TableForm@Table@8a, b

f@x_D := x6

6x

Plot@f@xD, 8x, -1, 10

curva2 = Plot@Tan@xD, 8x, -2 , 2

Plot@8Sin@xD, Tan@xD

Plot@Cos@xD, 8x, -2 , 2

Plot@Cos@xD, 8x, -2 , 2

LimitBIx2 - 2 x+ 1MArcTanB 1x2 - 1

F, x -1, Direction 1F

2

LimitBIx2 - 2 x+ 1MArcTanB 1x2 - 1

F, x -1, Direction -1F

-2

En este ejemplo, en el punto x = -1 existe una discontinuidad "de salto", los lmites laterales existen pero

no coinciden.

Si representamos la curva, visualizaremos estos resultados.

PlotBIx2 - 2 x+ 1MArcTanB 1x2 - 1

F, 8x, -2, 0

f@x_D := x3 - 2 x-Log@xD;8x,1< f@xD

-2-1

x+ 3 x2

D@f@xD, 8x, 1

Optimizacin de una funcin

En ocasiones queremos calcular los mximos y mnimos locales de una funcin de una variable. Podemos

hacerlo siguiendo el procedimiento visto en el aula, que es exacto: calculamos la primera derivada, calcu-

lamos las races de la primera derivada (los puntos crticos) y estudiamos su carcter.

Pero adems, tenemos instrucciones en Mathematica que nos permite calcular esos mximos y mnimos

locales de forma numrica, dndole un punto de comienzo adecuado. Esas instrucciones son:.

FindMinimum@funcion, 8x, inicio

Solve@D@f@xD 0, xDD98x 0

siendo [xmin, xmax] el intervalo donde se quiere calcular la integral definida de la funcin f [x]. Si se

quiere determinar el valor numrico de la integral definida se utiliza la instruccin N[ ] o //N.

La expresin anterior es equivalente a la instruccin:

Integrate@funcion, 8x, xmin, xmax

h@-1DhB 1

2F

h@3D1

1

2

Sin@3D

Vamos a representar la funcin para ver esa definicin a trozos:

Plot@h@xD, 8x, -2, 5

Plot@g@xD, 8x, -2, 4

Integrate@h2, xDx3

3x 0

x2

20 < x 2

2+Cos@2D-Cos@xD True

En esta integracin, las constantes de integracin se escogen para que la funcin primitiva sea continua:

g2 = Integrate@h2, xD;Plot@g2, 8x, -2, 10

Clear@f, gD;f@x_D := 1- 2 x2g@x_D := Sin@xDComposition@f, gD@xD1- 2 Sin@xD2

Plot@Composition@f, gD@xD, 8x, -2, 2

cuadrado@x_D := x2Composition@Cos, cuadradoD@xDCosAx2E

2) Se pueden componer varias funciones, no solo dos:

Composition@Cos, cuadrado, LogD@xDCosALog@xD2E

2) Si componemos una funcin con su inversa, obtenemos la funcin x:

Composition@Exp, LogD@xDx

comp = Composition@Log, ExpD@xDLog@xD

Plot@comp, 8x, -3, 3

Nest@Sin, x, 3DSin@Sin@Sin@xDDD

Introduccion al programa Mathematica Practica n 5

Departamento de Matematica Aplicada. EPSZ-USAL 17