PUCP mathematica y calculo vectorial

7/26/2019 PUCP mathematica y calculo vectorial

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Resumen:

En esta publicacin presentamos una propuesta para el uso del software Mathematica en el desarrollo de dos de los teoremasfundamentales del Clculo Vectorial: Teorema de Stokes y divergencia de Gauss. La experiencia se desarroll en cuatro horariosdel curso Clculo 4 en la Facultad de EE.GG.CC. de la PUCP. Destacando la representacin grca de los objetos matemticos queintervienen en estos resultados. Obviamente, sin perder de vista el aspecto algebraico. Para conjugar estos dos aspectos se haescrito secuencias de funciones del software Mathematica para: gracar las supercies y sus vectores normales como tambin loscampos vectoriales, calcular integrales triples, integrales de supercie e integrales de lnea. Estas secuencias nos han permitidomostrar las aplicaciones de los teoremas de Stokes y divergencia mediante representaciones textual, algebraica y grca; lo cualdespierta el inters de los alumnos por los teoremas tratados y se logra, adems, un manejo ms adecuado de dichos teoremas.

Palabras claves:Supercie regular, supercie orientable, campo vectorial, vector normal unitario exterior, rotacional, divergencia, integral de

lnea, integral de supercie e integral triple.

IntroduccinLa Matemtica es compleja y ms an cuando se trata de explicar algunas deniciones y manejar objetosmatemticos que son abstractos, sobre todo si stos requieren de nuestra imaginacin. Este hecho haceque los estudiantes tengan dicultad para construir grcas en tres dimensiones. Si bien es cierto que elgrupo al cual se aplic la actividad tiene experiencia en el manejo de grcas en el plano, les result untanto complicado extender estas nociones a una dimensin mayor.

La experiencia docente nos ha permitido observar que los estudiantes tienen dicultades para gracarsupercies y construir su vector normal lo cual no les permite determinar la orientacin correcta dedicho vector, esto conlleva al uso incorrecto de las hiptesis de los Teoremas de Divergencia y Stokes.Por ello esta propuesta est orientada a facilitar la visualizacin de las supercies y la orientacin de suvector normal, como parte de las hiptesis de los teoremas en estudio, aprovechando las bondades delsoftware Mathematica.

Mathematica es un excelente software para desarrollar clculos simblicos y numricos, construir gr-cos, editar texto, generar animaciones y sonido, caractersticas que lo convierte en una herramienta

potente en el proceso de enseanza - aprendizaje y en investigacin en distintas reas del conocimiento.Es tambin un lenguaje de programacin que permite construir programas en diferentes paradigmas:funcional, imperativo, declarativo, modular, etc. Para mayor informacin ver [4].

Para la actividad hemos diseado secuencias de programa, escrito en el software Mathematica, con lanalidad de que los estudiantes tengan la posibilidad de observar grcamente, de manera animada, elcomportamiento del campo vectorial, la orientacin del vector normal a la supercie y la compatibilidadde ste con la orientacin del borde de la supercie (curva); hechos que ayudan a comprender los con-ceptos involucrados en los mencionados teoremas.

Esta publicacin est dirigida a profesores y estudiantes que hacen uso de los teoremas mencionados yaque estos proporcionan la interpretacin fsica de los operadores rotacional y divergencia de un campovectorial.

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En Blanco & Negro (2014) Vol. 4 N 2 ISSN: 2221-8874 (En lnea)

Teoremas de Stokes y Divergenciausando Mathematica

Mariano Gonzlez [email protected]

Nancy Saravia [email protected]

Carlos Tapia [email protected]


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DesarrolloAqu tratamos dos generalizaciones del segundo teorema fundamental del clculo para integrales desupercie: el teorema de Stokes y el teorema de Gauss. Estos teoremas junto con el teorema de Greenconstituyen los tres resultados fundamentales del Clculo Integral Vectorial.

Tradicionalmente, para establecer las hiptesis de los teoremas de Stokes y de divergencia de Gaussse construyen guras estticas con lo cual los alumnos tienen dicultades para la visualizacin de losobjetos que se encuentran en la parte posterior e interior de las supercies. Usando el software Mathe-matica, los objetos ya no son ms estticos sino ms bien son dinmicos ya que se tiene la posibilidadde rotarlos y trasladarlos en distintas direcciones, hecho que posibilita visualizar el comportamiento delos objetos desde distintos ngulos, ayudando a los estudiantes, a comprobar sus conjeturas en algunoscasos o a rearmar sus conocimientos en otros.

El artculo se ha dividido en dos partes: teorema de Stokes y teorema de la divergencia de Gauss. Paraello asumimos que el lector est familiarizado con los conceptos de curva, supercie y campo vectorial,en caso contrario ver [1].

Dominio elemental:Es un conjunto conexo, compacto de interior no vaco. En adelante le llamaremossimplemente dominio.

Supercie regular:Es la imagen de una aplicacin de clase C1, regular e inyectiva, denida sobre undominio del plano y con valores en el espacio tridimensional. Dicha aplicacin se denomina parametri-zacinde la supercie. Es importante sealar que la inyectividad y regularidad de la parametrizacin esexigida al menos en el interior de su dominio. Por lo general, omitimos la palabra regular para referirnosslo como supercie.

En smbolos la parametrizacin es r:D ->R3, donde r(D)=S, Des el dominio y S es la supercie. En parti-cular se tiene que si Ses una supercie con borde, entonces S=r(D).

Supercie orientada:Es aquella supercie en la que se ha hecho la eleccin de un vector normal el cualvara de manera continua, en otras palabras, no cambia de sentido bruscamente. Esta nocin ser demucha utilidad pues intentamos medir como un campo vectorial atraviesa la supercie en una direccindada.

Compatibilidad de orientacin:Dada una supercie orientada Scon borde S, decimos que la orien-tacin deSes compatible con la orientacin de S(como curva).Si imaginamos que el observador es unvector normal unitario que camina a lo largo de la curva Ssiguiendo su orientacin, la supercie debequedar a su mano izquierda.

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Compatible No compatibleFigura 1: Compatibilidad de la orientacin

Rotacional del Campo:Dado un campo vectorial , diferenciable en el abierto U, denimos el rotacionalde Fcomo

el cual es tambin un campo vectorial con dominio U.


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que es un campo escalar con dominio U.

Divergencia del Campo:Dado un campo vectorial , diferenciable en el abiertoU, denimos diver-gencia de Fcomo

El teorema de Stokes, pone de maniesto que el ujo del campo vectorial rot(F) a travs de la supercieS en la direccinn es eltrabajo del campo sobre la curva Scuando hay compatibilidad en las orientaciones.

Parametrizacin de la supercie:Denamos una parametrizacin de S

Normal de la supercie: La siguiente secuencia permite encontrar la normal de la supercie S

Ejemplo:

Verique el teorema de Stokes para la supercie orientada con vector normal de componente z0, el campo Fdenido por F(x,y,z) = y la curvaS con la orientacin compatible con S.

Solucin:

Rotacional del campo: Para encontrar el rotacional del campo usando Mathematica ingresamos

Teorema de Stokes

Sea Suna supercie orientada parametrizada por de clase C1donde Des un dominio en limitado por una curvaregular, cerrada y simple denotada porD. Entonces

donde Ftiene derivada continua en un abierto que contiene a S.Se considera el signo positivo si la orientacin de Ses compatible con la orientacin de S,en caso contrario se considerael signo negativo.


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Compatibilidad de orientaciones: Para vericar geomtricamente la compatibilidad en las orientaciones de los objetos involucra-

dos, usamos la siguiente secuencia

En la grca se observa la compatibilidad de orientaciones, que nos indica que en la ecuacin (1.1) se debe tomar el signo positivo.

Animacin: La siguiente secuencia muestra la compatibilidad de manera animada

Clculo de la integral de supercie:Para calcular la integral de supercie usamos la siguiente secuencia

Figura 2: Supercie y vector unitario normal

n

s


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El Teorema de Gauss o divergencia establece una relacin entre la integral triple de la divergencia del campo F sobre un slido yla integral de supercie del campo F sobre la frontera del slido.

Ejemplo:

Verique el teorema de divergencia para el campo vectorial F(x,y,z) = (x2,y2,z2) y el slido limitado por la supercie z=(x2+y2)ylos planosz=1 y z=2

Solucin:

Grca de la supercie: La siguiente secuencia en Mathematica muestra la supercie S

donde la funcin Function [{u,v,w},G[u,v,w]][r1,r2,r3]lo que hace es la composicin G(r(u,v) )=rot(F(r(u,v))), de esta forma seobtiene

cuyo valor es 12 .

Clculo de la integral de lnea del campo sobre la curva S: La siguiente secuencia muestra la parametrizacin del borde de lasupercie, as como los pasos para hallar la integral de lnea del campo vectorial sobre la curva

De las ecuaciones (1.2) y (1.3) concluimos que

Teorema de la divergencia

Sea Kun slido limitado por una supercieS cerrada y orientada con vector unitario normal n dirigido hacia elexterior de K, parametrizada por de clase C1donde Des un dominio en el plano limitado por una curva regular,cerrada y simple denotada por D. Entonces

siendoFun campo vectorial con derivada continua en un abierto que contiene aK.


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Campo sobre la supercie:El campo Fatravesando la supercie

Divergencia del campo: La siguiente funcin calcula la divergencia del CampoF

Figura 3: Supercie S

Figura 4: CampoF sobre la supercie S

S

T

S


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a) Parametrizacin de la tapa inferior S1:

Clculo de la integral triple de la divergencia del campo F sobre el slido K:

Para gracar S1

y su proyeccin se ejecuta la siguiente secuencia

Grca del slido: La siguiente secuencia muestra el slido K

Figura 5: Slido K

K


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S1

D1

Clculo de la normal:

Se observa que la orientacin es la adecuada (hacia el exterior).

Clculo de la integral de supercie:

Vericando la orientacin de la normal:

Figura 6: S1y su proyeccin D

1

Figura 7: Orientacin de la normal nen S1

S1

n


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Figura 8: S2

y su proyeccin D2

b) Parametrizacin de la supercie lateral S2:

S2

D2


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Como en el caso anterior, se observa que la orientacin es la apropiada.



Para gracar S3y su proyeccin se ejecuta la siguiente secuencia

Figura 9:Orientacin de la normal n

Figura 10:S3y su proyeccin D3

S2

n

c) Parametrizacin de la tapa superior S3

S3

D3


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En este caso, observamos que la orientacin es inapropiada, por lo que se debe cambiar de signo.


Finalmente de (1.6), (1.7) y (1.8), la integral de supercie es:

Concluimos que:


Figura 11:Orientacin de la normal n

S3

n


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Comentarios finales1. En general, las actividades propuestas en las que se hizo uso del software Mathematica favorecieron

la visualizacin de los objetos tridimensionales involucrados en los problemas.

2. El comentario de varios alumnos era favorable al uso del software, pues hacan una comparacin conel desarrollo realizado en el curso Clculo 3 donde tratan el tema de supercies. El aspecto grcoles ayud a comprender el comportamiento de los objetos tridimensionales involucrados en los teo-remas estudiados.

3. Los alumnos tuvieron la oportunidad de ver de manera animada el comportamiento del campo y delvector normal a la supercie, dado que el programa permite usar como parmetro el campo vecto-rial.

4. La secuencia escrita en Mathematica permite a los alumnos reemplazar el campo vectorial por otroque cumpla con las condiciones de los teoremas de Stokes y Divergencia.

5. La representacin grca de los objetos, sobre todo, en tres dimensiones es muy importante paraclaricar las hiptesis de los teoremas en estudio.

6. Se sugiere mostrar a los alumnos algunas funciones de Mathematica para que conozcan la losofa deeste programa, concebido desde un punto de vista matemtico.

Referencias

Apstol, Tom. Calculus. Vol. I y II. Segunda edicin. Mxico. Revert, 1997.

Gonzlez, M. Clculo Integral en varias variables. Manual de Clculo 4 EE. GG. CC. PUCP, 2013.

Stewart, James.Clculo: trascendentes tempranas. Cuarta edicin. Mxico: Thomson Learning, 2002.

Wolfram Research, Inc.MathematicaV.9.0.1.0,2013.


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Datos Generales

Criterios de evaluacin

Ttulo de la colaboracin

La colaboracin contribuye con la discusin sobre el tema de docencia universitaria.

El contenido del documento tiene coherencia, es slido y est debidamente fundamentado(solo para los artculos).

Los contenidos son vigentes. Si X

X

X

Si

Si No

No

No

NoSiHay rigurosidad en el uso de citas y referencias bibliogrcas.

Comentario

Se han colocado las referencias bibliogrcas al nal de la colaboracin. Sin embargo, no se han empleado citas a lolargo del escrito. En el caso de que se hubieran usado citas textuales o parafraseadas, es necesario incluir la referenciadentro del texto.

1. Resumen: Revisar la redaccin

2. Introduccin: Detallar ms la problemtica encontrada en el proceso de enseanza aprendizaje del curso Clculo4, si se sustenta en algn dato, tendencia en rendimiento de los estudiantes. Se podra aadir la revisin hecha deexperiencias anteriores y similares empleando el software Mathematica.

3. Podra incluirse una breve descripcin del Software Mathematica. Presentarlo en mayor detalle.

4. Desarrollo: Se dice que el artculo est dirigido a estudiantes de cuarto ciclo de EEGGCC. Sin embargo, al ser una re-vista en docencia universitaria, tambin debera estar dirigido a docentes de ciencias o incluso de otras disciplinas

5. Es recomendable aadir resultados y discusin. Se ha encontrado un mejor rendimiento en los estudiantes a partirdel uso de este software?

6. Sera muy interesante aadir recomendaciones que puedan ser de utilidad a profesores que deseen replicar la ex-periencia con sus estudiantes en ese u otros cursos de ciencias.

7. Incluir las referencias bibliogrcas utilizadas en el desarrollo.

Fortaleza: los conceptos y el empleo de grcos apoyan la comprensin.

Debilidad: En algunos casos, los benecios de la experiencia no son explcitos

Sugerira realizar algn cambio en la obra? Por favor, especique en qu parte.

Describa las fortalezas y debilidades del artculo

Teoremas de Stokes y Divergencia usando Mathematica

Mariano Gonzlez Ulloa, Nancy Saravia Molina, Carlos Tapia ChinchayAutor

Determine el carcter de la contribucin.. artculoX.. experiencia de aula

Ficha de evaluacin por pares

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