Curso Básico de Mathematica

Curso Bsico de Mathematica

1 Presentacin de Mathematica

2 Comandos que slo requieren el uso del teclado

3 Comandos que requieren el uso de "paletas"

4 Estructura bsica

5 Comandos para el clculo simblico

6 Grficas bidimensionales

7 Grficas de funciones de dos variables

8 Otros tipos de grficas

9 Animaciones

10 Paquetes includos en Mathematica

11 Navegacin en el "Help" de Mathematica

12 Introduccin a la programacin en Mathematica

13 Mathematica trabaja con nmeros complejos

1 Presentacin de Mathematica

Qu es Mathematica?

Mathematica es un paquete computacional de clculo simblico. Es soportado por

diversos sistemas de hardware: PC's, Macintosh, Sistemas Unix. Su desarrollo parte de

los setentas, conocido como SMP y desarrollado por Stephen Wolfram y lanzado

comercialmente en 1988 como Mathematica.

Advertencia sobre Mathematica

Mathematica es un paquete extraordinariamente poderoso para realizar matemticas por

computadora. Sin embargo al principio su uso puede ser realmente frustrante, ya que si

uno escribe Cos(x) en lugar de Cos[x], por ejemplo, Mathematica no realizar los

clculos que deseamos. Adems Mathematica trabaja con nmeros imaginarios y

complejos, lo cul nos da resultados a veces inesperados, como que la raz cbica de -8

no es -2 (esto se estudia con ms detalle en la seccin "Mathematica trabaja con

nmeros complejos"). Sin embargo, al ganar experiencia en su uso Mathematica se

convierte en una poderosa herramienta para el aprendizaje y aplicacin de las

matemticas.

El mundo de Mathematica es muy vasto, hay varios libros, revistas internacionales y

pginas de internet dedicadas a su uso en Matemticas, Fsica, las diferentes ramas de la

Ingeniera, Economa y otras ciencias. Muchos de los problemas a los que quieres

encontrar solucin ya han sido enfrentados por otros usuarios y programadores, as que

una importante recomendacin cuando ests ante un problema nuevo al que quieras

aplicar Mathematica es averiguar si ya existe algn paquete o comando que realice lo

que tu necesitas. Muchas veces el paquete o comando ya est instalado en tu propia

computadora junto con Mathematica, as que un buen lugar para comenzar es

navegando a travs de la ayuda del Mathematica, en el men "Help", en su "Master

Index". Por ejemplo, no es necesario usar complicadas frmulas paramtricas para

dibujar un slido de revolucin, ya que Mathematica ya cuenta con un sencillo paquete

que te permite dibujar ese tipo de slidos (a menos, por supuesto, que tu objetivo sea

estudiar esas complicadas frmulas paramtricas).

El Front-End y el Kernel

Mathematica consta de dos partes, el Front-End y el Kernel. El Front-End es el editor en

donde uno escribe los comandos y tambin se ven los resultados, mientras que el Kernel

es el cerebro matemtico. Cuando uno comienza una sesin con Mathematica,

nicamente el Front-End es cargado en la memora de la computadora. El Front-End

despliega las pantallas del men, el notebook (el rea donde escribimos los comandos) y

las paletas (barras de herramientas). Hasta que el usuario solicite el primer clculo es

cuando el Kernel se carga en memoria, por eso el primer clculo suele ser tardado, an

cuando slo sea 2+2. Los dems clculos son rpidos, porque el Kernel ya se encuentra

en memoria, listo para ejecutar los clculos que le sean solicitados a travs del Front-

End.

Las celdas

El FRONT-END tiene una caracterstica importante a su derecha: las barras limitadoras

de celda. Estas barras limitan las acciones al interactuar con el KERNEL. La nica

forma en que el FRONT-END interacta con el KERNEL, es mediante las

teclas. En Mathematicase tienen las siguientes convenciones con

respecto a los comandos que el usuario escribe:

1) Se distingue entre minsculas y maysculas.Toda funcin predefinida inicia con

maysculas.

2) Mathematica considera los espacios. Un espacio entre variables algebricas

representa un signo de multiplicacin.

3) Los corchetes[ ] se reservan para limitar el argumento de funciones. Las llaves {}

para limitar listas y los parntesis ( ), para indicar prioridad en las operaciones.Todo

aquello limitado por (* y *), ser omitido por el KERNEL. Una corrida tpica de

Mathematica se ve as:

La barra limitadora del ejemplo de arriba se divide en tres partes: La primera indica la

entrada (etiquetada por un nmero). La parte central puede ser una lista de errores o

notas, y/o una salida (en realidad pueden ser varias partes). La parte final aparecer slo

como una confirmacin de salida. stas dos ultimas no son editables. Uno puede

recurrir a una solucin anterior refirindose a ella por su nmero como: % para la salida

1, %% para la dos, etc. O bien:%n para la salida n. Una barra limitadora doble indica

que Mathematica est realizando un proceso.

Los Notebooks

El Notebook es el conjunto de todas las celdas que tienen los clculos de una sesin.

Los Notebooks pueden ser salvados como archivos con extensin "nb". Pueden tenerse

abiertos al mismo tiempo varios Notebooks, y se les puede cambiar el tipo de letra, asi

como copiar y pegar con otros programas como Word. Si se copia un comando o grfica

de Mathematica a un documento de Word, es recomendable hacer un "pegado especial"

como "imagen de mapa de bits", de lo contrario es posible que el comando no pueda

verse bien en otra computadora.

Men y Paletas

Cuando comenzamos una sesin con Mathematica, el Front-End nos muestra tres

ventanas. Una de ellas es el Notebook, las otras dos corresponden al men principal (en

la parte superior) y una paleta de herramientas (a la derecha). El men principal

funciona en forma muy similar al men de otros programas, como Word, con opciones

para salvar y cargas Notebooks, copiar y pegar, cambiar el tipo de letra, etc. La paleta es

el equivalente a una barra de herramientas, y su principal uso es el de escribir comandos

usando una notacin bidimensional muy parecida a la notacin matemtica tradicional,

como por ejemplo al escribir una integral:

2 Comandos que slo requieren el uso del

teclado

Clculo numrico usando slo el teclado

Mathematica es muy sensible al uso de maysculas, espacios, etctera. Debes copiar los

ejemplos exactamente, o Mathematica quizs no entienda lo que quieres calcular.

Mathematica puede utilizarse como una calculadora numrica muy poderosa.Por

ejemplo,para obtener el valor de Pi con 50 decimales escribe en Mathematica el

siguiente comando (exactamente,con todo y maysculas y minsculas) y despus

oprime al mismo tiempo las teclas Shift y Enter:

Mathematica manipula algunas expresiones sin volverlas numricas para evitar la

prdida de informacin. Por ello hay que indicarle a Mathematica cuando deseamos un

resultado numrico.Por ejemplo introduce:

Si deseamos el resultado numrico podemos utilizar el comando N[ ] de la siguiente

manera:

Otra forma de obtener resultados numricos es manejar los nmeros con punto decimal.

As podemos introducir:

Constantes matemticas desde el teclado

Mathematica conoce el valor de varias constantes importantes en matemticas, por

ejemplo los valore de , e, y el nmero imaginario i.

Escribe el siguiente comando para obtener el valor numrico de . La "P" debe ser mayscula y la "i" debe ser minscula

Mathematica trabaja en radianes. El siguiente comando calcula el seno de /4 radianes:

Se pueden especificar los ngulos en grados utilizando "Degree". El siguiente comando

calcula el seno de 45 grados:

Aqu tenemos el valor de la constante "&ee;", la cual es la base del logaritmo natural y

de la importante funcin exponencial. La "E" debe ser mayscula:

Aqu tenemos el valor de la constante "&ii;", la cual es la raiz cuadrada de menos uno.

La "i" que tu escribes debe ser mayscula:

Esta es la raz cuadrada de un nmero negativo, que da como resultado un nmero

imaginario:

3 Comandos que requieren el uso de

"paletas"

Clculo numrico usando la paleta basicinput

Nota que adems de la pantalla blanca donde introduces los comandos, hay otra ventana

rectangular con diversos smbolos matemticos (si no tienes esa ventana, puedes abrirla

seleccionando en Mathematica el men File, luego Palettes y por ltimo BASICINPUT).

Esta ventana es la paleta de entradas bsicas. Vamos a utilizarla para crear comandos

que usen smbolos que no estn en el teclado.

Vamos a calcular 2 elevado a la 100. Primero con el ratn presiona en la paleta el

smbolo:

Lo que escribas aparecer en el cuadro que est obscuro (seleccionado). Escribe un dos:

Ahora con el ratn selecciona el cuadrado pequeo para que se vuelva obscuro:

Escribe el nmero 100:

ahora oprime shift-enter, mathematica debe producir el resultado de multiplicar 2 por si

mismo cien veces:

Ahora utiliza la paleta para calcular la raz dcima de 1024 (es decir, averiguar que

nmero multiplicado por si mismo diez veces da 1024)

Constantes matemticas desde la paleta "Basic Input"

Ahora vamos a introducir las constantes usando la paleta:

Usa la paleta para obtener el valor numrico de .

Usa la paleta para obtener el seno de /4 radianes:

Usa la paleta para escribir el cerito de grados y calcular el seno de 45 grados:

Usa la paleta para obtener el valor de la constante "&ee;", No es la "e" del teclado, es la

"&ee;" de la paleta:

Usa la paleta para obtener el valor de la constante "&ii;", No es la "i" del teclado, es la

"&ii;" de la paleta:

Usa la paleta para obtener el valor de la raz cuadrada de un nmero negativo, que da

como resultado un nmero imaginario:

Practicando con la paleta "Basic Input"

Primero nos aseguramos que no haya informacin previa ni valor alguno metido en los

nombres "x" y "m" que utilizaremos a continuacin.

Usando la misma paleta del inciso anterior, introduce la siguiente integral indefinida:

Ahora prueba introduciendo la siguiente integral:

Ahora prueba introduciendo la siguiente sumatoria:

4 Estructura bsica

Asignando valores que no se actualizan y valores que s se actualizan.

Cuando hacemos matemticas con lpiz y ppel, el signo de igual "=" es utilizado

indistintamente para asignar valores a constantes (g=9.8 m/ ), para asignar valores a

variables cuyo valor puede cambiar despus (x=3.4), para definir funciones (f(x)=x+6) y

para preguntar para que valores se cumple una ecuacin ( +x-12=0). Sin embargo, en

Mathematica cada uno de estos casos es manejado con una notacin distinta. En esta

prctica revisaremos brevemente esas diferencias en notacin.


nombres "n", "p", "s", "z", "g","u","a", "b" y "c" que utilizaremos en esta prctica.

Si en Mathematica utilizamos un signo de igual "=", estamos asignando un valor fijo, es

decir, que no va a cambiar. En cambio, si utilizamos dos puntos y un igual ":=", estamos

asignando un valor que se va a estar actualizando cada vez que cambien las variables de

las cuales depende. Por ejemplo, escribe los siguiente comandos, nota que para "b"

estamos utilizando slo un igual "=" mientras que para "c" estamos utilizando dos

puntos ":=".

Escribe:

Mathematica produce el reultado que corresponde al ltimo rengln del comando. En

memoria quedaron guardados los valores de "a" , de "b" y de "c".

Podemos pedirle a Mathematica que muestre una lista cuyos elementos sean "a" ,"b" y

"c".

El 3 corresponde al valor de "a", el primer 8 corresponde al valor de "b" y el segundo 8

corresponde al valor de "c". Hasta este momento, la asignacin con "=" y la asignacin

con ":=" se comportan igual. La diferencia surge cuando cambiamos el valor de "a".

Escribe el siguiente comando:

Se ha cambiado el valor de "a", Cmo afecta eso a los valores de "b" y de "c"?

Para averiguarlo escribe el siguiente comando:

El 10 corresponde al valor de "a", el 8 al valor de "b" y el 15 al valor de "c". Como

puedes notar, cuando asignamos un valor con "=" este valor no se actualiza, por ello

"b" sigue valiendo 8, mientras que al asignar un valor con ":=" este valor cambia cuando

cambian las variables de las cuales depende. As, como "c:=a+5", cuando "a" vala 3

entonces "c" vala 8 y cuando "a" cambi a "10" entonces "c" cambi automticamente

a 15.

Comparando si dos expresiones son iguales.

Para comparar dos expresiones se utilizan dos signos de igual juntos "==". Por ejemplo,

preguntmosle a Mathematica si dos cuartos es igual a un medio.

Escribe:

Mathematica respondi "True", es decir, "Verdadero". Probemos ahora con una

comparacin que no sea verdadera.

Por ejemplo, escribe:

Mathematica respondi "False", es decir, "Falso".

Declarando Funciones

Como vimos en el primer inciso, si utilizo ":=" entonces tengo un valor que se va a estar

actualizando. Por ejemplo, si "c:=a+5", entonces cada vez que Mathematica necesite el

valor de "c" lo va a recalcular con el valor que tenga "a" en ese momento. Podramos

cometer el error de utilizar la variable "a" para otros clculos y afectar el valor de "c" en

una parte del clculo donde no debi ser afectada. Cmo tener al mismo tiempo una

cantidad que se recalcule cada vez que la utilice y que adems no dependa

arriesgadamente de otras variables externas? La respuesta es una funcin.

Al declarar una funcin en Mathematica, adems del ":=" tenemos que utilizar un guin

"_" junto al nombre de la variable de la cual depende la funcin. Esto le indica a

Mathematica que ese nombre no representa una variable externa, por el contrario, es una

variable interna de la funcin.

Esto es mucho ms claro en un ejemplo. Construyamos una sencilla funcin.

Escribe el siguiente comando. ES MUY IMPORTANTE QUE COPIES

EXACTAMENTE, INCLUYENDO LOS GUIONES LARGOS _ SOLO EN EL LADO

IZQUIERDO DEL IGUAL, ASI COMO LOS DOS PUNTOS:

Ahora podemos hacer clculos usando la funcin g[ ]. Por ejemplo, vamos a pedirle a

Mathematica que escriba una lista con varios elementos que dependen de g[ ].

Escribe:

como se puede ver en el ejemplo anterior podemos evaluar g[ ] para diferente valores o

incluso expresiones algebricas. Observa que al crear la funcin "g[ ]" utilizamos la

letra "u" para representar el argumento. Al escribir "u_" con guin del lado izquierdo

del ":=", le indicamos a Mathematica que "u" es solamente un nombre interno de la

funcin. De esa manera, si existe una variable externa llamada "u", el valor de esta "u"

externa no afecta a la funcin.

Por ejemplo, escribe:

Ahora hay una variable "u" que vale 13, sin embargo esta "u" no afecta al

funcionamiento de la funcin g[x].

Si vuelves a escribir:

{g[2], g[1/3], g[mivar], g[2+mivar]}

y oprimes shitf-enter, vuelves a obtener el mismo resultado que antes:

Resolviendo ecuaciones.

Cuando resolvemos una ecuacin, como -x-6=0, estamos preguntando para que

valores de "x" es cierta la igualdad. Por eso las ecuaciones en Mathematica se

representan con el doble signo igual "==" que vimos en el segundo inciso.

Por ejemplo escribe: Solve[ ]. Esta instruccin significa para Mathematica

"obtn que valores de z hacen verdadero que -z-6 sea igual a cero".

Mathematica tambin puede resolver sistemas de ecuaciones.

Por ejemplo escribe:

La instruccin anterior significa para Mathematica "obtn que valores de n y de p hacen

veradero que n sea igual a 1+2*s*p y tambin que p sea igual a 9+2*n". Como ves, "s"

fue tratada como constante, as que se hizo la solucin simblica de un sistema de dos

ecuaciones con dos incgnitas, "n" y "p".

Ejercicio

5 Comandos para el clculo simblico

Derivando e integrando en Mathematica

En esta seccin se muestran brevemente los comandos para derivar e integrar en

Mathematica. Estos comandos tambin sern usados en las siguiente secciones.

Primero nos aseguramos que los nombres "x" y "u" no contiene ningn valor

Para derivar una funcin se utiliza el comando D[ ]:

A continuacin se deriva usando el smbolo de derivada de la paleta

El comando D[ ] asume que todas las letras que no correspondan a la variable de

derivacin representan constantes, como en una derivada parcial

En cambio, el comando Dt asume que todas las letras son funciones de la variable de

derivacin, como en una derivada total

Usando la paleta podemos calcular integrales indefinidas (antiderivadas)

Tambin se pueden calcular integrales definidas (reas bajo curvas)

El nmero resultado del clculo anterior es el rea bajo la curva desde 1.5 hasta 3.5

Resolviendo Ecuaciones Diferenciales

En esta seccin se muestra el uso bsico de los comandos para resolver ecuaciones

diferenciales

Primero nos aseguramos que los nombres de variables que vamos a usar en esta prctica

estn limpios:

Soluciones generales

Aqu se resuelve la ecuacin diferencial especificando que la constantes de integracin

deben ser "K" en lugar de "C"

Aqu se resuelve una ecuacin diferencial de segundo orden usando C[1] y C[2] como

las constantes de integracin:

Ejercicio

Obtn la solucin general de la ecuacin diferencial:

Problemas de valor inicial

Para resolver la ecuacin diferencial escribe el siguiente comando:

Podemos dibujar la solucin:

Podemos estudiar el comportamiento a largo plazo de la solucin:

La funcin se aproxima a 108.889 para valores grandes del tiempo "t"

Soluciones numricas de problemas de valor inicial

Algunas ecuaciones diferenciales no pueden ser resueltas en forma exacta. Se recurre

entonces a soluciones numricas, las cuales no dan una frmula pero si pueden dar

grficas y valores numricos aproximados.

El comando para la solucin numrica de ecuaciones diferenciales en Mathematica es

NDSolve[ ]

La solucin numrica es un tipo de objeto de Mathematica llamado

InterpolatingFunction.

Para poder graficar la solucin, la ponemos dentro del nombre funcion[ ]:

Ahora ya podemos evaluar y graficar la solucin numrica:

Las soluciones numricas dependen de muchos parmetros, y pueden ser muy inexactas

si estos parmetros no son los asecuados. Por ello es recomendable estudiar el comando

NDSolve en la ayuda de Mathematica y tambin estudiar libros de mtodos numricos

para estar seguro de que la solucin numrica nos est dando informacin realmente til.

6 Grficas bidimensionales

Funciones explcitas

La frmula explcita de una funcin permite calcular la variable dependiente

(usualmente "y") cuando se conoce el valor de la variable independiente (usualmente x).

Por ejemplo la frmula y= .


nombres "x" y "y" que utilizaremos en esta prctica.

Dibujando ambas funciones con distintos estilos podemos distinguirlas

Tambin podemos dibujarlas con distintos grosores

Tambin podemos dibujarlas con distintos colores

Ecuaciones

En las funciones explcitas, la variable dependiente "y" est despejada, de tal manera

slo se obtiene un valor de la variable dependiente "y" para cada valor de la

independiente "x". En cambio las ecuaciones son relaciones entre las dos variables en

las cuales para cada valor de "x" puede haber muchos valores de "y".

Es necesario ejecutar el siguiente comando para cargar en la memoria de la

computadora los comandos para graficar ecuaciones. Ten cuidado de usar las comillas

correctas

Exponenciales

Problema:

Una poblacin de bacterias se tripica cada 4 horas. Si se comenzn con 100 bacterias,

grafique la poblacin como funcin del tiempo y aveige cuanto hay que esperar para

tener 5000 bacterias.

Solucin:

La frmula que obedece las condiciones del enunciado es:

p=(100)( )

A continuacin se grafica la poblacin como funcin del tiempo para las primeras ocho

horas:

A continuacin averiguamos cuando habr 5000 bacterias (recuerda que debes usar dos

signos igual):

Recuerda que en Mathematica "Log" significa logaritmo natural. El valor numrico es:

Es decir, hay que esperar 14.2435 horas para tener 5000 bacterias

La Exponencial base &ee;

Aqu est la grfica de la funcin exponencial base &ee;. Recuerda que debes utilizar la

"&ee;" de la paleta, no la "e" del teclado.

En lugar de la &ee; de la paleta puede usarse la "E" MAYSCULA del teclado:

Tambin puede usarse la notacin "Exp[x]"

Funciones logartmicas

En Mathematica, Log[ ] representa el logaritmo natural, es decir, la funcin inversa del

exponencial base &ee;

Para especificar un logaritmo con otra base, se escribe

Log[base,numero]

Por ejemplo, para averiguar a que nmero se tiene que elevar 3 para obtener 81 escribe

Es decir, para obtener 81 es necesario multiplicar 3 por si mismo cuatro veces:

3*3*3*3=81

Aqu se grafica el logaritmo base 10 de "x"

Funciones trigonomtricas

Aqu se grafica la funcin seno:

Podemos hacer que Mathematica marque las divisiones en el eje "x" como mltiplos de

/2 y en el eje "y" slo en -1 y en 1

A continuacin estn las otras funciones trigonomtricas bsicas:

La funcin coseno

La funcin tangente

Usando los puntos crticos de una funcin para graficarla

En el siguiente ejemplo aprenders algunos comandos relacionados con la definicin,

graficacin y derivacin de funciones, as como la solucin de ecuaciones, y el uso de

toda esta informacin para encontrar los rangos de valores en los ejes coordenados que

permiten realizar la mejor grfica de una funcin.

Definiendo y graficando una funcin.

Primero nos aseguramos que no haya informacin previa ni valor alguno metido en el

nombre "f", que es el que vamos a utilizar para nuestra funcin. Tambin vamos a

limpiar los nombres "x", "dibujo1", "dibujo2" y "derivada" que utilizaremos en esta

prctica.

ES MUY IMPORTANTE QUE COPIES EXACTAMENTE, INCLUYENDO EL

GUION LARGO _ SOLO EN EL LADO IZQUIERDO DEL PRIMER COMANDO

ASI COMO LOS DOS PUNTOS Y EL PUNTO Y COMA EN SU LUGAR:

lo que hicimos en el primer rengln fue definir la funcin "f", mientras que en el

segundo rengln el comando plot sirve para graficarla. Nota que se especific que se

graficara en el dominio de 0 a 10 dentro del comando plot.

Averiguando si hay un mejor dominio para graficar la funcin

En la grfica que se obtuvo, la funcin parece continuar creciendo y creciendo conforme

los valores de "x" aumentan. Ser esta una descripcin adecuada de esta funcin?.

Para averiguarlo, podemos calcular los valores crticos de la funcin, que son los

valores de "x" en los cuales la derivada de la funcin vale cero. Los valores crticos son

mximos, mnimos o puntos de inflexin de la funcin.

Primero obtenemos la derivada de la funcin mediante el comando D[ ], escribe:

este resultado a quedado guardado en la memoria de la computadora bajo el nombre

"derivada". Nota que la definicin de la funcin est en memoria bajo el nombre "f" y

por eso pudimos utilizarla en el comando D[ ].

Ahora vamos a averiguar los valores de "x" para los cuales la derivada es cero mediante

el comando Solve[ ].

ES IMPORTANTE USAR EN ESTE COMANDO DOS SIGNOS DE IGUAL "==".

Para graficar de -1 a 61 escribe:

Podemos notar que la funcin tiene ms estructura de la que se veia en el inciso anterior.

Sin embargo, esta grfica an se puede mejorar, como se muestra en el siguiente inciso.

Mejorando visualmente el dominio y el rango de la funcin.

La grfica del inciso anterior ya incluye los valores crticos en los cuales la derivada es

cero. Pero tambin es necesario saber como se comporta la grfica antes y despus de

esos valores, as que grafiquemos desde un nmero anterior al -1 hasta otro posterior al

61. Si escogemos graficar del -2 al 62 es poco probable que obtengamos ms

informacin, as que grafiquemos desde el -51 (restndole 50 al primer valor crtico)

hasta el 111 (sumndole 50 al segundo valor crtico):

En esta grfica ya se alcanza a observar que el valor crtico -1 corresponde a un mnimo

local de la funcin, mientras que el valor crtico 61 corresponde a un mximo local.

Tambin observa que Mathematica grafic una lnea casi vertical en x=30. Esta lnea es

incorrecta, ya que no forma parte de la funcin, porque la funcin tiene una asntota

vertical en x=30 (revisa la definicin de la funcin en el primer inciso).

Observa que Mathematica decidi que el eje "Y" debe ir de -400 a 400. Quizs se

obtenga una grfica que resalte ms la forma de la funcin si graficamos en un rango

ms pequeo, por ejemplo, le podemos indicar a Mathematica que grafique con un

rango en "Y" desde -250 a 100 mediante la opcin PlotRange adentro del comando Plot:

Eliminando la lnea casi vertical de la grfica

Al dibujar una grfica, Mathematica va uniendo con lneas a los puntos (x,f[x]). Por ello,

al unir un punto a la izquierda del x=30 con otro punto a la derecha del x=30,

Mathematica produce la lnea casi vertical que cruza en x=30. De hecho, la funcin

tiene una asntota en x=30 (ve la definicin de la funcin en el primer inciso).

Podramos quedarnos con la grfica del inciso anterior, recordando que la lnea casi

vertical no es parte de la funcin, ms bien es aproximadamente la asntota.

Por otro lado, si deseamos eliminar esta lnea del dibujo para quedarnos unicamente con

el dibujo correcto de la funcin, podemos realizar dos dibujos, uno de -51 hasta 30, al

cual llamaremos dibujo1, y otro de 30 hasta 111, al cual llamaremos dibujo2, y luego le

indicamos a Mathematica que los muestre juntos:

Como observaste obtuvimos tres grficas, las cuales son dibujo1, dibujo2 y por ltimo

las dos juntas.

Ejercicio

Para que valores de x tiene asntotas verticales la funcin? (Es decir, para que valores

de x se vuelve cero el denominador de la fraccin)

Encuentra la derivada de la funcin con respecto a x. Para qu valores de x se vuelve

cero la derivada?

Realiza una grfica de la funcin. Escoge el dominio (valores en x) y el rango (valores

en y) para que la grfica muestre claramente todas las caractersticas de la funcin

(asntotas, mximos, mnimos, curvatura, etc.)

Realiza una grfica como la anterior pero que las asntotas no sean dibujadas.

7 Grficas de funciones de dos variables

Graficando funciones que dependen de dos variables

Una funcin "z" que depende de dos variables "x","y", es una frmula que permite

calcular "z" si se conocen "x" y "y". Es decir, "z" est despejada.

Primero nos aseguramos que los nombres "x", "y", "z" no tengan nada

Otra forma de visualizar la funcin es obtener el diagrama de contorno, que es como un

mapa topogrfico, lo ms obscuro est ms abajo:

8 Otros tipos de grficas

Graficando ecuaciones de tres variables

Una ecuacin de tres variables, "x", "y", "z", es una relacin en la cual la variable "z" no

est necesariamente despejada,y a diferencia de la funcin, pueden haber diferentes

valores de "z" para el mismo (x,y)

Es necesario ejecutar el siguiente comando para cargar en la memoria de la

computadora los comandos para graficar ecuaciones con tres variables. Ten cuidado de

usar las comillas correctas

Hay varias opciones que permiten cambiar el aspecto del dibujo:

Aqu est el dibujo de otra cudrica:

Slidos de revolucin

Primero nos aseguramos que los nombres "x" y "u" no contiene ningn valor

Esta es una funcin que usaremos como ejemplo:

Primero cargamos la librera de Mathematica con los comandos para dibujar superficies

de revolucin:

Esta es la superficie generada cuando hacemos girar la funcin alrededor del eje y:

Esta es la superficie generada cuando hacemos girar la funcin alrededor del eje x:

Ejemplo de un slido de revolucin: Fabricando una pieza de ajedrez

Supn que estamos fabricando una pieza de ajedrez. Una de las piezas se puede generar

al hacer girar la siguiente funcin alrededor del eje x:

Primero define la funcin seccionada usando el comando "which"

Aqu puedes ver el dibujo de la funcin seccionada que creamos

Esta es la pieza de ajedrez generada cuando la funcin gira alrededor del eje "x":

Supn que necesitamos conocer la cantidad de material necesaria para construir la pieza

de ajedrez. Esa cantidad de material es el volumen, que se puede calcular con las

siguientes integrales (revisa "slidos de revolucin" en tu libro de clculo):

Si todas las unidades de la pieza de ajedrez estn en centmetros, entonces el volumen

calculado est en centmetros cbicos.

Ejercicio: La botella de refresco

Ejercicio:

a) Crea la frmula de una funcin seccionada tal que cuando sea girada alrededor del eje

x se genere la figura de una botella de refresco, como se muestra la figura ms abajo. Tu

botella de refresco debe ser de 24 centmetros de largo

b) Dibuja la botella usando el comando SurfaceOfRevolution

c) Calcula el volumen de la botella en centmetros cbicos

d) Convierte el volumen de la botella a litros

9 Animaciones

En esta prctica se muestra el ejemplo de una animacin de un objeto tridimensional (un

elipsoide) que despus es exportada a un archivo GIF animado, el cual a su vez puede

utilizarse en pginas de internet

Los siguientes comandos dibujan un elipsoide y lo guardan con el nombre "figura"

Los siguientes comandos crean una lista de imgenes rotadas. La lista se guarda con el

nombre "listarotacion"

Una vez que Mathematica haya terminado de dibujar todos los cuadros, oprime dos

veces con el ratn sobre uno de los cuadros. Mathematica mostrar la pelcula. Si la

pelcula es demasiado rpida, observa que abajo a la izquierda en la ventana de

Mathematica aparecen unos botones con los cuales puedes disminuir o aumentar la

velocidad.

10 Paquetes includos en Mathematica

Graficando un potencial elctrico debido a dos lneas de carga

Utilizaremos el potencial elctrico provocado por dos lneas de carga de distinto signo

en un espacio bidimensional para mostrar diferentes formas de graficar una funcin

f(x,y) que depende de dos variables.

Definiendo un potencial elctrico que depende de dos variables producido

por una lnea de carga

En un espacio limitado a dos dimensiones, el potencial elctrico que cumple la ley de

Gauss, que es medido en un punto (xa,ya) y que es provocado por una lnea de carga

situada en (xc,yc) tiene la siguiente frmula:

p=-ln[ ] (en unidades arbitrarias).

A continuacin se ve un esquema de la situacin, (x,y) representan la posicin desde

donde se observa el campo debdio a la lnea de carga.

Para definir enMathematicauna nueva funcin que calcule el potencial,que en esta

ocasin llamaremos pot2d,escribe el siguiente comando (ES MUY IMPORTANTE

QUE COPIES EXACTAMENTE, INCLUYENDO GUIONES, MINUSCULAS Y

MAYUSCULAS):

Mathematica no produce ningn resultado, pero ya tiene en su memoria la definicin de

la funcin pot2d.

As, para obtener la expresin del potencial en el punto (x,y) debido a una carga situada

en el punto (3,5) escribe el siguiente comando:

Este resultado es el potencial producido por una lnea de carga que cruza el plano en el

punto (3,5).

Definiendo un potencial producido por dos lneas de carga

Vamos a definir otra funcin que calcule el potencial que se "siente" en un punto (xb,yb)

de un plano debido a dos lneas de carga DE SIGNO DISTINTO, una situada en el

punto (-1,0) y otra situada en el punto (1,0), como se ve en la figura:

Para construir el potencial utilizamos la funcin pot2d que definimos en el inciso

anterior.



la funcin pot2cargas2d.

Este es el potencial producido por las cargas puntuales DE SIGNO DISTINTO

localizadas en (-1,0) y (1,0).

Graficando el potencial producido por dos lneas de carga

Nuestra funcin "pot2cargas2d" depende de dos variables, (x,y), las cuales dan la

posicin en la cul se est "midiendo" o "sintiendo" el potencial. Una grfica de esta

funcin nos puede indicar en que puntos el potencial produce una fuerza elctrica mayor

(que es en donde el potencial cambia bruscamente) y donde una fuerza menor (que es en

donde el potencial cambia muy poco).

Mathematica ofrece varias opciones para graficar. Exploremos primero la "grfica de

densidad".

Escribe:

En la grfica de densidad, los cuadros ms claros tienen valores mayores de potencial y

los cuadros ms obscuros tienen valores menores. Este tipo de grfica suele ser util para

hacer comparaciones con imgenes producidas por equipo de laboratorio (un ejemplo

que no es de potencial elctrico, es el de las imgenes de los bebs antes de nacer

producidas por los equipos de ultrasonido).

Otro tipo de grfica es la grfica de contornos.

Escribe:

En electricidad, a las lneas de contorno de un potencial se les llama "equipotenciales",

ya que a lo largo de toda una lnea el potencial es constante. La fuerza elctrica que

sentiria una tercera carga debido a las dos cargas iniciales sera perpendicular a las

lineas equipotenciales. Si en lugar de un potencial fuera un mapa topogrfico, las lneas

de contorno seran las lineas de igual altura.

Un tercer tipo de grfica es la grfica de tres dimensiones.

Escribe:

En este dibujo, la altura de la superficie corresponde al valor del potencial en ese punto.

La altura o la profundidad deberan ser infinitas exactamente en los puntos en donde

estn situadas las cargas que producen el potencial. En lugar de eso, el muestreo que

Mathematica hizo para producir la grfica produce una pequea montaa y un pequeo

valle en donde estn localizadas las cargas.

Graficando el gradiente de una funcin

El gradiente de una funcin "f " que depende de dos variables esta dado por el vector:

&Del;f=

Este vector apunta en la direccin que "f " cambia ms rapidamente. Para un potencial,

esta es tambin la direccin en que apunta la fuerza producida por el potencial. As, una

grfica del gradiente del potencial elctrico es de hecho una grfica del campo de fuerza

elctrico correspondiente a ese potencial.

Primero cargamos los comandos necesarios para graficar el gradiente

A continuacin se dibuja el gradiente. Los parmetros ScaleFactor y MaxArrowLength

sirven para evitar que algunas flechas sean demasiado grandes o demasiado pequeas.

Ejercicio

Define la funcin pot3 la cual de el potencial debido a tres lneas de carga, una positiva

en el punto (-1,0), otra negativa en (0,1) y otra positiva en (2,2).

Haz los dibujos de densidad, de contorno y de tres dimensiones del potencial pot3 que

acabas de definir

Haz el dibujo del campo de fuerza de ste potencial. Ajusta los parmetros ScaleFactor

y MaxArrowLength tal manera que las flechas se vean mejor.

Graficando un potencial elctrico debido a dos cargas puntuales

Utilizaremos el potencial elctrico provocado por dos cargas de distinto signo para

mostrar como se puede graficar un campo de fuerza presente en un espacio de tres

dimensiones. Usaremos tambin animacin para visualizar mejor la forma del campo.

Definiendo un potencial producido por una carga

En el espacio tridimensional, el potencial elctrico que cumple la ley de Gauss, que es

medido en un punto (xa,ya,za) y que es provocado por una carga puntual situada en

(xc,yc,zc) tiene la siguiente frmula:

p= (en unidades arbitrarias).

Para definir en Mathematica una nueva funcin, a la cual llamaremos pot3d, que calcule

este potencial, escribe en Mathematica el siguiente comando (ES MUY IMPORTANTE

QUE COPIES EXACTAMENTE, INCLUYENDO GUIONES, MINUSCULAS Y

MAYUSCULAS):


la funcin pot3d.

As, para obtener la expresin del potencial en el punto (x,y,z) debido a una carga

situada en el punto (3,5,1) escribe el siguiente comando:

el cual es el potencial producido por una carga puntual localizada en (3,5,1).

Definiendo un potencial producido por dos cargas puntuales

Vamos a definir otra funcin que calcule el potencial que se "siente" en un punto

(xb,yb,zb) debido a dos cargas DE SIGNO DISTINTO, una situada en el punto (-1,0,0)

y otra situada en el punto (1,0,0). Para ello utilizamos la funcin pot3d que definimos en

el inciso anterior.



la funcin pot2cargas3d.

As, para obtener la expresin del potencial en el punto (x,y,z) debido a las dos cargas,

escribe el siguiente comando:

el cual es el potencial producido por las cargas puntuales DE SIGNO DISTINTO

localizadas en (-1,0,0) y (1,0,0).

Graficando el gradiente de una funcin de tres variables

Para cargar en la memoria de la computadora el paquete que permite graficar un

gradiente en tres, escribe el siguiente comando:

Mathematica no produce ningn resultado, pero ya tiene en memoria los comandos que

necesitamos.

Escribe ahora:

Con el comando ContourPlot3D podemos graficar las superficies equipotenciales

(superficies de nivel) del potencial:

Aqu se han modificado algunas opciones para resaltar las superficies:

11 Navegacin en el "Help" de

Mathematica

Utiliza la ayuda para averiguar como se calcula la Transformada de Laplace en

Mathematica. Calcula la transformada de Laplace de f(t)=t+t^2+Cos[t]

Utiliza la ayuda para averiguar como se calcula la Transformada de Fourier en

Mathematica. Averigua (en la ayuda) y comenta sobre las diferencias que hay entre las

diferentes convenciones para la definicin de la Transformada de Fourier usadas en

Matemticas Puras, Fsica Clsica, Fsica Moderna, Procesamiento de seales e

ingeniera de sistemas. Averigua cual de todas esas convenciones es la que usa

Mathematica.

Calcula la transformada de Fourier de f(t)=Cos[t]+Sin[6t]

12 Introduccin a la programacin en

Mathematica

Enseando nuevos comandos a Mathematica

Es posible ensearle a Mathematica nuevas funciones. En esta prctica supondremos

que Mathematica no sabe integrar, entonces crearemos una nueva funcin, "integral", a

la cul le daremos poco a poco las propiedades de la integracin

La nueva funcin "integral"

Mathematica puede hacer integrales mediante su poderoso comando "Integrate". Sin

embargo, supongamos que Mathematica no supiera integrar, y que se lo vamos a

ensear creando una nueva funcin a la cual llamaremos "integral". Nota que el nombre

de esta nueva funcin comienza con minscula. Es una buena idea que las nuevas

funciones y variables que creamos en Mathematica comiencen con minsculas, para

distinguirlas facilmente de las funciones y variables originales de Mathematica, las

cuales comienzan con mayscula.

Primero nos aseguramos que no haya informacin previa ni valor alguno metido en el

nombre "integral", que es el que vamos a utilizar para nuestra funcin. Tambin vamos

a limpiar los nombres de variables que utilizaremos en esta prctica.

Para comprobar que no hay nada con el nombre "integral", le solicitamos a Mathematica

informacin sobre la funcin "integral". Escribe el siguiente comando:

Mathematica nos indic que el nombre "integral" no contiene ningn valor.

Para ver que hace Mathematica con una funcin desconocida, escribe el comando:

es decir, Mathematica da como resultado el mismo comando como introducimos, ya que

no tiene ninguna informacin acerca de las propiedades de la funcin "integral". Como

ves, hemos elegido que nuestra funcin integral tenga dos argumentos, el primero ser

la expresin a integrar y el segundo la variable de integracin.

Introduciendo la linealidad en la funcin "integral"

Ahora vamos a ensearle a Mathematica que la integral de una suma es igual a la suma

de las integrales. Es decir, vamos a ensearle a Mathematica que .

ESCRIBE EL SIGUIENTE COMANDO, RECUERDA QUE ES MUY

IMPORTANTE QUE COPIES EXACTAMENTE, INCLUYENDO LOS GUIONES

LARGOS _ SOLO EN EL LADO IZQUIERDO DEL IGUAL, ASI COMO LOS DOS

PUNTOS.

En este caso Mathematica no produce ningun resultado, pero ahora Mathematica sabe

esta nueva regla.

Para comprobarlo, escribe el comando:

Mathematica convirti a la integral de la suma en la suma de las integrales. Ahora

vamos a ensearle a Mathematica que una constante multiplicando sale de la integral, es

decir =c .


Este comando intruye a Mathematica a sacar multiplicando a las constantes que no

dependen de x. Mathematica no produce ningun resultado, pero ahora Mathematica sabe

esta nueva regla.

Para comprobarlo, escribe el comando:

Mathematica convirti a la integral de la suma en la suma de las integrales y luego sac

las constantes. Juntas, ambas reglas constituyen la propiedad de linealidad:

,con a y b constantes.

Integracin de una constante

Ahora le ensearemos a Mathematica que .


Mathematica no produce ningn resultado, pero ya sabe como integrar una constante.

Integracin de con n diferente de -1

Ahora le ensearemos a Mathematica que para "n" diferente de "-1".

Escribe el siguiente comando (ES IMPORTANTE EL PUNTO PEGADO AL GUION

EN LA ENE: "n_.", PARA QUE SE INCLUYA EL CASO EN QUE ENE VALE

UNO):

Mathematica no produce ningn resultado, pero ya sabe como integrar .

Para comprobarlo escribe el comando:

Integracin de 1/(a * x + b)

Ahora le ensearemos a Mathematica que para "a" y "b"

constantes

Escribe el siguiente comando (ES IMPORTANTE EL PUNTO PEGADO AL GUION

EN LA A: "a_." Y EN LA B: "b_." , PARA QUE SE INCLUYAN LOS CASOS EN

QUE A VALE UNO Y/O B VALE CERO):

Mathematica no produce ningn resultado, pero ya sabe como integrar 1/x.

Para comprobarlo escribe el comando:

Nota: En caso de que no obtengas el resultado correcto, quizs hayas introducido alguna

regla equivocada. La forma ms sencilla de corregir es repetir todo desde el

Clear[integral], que borra toda la informacin en el nombre integral, y escribiendo y

evaluando otra vez todas las reglas.

Probando la nueva funcin "integral"

Con las reglas que se han incluido en la funcin "integral" es ahora posible integrar

expresiones como .

Escribe el siguiente comando

Vamos a solicitar informacin acerca de la funcin integral

Oprime Shift-Enter, Qu resultado da Mathematica?

Ejercicio

Enseale a Mathematica que ; SIEMPRE Y CUANDO "a"

Y "b" NO DEPENDAN DE "x".

Integra algunas funciones ejemplo para mostrar que le enseaste bien a Mathematica.

Diseando un comando para calcular impedancias

Exploraremos el uso de los comandos "Map" y "Apply". Los usaremos para definir una

funcin que calcule impedancias de circuitos electricos en serie, en paralelo y en

combinaciones.

El comando Apply

El comando "Apply" permite aplicar una funcin a una lista. Como ejemplo, para

aplicar "mifuncion" a la lista "{a,b,c}"


nombres "a","b" y "c" que utilizaremos en esta prctica.

un caso particular importante es cuando aplicamos la funcin "Plus", que indica una

suma.

Escribe:

Es diferente de cuando se uso "mifuncion"? De hecho es lo mismo, solo que Plus[a,b,c]

es la manera en que Mathematica representa internamente a+b+c. Cuando Mathematica

muestra al usuario los resultados, los transforma de su notacin simblica (Plus[a,b,c])

en notacin matemtica (a+b+c).

El comando Map

El comando Map es similar al comando Apply, pero aplica la funcin a cada miembro

de la lista.

Como ejemplo escribe:

Compara este resultado con el resultado que se habia obtenido con "Apply" en el inciso

anterior.

Escribe el siguiente comando

Para crear una lista en la que cada elemento sea del tipo "mifuncion[mivar,a]" en lugar

de "mifuncion[mivar][a]" hay que introducir un comando como el siguiente:

Propiedades de la impedancia elctrica

Vamos a crear una funcin que pueda calcular la impedancia de un circuito formado por

resistencias, capacitores e inductancias. La impedancia de elementos en serie es la suma

de sus impedancias:

z=

La impedancia de elementos conectados en paralelo est dada por

z=

La impedancia de un resistor es z=R; la de un capacitor es

z=

y la de una inductancia es

z=iL.

Definicin de los smbolos que utilizaremos

Vamos a representar una resitencia de "r" Ohms por el smbolo "resistor[r]". As una

resistencia de 8 Ohms sera "resistor[8]". De forma similar tendremos los smbolos

"capacitor[c]" y tambin "inductor[L]". Elementos conectados en serie sern

representados por "serie[{e1,e2,e3...}]" y los elementos conectados en paralelo sern

representados por "paralelo[{e1,e2,e3...}]".

Con lo anterior, un circuito que tenga dos resistencias "r1" y "r2" en paralelo y estas a

su vez en serie con un capacitor "c" ser representado por el siguiente smbolo:

serie[{capacitor[c], paralelo[{resistor[r1], resistor[r2]}]}].

Cmo es el dibujo de este circuito?

La funcin para calcular impedancias la llamaremos "impedancia[e,w]", en donde el

primer parametro "e" ser de hecho una combinacin de elementos en serie y paralelo, y

el segundo parmetro "w" es la frecuencia de corriente alterna a la cual est

funcionando el circuito.

As, la impedancia del circuito anterior a una frecucencia "w" sera:

impedancia[serie[{capacitor[c], paralelo[{resistor[r1],resistor[r2]}]}], w]

Creando la funcin impedancia

Ahora hay que decirle a Mathematica como debe funcionar la funcin impedancia.

Asegurmonos que el nombre "impedancia" no contiene nada:

Primero indiquemosle como funcionar ante elementos en serie. Escribe (Reconoces

como trabajan en este caso los comandos Apply y Map?):

Mathematica no produce ningn resultado pero ya sabe como calcular impedancias en

serie.

Para comprobarlo escribe el siguiente ejemplo:

Para introducir la regla para elementos en paralelo escribe:(Reconoces como trabajan

en este caso los comandos Apply y Map?).

Mathematica no produce ningn resultado pero ya sabe como calcular impedancias en

paralelo

Para comprobarlo escribe el siguiente ejemplo:

Ahora introduzcamos el funcionamiento de la funcin impedancia para los elementos

individuales.

Escribe (La letra "i" tiene que ser la de la paleta, que es el imaginario "&ii;"):

Ahora Mathematica ya tiene toda la informacin para calcular impedancias. Por ejemplo,

para calcular la impedancia de un circuito que tenga dos resistencias "r1" y "r2" en

paralelo y estas a su vez en serie con un capacitor "c"

Escribe:

Ejercicio

Usa la funcin creada en esta prctica para calcular la impedancia de un circuito con

una inductancia s=4 en paralelo con una capacitancia c=3, y todo eso en serie con una

resistencia r=2, y todo el circuito esta conectado a una fuente de corriente alterna de

frecuencia w=60.

Crea otros dos circuitos junto con sus dibujos y calcula sus impedancias.

Describe como funcionan los comandos Map y Apply en la definicin de impedancias

en serie y en paralelo.

13 Mathematica trabaja con nmeros

complejos

Mathematica dice que la raz cbica de -8 es compleja!

Aqu tenemos el clculo de una raz cuadrada

Aqu tenemos el clculo de una raz cuadrada de un nmero negativo

Todo va bien, un nmero negativo tiene una raz cuadrada imaginaria. Sin embargo

nosotros sabemos que las races cbicas son reales, por ejemplo la raz cbica de -8 es -

2, ya que

(-2)(-2)(-2)=-8

as que esperamos que Mathematica nos diga que la raz cbica de -8 es -2

Sin embargo...

Mathematica report un nmero complejo!

Esto es porque en nmeros complejos todo nmero tiene tres races cbicas, y en el caso

de los nmeros negativos su raz cbica principal es un nmero complejo.

Para obtener las tres races cbicas de -8 ejecuta los siguientes comandos. Es muy

importante que escribas dos signos de igual juntos!

Supongamos que construyes un programa o comando en Mathematica donde es

necesario que al calcular la raz cbica de -8 se obtenga -2. Puedes forzar a Mathematica

a reportar nmeros reales cargando el paquete RealOnly

Escribe el siguiente comando y oprime Shift-Enter. Ten cuidado de usar las comillas

correctas.

Mathematica no produce ningn resultado al cargar la librera (a menos que hayas

escrito algo incorrecto), pero ahora cambian los resultados de sus clculos:

ADVERTENCIA: Mathematica necesita trabajr con nmeros complejos, por ello al

cargar la librera RealOnly otros comandos pueden funcionar mal. En otras palabras, usa

la librera RealOnly slo si es realmente necesario

Converted by Mathematica January 4, 2004

Curso Básico de Mathematica

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