Análisis Tiempo-Frecuencia - Procesam. Digital de...

Análisis Tiempo-Frecuencia

por Leandro Di Persia

Unidad X- Análisis tiempo-frecuencia

• Introducción - motivación

• Transformada de Fourier de Tiempo corto

• Diferentes ventanas - Transformada de Gabor

• Principio de Incertidumbre - Resolución temporal y frecuencial

• Redundancia de la STFT

• Transformada Wavelet continua y discreta

Distribución de Wigner - Ville

Introducción - Motivación

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.5

0

0.5

1A=sin(2*pi*5*t)

tiempo (seg)-50 0 500

100

200

300

400

500Transformada de fourier de A

frecuencia (Hz)

Mag

nitu

d

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.5

0

0.5

1B=sin(2*pi*10*t)


100

200

300

400

500Transformada de fourier de B

frecuencia (Hz)

Mag

nitu

d


0 0.5 1 1.5 2-1

-0.5

0

0.5

1C=[A B]


100

200

300

400

500

600Transformada de fourier de C

frecuencia (Hz)

Mag

nitu

d

0 0.5 1 1.5 2-1

-0.5

0

0.5

1D=[B A]


100

200

300

400

500

600Transformada de fourier de D

frecuencia (Hz)

Mag

nitu

d


0 0.5 1 1.5 2-2

-1

0

1

2E=A+B


200

400

600

800

1000

1200Transformada de fourier de E

frecuencia (Hz)

Mag

nitu

d

0 0.5 1 1.5 2-1

-0.5

0

0.5

1F=[2*A 2*B]


200

400

600

800

1000

1200Transformada de fourier de F

frecuencia (Hz)

Mag

nitu

d


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1

-0.5

0

0.5

1Señal con modulacion en frecuencia lineal (parte real)

tiempo (seg)

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 500

5

10

15

20Transformada de Fourier de la señal

Frecuecnia (Hz)

Mag

nitu

d

Motivación• No alcanza con conocer la información de

frecuencias → se necesita información sobre los tiempos en los que ocurren esas frecuencias

• Fourier → no hay información de tiempo

• Ocurre en señales no estacionarias (parámetros variables en el tiempo)

• Otro ejemplo: el ejercicio de la guía de TF en el que había que determinar el momento en que se tocaba una nota

Motivación

0 0.5 1 1.5 2-1

-0.5

0

0.5

1C1=[A B].*V1

-50 0 500

100

200

300

400Transformada de Fourier de C1

Mag

nitu

d

0 0.5 1 1.5 2-1

-0.5

0

0.5

1C2=[A B].*V2

-50 0 500

50

100

150


Mag

nitu

d

0 0.5 1 1.5 2-1

-0.5

0

0.5

1C3=[A B].*V3


100

200

300


frecuencia (Hz)

Mag

nitu

d

Transformada de Fourier de tiempo Corto (STFT)

Dada una ventana real simétrica, tal que

Se genera una base al desplazarla y modularla con una frecuencia ξξξξ, y se obtiene un “átomo tiempo-frecuencia”:

Suponiendo que ha sido normalizada de forma que , la STFT o Transformada de Fourier Ventaneada se obtiene mediante el producto interno :

( ) ( )g t g t= −

, ( ) ( )i tug t e g t uξ

ξ = −, ( ) 1ug tξ =

,( ), ( )uf t g tξ

*,( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) i t

uSf u f t g t dt f t g t u e dtξξξ

∞ ∞ −

−∞ −∞= = −∫ ∫


• STFT → función de dos variables, gráfico en 3D

• Gráficos en escalas de colores, vistos desde arriba

• Se suele graficar el “Espectrograma” en lugar de la STFT, definido de la siguiente forma:

Es una función de densidad de energía

22

( , ) ( , ) ( ) ( ) i tPsf u Sf u f t g t u e dtξξ ξ∞ −

−∞= = −∫

Espectrograma de una señal de voz


En el caso discreto, tenemos las siguientes ecuaciones equivalentes :

[ ] [ ]2

,

i ln

Nm lg n g n m e

π−

= −

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]21

,0

, ,i lnN

Nm l

n

Sf m l f n g n f n g n m eπ−−

=

= = −∑

[ ] [ ] [ ] [ ]221

2

0

, ,i lnN

N

n

Psf m l Sf m l f n g n m eπ−−

=

= = −∑


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

50

100

150

200

Frecuencia

Tiempo

|Sf(u

,w)|2


Time

Freq

uenc

y

-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Transformada de Fourier de tiempo Corto (STFT)• Para la STFT son válidas las siguientes

fórmulas de reconstrucción:

1( ) ( , ) ( )

2i uf t Sf u g t u e d duξξ ξ

π∞ ∞

−∞ −∞= −∫ ∫

[ ] [ ] [ ]21 1

0 0

1,

i lnN NN

m l

f n Sf m l g n m eN

π−− −

= =

= −∑∑

Diferentes ventanas -Transformada de Gabor

• Los ejemplos anteriores fueron generados a partir de una ventana g(t) cuadrada

• Otras ventanas: Hanning, Hamming, Blackman, etc.

• En el trabajo original de Gabor, la ventana usada era una Gaussiana, y a la STFT con esta ventana se le llama Transformada de Gabor en su honor.

218

2( )t

gaborg t e−

=

Ej.: Átomo tiempo-frecuencia

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1Ventana Gaussiana

tiempo (seg)

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 200

50

100

150

200Transformada de Fourier de la ventana

frecuencia (Hz)

Mag

nitu

d


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1

-0.5

0

0.5

1Senoidal de 10 Hz

tiempo (seg)

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 200

100

200

300

400

500Transformada de Fourier de la senoidal

frecuencia (Hz)

Mag

nitu

d


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1

-0.5

0

0.5

1Atomo tiempo frecuencia

tiempo (seg)

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 200

20

40

60

80

100Transformada de Fourier del Atomo

frecuencia (Hz)

Mag

nitu

d

Diferentes ventanas -Transformada de Gabor

Time

Freq

uenc

y

Hanning

0 0.2 0.4 0.6 0.80

10

20

30

40

Time

Freq

uenc

y

Hamming

0 0.2 0.4 0.6 0.80

10

20

30

40

Time

Freq

uenc

y

Blackman

0 0.2 0.4 0.6 0.80

10

20

30

40

Time

Freq

uenc

y

Bartlett

0 0.2 0.4 0.6 0.80

10

20

30

40

Time

Freq

uenc

y

Cuadrada

0 0.2 0.4 0.6 0.80

10

20

30

40

Time

Freq

uenc

y

Gabor

0 0.2 0.4 0.6 0.80

10

20

30

40

Principio de Incertidumbre -Resolución tiempo-frecuencia

• Las transiciones en el tiempo no se conocen con exactitud

• Mas resolución temporal: ventanas mas chicas, mayor cantidad de ventanas

• “Soporte compacto”: una ventana que permite concentrarse en una región determinada

• Pero, ¿cómo se traduce esto en el dominio frecuencial?

• En los ejercicios de Fourier se vio que las funciones muy localizadas en el tiempo tendían a tener espectros deslocalizados

Resolución tiempo-frecuencia

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1Ventana Gaussiana

tiempo (seg)-20 -10 0 10 200

100

200

300

400


frecuencia (Hz)

Mag

nitu

d

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1Ventana Gaussiana

tiempo (seg)-20 -10 0 10 200

50

100

150


frecuencia (Hz)

Mag

nitu

d


• Estas ideas aparecen expresadas en el principio de Incertidumbre de Heisemberg:

La varianza temporal σσσσt y la varianza frecuencial σσσσωωωω de una función satisface la siguiente inecuación( )2( ) Lf t ∈ ℝ

(Recordar que la varianza mide el grado de dispersión de un proceso aleatorio con respecto a la media)

1

2t ωσ σ ≥


• Dada una ventana g(t), la inecuación se convierte en igualdad

• Para cada valor de u y ξ, hay un rectángulo de incertidumbre de lados σt y σω, con área de al menos 1/2.

• En la STFT la función g(t) permanece siempre igual (solo se desplaza en el tiempo) ⇒Resolución uniforme tanto en tiempo como en frecuencia

Localización

• Tiempo medio

• Frecuencia media

• Varianza temporal

• Varianza frecuencial

21( )m

f

t t f t dtE

∞

−∞= ∫

21( )m

f

F dE

ω ω ω ω∞

−∞= ∫

224( ) ( )t m

f

t t f t dtE

πσ∞

−∞= −∫

224( ) ( )m

f

F dEωπσ ω ω ω ω

∞

−∞= −∫

Tiempo

Fre

cuen

cia

(b) Plano Tiempo-Frecuencia

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 (a) Dominio de la Frecuencia

| FFT(WaveletPacket(3,3,7))|

Fre

cuen

cia

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -0.5

0

0.5

1 (c) Dominio del Tiempo

Wa

vele

tPa

cket

(3,3

,7)

Tiempo

Átomo Tiempo-FrecuenciaCaso general


• Caso discreto: Resolución temporal limitada por la longitud temporal de la ventana: ∆t = Tvent

• Resolución frecuencial está también limitada por ésta longitud: ∆f = 1/Tvent

• Por lo tanto tenemos: ∆t ∆f = 1

• No podemos mejorar una salvo que empeoremos la otra.


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

10

20

30

40

Tiempo

Frec

uenc

ia

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

10

20

30

40

Tiempo

Frec

uenc

ia

Resolución

Redundancia de la STFT

• u varia continuamente → parte de la información en una u siguiente habrá estado en la ventana de análisis anterior

• Esta propiedad de contener repetida la información se denomina redundancia

• Esto genera una representación sobrecompletade la señal

*,( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) i t

uSf u f t g t dt f t g t u e dtξξξ

∞ ∞ −

−∞ −∞= = −∫ ∫


• Caso discreto, podemos manejar la redundancia, haciendo que el desplazamiento m en vez de ser cualquier entero, varíe de a saltos

• Si tomamos esos saltos iguales a la longitud temporal de la ventana, no existe redundancia

• Esto se puede evaluar contando el número de coeficientes de la representación. Si es mayor que los de la señal original, hay información repetida

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]21

,0

, ,i lnN

Nm l

n

Sf m l f n g n f n g n m eπ−−

=

= = −∑

Ej.: Numero de teléfono

Time

Fre

quen

cy

0 1 2 3 4 5 6 7 8

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

1300

1400

1500

Ej.: Nota La

Time

Fre

quen

cy

1 2 3 4 5 6

600

800

1000

1200

1400

1600

Ejemplos simples

Transformada Wavelet• Una ondita (wavelet) es una función que tiene una

duración limitada en el tiempo y tiene valor medio cero.

• Familias de onditas (Coifflets, Daubechies, Haar, etc) con propiedades que las hacen apropiadas para diversos procesamientos.

• A partir de una wavelet madre, se obtienen “atomos tiempo-escala” análisis por compresión y dilatación, y desplazamiento en el tiempo.

• Análisis similar al de la STFT, descomponiendo la señal en términos de éstos átomos.

Transformada Wavelet

-10 -5 0 5 10-1

0

1

2Meyer

-4 -2 0 2 4-1

0

1Morlet

0 0.5 1 1.5-2

0

2Haar

0 5 10 15-2

-1

0

1Daubechies

0 5 10 15 20 25 30-1

0

1

2Coifflets

0 5 10 15-1

0

1

2Symlets


0 20 40 60 80 100 120-1

-0.5

0

0.5

1Wavelet Daubechies 8

n

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

1

2

3

4

5

6Espectro

w (radianes)


0 20 40 60 80 100 120-1

-0.5

0

0.5

1Wavelet Symlets 8

n

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

2

4

6Espectro

w (radianes)

Transformada Wavelet Continua (CWT)Una wavelet es una función con valor medio igual a cero, norma unitaria y centrada en la vecindad de 0:

2( ) L ( ); ( ) 0; ( ) 1t t dt tψ ψ ψ+∞

−∞∈ = =∫ℝ

A partir de ésta, obtenemos por escalado y traslación el átomo tiempo-escala:

,

1( )u s

t ut

ssψ ψ − =

La transformada Wavelet continua será:

( )*1,( , ) ( ), ( ) ( ) t u

u s ssWf u s f t t f t dtψ ψ

+∞−

−∞= = ∫

Onditas: escala y localización

( ),

1u s

t ut

ssψ ψ − = ⋅

Transformada Wavelet Continua

Transformada Wavelet ContinuaSymlets 8

time (or space) b

sca

les

a

20 40 60 80 1 4 7101316192225283134374043

Daubechies 8

time (or space) b

sca

les

a

20 40 60 80 1 4 7101316192225283134374043

Morlet

time (or space) b

sca

les

a

20 40 60 80 1 4 7101316192225283134374043

Meyer

time (or space) b

sca

les

a

20 40 60 80 1 4 7101316192225283134374043

Transformada Wavelet Discreta (DWT)Para calcular la versión discreta, se evalúa en las escalas s=aj con a=21/v, lo que hace que en cada intervalo [2j,2j+1] haya v valores intermedios. La función wavelet resulta:

1[ ]j jj

nn

aaψ ψ =

La Transformada wavelet discreta resulta entonces:

1*

0

[ , ] [ ] [ ]N

jj

m

Wf n a f m m nψ−

=

= −∑Donde aj pertenece a [2N-1,K-1] y K es el soporte de ψ (es distinta de 0 en el intervalo [-K/2,K/2])

Resolución

• También cumple con el principio de incertidumbre de Heisemberg

• La resolución no es uniforme en el plano t-f,

• Bajas frecuencias: mayor resolución frecuencial pero peor temporal

• Altas frecuencias la resolución temporal mejora, a costa de perder resolución frecuencial.

Resolución

Transformada Wavelet Diádica (DDWT)

• Si se restringe el valor de a de manera que a=2, se obtiene la transformada WaveletDiádica

• Esta transformada no se evalúa siguiendo la ecuación de la transformada discreta, sino que se utiliza un algoritmo basado en filtrado pasabajos y pasaaltos con filtros especiales derivados de la wavelet madre

Transformada Wavelet Diádica

Comparación Discreta-DiádicaDiscrete Transform, absolute coefficients.

j=lo

g2(s

) (s

=2j )

Tiempo5 10 15 20 25 30

1

2

3

4

5

Absolute Values of Ca,b Coefficients for a = 1 2 3 4 5 ...

time (or space) b

sca

les

a

10 20 30 40 50 60 70 80 90 1 3 5 7 91113151719212325272931

Comparación Discreta-Diádica

0 100 200 300 400 500 6000

0.01

0.02Analyzed signal.

Discrete Transform, absolute coefficients.

j=lo

g2(s

) (s

=2j )

Tiempo50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

1

2

3

4

5

Absolute Values of Ca,b Coefficients for a = 1 2 3 4 5 ...

time (or space) b

sca

les

a

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 1 3 5 7 91113151719212325272931

ComparaciónEspectrograma –DDWT

Aplicaciones

• Denoising

• Compresión

• Análisis multirresolución

• Reconocimiento del habla

• Detección de frecuencia instantánea

• Fractales

• Etc.

Cuadriculas tiempo-frecuencia

Dirac Fourier

t

f

STFT (banda ancha) STFT (banda angosta)

Cuadrículas tiempo-frecuencia

WD WP

t

f

Ejemplos

Distribución de Wigner-Ville

• Otra de las representaciones tiempo-frecuencias clásicas para el análisis de señales

• Ventana: versión desplazada de la misma señal.

• Se analiza comparando la información de la señal con su propia información en otros instantes


Se define como:

Su versión discreta esta dada por:

Como ésta requiere conocer los valores en muestras intermedias, se recurre a una interpolación en frecuencias agregando ceros entre cada muestra

( ) *,2 2

ivP f u f u f u e dξττ τξ τ

∞ −

−∞

= + −

∫

[ ]21

*,2 2

i kpNN

vp N

p pP f n k f n f n e

π−−

=−

= + − ∑

Propiedades • Preserva desplazamientos en el tiempo y en

frecuencia (covarianza tiempo-frecuencia)

• Conserva el soporte

• Conserva la energía:

• Conserva las energías marginales

( , )f vE P f u dudξ ξ∞ ∞

−∞ −∞= ∫ ∫

2

2

( , ) ( )

( , ) ( )

v

v

P u du F

P u d f u

ξ ξ

ξ ξ

∞

−∞

∞

−∞

=

=

∫

∫


Time

Freq

uenc

y

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

5

10

15

20

25

30

35

40

45


• Desventaja: al ser cuadrática con respecto a f, si f= f1+f2, aparecen términos de intereferencia:

Donde

[ ] [ ]1 2 1 2 2 1, ,v v v v vP f P f P f P f f P f f= + + +

[ ]( ) *, ,2 2

ivP h g u h u g u e dξττ τξ τ

∞ −

−∞

= + −

∫

Ej.: FM lineal

10

20

30

40

50

60

tiempo (muestras)

Fre

cunc

ia n

orm

aliz

ada

Distribucion de Wigner-Ville

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

20

40

60

80

100

120

tiempo (muestras)

Fre

cunc

ia n

orm

aliz

ada

Espectrograma

10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Ej,: FM lineal

10

20

30

40

50

60

tiempo (muestras)

Fre

cunc

ia n

orm

aliz

ada


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

20

40

60

80

tiempo (muestras)

Fre

cunc

ia n

orm

aliz

ada

Espectrograma

10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Ej.: FM lineal

10

20

30

40

50

60

tiempo (muestras)

Fre

cunc

ia n

orm

aliz

ada


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

10

20

30

40

tiempo (muestras)

Fre

cunc

ia n

orm

aliz

ada

Espectrograma

10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Ej.: FM lineal

10

20

30

40

50

60

tiempo (muestras)

Fre

cunc

ia n

orm

aliz

ada


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

5

10

15

20

tiempo (muestras)

Fre

cunc

ia n

orm

aliz

ada

Espectrograma

10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Clases de Cohen• Una familia de distribuciones cuadráticas

tiempo-frecuencia• Cumplen con covarianza tiempo-frecuencia• Dadas por:

donde h se denomina “función de parametrización

( ) ( )2 ( ) 2( , ; ) ( , ) 2 2i s t i vfC t v h e h f s f s e d dsdπξ π τξ τ τ τ ξ τ

∞ − −

−∞= + −∫ ∫ ∫

Clases de Cohen

• La ecuación anterior se puede escribir:

• Esta puede verse como un “promediado” con el kernel de promedación dado por Π

2 ( )

( , ; ) ( , ) ( , )

donde

( , ) ( , )

f v

i v t

C t v t s v P f s dsd

t v h e dtdvπ τ ξ

ξ ξ ξ

ξ τ

∞ ∞

−∞ −∞

∞ ∞ − +

−∞ −∞

Π = Π − −

Π =

∫ ∫

∫ ∫

Clases de Cohen

• Usando un kernel particular, se obtiene el ESPECTROGRAMA:

• Con otras formas de kernel de promediaciónse obtienen otras distribuciones utilizadas.

• Estas promediaciones logran reducir o incluso anular los términos de interferencia

( , ) ( , ) ( , )s v vP f t v P g s t v P f s dsdξ ξ ξ∞ ∞

−∞ −∞= − −∫ ∫

Distribución de Choi-Williams

• Una clase de distribuciones se obtiene si el kernel es de la forma:

• La distribución de Choi-Williams se obtiene a partir del kernel:

( , ) ( )h ξ τ ξτ= Φ

2

2

( )

2( , )h eπξτ

σξ τ−

=

Kernel de Choi-Williams

Bibliografía recomendada

• S. Mallat, A wavelet tour of signalprocessing, Academic Press, 1999, Cap. 4

• G. Strang y T.Nguyen, Wavelets and FilterBanks, Wellesley-Cambridge Press, Secciones 2.4 a 2.6

• Documentación del toolbox Wavelab de Matlab

Análisis Tiempo-Frecuencia - Procesam. Digital de...

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