Analisis_Sensibilidad

Investigación de operaciones Análisis de Sensibilidad

INTRODUCCION

La utilidad del Análisis de Sensibilidad en los modelos de programación lineal

consiste, en que permite una interpretación razonable de los resultados ya obtenidos.

Una vez comprendido el significado de los elementos de la matriz, el análisis se vuelve

lógico y directo. En muchos casos la información obtenida por la aplicación del Análisis

de Sensibilidad, puede ser mucho más importante y mucho más informativa que el

simple resultado obtenido en la solución óptima. En cierto sentido, el Análisis de

Sensibilidad convierte la solución estática de programación lineal en un instrumento

dinámico que evalúa las condiciones cambiantes. Por tanto, adquiere mayor utilidad

como instrumento administrativo ya que los negocios y la industria están sometidos a

cambios continuos y a una subsiguiente reevaluación.

Un nuevo problema puede diferir del original en uno o varios de los siguientes

cambios que pueden ocurrir simultáneamente:

Cambios en el vector b, o sea cambios en la disponibilidad de recursos.

Cambios en el vector C, o sea cambios en los precios o costos unitarios.

Cambios en la matriz A, o sea, cambios en los coeficientes tecnológicos aij.

Cambios en el vector X, o sea cambios en el número de actividades.

Cambios en el número de restricciones del sistema lineal a optimizarse.

La estructura del tablero inicial de cualquier programa lineal de forma

canónica es:

Variables Originales Variables de Holgura

Z X1 X2 …. Xn Xn+1 ………Xn+m Z0

1 - c 0 0

0 A I b

La estructura del tablero óptimo es:

1

0 AB 1

1


CAMBIOS EN EL VECTOR b (Recursos)

Supóngase que el Problema Original (PO), cuya solución óptima se tiene a la

mano es:

Se cambiará en forma discreta el vector b; cuyo nuevo valor será donde

es un vector con m componentes. El nuevo problema (PN) a resolver es:

El análisis de sensibilidad para este tipo de cambio toma como punto de partida

la solución óptima de (PO). Supóngase que es la inversa de la base óptima asociada

a (PO). Entonces la solución óptima de (PO) es:

Al cambiar el vector XB cambia a uno nuevo

CRITERIOS A UTILIZAR:

a) Si la nueva solución óptima de (PN) se calcula con la formula de Z.

b) Si se aplica el Método Dual Simplex para recuperar la factibilidad y

optimalidad; cambiando la columna de por la nueva columna de y

posteriormente se calcula el valor de Z.

EJEMPLO:2


Supóngase que el problema original (PO) consiste en producir un volumen X de

un producto químico A que se vende a $ 5 / litro y otro volumen Y de un producto

químico B que se vende a $ 3 / litro. Dos tipos de restricciones se consideran en este

ejemplo, personal y costo de producción. En lo que se refiere a la primera restricción se

tiene un máximo de 15 personas, mientras que en lo segundo se tiene un máximo de

$10/hora de trabajo. Si la variable X1 representa el número de litros del producto

químico A a ser producidos por hora y X2 el del producto químico B, el problema lineal

original es entonces:

La Tabla original es:

Z X1 X2 X3 X4 Z0

1 -5 -3 0 0 0

X3 0 3 5 1 0 15

X4 0 5 2 0 1 10

La Tabla óptima es:

Z X1 X2 X3 X4 Z0

1 0 0 5/19 16/19 235/19

X2 0 0 1 5/19 -3/19 45/19

X1 0 1 0 -2/19 5/19 20/19

I Supóngase que debido a una depresión económica el número de empleados

debe reducirse a 5 y el costo máximo de producción a $5 /hora.

El nuevo vector de disponibilidad de recursos es:

3


El nuevo problema lineal a resolver sería:

Calculamos el nuevo vector:

Y por lo tanto la nueva utilidad óptima se calcula con la formula .

Sustituyendo:

CONCLUSIÓN:

Una reducción en la disponibilidad de recursos ha causado una disminución en la

producción óptima de ambos productos químicos, así como en la utilidad.

II Supóngase ahora que el personal se reduce a 10 personas, pero el costo máximo por

hora de producción se aumenta a $20. El nuevo programa a resolver sería:

Calculamos el nuevo vector:

4


Por lo tanto es necesario utilizar el dual simplex para restaurar la factibilidad y obtener

la optimalidad del nuevo problema. Utilizando la tabla óptima del problema original

con la nueva columna .


Z X1 X2 X3 X4 Z0

1 0 0 5/19 16/19 235/19

X3 0 0 1 5/19 -3/19 45/19

X4 0 1 0 -2/19 5/19 20/19

Cambiamos la columna

Z X1 X2 X3 X4 Z0

1 0 0 5/19 16/19

X2 0 0 1 5/19 -3/19* -10/19

X1 0 1 0 -2/19 5/19 80/19

Z X1 X2 X3 X4 Z0

1 0 16/3 5/3 0

X4 0 0 -19/3 -5/3 1 10/3

X1 0 1 -5/3 1/3 0 10/3

CONCLUSION:

La nueva solución es producir 10/3 litros del producto químico A por hora y 0

litros del producto químico B por hora generando una utilidad óptima de:

5


CAMBIOS EN EL VECTOR COSTOS (ci)


mano es:

Se cambiará en forma discreta el vector c cuyo nuevo valor será donde

es un vector con m componentes. El nuevo problema (PN) a resolver es:

6


Al realizar cambios en el vector costos utilizaremos las siguientes fórmulas:


a) Si -Cn ≥ 0 y es una Variable No Básica la Solución Óptima no cambia. Solo

agregamos el valor de –Cn al tablero óptimo.

b) Si -Cn ≥ 0 y es Variable Básica se realizan operaciones matemáticas elementales y

después se obtiene la optimalidad mediante el Método Simplex.

c) Si -Cn ≤ 0 se aplica el Método Simplex para recuperar la optimalidad.

EJEMPLO: Tómese como problema original el siguiente:

Tabla óptima:

Z X1 X2 X3 X4 Z0

1 0 0 5/19 16/19 235/19

X2 0 0 1 5/19 -3/19 45/19

X1 0 1 0 -2/19 5/19 20/19

I Supóngase que el precio unitario del producto 2 se reduce de $ 3 a $1. El nuevo

problema lineal es:

Nótese que como la única componente de c

que cambia es C2 calculamos –C2 y obtenemos:

7


Sustituimos en la tabla óptima y como es variable básica se tienen que hacer ceros

arriba y abajo del elemento pivote:

Z X1 X2 X3 X4 Z0

1 0 2 5/19 16/19 235/19

X2 0 0 1* 5/19 -3/19 45/19

X1 0 1 0 -2/19 5/19 20/19

Z X1 X2 X3 X4 Z0

1 0 0 -5/19 22/19 145/19

X2 0 0 1 5/19* -3/19 45/19

X1 0 1 0 -2/19 5/19 20/19

Tabla óptima:

Z X1 X2 X3 X4 Z0

1 0 1 0 1 10

X3 0 0 19/5 1 -3/5 9

X1 0 1 2/5 0 1/5 2

La nueva solución satisface las restricciones del problema.

II Supóngase que el precio de ambos productos químicos es de $1. El nuevo problema a

resolver será:

Calculamos y los componentes que

cambian ahora son C1 y C2. Por lo tanto necesitamos – C1 y – C2:

8


Sustituimos en la tabla óptima y como es variable básica se tienen que hacer ceros

arriba y abajo del elemento pivote:

Z X1 X2 X3 X4 Z0

1 4 2 5/19 16/19 235/19

X2 0 0 1* 5/19 -3/19 45/19

X1 0 1 0 -2/19 5/19 20/19

Z X1 X2 X3 X4 Z0

1 4 0 -5/19 22/19 145/19

X2 0 0 1 5/19 -3/19 45/19

X1 0 1* 0 -2/19 5/19 20/19

Tabla óptima:

Z X1 X2 X3 X4 Z0

1 0 0 3/19 2/19 65/19

X2 0 0 1 5/19 -3/19 45/19

X1 0 1 0 -2/19 5/19 20/19

La nueva solución satisface las restricciones del problema.

9


CAMBIOS EN LA MATRIZ DE COEFICIENTES TECNOLOGICOS ( aij)


mano es:

Al realizar cambios en la matriz de coeficientes tecnológicos utilizamos las

siguientes fórmulas:

-Cn= CB B-1 - C


a) Si los cambios son en una variable Básica, se plantea el problema y se resuelve desde

el principio.

b) Si es una Variable No Básica entonces puede ocurrir:

-Cn ≥ 0, la Solución Óptima no cambia.

10


-Cn ≤ 0, se calculan los nuevos valores de , se sustituyen en la tabla óptima y

se recupera la optimalidad aplicando el Método Simplex.

EJEMPLO: Sea el problema original el siguiente:

Tabla óptima:

Z X1 X2 X3 X4 Z0

1 9/2 0 0 5/2 45

X3 0 1 0 1 0 4

X2 0 3/2 1 0 1/2 9

I Supóngase que el nuevo vector que es no básico, cambia a

. El nuevo problema a resolver es:

Como únicamente cambio el vector a1 calculamos – C1:

-Cn= CB B-1 j - C

.

Como aplicamos el Método Simplex teniendo cuidado de actualizar el vector

de la tabla óptima. Lo que resulta:

El Método Simplex se aplica en la siguiente tabla que difiere de la tabla óptima de (PO)

en el término –C1 y en la Columna Y1.

Z X1 X2 X3 X4 Z0

11


1 -1/2 0 0 5/2 45

X3 0 10* 0 1 0 4

X2 0 1/2 1 0 1/2 9

Z X1 X2 X3 X4 Z0

1 0 0 1/20 5/2 226/5

X1 0 1 0 1/10 0 4/10

X2 0 0 1 0 1/2 44/5

La nueva solución optima es Z = 226/5 = 45.2

II Supóngase que el vector que no es básico, se cambia a .

El nuevo problema a resolver es:

CONCLUSIÓN Como La solución óptima no cambia por lo tanto:

Tabla óptima de (PN)

Z X1 X2 X3 X4 Z0

1 2 0 0 5/2 45

X3 0 1 0 1 0 4

X2 0 3/2 1 0 1/2 9

12


CAMBIOS EN LAS VARIABLES DE DECISION (Xi)

“Adición de nuevas Actividades”

La adición de nuevas actividades crea nuevos términos –Cn y nuevas Columnas Ymn en

la tabla por lo tanto; se deberá tener información del precio unitario o utilidad además

del vector de coeficientes tecnológicos. Al adicionar nuevas variables utilizamos las

formulas:

-Cn= CB B-1 - C

CRITERIOS A UTILIZAR

a) Si -Cn ≥ 0, la variable adicional no entra a la base y su valor de utilización es cero.

Por lo tanto, la Solución Óptima no cambia.

b) Si -Cn ≤ 0, se calculan los nuevos valores de , se sustituyen en la tabla óptima y se

recupera la optimalidad aplicando el Método Simplex.

EJEMPLO: Sea el problema original el siguiente:

¿Conviene producir una nueva actividad X5 cuyo precio unitario es $7 y su vector de

coeficientes tecnológicos es ?

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El Nuevo Problema es:

Tabla óptima de (PO)

Z X1 X2 X3 X4 Z0

1 9/2 0 0 5/2 45

X3 0 1 0 1 0 4

X2 0 3/2 1 0 1/2 9

Calculamos y como resulta negativo hay que calcular la columna

Y5 de la nueva tabla dada por:

La nueva tabla donde el Método Simplex debe aplicarse es:

Z X1 X2 X5 X3 X4 Z0

1 9/2 0 -2 0 5/2 45

X3 0 1 0 1* 1 0 4

X2 0 3/2 1 1 0 1/2 9

Tabla optima de (PN)

Z X1 X2 X5 X3 X4 Z0

1 13/2 0 0 2 5/2 53

X5 0 1 0 1* 1 0 4

X2 0 1/2 1 0 -1 1/2 5

CONCLUSION: La nueva solución optima es que la actividad X5 debe producirse

a un nivel de 4 unidades y la actividad X2 debe reducirse de 9 a 5 unidades, con un

incremento en la utilidad de 45 a 53 unidades.

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II Supóngase que en el problema anterior el precio unitario de la nueva actividad X5 es

$ 4 y el vector . El Nuevo Problema a resolver es:

Calculamos .

CONCLUSION: -Cn = 6 . La variable adicional no entra a la base y su valor de

utilización es cero. Por lo tanto la solución óptima no cambia.

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CAMBIOS EN EL NÚMERO DE RESTRICCIONES

“Adición de nuevas restricciones”

CRITERIOS A UTILIZAR

I. Si al añadir nuevas restricciones al problema original, sucede que la solución XB

asociada al problema original las satisface, entonces XB es también la solución óptima

del nuevo problema.

II Si XB viola alguna de las k nuevas restricciones, habrá que restaurar la factibilidad

del nuevo problema y obtener la optimalidad por el Método Dual Simplex.

En caso de ser necesaria la aplicación del Método Dual Simplex, a cada una de

las nuevas k restricciones deben añadirse en el tablero óptimo del (PO) con su

correspondiente variable de holgura. Todos los vectores unitarios asociados al tablero

óptimo de (PO) deben reestablecerse por medio de operaciones elementales matriciales.

El método Dual Simplex, debe aplicarse hasta obtener una solución óptima.

EJEMPLO: Sea el Problema Original (PO) el siguiente:


Z X1 X2 X3 X4 Z0

1 0 0 5/19 16/19 235/19

16


X2 0 0 1 5/19 -3/19 45/19

X1 0 1 0 -2/19 5/19 20/19

I Supóngase que la nueva restricción es . Obviamente la solución óptima de

(PO) viola esta restricción pues X2 óptimo es de 45/19, que es mayor que uno. El Nuevo

Problema a resolver es entonces:

Añadiendo las variables de holgura se tiene:

En términos de la tabla óptima de (PO) se tiene que:

Z X1 X2 X3 X4 X5 Z0

1 0 0 5/19 16/19 0 235/19

X2 0 0 1* 5/19 -3/19 0 45/19

X1 0 1 0 -2/19 5/19 0 20/19

X5 0 0 1 0 0 1 1

Reestructurando el vector unitario para X2 y aplicando posteriormente el MDS:

Z X1 X2 X3 X4 X5 Z0

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1 0 0 5/19 16/19 0 235/19

X2 0 0 1 5/19 -3/19 0 45/19

X1 0 1 0 -2/19 5/19 0 20/19

X5 0 0 0 -5/19* 3/19 1 -26/19

Tabla óptima:

Z X1 X2 X3 X4 X5 Z0

1 0 0 0 1 1 11

X2 0 0 1 0 0 1 1

X1 0 1 0 0 1/5 -2/5 8/5

X3 0 0 0 1 -3/5 -19/5 26/5

CONCLUSION: La nueva solución óptima es X2=1, X1=8/5 X3=16/5 con un Z =11

II Supóngase que en el ejemplo anterior la nueva restricción es X2 .

CONCLUSION: Obviamente como el resultado óptimo de (PO) es X2 = 45/19

satisface la nueva restricción, por consiguiente no modifica la solución óptima.

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CONCLUSION

En la práctica generalmente es imposible valorar completamente todas las variables que

contribuyen a la función objetivo. En consecuencia, deben hacerse suposiciones que

simplifiquen y prevean un modelo de decisión práctico y útil. El Análisis de

Sensibilidad puede utilizarse para determinar si estas suposiciones pueden hacerse de

una manera segura o las condiciones en las cuales son aplicables.

En realidad, puede darse una respuesta rápida a preguntas del tipo “que

sucedería si” con respecto a los cambios de estrategia, precios, u otros factores

pertinentes. Por tanto el Análisis de Sensibilidad puede dar a la administración una

información más útil que el mismo modelo original.

19


BIBLIOGRAFIA:

MÉTODOS Y MODELOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES.

Vol. I MODELOS DETERMINISTICOS

JUAN PRAWDA

EDITORIAL LIMUSA

PAGINA ELECTRONICA CONSULTADA EL DIA 11 DE FEBRERO DE 2006.

http://www.investigacion-operaciones.com/operaciones.htm

Sección: Curso de Investigación de Operaciones

APUNTES DIDACTICOS M.C VELIA VERONICA FERREIRO MARTINEZ.

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http://www.investigacion-operaciones.com/operaciones.htm

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