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EL BACO INCA Y LASOPERACIONES ARITMETICAS

Constanza Bustos

Luis Hernando Vergara

Carlos Julio Luque Arias

Universidad Pedaggica Nacional

Resumen

La Yupana es un instrumento de clculo usado por los

antiguos incas; sus maneras de uso son en gran

medida desconocidas. Este trabajo propone, a partir de

documentos histricos, mtodos para efectuar las

operaciones bsicas de la Aritmtica, utilizables como

herramientas pedaggicas en la enseanza bsica.

1. Descripcin y manejo de la Yupana (baco inca)

La yupana (baco inca), tomada con base en la figura encontrada en la pgina 360 del

manuscrito del cronista Guaman Poma (Nueva Crnica y Buen Gobierno) es un

rectngulo que se encuentra dividido en columnas (A,B,C,D) y en fila (a,b,c,d,e)

quedando as fragmentado en 20 rectngulos, cada columna contiene 1,2,3 y 5

crculos de derecha a izquierda respectivamente en cada una de las filas, como se

muestra en la figura No. 1.

Las reglas, modos y mtodos de manejo de este baco, se desconocen en su totalidad,

por lo cual han sido supuestas, producto de algunas descripciones hechas por

personas de diferentes campos. La mayora de interpretaciones y adaptaciones hechas

apoyan la tesis que el funcionamiento de este baco era longitudinalmente y la manerade disponer las cantidades era posicionalmente de derecha a izquierda muy parecido y

similar al conocido sistema. Una forma sencilla y til de usar un baco, tan prctico

que se llev hasta el campo de la didctica matemtica, llegando a ser calificado

como innovacin pedaggica en Colombia.


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EL ABACO INCA Y LAS OPERACIONES ARITMETICAS

A B C D

Figura 1

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MEMORIAS IX ENCUENTRO DE GEOMETRIA Y SUS APLICACIONES

Pese a todo esto personas como Henry Wassen1, han dado interpretacin diferente.

Wassen se apoya en la natural forma vertical con que aparece el baco en la figura de

Guaman Poma, opina que este baco es de origen completamente indgena, puesdifiere mucho a los utilizados en el antiguo continente, los cuales estaban divididos

en un nmero de espacios por medio de ranuras verticales en las que los botones u

objetos parecidos son movidos.

Ahora, lo ms interesante en la propuesta de Wassen, es que sustenta una interesante

hiptesis, en la cual se formula el uso del antiguo baco peruano, teniendo en cuenta

la forma y organizacin horizontal, as como la vertical, usando para esto la

distribucin propia de cada crculo del baco, el cual tendr un valor dependiendo de

su posicin horizontal y vertical.

Y es precisamente de la anterior hiptesis, que girar el presente trabajo.

Pensando en obtener una mayor facilidad en el trabajo con la yupana y una agilidad

en la ejecucin de las operaciones que se irn a realizar y que ms adelante se

describirn, se trabajar con dos (2) yupanas, una principal y otra auxiliar; la yupana

auxiliar cuenta con lo anteriormente descrito y la principal adems de contener esto,

se le anexa en la parte lateral derecha, 4 columnas, las dos primeras de izquierda a

derecha las llamamos A' y B' respectivamente y a su vez se denominarn memoria

fija, las dos columnas restantes en este mismo orden, las llamamos A* y B*, stas no

se emplean en todas las operaciones y es precisamente por esta razn que tambin se

llaman, columnas opcionales., tal como se observa en las figuras No. 2 y No. 3.

A B C D

1 WASSEN, Henry.El antiguo baco peruano segn el manuscrito de Guaman Poma. Gtemburgo,

1940

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Figura 2

Yupana Auxiliar

A B C D A' B' A* B*

Figura 3

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Yupana Principal

A cada crculo de la yupana lo nombraremos de la siguiente forma, teniendo en

cuenta que, cada uno de los veinte (20) rectngulos ocupa una posicin determinada

con base a la columna y a la fila donde se encuentra ubicado, por ejemplo:

El rectngulo Bc corresponde al que se encuentra en la columna B y la fila c. Tal

como lo muestra en la figura No. 4.

A B C D A' B'

Figura 4

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A su vez a cada uno de los crculos de los veinte (20) rectngulos le corresponde un

nmero que est determinado por la posicin en que se encuentra, de abajo hacia

arriba y de izquierda a derecha, por ejemplo:

El crculo sombreado en la figura No. 5, corresponde a la posicin Ac, 4. Donde: Ac

es la posicin del rectngulo y 4 es la posicin del crculo dentro de ste.

Haciendo la siguiente asignacin:

Columnas Filas

A ---- 1 a ---- 10 000

B ---- 5 b ---- 1000

C ---- 15 c ---- 10

D ---- 30 e ---- 1

El valor posicional de cada rectngulo depende de la ubicacin columna-fila, en

donde se encuentre, por ejemplo:

Al rectngulo Bb, le corresponder el valor posicional de:

B = 5 b = 1000 Bb = 5X100 = 5000

A B C D A' B'

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Figura 5

A B C D A' B'

1 5 15 30

Figura 6

Ahora para saber el valor posicional de una cantidad que este ubicada en un

determinado rectngulo (valor R), tomamos el valor posicional del rectngulo

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multiplicndolo por el nmero de crculos sombreados que se encuentran en el

mismo, por ejemplo:

La cantidad ubicada en el rectngulo Ac, ilustrada en la figura No 7.

A B C D A' B'

1 5 15 30

Figura 7

Equivale a: Ac 3 = ( 1 100) 3 = 300

Para interpretar el valor de una cantidad ubicada en la Yupana, se suman todos los

valores R , por ejemplo:

El valor de la cantidad ilustrada en la figura No.8 , es:

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( 1 10000) 1

( 0 0 ) 0( (1 100) 4 ) + ( (5 100) 1 )

+ ( 1 10 ) 2

( 5 1 ) 2

10 930

A B C D A' B'

1 5 15 30

Figura 8

Es fcil comprobar que en algunas ocasiones un nmero se puede escribir en la

Yupana de ms una forma, por ejemplo:

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En las figuras No. 9,10,11 y 12 se encuentra escrito el nmero 30.

A B C D A' B' A B C D A' B'

Figura 9 Figura 10


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Figura. 11 Figura 12

Lo cual es consecuencia de que el nmero escrito no se toma de forma horizontal(enfocado hacia una dimensin), si no que para ello se tiene en cuenta el sentido

horizontal y vertical (de forma bi-dimensional).

Nota: Es como si pasramos de escribir un nmero sobre una lnea recta y lo

escribiramos sobre un plano.

Debido a lo expuesto, es aconsejable para lograr una lectura rpida de cierta cantidad

y mayor agilidad en los procesos operacionales, transformar la ubicacin del nmero,

corrindolo hacia la izquierda (lo cual en ocasiones nos lleva tambin a correrlo haciaa arriba) hasta donde sea posible.

Para ello recomendamos seguir las siguientes reglas:

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Un crculo sombreado en cualquier rectngulo de la columna D representa (es

equivalente a) tres crculos sombreados en la columna A-fila inmediatamente

superior. Figura No 11 y 12.


Figura 13 Figura 14

Un crculo sombreado en cualquier rectngulo de la columna C representa (es

equivalente a) un crculo sombreado en la columna B de la misma fila y un

crculo sombreado en la columna A-fila inmediatamente superior: Figura No 15 y

16 .

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Figura 15 Figura 16

Dos crculos sombreados en cualquier rectngulo de la columna B representan

(son equivalentes a) un crculo sombreado en la columna A-fila inmediatamente

superior. Figura No 17 y 18 .


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Figura 17 Figura 18

Si la cantidad de crculos sombreados en un rectngulo, es igual o supera el nmero

real que en este hay, borre el nmero de crculos sombreados igual al nmero real que

en este rectngulo hay y por cada vez que ejecute este proceso disponga de un circulo

sombreado en la siguiente columna (de izquierda a derecha) en la misma fila.

Adems es importante resaltar que para efectuar algunas operaciones como la resta y

la divisin, es necesario utilizar los procedimientos inversos a los anteriormente

citados (REGLAS INVERSAS).

La Yupana principal ser elaborada en una base acrlica y la Yupana auxiliar en un

acetato anteponiendo a este una base de color, los cuales sern a su vez sobre

puestos a la yupana principal.

2. Operaciones

2.1. Suma

- Ubique el numero mayor en la Yupana principal y el menor en la Yupana auxiliar.

- Retire la Yupana auxiliar y ordene el nmero obtenido con la ayuda de las reglas

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2.2. Resta

- Ubique el nmero mayor en la Yupana principal con color negro y el menor en la

Yupana Auxiliar con color verde.

- Retire la Yupana auxiliar.

- Por cada crculo sombreado con color verde borre un crculo sombreado con color

negro, por filas; comenzando de arriba hacia abajo y derecha a izquierda.

- Si el nmero de crculos sombreados con color negro es menor que el nmero de

crculos sombreados con color verde del mismo rectngulo, entonces, utilice las

reglas inversas para poder borrarlo .

- Los crculos que finalmente quedan sombreados con color negro son el resultado de

la operacin, si es necesario utilice las reglas , para facilitar la lectura de la

respuesta.

2.3. Multiplicacin

A continuacin mencionaremos algunas reglas que se deben seguir para efectuar

multiplicaciones de dos nmeros naturales uno de ellos de un solo dgito.

MULTIPLICACIN POR DOS

Escriba el nmero que se quiere multiplicar por dos en la Yupana principal.

- Escriba nuevamente este nmero, pero ahora en b y A y retrela.

- Si es necesario, para facilitar la lectura del resultado utilice las reglas .

MULTIPLICACIN POR TRES Y CUATRO

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Para realizar la multiplicacin por tres y cuatro, analizaremos el procedimiento de laoperacin en una fila particular, teniendo en cuenta que esto se cumple para todas,

pero con variaciones segn la columna y el nmero de crculos que se encuentren

sombreados en cada una. Segn lo muestra la figura No 19.

A B C D

Figura 19

1 2

Si el rectngulo A de cualquier fila posee nicamente este crculo

sombreado, sombree dos crculos ms en este mismo rectngulo.

Si el rectngulo A de cualquier fila posee nicamente estos crculos

sombreados, traslade uno de estos crculos sombreados a la columna B

(en la misma fila).

Si el rectngulo A de cualquier fila posee estos crculos sombreados,

sombree un crculo en este mismo rectngulo y sombree otro en la

columna B (en la misma fila).

1. Si el rectngulo A de cualquier fila posee estos crculossombreados, traslade dos crculos de este rectngulo a la columna

B (en la misma fila).

2. Si el rectngulo B de cualquier fila posee este crculo sombreado,

trasldelo a la columna B (en la misma fila).

MULTIPLICACIN POR CINCO (5)

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- Por cada crculo sombreado en la columna A, sombree uno en la columna B y borre

los primeros (esto se cumple para cualquier fila).

- Si hay un crculo en la columna B de cualquier fila sombree dos crculos ms en la

columna A-fila (inmediatamente superior).

MULTIPLICACIN POR CUATRO (4)

A B C D

Figura 20

1 2

Si el rectngulo A de cualquier fila posee este crculo sombreado,

sombree tres crculos ms en este mismo rectngulo.


sombree un crculo en este mismo rectngulo y otro en la columna B

(en la misma fila).


traslade uno de estos crculos a la columna A-fila inmediatamente

superior.

1. Si el rect

ngulo A de cualquier fila posee estos crculos sombreados,traslade tres crculos de estos a la columna B (en la misma fila).

2. Si el rectngulo B de cualquier fila posee este circulo sombreado,

sombree un crculo en la columna C de la misma fila.

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MULTIPLICACIN POR SEIS (6)

Por cada crculo sombreado en la columna A de cualquier fila sombree uno en lacolumna B (en la misma fila).

Si hay un crculo sombreado en la columna B de cualquier fila, borre este y

sombree dos (2) crculos en la columna C ( en la misma fila).

MULTIPLICACIN POR SIETE (7)

Por cada crculo sombreado en la columna A, de cualquier fila, sombree otro

crculo en este mismo rectngulo y otro en la columna B (en la misma fila).

- Si hay un crculo sombreado en la columna B de cualquier fila, sombree dos (2)

ms en la columna C (en la misma fila).

MULTIPLICACIN POR OCHO (8)

Por cada circulo sombreado en la columna A de cualquier fila, sombree dos (2)ms en el mismo rectngulo y otro en la columna B (en la misma fila).

- Si hay un circulo sombreado en la columna B de cualquier fila, sombree otro en este

mismo rectngulo y dos ms en la columna C (en la misma fila).

MULTIPLICACIN POR NUEVE (9)

Por cada circulo sombreado en la columna A de cualquier fila, sombree tres (3)

ms en este mismo rectngulo y otro en la columna B (en la misma fila).

- Si hay un crculo sombreado en la columna B de cualquier fila, sombree dos msen este mismo rectngulo y otros dos en la columna C (en la misma fila).

MULTIPLICACIN POR DIEZ (10)

- Para multiplicar cualquier nmero por diez, lo trasladamos una fila hacia arriba.

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NOTA: lo mismo hacemos si queremos multiplicar por cien (100), mil (1000), etc.

pero ya no lo corremos una fila, sino dos (2), tres (3) y assucesivamente.

PARA MULTIPLICAR UN NMERO POR OTRO DE DOS O MS DGITOS

- Ubique el nmero mayor en la yupana principal y el menor en la memoria fija.

- Multiplique el nmero que se encuentra ubicado en la fila e (columnas A' y B'),

por el numero escrito en la Yupana principal y ordene esta respuesta.

- Ubique el nmero mayor en la Yupana auxiliar, pero crralo una fila de abajo

hacia arriba, multiplquelo por el nmero ubicado en la fila d (Columnas A' y B')y ordene. Esta es la respuesta , si el nmero que est ubicado en las columnas A' y

B' es de dos dgitos. De lo contrario repita el paso anterior cuantas veces sea

necesario (cuantos dgitos tenga el numero ubicado A' y B').

- Al hacer las multiplicaciones tenga en cuenta que el orden es de arriba hacia a

bajo y derecha a izquierda, esto evita confusiones.

2.4. Divisin

a. El siguiente procedimiento permite dividir dos nmeros naturales cuyo divisor es

un nmero (menor que el dividendo) de un dgito y diferente de cero.

1. Escriba el nmero mayor en la yupana principal y el divisor en la memoria fija.

2. De arriba hacia abajo observe la primera fila y compare el nmero que ah se

encuentra con el divisor ; si el nmero de esta fila es menor que el divisor,

traslade este nmero a la fila inmediatamente inferior teniendo en cuenta las

reglas para este procedimiento, en caso contrario reste el divisor en l y sombree

un crculo en la columna A' de la misma fila. Repita este mismo procedimiento

hasta que el divisor sea mayor que la cantidad ubicada en la fila. Tenga en cuenta

que por cada resta que se efecte, se debe sombrear un crculo en la columna A'

de la respectiva fila.

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3. Repita el numeral 2 hasta llegar a la fila e. Si el nmero encontrado en esta fila es

cero, la divisin fue exacta y el resultado de la operacin (cociente) es la cantidad

ubicada en las columnas A' y B' . En caso contrario, este es el residuo de ladivisin

b. El siguiente procedimiento permite dividir dos nmeros naturales cuyo divisor es

un nmero (menor que el dividendo) de dos o ms dgitos.

1. Escriba el nmero mayor en la yupana principal y el divisor en la memoria fija.

2. De arriba hacia abajo en la yupana principal tome el mismo nmero de filas que

tiene el divisor y compare los nmeros que en ellas se encuentran escritos. Si el

nmero escrito en las filas anteriormente tomadas (de arriba hacia abajo, yupanaprincipal) es mayor o igual al nmero escrito en la memoria fija entonces reste el

divisor al nmero escrito en la yupana principal (en las filas anteriormente

tomadas) y repita este ltimo paso hasta que el nmero ubicado en la yupana

principal (filas anteriormente tomadas) sea menor que el divisor. Tenga en cuenta

que por cada resta que se efecte, se debe sombrear un crculo en la columna A' de

las ltima fila (de arriba hacia abajo, filas tomadas). Si por el contrario en

nmeroescrito en las filas anteriormente tomadas (de arriba hacia abajo, yupana

principal) es menor que el escrito en la memoria fija, traslade la cantidad que se

encuentra en la primera fila (de arriba hacia abajo, yupana principal) a la fila

inmediatamente inferior, teniendo en cuenta para ello las reglas necesarias paraefectuar el procedimiento y repita de nuevo en numeral 2, hasta obtener en la

yupana principal un nmero menor que el divisor el cual ser el residuo de la

divisin efectuada (si este es cero la divisin fue exacta). El resultado de la

operacin efectuada (cociente) es el nmero que finalmente queda ubicado en las

columnas A' y B'.

2.5. Potenciacin

El siguiente procedimiento permite elevar al cuadrado un n

mero natural de una cifra.

1. Escriba el nmero a elevar en la yupana principal y nuevamente en la memoria

fija.

2. Si hay crculos sombreados en el rectngulo B'e multiplique la cantidad escrita en

la yupana principal por 5.

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3. Ahora, por cada crculo sombreado A'e sume el nmero de la memoria fija en la

yupana principal y ordene el nmero obtenido. El resultado es el que queda en la

yupana principal. Realice nicamente el numeral 3 de no cumplirse el 2.4. El resultado de esta operacin es el finalmente obtenido en la yupana principal.

El siguiente procedimiento permite elevar al cuadrado un nmero natural de una ms

de una cifra.

1. Escriba el nmero a elevar en la yupana principal y nuevamente en la memoria

fija.

2. Tome en la yupana principal de abajo hacia arriba el mismo nmero de filas que

tiene el nmero de la memoria fija.

3. Ejecute los pasos a seguir para elevar al cuadrado una cantidad con un slo dgito.

4. Escriba el nmero ubicado en la memoria fija tantas veces como crculossombreados halla en la fila d multiplicndolo por 10.

5. Si el nmero al cual vamos elevar al cuadrado es de 3, 4,... cifras, repita el

numeral 4 cambiando la fila d y la multiplicacin por 10 por c, b,... y 100, 1000,...

respectivamente.

6. El resultado de esta operacin es el finalmente obtenido en la yupana principal.

6. Logaritmos

El siguiente procedimiento permite hallar la parte entera de logx n, cuando n y x

son nmeros naturales mayores que 0. Cabe anotar que si x > n, la parte entera de log xn es cero, si x=n, la parte entera de logx n es 1.Si n>x, entonces :

1. Escriba el nmero n en la memoria fija y el nmero x en la yupana principal.

2. Sombree un crculo en la columna A' el cual representa el nmero que ubic en la

yupana principal en la fila e.

3. El nmero que est en la yupana multiplquelo por x y sombree un crculo en la

columna A' fila e, luego compare el resultado obtenido con el nmero que est en

la memoria fija ; si este es mayor que el nmero que est en la memoria fija

entonces borre un crculo de la columna A' fila e , en caso contrario repita este

mismo numeral.

4. El resultado (la parte entera de logx n) es el nmero que finalmente queda en las

columnas A' y B'.

Bibliografa

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WASSEN, H.El antiguo baco peruano segn el manuscrito de Guaman Poma.

Gtemburgo, 1940

HIGUERA, C. Lecturas matemticas. Volumen 15, pg. 66.

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PAREJA, D.Instrumentos prehispnicos de clculo: el quipu y la yupana. Instituto de

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PAREJA, D.Arithmetical Algorithms of the Incas. Universidad del Quindo.

VOH, Hagen Wolfrang.Los Incas. Ed. Joaqun Mortiz. Coleccin culturas bsicas del

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