3.2 Reglas de inferencia lógica

Otra forma de transformación de las proposiciones lógicas son las reglas de separación, también conocidas como razonamientos válidos elementales, leyes del pensamiento, implicaciones lógicas o reglas de inferencia, entre otras acepciones. Estas reglas son muy importantes porque el razonamiento constituye la unidad central del análisis de la lógica.

Dadas dos proposiciones compuestas P y Q, se dice que P implica lógicamente a Q, siempre que Q tenga valor de verdad Verdadero cuando P tiene valor de verdad Verdadero. Si esto se cumple, entonces se escribe P ⇒ Q, que se lee P implica a Q. P ⇒ Q si y sólo si P→ Q es una tautología.

Por ejemplo, si P = p ∧(p → q) y Q = q, se desea determinar si P ⇒ Q.

Una forma de hacerlo es construir la tabla de verdad de P y de Q y comprobar que para toda interpretación donde Q es Verdadera, P también lo sea. Veamos cómo sería esto.

p q p → q p ∧(p → q)

V V V V

V F F F

F V V F

F F V F

De la tabla anterior vemos que Q es verdadera sólo en el primer renglón y en él, P también es verdadera, por tanto concluimos que P ⇒ Q, es decir, p ∧(p → q) ⇒ q.

Otra forma de determinar si P ⇒ Q es verificar si P→ Q es una tautología. Veamos como hacemos esta otra forma de comprobación por medio de una tabla de verdad.

p q p → q p ∧(p → q) p ∧(p → q) →q

V V V V V

V F F F V

F V V F V

F F V F V

De la tabla anterior es claro que p ∧(p → q) →q es una tautología, o sea, es Verdadera en todas sus posibles interpretaciones. Por tanto, podemos concluir que P ⇒ Q, es decir, p ∧(p → q) ⇒ q.

La siguiente tabla muestra un grupo de reglas de implicaciones lógicas útiles.

Regla Nombre

16. p ⇒ (p ∨ q) Adición

17. (p ∧ q) ⇒ p Simplificación

18. (p → F) ⇒ ~pdonde F = Falso

Absurdo

19. [p ∧(p → q)] ⇒ q Modus Ponendo Ponens o Modus Ponens

20. [(p → q)∧~q] ⇒ ~p Modus Tollendo Tollens o Modus Tollens

21a. [(p ∨ q) ∧ ~p] ⇒ q21b. [(~p → q) ∧ ~p] ⇒ q

Modus Tollendo Ponens o Silogismo disyuntivo

22. p ⇒ [q→(p ∧p)]

23. [(p ↔ q)∧(q ↔ r)] ⇒ (p ↔ r) Transitividad de la doble implicación.

24. [(p → q)∧(q → r)] ⇒ (p → r) Transitividad de la implicación o silogismo hipotético.

25a. (p → q) ⇒ [(p ∨ r)→(q ∨ r)]25b. (p → q) ⇒ [(p ∧ r)→(q ∧ r)]25c. (p → q) ⇒ [(q → r)→(p → r)]

26a. [(p → q)∧(r → s)] ⇒ [(p ∨ r)→(q ∨ s)]26b. [(p → q)∧(r → s)] ⇒ [(p ∧ r)→(q ∧ s)]

Dilemas constructivos

27a. [(p → q)∧(r → s)] ⇒ [(~q∨~s)→(~p∨~r)]27b. [(p → q)∧(r → s)] ⇒ [(~q∧~s)→(~p∧~r)]

Dilemas destructivos

Demostraciones válidas en el cálculo proposicional

Las reglas de transformación (implicaciones lógicas y equivalencias lógicas) nos permiten especificar una demostración válida en el cálculo proposicional. Un teorema consiste de un grupo de proposiciones H1, H2, .., Hn llamadas hipótesis del teorema y una proposición C que será su conclusión. Un teorema con hipótesis H1, H2, .., Hn y conclusión C es verdadero siempre que:

H1∧H2∧ .. ∧Hn ⇒ C

Es decir, un teorema es Verdadero si y sólo si H1∧H2∧ .. ∧Hn → C es una tautología.

Dado que el razonamiento trata con un conjunto de proposiciones, no se trata de evaluar la verdad o falsedad de este conjunto, sino que se trata de determinar su validez o invalidez.

La demostración formal de un teorema consiste en una sucesión de transformaciones de proposiciones que se consideren válidas, y que terminan en la conclusión C. Si una o más de las proposiciones no es válida, entonces el argumento se llama falacia.

Para que una proposición sea válida, o es una hipótesis, o es una tautología conocida, o debe derivarse de proposiciones anteriores por medio de reglas de equivalencia y/o de implicación lógica, o debe poder inferirse de proposiciones anteriores por medio de ciertas reglas de inferencia.

Una proposición Q se puede inferir de otras proposiciones P1, P2, ..., Pk si P1 ∧ P2 ∧... ∧Pk ⇒ Q, que se simboliza con una serie de transformaciones representadas, cada una de ellas, en un nuevo renglón:

P1

P2

:

Pk ----∴Q(∴ se lee por lo tanto)

De algunas implicaciones lógicas obtenemos las siguientes reglas de inferencia:

Regla de inferencia Nombre

28. P ----- ∴ P ∨ Q

Adición

29. P ∧ Q ---------- ∴ P

Simplificación

30. P P → Q ------- ∴Q

Modus ponens

31. P → Q ~Q --------- ∴~P

Modus tollens

32. P ∨ Q ~P -------- ∴Q

Silogismo disyuntivo

33. P → Q Q → R --------- ∴P → R

Silogismo hipotético

34. P Q ------ ∴P ∧ Q

Conjunción

Hasta este punto, hemos definido un total de 34 reglas para la transformación de proposiciones: 15 reglas de equivalencia, 12 de implicaciones lógicas y 7 de inferencia. Para facilitar la lectura de los ejemplos que te presentaré a continuación, voy a reproducir aquí la tabla de equivalencias lógicas (reglas 1 a 15) a fin de tener en un mismo documento las 34 reglas.

Regla Nombre

1 ~~p ⇔ p (se lee no no p equivale a p) Doble negación o involución

2a (p ∨ q) ⇔ (p ∨ q) (se lee p o q equivale a q o p)2b (p ∧ q) ⇔ (p ∧ q)

Leyes conmutativas

2c (p ↔ q) ⇔ (p ↔ q)

3a (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ ( q ∨ r)3b (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ ( q ∧ r)

Leyes asociativas

4a p ∨ ( q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)4b p ∧ ( q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

Leyes distributivas

5a (p ∨ p) ⇔ p5b (p ∧ p) ⇔ p

Leyes de idempotencia

6a (p ∨ F) ⇔ p6b (p ∨ V) ⇔ V6c (p ∧ F) ⇔ F6d (p ∧ V) ⇔ pdonde F = Falso y V = Verdadero

Leyes de identidad

7a (p ∨ ~p) ⇔ V7b (p ∧ ~p) ⇔ F

Postulados

8a ~(p ∨ q) ⇔ ~p ∧ ~q8b ~(p ∧ q) ⇔ ~p ∨ ~q8c (p ∨ q) ⇔ ~(~p ∧ ~q)8d (p ∧ q) ⇔ ~(~p ∨ ~q)

Leyes de DeMorgan

9 (p → q) ⇔ ~q → ~p Contrapositiva

10a (p → q) ⇔ (~p ∨ q)10b (p → q) ⇔ ~(p ∧ ~q)

Implicación

11a (p ∨ q) ⇔ (~p → q)11b (p ∧ q) ⇔ ~(p → ~q)

Implicación

12a ((p → r) ∧ (q → r)) ⇔ (p ∨ q) → r12b ((p → q) ∧ (p → r)) ⇔ p → (p ∧ r)

Implicación

13 p ↔ q ⇔ (p → q) ∧ (q → p) Equivalencia

14 (p ∧ q)→ r ⇔ (p → (q → r)) Ley de exportación

15 p → q ⇔ ((p ∧ ~q) → F)donde F = Falso

Reducción al absurdo

Ejemplos de inferencias lógicas o razonamientos

A continuación veremos un ejemplo de la aplicación de las reglas de inferencia para determinar la validez o invalidez de un razonamiento dado.

Ejemplo 1Sean las hipótesis H={a ∧ b, a →c}, y la conclusión C = b∧c. Se desea saber si se trata de un teorema válido.

Representemos las hipótesis de la siguiente manera:

(1) a ∧ b (hipótesis)(2) a →c (hipótesis)

Aplicando la regla de simplificación (regla 29) a (1), tenemos:

(3) a (por simplificación de (1), regla 29)(4) c (por modus ponens de (2) y (3), regla 30)(5) b ∧ a (por regla conmutativa en (1), regla 2b)(6) b (por simplificación de (5), regla 29)(7) b∧c (por conjunción de (6) y (4), regla 34)

Dado que llegamos a la conclusión por medio de transformaciones válidas de las hipótesis, demostramos que el teorema es verdadero.

Ejemplo 2Demuestra el siguiente teorema: Si estudio o si soy un genio, entonces aprobaré el curso. Sólo me permitirán tomar el siguiente curso si apruebo éste. Por consiguiente, si no me permiten tomar el siguiente, entonces no soy un genio.

Sean:

s = “Estudio”.q = “soy un genio”.p = aprobaré el curso.A = “me permitirán tomar el curso siguiente”.

Por tanto, las hipótesis se formalizan de la siguiente manera:

i) s ∨ g → p para Si estudio o si soy un genio, entonces aprobaré el cursoii) p → a Sólo me permitirán tomar el siguiente curso si apruebo éste.

La conclusión se codifica como: ~a → ~g.

Es decir, debemos demostrar que el siguiente teorema es válido o es una falacia:

H = [s ∨ g → p, p → a], C = ~a → ~g

Empezamos la demostración enunciando las hipótesis:

(1) s ∨ g → p (hipótesis)(2) p → a (hipótesis)

Ahora debemos aplicar las reglas de equivalencia, de implicación lógica y de inferencia, hasta llegar a la conclusión o a una proposición no válida, en cuyo caso, el argumento sería una falacia.

(3) g → g ∨ s (adición, regla 16)(4) g → s ∨ g (ley conmutativa, regla 2a)(5) g → p (silogismo hipotético a (4) y (1), regla 33)(6) g → a (silogismo hipotético a (5) y (2), regla 33)(7) ~a →~g (contrapositiva de (6), regla 9)

Ejemplo 3Demuestra el siguiente teorema: Si estudio o si soy un genio, entonces aprobaré el curso. No me permitirán tomar el siguiente curso. Si apruebo éste, entonces me permitirán tomar el siguiente. Por consiguiente, no estudie.

Sean:s = “Estudio”.q = “soy un genio”.p = “apruebo el curso”.A = “me permitirán tomar el curso siguiente”.

Por tanto, las hipótesis se formalizan de la siguiente manera:

i) s ∨ g → p para “Si estudio o si soy un genio, entonces aprobaré el curso”.ii) ~a para “No me permitirán tomar el siguiente curso”.iii) p → a para “Si apruebo el curso, entonces me permitirán tomar el siguiente”.

La conclusión se codifica como: ~s.

Es decir, debemos demostrar que el siguiente teorema es válido o es una falacia:

H = [s ∨ g → p, ~a, p → a], C = ~s

Empezamos la demostración enunciando las hipótesis:

(1) s ∨ g → p (hipótesis)(2) ~a (hipótesis)(3) p → a (hipótesis)

Ahora debemos aplicar las reglas de equivalencia, de implicación lógica y de inferencia hasta llegar a la conclusión o a demostrar que el argumento es una falacia.

(4) s → s ∨ g (por adición, regla 16)(5) s → p (silogismo hipotético a (4) y (1), regla 33)(6) s → a (silogismo hipotético a (5) y (3), regla 33)(7) ~s (modus tollens de (6) y (2), regla 31)

Ejemplo 4Demuestra el siguiente teorema: “Si un programa no falla, entonces el programa debe empezar y terminar. El programa empezó y falló. Por lo tanto, no terminó”.

Sean:f = “el programa falla”b = “el programa empieza”t = “el programa termina”

La codificación de las hipótesis es la siguiente:

i) ~f → b ∧ t para “Si un programa no falla, entonces debe empezar y terminar”.ii) b ∧ f para “El programa empezó y falló”.

La conclusión se codifica como: ~t

Es decir, debemos demostrar que el siguiente teorema es válido o es una falacia:

H =[ ~f → b ∧ t, b ∧ f], C = ~t

La demostración formal es la siguiente:

(1) ~f → b ∧ t (hipótesis)(2) b ∧ f (hipótesis)(3) b ∧ t→t (simplificación, regla 17)(4) ~f → t (silogismo hipotético de (1) y (3), regla 33)(5) f (simplificación de (2), regla 29)(6) ~t ( ?? de (4) y (5), regla ??)

En este caso, no hay ninguna regla que nos diga que hacer con (4) y (5) para obtener (6). Aunque parece factible aplicar la regla de inferencia 30, modus ponens, o la regla 31, modus tollens, un análisis más detallado nos muestra que no es así. Esto nos hace sospechar que esta argumentación es una falacia, es decir que la implicación [(~f → b ∧ t) ∧ ( b ∧ f ) → ~t] no es una tautología.

La única interpretación en la que una implicación es Falsa es cuando su antecedente es Verdadero y su consecuente es Falso. En la expresión anterior, el consecuente es Falso cuando t = V (verdadero). Si demostramos que cuando ~t = F, (~f → b ∧ t) ∧ ( b ∧ f ) = V, demostraremos que no se trata de una tautología, y por tanto demostramos que el teorema es una falacia.

Dado que t = V, entonces el antecedente queda de la siguiente manera:

(~f → b ∧ V) ∧ ( b ∧ f )

Que por la regla de identidad 6d, se simplifica de la siguiente manera:

(~f → b) ∧ ( b ∧ f )

Para que esta proposición sea V, del segundo paréntesis concluimos que b y f deben ambos ser V, por tanto, tenemos:

(F → V) ∧ ( V ∧ V ) que es Verdadero, es decir, cuando f, b y t son Verdaderos los tres, la implicación (~f → b ∧ t) ∧ ( b ∧ f ) → ~t es Falsa, lo que nos demuestra que no es una tautología. De modo que este último teorema es una falacia.

Ejemplo 5Demuestra el siguiente teorema: Si estudio, entonces no reprobaré el curso de matemáticas. Si no juego baloncesto, entonces estudiaré. Reprobé matemáticas. Por tanto, jugué baloncesto.

Sean:p = “estudio”.q = “repruebo matemáticas”.r = “ juego baloncesto”.

Por tanto, la codificación de las hipótesis es la siguiente:

i) p →~q para “Si estudio, entonces no reprobaré el curso de matemáticas”.ii) ~r →p para “ Si no juego baloncesto, entonces estudiaré”.iii) q para “Reprobé matemáticas”.

La codificación de la conclusión es : r

Por tanto, se trata de demostar el siguiente teorema:

H = [p →~q, ~r →p, q], C = r

La demostración formal es la siguiente:

(1) p →~q (hipótesis)(2) ~r →p (hipótesis)(3) q (hipótesis)(4) ~r →~q (silogismo hipotético de (2) y (1), regla 33)(5) ~~r ∨ ~q (regla de implicación a (4), regla 10a)(6) r ∨ ~q (doble negación a (5), regla 1)(7) ~q ∨ r (conmutatividad a (6), regla 2a)(8) ~~q (doble negación a (3), regla 1)(9) r (silogismo disyuntivo a (7) y (8), regla 32)

Nota que la demostración formal pudo tomar otro camino a partir de la transformación (7):

(7) ~q ∨ r (conmutatividad a (6), regla 2a)(8) q → r (implicación a (7), regla 10a)(9) r (modus ponens de (8) y (3), regla 32)

En cualquier caso, queda demostrado que el teorema es válido.

Ejemplo 6Demuestra el siguiente teorema: Si trabajo, no puedo estudiar. Trabajo o apruebo matemáticas. Aprobé matemáticas. Por consiguiente, estudié.

Sean:p = “yo trabajo”q = “yo estudio”r = “apruebo matemáticas”

La codificación de las hipótesis es:

i) p → ~q para “Si trabajo, no puedo estudiar”.ii) p ∨ r para “Trabajo o apruebo matemáticas”.iii) r para “Aprobé matemáticas”.

La conclusión se codifica como: q

Por tanto, el teorema a demostrar es el siguiente:

H =[p → ~q, p ∨ r, r], C = q

La demostración formal es la siguiente:

(1) p → ~q (hipótesis)(2) p ∨ r (hipótesis)(3) r (hipótesis)(4) p (por simplificación de (2), regla 29)(5) ~q (por modus ponens de (4) y (1), regla 30)

En el paso (5) hemos obtenido ~q, cuando lo que buscamos es q. Esto debe hacernos sospechar que estamos ante una falacia. Para determinar si se trata de una falacia, al igual que en el ejemplo 4, debemos demostrar que la implicación [p → ~q ∧ p ∨ r ∧ r] → q es Falsa. Esto es, que el antecedente es V, y el consecuente F. Por tanto, q = Falso.

Entonces, la implicación queda como se muestra abajo:

[p → V ∧ (p ∨ r) ∧ r] → F

De la tabla de verdad de la implicación, vemos que para que el consecuente sea Verdadero, no importa el valor del antecedente, es decir P puede ser F o V, por tanto, la implicación p → V es Verdadera, sin importar el valor de p. Entonces, la implicación de las hipótesis con la conclusión, se transforma en:

[V ∧ (p ∨ r) ∧ r] → F

Dado que el antecedente se trata de un conjunción, p ∨ r = V y r = V, de lo contrario, el antecedente sería Falso. De esto, vemos que r = Verdadero. Por tanto, ahora tenemos:

[V ∧ (p ∨ V) ∧ V] → F

De la disyunción (p ∨ V) podemos ver que, no importa el valor de verdad que tome p, será Verdadera, y por tanto, el antecedente es Verdadero y el consecuente Falso, es decir, demostramos que la implicación de las hipótesis con la conclusión ([p → ~q ∧ p ∨ r ∧ r] → q) no es una tautología, y por tanto, que el teorema es una falacia.

Ejemplo 7Demuestra el siguiente teorema: Si trabajo, no puedo estudiar. Estudió o apruebo matemáticas. Trabajé. Por consiguiente, aprobé matemáticas.

Sean:p = “yo trabajo”q = “yo estudio”r = “apruebo matemáticas”

La formalización de las hipótesis es la siguiente:

i) p → ~q para “ Si trabajo, no puedo estudiar”.ii) q ∨ r para “ Estudió o apruebo matemáticas”.Iii) p para “Trabajé”.

La conclusión se formaliza como: r.

El teorema a demostrar es:

H =[p → ~q, q ∨ r, p], C = r

Cuya demostración es la siguiente:

(1) p → ~q (hipótesis)(2) q ∨ r (hipótesis)(3) p (hipótesis)(4) ~q (modus ponens de (3) y (1), regla 30)(5) r (silogismo disyuntivo de (2) y (4), regla 32)

Resumen

En esta sección hemos visto reglas de implicaciones y reglas de inferencia que, junto con las reglas de equivalencias, nos permiten determinar si un razonamiento dado es válido o es una falacia.

Como espero te hayas dado cuenta, un razonamiento implica identificar las hipótesis y la conclusión, formalizar o codificar cada una de ellas y, por medio de la correcta aplicación de algunas de las 34 reglas de transformación vistas en el curso, determinar si se trata de un razonamiento correcto o de una falacia. Es importante aclarar aquí que no es necesario memorizar estas reglas, pero sí es muy necesario adquirir una habilidad aceptable para utilizarlas de manera eficiente para realizar demostraciones de teoremas.

Estudia con mucho detenimiento estos ejemplos, ya que engloban prácticamente todo lo aprendido hasta el momento. Es tiempo que realices la actividad a entregar de esta sección, que consiste en una serie de demostraciones de teoremas. Como te has dado cuenta, no hay una receta para decidir que regla aplicar. El principio general es tratar de aplicar aquellas reglas que nos acerquen cada vez más a la conclusión, pero la base para esto es la práctica, que se adquiere por el método de prueba y error, así que te recomiendo que intentes demostrar los ejemplos utilizando reglas diferentes a las que se muestran, esa es una buena manera de mejorar la habilidad para la demostración de teoremas.

En el siguiente módulo estudiarás algunas estrategias que permiten sistematizar un poco más las demostraciones, pero por ahora, lo que debes hacer es practicar, practicar y practicar para desarrollar tu habilidad para la demostración de teoremas. ¡Mucha suerte en esta retadora pero gratificante actividad!