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En este tema se comprenderá el concepto de ángulos, reconoceremos los elementos y clasificaremos los ángulos según diversos criterios.

Presentación

La geometría es una parte importante de la cultura del hombre, no es fácil encontrar contextos en que la geometría no aparezca de forma directa o indirecta. Actividades tan variadas como el deporte, la jardinería o la arquitectura por citar algunas se sirven de la utilización, consciente o no, de procedimientos geométricos.

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Definición

Elementos

Clasificación

Rectas paralelas cortadas por una secante

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Ángulo es la abertura formada por dos rayos (lados) que parten de un punto común llamado vértice.

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O

A

B

α

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I. POR SU MEDIDA

A. Ángulo Convexo.- Si su medida está comprendida entre 0° y 180°. Los ángulos convexos pueden ser:

Ángulo Agudo

0º < β < 90º0º < β < 90º

β

Ángulo Recto Ángulo Obtuso

θ = 90ºθ = 90º 90º < α < 180º 90º < α < 180º

αθ

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I. POR SU MEDIDA

B. Ángulo Llano.- Su medida es 180°. Sus lados son 2 rayos opuestos

θ = 180º θ = 180º

θ

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I. POR SU MEDIDA

C. Ángulo no convexo.- Si su medida está comprendida entre 180° y 360°.

D. Ángulo de una vuelta (Perigonal).- Si su medida es 360°.

Teorema: La suma de las medidas de los ángulos consecutivos, formados alrededor de un mismo vértice y en un mismo plano es 360°.

θ

β

α α + β + θ = 360° α + β + θ = 360°

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II. POR SU POSICIÓN

α β

A. Ángulos adyacentes

Un lado común

α βθ

B. Ángulos consecutivos

Puede formar más ángulos

A. Ángulos opuestos por el vértice

α β α = β α = β

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III. POR LA COMPARACIÓN DE SUS MEDIDAS

α + β = 90ºα + β = 90ºα

β

A. Ángulos complementarios

α + β = 180º α + β = 180ºβα

B. Ángulos suplementarios

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Si las rectas y L1 y L2 están cortadas por la secante M, se cumplen las siguientes propiedades:

Los ángulos correspondientes son congruentes.∠a ≡ ∠e; ∠ b ≡ ∠f ; ∠h ≡ ∠d; ∠ g ≡ ∠c

a b

h g

fe

dc

L1

L2

M

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Los ángulos alternos internos son congruentes. ∠d ≡ ∠f; ∠ e ≡ ∠c

Dos ángulos alternos externos son congruentes.∠a ≡ ∠g; ∠ b ≡ ∠h

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Dos ángulos conjugados externos son suplementarios.m∠a + m ∠h = 180°; m∠b + m ∠g = 180° a b

h g

fe

dc

L1

L2

M

Contenido

Dos ángulos conjugados internos son suplementarios.m∠e + m ∠d = 180°; m∠ f +m ∠c = 180°

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PROPIEDAD

Si entre dos rectas paralelas se trazan varios ángulos, como se muestra en la figura, se cumple:

w

x

y

z

a

b

c

d

a° + b° + c° + d° = w° + x° + y° + z°

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Resolución

1. Los ángulos mostrados son congruentes. Hallar el valor de “x”.

xº + 15º = 45º X = 30º

Respuesta:El ángulo “x” mide 30º

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xº + 15º

45º

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2. Calcular el valor de “x, y”

Resolución

Hallamos el valor de “x”xº + 124º = 180º X = 56º

Respuesta:El ángulo “x” mide 56

El ángulo “y” mide 30º.Contenido

124º x

270º

y2y

Hallamos el valor de “y”2yº + yº + 270º = 360º 3yº = 90º y = 30º