áNgulos en la circunferencia
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CalculoÁngulos en la circunferencia
1) Del gráfico, calcule m∢BAP, siendo T y P puntos de tangencia TB = 4 y r =5
Resolución: Como P y T son puntos de tangencia, entonces: OP ⊥ PA y OT ⊥ TA, además OT = OP = r =5 (DATO)
En el ⊿POH (NOTABLE)
m∢OPH=53 ° m∢BPA=37 °
2) si O es el centro del cuadrado ABCD y PA=AD=8
Como ABCD es cuadrado el lado del cuadrado es 8, AH=HD=4. Como O es centro
OH=4. Luego m∢OPH=372
BC se ubica el
punto P, tal que AP BC, luego se traza PH perpendicular a AC en H.
3) Según el grafico AB=1 BC=CD=2 además B, C y T son puntos de tangencia. Calcule x
f
Sea m∢ATC=α⇒mTC=2α como T y C son puntos de tangencia
PA=3x 8=3x X=8/3
4) Del grafico P y T son puntos de tangencia, además R=3r. Calcule mPT
Del gráfico, como TA=R=3r AO=2R. Luego m∢TOP=120 °→m TC=120°
5) Del grafico, calcule la diferencia entre las medidas del mayor y menor
AB
BCE=2x⇒∢BAE=x como ABCD es un
paraleleogramo⇒∢c=x Luego ⊿BCD es equilatero x=60°
Área sombreada
1) Halle el área de la región sombreada si el lado del cuadrado es 20m
L2
2− L2
4=L2
4=20
2
4=100m2
a2+b2=r2
ARS=a2+b2
ARS=r2=42
ARS=16m2
2) Calcule el area de la region sombreada
AB=2√2ARS=π
4D2
ARS=π4
¿
3) Halle el área de la región sombreada, si MN=2u
22=2 R ¿(2 r )
ARS=12¿
¿ π2
¿
4) La figura muestra un cuadrado de lado L. Hallar el área de la región sombreada, si M y N son puntos medios
S= L2
2−L2
8−2=( L212 )
S= 524
L2
5) Si ABCD es un rectángulo de área 36
cm2. Calcule el área de la región sombreada
A+B=3S
A+B=¿
S=3
¿ A+B+4S=75=7 (3 )=21m2
Distancia entre dos puntos
1) Calcular la distancia entre los puntos A(7,5) y B(4,1)
d=√¿¿d=√¿¿d=√9+16d=√25=5unidades
2) Hallat la distancia al oringen de la recta r=3x - 4y – 25 = 0
d (O ,r )= |−25|√32+¿¿¿
d (r , s)=d (P , s)
3) Calcula la distancia del punto P(2,-1) a la recta r de ecuación 3x+4y=0
d (P , r )=|3.2+4. (−1 )|
√32+42=25
d (O ,r )=|C|
√A2+B2
4) Hallar la distancia entre r=3x - 4y+4=0 y s=9x-12- 4=0
3−4
= 9−12 / −36=−36
3.0−4 y+4=0 / y=1
P (0,1 ) ϵ r
d (P , s )=|9.0−12.1−4|√92+122
=1615
Hallar la distancia entre r=3x-4y+4=0 y s=9x-12 y-4=0
5) Hallar la distancia entre las rectas r=x=2−3k
Y=1+kr=x+3 y−5=0
d (R , s )= |18+5|√12+32
= 13√10
S= x+3−3
= y+51
S= x+3 y+18=0
Punto medio
1) Calcular las coordenadas del punto P que es encuentra entre A y B, si se sabe que A=(1,2) y B=(9, 7)
El punto medio está ubicado en P= (5,4.5)
Punto A: X1 = 1, Y1 = 2
Punto B: X2 = 9, Y2 = 7
Remplazando estos datos tenemos:
p=( 1+92 ,2+72 )
p=( 102 ,92 )
p= (5 , 4.5 )
2) Calcula la distancia que hay entre los puntos A(8,10) y B(-2,-14)
Distancia
( A ,B )=√¿¿
( A ,B )=√102+242
( A ,B )=√100+576
( A ,B )=√676=26
3) Halla la distancia entre los puntos P(6, -2) y Q(0, 6)
(P ,Q )=√¿¿
(P ,Q )=√62+82(P ,Q )=√36+64=√100=10
4) Representa los puntos A(3, 1), B(–5, 3), C(1, 2), D(–1, –2), E(–2, –3),F(5, 0) y halla las coordenadas del punto medio de los segmentos , y AB ,CD y EF
M AB=(3−52 ,1+32 )=(−1 ,2 )
MCD=( 1−12 ,2−22 )=(0,0 )
MEF=(−2+52 ,−3+02 )=( 32 ,−32 )
5) Si los puntos (–6, 2), (–2, 6) y (2, 2) son vértices de un cuadrado, ¿cuálEs el cuarto vértice?
P(−2 ,2)
Pendiente
1) Halla la ecuación de las rectas que pasan por los puntos que se indican y represéntalas:
(2, 3) y (7, 0) (–2, 5) y por el origen de
coordenadas (–3, 2) y (3, 2) (0, 4) y (4, 0)
a) m=0−37−2
=−35
→ y=−35
( x−7 )
b) m=−52
=−35
→ y=−52
x