Angulos y circunferencia
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Departamento de Expresión Artística y Tecnología
Área de Educación Plástica y Visual
1. ÁNGULOS
Un ángulo es una porción de plano determinada por dos semirrectas con
un origen común.
Las semirrectas que lo forman se llaman lados del ángulo (r, s) y el punto
común de origen es el vértice (V).
Dos mismas semirrectas con origen común determinan dos ángulos
distintos; el menor de ellos se llama ángulo convexo y el mayor, cóncavo:
Los ángulos convexos son menores que un ángulo llano, mientras que los cóncavos son mayores que
un llano.
Los ángulos se miden en grados
TIPOS DE ÁNGULOS, SEGÚN SU MEDIDA
Recto
Un ángulo recto es igual a 90º.
Los dos lados de un ángulo recto
son perpendiculares entre sí
Agudo
Menor de 90º
Obtuso
Mayor de 90º
Llano
Igual a 180º
Los dos lados del ángulo son
semirrectas de la misma recta
Perigonal o Completo
Igual a 360º
Se obtiene al hacer girar la
semirrecta hasta colocarla en su
posición inicial. Por lo tanto, sus
lados coinciden.
V
r
s
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Suma de ángulos
Para sumar dos
ángulos se transporta uno de
ellos situándolo consecutivo al
otro. El ángulo formado por
los lados exteriores es el
ángulo suma.
RELACIONES ENTRE ÁNGULOS
SEGÚN SUS GRADOS SEGÚN SUS LADOS
IGUALES
Tienen el mismo número
de grados. Coinciden al
superponerlos
ADYACENTES
Tienen un lado común y
los otros dos en línea
recta
COMPLEMENTARIOS
Entre los dos suman 90º
CONSECUTIVOS
Tienen el mismo vértice
y un lado en común
SUPLEMENTARIOS
Entre los dos suman 180º
OPUESTOS
Tienen el mismo vértice
y sus lados son
prolongación de los del
otro
6. LA CIRCUNFERENCIA
La circunferencia es una curva plana y cerrada cuyos puntos son equidistantes
de un punto interior fijo llamado centro. Es importante distinguir entre
circunferencia y círculo: la primera es solo el contorno externo y el segundo incluye
también toda el área interior.
También se puede definir como el lugar geométrico de los puntos del plano
que están a la misma distancia de un punto fijo, llamado centro.
Resta de ángulos
Construcción de ángulos con
escuadra y cartabón
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Los elementos más importantes de la circunferencia son los siguientes:
Centro: punto que está a la misma distancia de todos los
puntos de la circunferencia.
Diámetro: Segmento que une dos puntos de la circunferencia
pasando por el centro.
Radio: segmento que une el centro con un punto cualquiera de
la circunferencia.
Cuerda: Segmento que une dos puntos de la circunferencia.
Secante: Recta que corta en dos puntos a la circunferencia.
Tangente: Recta que toca en un punto a la circunferencia.
Arco: porción de circunferencia comprendida entre dos puntos
de la misma
El círculo es la porción de plano limitada por una
circunferencia. Dentro de él se pueden distinguir diferentes figuras:
La parte de círculo limitada por una cuerda y su arco correspondiente se llama segmento circular.
La parte de círculo limitada por dos
radios y el arco comprendido entre ellos se
llama sector circular.
El sector circular formado por un
diámetro se llama semicírculo.
La porción de plano limitada por dos
circunferencias concéntricas se llama
corona circular.
La porción de plano limitada por dos
circunferencias concéntricas y dos radios
distintos se llama trapecio circular.
POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS CIRCUNFERENCIAS
Exteriores: si no tienen puntos comunes y la distancia entre sus centros es
mayor que la suma de sus radios.
Interiores: no tienen ningún punto común y la distancia entre sus centros
es menor que la diferencia de sus radios.
Concéntricas: si tienen el mismo centro.
Secantes: se cortan en dos puntos. La distancia entre los dos centros debe
ser menor que la suma de los dos radios.
cuerda
tangente
secante
cuerda
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Tangentes interiores: si tienen un punto común y la distancia entre sus
centros es igual a la diferencia de sus radios.
Tangentes exteriores: si tienen un punto común y la distancia entre sus
centros es igual a la suma de sus radios.
ANGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
Ángulo inscrito: Es aquel cuyo vértice está sobre la circunferencia y
cuyos lados son secantes. La amplitud de un ángulo inscrito equivale a
la mitad de la amplitud del arco que abarca.
Angulo semiinscrito: Es aquel cuyo vértice está sobre la
circunferencia, uno de sus lados es tangente y el otro, secante. Al igual
que en el inscrito, su amplitud equivale a la mitad de la amplitud del
arco que abarca.
Ángulo interior: es aquel cuyo vértice está en el interior de la
circunferencia. La amplitud de un ángulo interior equivale a la
semisuma de los arcos que abarca éste, y su opuesto por el vértice.
Angulo exterior es aquel cuyo vértice es exterior a la circunferencia y
sus lados, secantes. La amplitud de un ángulo exterior equivale a la
semidiferencia de las amplitudes de los arcos abarcados por él.
Angulo central es aquel que su vértice está en el centro de la
circunferencia. Por definición, su amplitud coincide con el arco que
abarca.
Ángulo circunscrito: Es el que tiene su vértice en un punto exterior a
la circunferencia y sus dos lados son tangentes a ésta.
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Propiedades y teoremas fundamentales de la circunferencia
La mediatriz de cualquier cuerda siempre pasa por el centro
Por tres puntos no alineados siempre pasa una única circunferencia
El punto de tangencia de dos circunferencias siempre está alineado con los centros de éstas
La recta tangente a una circunferencia siempre es perpendicular al radio que pasa por el punto de
tangencia
Todos los ángulos inscritos en un semicírculo son rectos
Circunferencias y polígonos
Circunferencia inscrita
Es la circunferencia interior a un polígono regular que es tangente a todos sus lados
Circunferencia circunscrita
Es la circunferencia que pasa por todos los vértices de un polígono regular
