Angulos y Funciones Trigonometric As

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Ángulos y funciones trigonométricas 1) En concepto de ángulo nace definiendo un objeto físico ubicado en el espacio físico: Dos semirectas de origen común O, dividen al plano en dos partes. Cada una de estas partes es un ángulo. El ángulo queda definido por su vértice, en este caso: O, sus lados, en este caso las dos rectas, y su interior, que se marca por un pequeño arco entre sus lados. Entonces, un ángulo cualquiera tiene: vértice, lados, e interior. Si consideramos un ángulo dado tiene 4 propiedades que lo caracterizan: i) Ubicación en el plano del vértice. ii) Pendiente de la bisectriz. iii) Dirección sobre la bisectriz que indica el interior del ángulo. iv) Abertura del ángulo. Se puede medir entre 0º y 360º sexagesimales. Dado un ángulo, que llamaremos , de abertura entre 0º y 90º, quedan definidas las funciones trigonométricas de la Geometría, trazando un segmento perpendicular a un lado que corte al otro. Esto es posible salvo que el ángulo sea recto, en cuyo caso definimos especialmente las funciones trigonométricas. En otro caso nos queda un triángulo rectángulo,y definimos: sor, car, toa. O sea: seno( )=cateto opuesto/radio vector coseno( )=cateto adyacente/radio vector tangente( )=cateto opuesto/cateto adyacente Radio vector es la hipotenusa del triángulo rectángulo. 1

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Ángulos y funciones trigonométricas

1) En concepto de ángulo nace definiendo un objeto físico ubicado en el espacio físico:

Dos semirectas de origen común O, dividen al plano en dos partes. Cada una de estas partes es un ángulo. El ángulo queda definido por su vértice, en este caso: O, sus lados, en este caso las dos rectas, y su interior, que se marca por un pequeño arco entre sus lados.

Entonces, un ángulo cualquiera tiene: vértice, lados, e interior.

Si consideramos un ángulo dado tiene 4 propiedades que lo caracterizan:

i) Ubicación en el plano del vértice.ii) Pendiente de la bisectriz.iii) Dirección sobre la bisectriz que indica el interior del ángulo.iv) Abertura del ángulo. Se puede medir entre 0º y 360ºsexagesimales.

Dado un ángulo, que llamaremos , de abertura entre 0º y 90º, quedan definidas las funciones trigonométricas de la Geometría, trazando un segmento perpendicular a un lado que corte al otro. Esto es posible salvo que el ángulo sea recto, en cuyo caso definimos especialmente las funciones trigonométricas. En otro caso nos queda un triángulo rectángulo,y definimos:

sor, car, toa.O sea:

seno( )=cateto opuesto/radio vectorcoseno( )=cateto adyacente/radio vectortangente( )=cateto opuesto/cateto adyacente

Radio vector es la hipotenusa del triángulo rectángulo.

Para aberturas mayores a 90º se definen en forma apropiada usando los valores del primer cuadrante con el mismo o distinto signo.

seno(0)=0, coseno(0)=1, seno(90)=1, coseno(90)=0

En lo que sigue, representaremos las funciones recién definidas con f en negrita: f

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Observemos que estas funciones no se pueden derivar, porque no sabemos que significa dividir un número por un ángulo, cosa que requiere el cociente incremental utilizado para definir la derivada.

Aberturas de ángulos y unidades

Muchas veces hemos oído y leído que los radianes no tienen unidades. Vamos a mostrar que esto es falso e innecesario.

Supongamos un antiguo griego haciendo dibujos en la arena y midiendo con rudimentarias reglas y transportadores graduados en grados sexagesimales.Nuestro amigo dibuja circunferencias, traza radios, y mide aberturas de ángulos. En distintos casos decide hacer la siguiente cuenta: medida de la abertura del ángulo por longitud del radio, dividido la longitud del arco correspondiente. Y encuentra algo que le llama la atención: salvo errores de medición, el resultado de esa cuenta es constante. Ha descubierto una constante de la Física, en este caso de la Geometría. Como generalmente ocurre en la Física, la constante tiene unidades y valor numérico que depende de las unidades de medición. Como está trabajando con grados sexagesimales(es evidente que no depende de las unidades con que mide distancias), resulta aproximadamente:

57.3º

Entonces define. K= =0.0174 , y afirma:

K R=L

Observemos que si la abertura del ángulo se mide en radianes, K se transforma así:

K=1

La confusión surge porque trabajando en radianes la constante es 1, y se olvida que tiene unidades.

La Matemática

En la matemática no hay magnitudes. Las funciones trigonométricas de la matemática van de R en R. No son las definidas recién.

En matemática no existe el espacio físico, por lo tanto el objeto que recién llamamos ángulo no existe dentro de ella.

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Pero si de un ángulo físico (decimos ángulo físico para resaltar que estamos trabajando en el espacio, pero en verdad, no existe otro tipo de ángulos) no nos interesan las cualidades i), ii), y iii), podemos establecer una correspondencia entre ángulos y aberturas de ángulos, tomando un ángulo patrón, cuya abertura es la abertura unitaria. Cuando trabajamos con grados sexagesimales, el ángulo patrón se obtiene dividiendo el plano en 360 ángulos iguales.Cuando trabajamos con radianes el ángulo patrón se obtiene dividiendo el plano en 2 ángulos iguales. Cosa tan imposible de hacer exactamente como dividir el plano en 360 partes iguales. En las calculadoras existe otra unidad de trabajo que toma como patrón el ángulo que surge de dividir el plano en 400 ángulos iguales.

Los "ángulos" de la matemática

En la matemática existen las funciones trigonométricas pero no existen los ángulos. Las funciones trigonométricas de la matemática se definen para interpretar las funciones de la Geometría recién definidas.

Tomemos un sistema de coordenadas en el espacio físico y consideremos una circunferencia de radio 1 centrada en el origen de coordenadas. Esta circunferencia tiene longitud 2.

Tomemos un número real x.Volvamos al espacio físico y consideremos una longitud de x veces la unidad considerada.A partir del (1,0) llevemos la longitud x sobre la circunferencia en sentido contrario a las agujas del reloj si x positivo, y en sentido contrario si x es menor que cero. Cuando concluyamos, estaremos en un punto de la circunferencia que define un ángulo .

Volvamos a la matemática para modelar el proceso recién imaginado:Si tomamos el entero n tal que: 2 n x<2 (n+1), el número x-2 n está en correspondencia con la abertura del ángulo recién encontrado medida en radianes. Supongamos que el punto sobre la circunferencia unitaria que lo define tiene coordenadas: (a,b).Entonces definimos las funciones trigonométricas de la matemática:

sen(x)=b y cos(x)=a.

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Vemos entonces que podemos definir ángulos con cualquier abertura real: positiva medida en sentido contrario a las agujas del reloj y negativa a la inversa.

Pero en matemática, las funciones trigonométricas están definidas sobre números reales.

Propiedades de las funciones trigonométricas de la Matemática

Con la definición recién dada, valen estas igualdades:

sen( /2)=sen(1.5708)=1, cos( /2)=0, =1,

sen(x)=cos(x), etc.

Si en el mundo físico estamos trabajando con una unidad distinta de los radianes,por ejemplo los grados sexagesimales, hay que tener en cuenta que las igualdades anteriores no valen.

Pongamos nuestra calculadora en Modo: grados sexagesimales. Vamos a simbolizar las funciones trigonométricas definidas sobre aberturas medidas en grados sexagesimales en negrita. Entonces:

sen( /2)=sen(1.5708)=0.027412. Pensemos que un ángulo de abertura 1.5708º es muy pequeño.

cos( /2)=cos(1.5708)=0.99962;

Si es la medida de una abertura de ángulo en grados sexagesimales:

= ; El seno de la izquiera es el que

calcula la calculadora en modo grados sexagesimales, y el seno de la derecha es el de la matemática o el que calcula la calculadora en modo radianes. Observe que coinciden para todo . Para calcular el límite de la derecha hacemos:

= = = =0.0174

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Para ver que esto es así, con la calculadora en grados

sexagesimales, calcule cocientes para x cada vez más

chico, y observe a que valor tienden.

Cuando la calculadora está en grados sexagesimales vale:

sen( )=sen( ), siendo el seno de la izquierda el de la

calculadora en modo grados sexagesimales, y el de la derecha el de la matemática o el de la calculadora en modo radianes.

Teniendo en cuenta que es la medida de la abertura de un ángulo en grados sexagesimales, o sea, un número real, vemos que:

= ,

siendo el seno de la iquierda el de la calculadora en modo grados sexagesimales, y el seno de la derecha el de la matemática o el de la calculadora en modo radianes. Entonces:

= =

= =cos( ) =

= cos( ),

Siendo este último coseno nuevamente el de la calculadora puesta en modo grados sexagesimales, o sea para las funciones de la calculadora en modo grados sexagesimales:

sen(x)= cos(x)

Para comprobarlo, coloque la calculadora en grados sexagesimales y calcule el cociente incremental:

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para valores de h cada vez menores y estime el límite.

Observe los gráficos de sen(x) y sen(x) con x entre -90 y 90

-75 -50 -25 25 50 75

-1

-0.5

0.5

1

Digamos finalmente:

¡Tengamos nuestra calculadora siempre en modo radianes!

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