Anillo Circular a Compresión.JUAN CAMILO CHAVEZ BOLAÑOS

Código 0733876e-mail juanchaco331@hotmail.com

DARIO FERNANDO CASTRO ORDOÑEZCódigo 0623927

e-mail dafcor88@hotmail.com

ResumenSe determinó por medio de cuatro métodos distintos, (Analítico, numérico, dos experimentales), los esfuerzos y direcciones principales que se presentan en un anillo circular de aluminio sometido a una carga diametral de 750 Kgf Para el primer método experimental, se utilizó un brazo metálico pivotado en uno de sus extremos. En el otro extremo de este, se aplicaron diferentes pesos con el fin de medir las deformaciones causadas por estos y poder determinar las ecuaciones para encontrar las deformaciones para un valor de fuerza en común. Estos valores fueron reemplazados en ecuaciones y se pudieron determinar dichos esfuerzos. El otro método experimental consistió en el análisis foto elástico de un prototipo del anillo en el cual se observo utilizando un proyector las distribución de esfuerzos presentes en dicho elemento, por medio de la física se utilizaron relaciones matemáticas que relacionaron en el coeficiente óptico C y la longitud de de onda de la luz monocromática usadaλ, ó el índice de franja f del experimento realizado al prototipo y se pudo determinar los esfuerzos para el anillo de aluminio. El método numérico consistió en utilizar un software computacional en el cual se modeló el anillo con sus condiciones de contorno reales el cual arrojó resultados de manera grafica y numérica, por último el modelo analítico consistió en utilizar la superposición planteada por Timoshenko en la cual se superponen las soluciones de un disco y las de un anillo cargados igualmente. Este método al ser realizado manualmente era muy tedioso por lo que se implemento un algoritmo en el programa MATLAB que hacia todos estos cálculos y los presentaba en forma de matrices. Los resultados obtenidos variaron de acuerdo al método utilizado. Se pudo concluir que la principal fuente de error en las mediciones de las deformaciones por medio de los strain gages, fue la falta de los valores reales de los gage factor de estos.

NomenclaturaE = Modulo de elasticidad del material.μ = Coeficiente de Poisson.R = Radio externo del disco.r = Radio interno del disco.t = Espesor del disco.ρ = Radio de medición.θ = Ángulo de medición.P = Carga diametral.σ p = Esfuerzo radial teórico.σ θ = Esfuerzo tangencial teórico.τ pθ = Esfuerzo cortante teórico.σ 1,2 = Esfuerzos principales teóricos.τ máx = Esfuerzo cortante máximo teórico.ε ρ = Deformación radial.ε θ = Deformación tangencial.ε d = Deformación diagonal.θ ' p = Dirección principal experimental.σ ' p = Esfuerzo radial experimental.σ ' θ = Esfuerzo tangencial experimental.τ ' pθ = Esfuerzo cortante experimental.

τ ' máx = Esfuerzo cortante máximo experimental.θ ' p = Dirección principal experimental.σ ' 1,2 = Esfuerzos principales experimentales.

IntroducciónEl muy importante conocer la distribución de esfuerzos de componentes mecánicos puesto que con estos valores se pueden determinar puntos críticos, donde la concentración de esfuerzos es considerable y podrían llevar a la falla por fluencia al material. Existen muchos métodos para determinar dichos esfuerzos tanto principales como cortantes. En el presente informe se utilizarán 4 procedimientos distintos, el primero de ellos consistirá en la aplicación de distintas cargas a un anillo circular de aluminio por medio de un brazo metálico, se registraran las deformaciones producidas y se utilizara la teoría para poder determinar dichos esfuerzos. El segundo método consistirá en un análisis fotoelástico de un prototipo del anillo en el cual será ubicado en un proyector en el cual se visualizarán la distribución de esfuerzos por medio de líneas isocromáticas e isóclinas. El tercer método se utilizará un software computacional ANSYS en el cual será creado el modelo real del anillo, y

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se obtendrán resultados tanto gráficamente como numéricamente. Por último se utilizara un método analítico propuesto por Timoshenko en el cual se superpondrá la solución de un disco y un anillo cargados igualmente utilizando un algoritmo desarrollado en MATLAB.

Marco Teórico

Método analítico: La distribución de esfuerzos en un anillo circular a compresión mediante la aplicación de cargas diametrales es la superposición de dos soluciones conocidas según la teoría de Timoshenko. Considerando el problema en dos dimensiones se puede obtener la solución superponiendo las soluciones conocidas del problema de un disco y un aro cargados de la misma forma.

Figura 1. Superposición de la solución de un disco y un anillo a compresión.

Los esfuerzos radiales σ p, tangenciales σ θ y los cortantes τ pθ en función de los esfuerzos tangenciales, radiales, cortantes de un anillo y de un disco son:

σ p=σ p(d )+σ p (a ) (1)σ θ=σθ (d)+σθ(a ) (2)τ pθ=τ pθ(d )+τ pθ (a ) (3)

Los esfuerzos radiales σ p(d ), tangenciales σ θ(d ) y los cortantes τ pθ(d) de un disco son función de P, R, r, t,θ se determinan mediante las siguientes ecuaciones:

σ ρ d=2 Paπ [ 1

2−

(1− ρa

cosθ)(cosθ− ρa )

2

(1+ ρ2

a2−2 ρa

cosθ)2

−(1+ ρ

acosθ)(cosθ+ ρ

a )2

(1+ ρ2

a2 +2 ρa

cosθ)2 ]

(4)

σ θ d=2Paπ [ 1

2−

(1− ρa

cosθ)sin2 θ

(1+ ρ2

a2−2 ρ

acosθ)

2−

(1+ ρa

cosθ)sin2θ

(1+ ρ2

a2+2 ρ

acosθ)

2 ] (5)

τ ρ d=2 Paπ [ 1

2−

(1−ρa

cosθ)(cosθ− ρa )sin θ

(1+ ρ2

a2−2 ρ

acosθ)

2+(1+ ρ

acosθ)(cosθ+ ρ

a )sin θ

(1+ ρ2

a2+2 ρ

acosθ)

2 ]

(6)

De manera análoga los esfuerzos radiales σ p(a), tangenciales σ θ(a) y los cortantes τ pθ(a) de un anillo en función de P, R, r, t,θ son:

σ ρ a=2PRπ

[ 0 ,506 r2

ρ2 ( R2−ρ2

R2−r2 )+(−2,268−0 ,4832 R4

ρ4 +2 ,752 R2

ρ2 )cos2 θ+

(−0 ,3691 ρ2

R2+0 ,2261 ρ4

R4 −0 ,0368 R6

ρ6 +0 ,1798 R4

ρ4 )cos4θ+

(−0 ,06504 ρ4

R4 +0 , 05013 ρ6

R6 −0 , 0041319 R8

ρ8 +0 ,01904 R6

ρ6 )cos6θ+

(−0 ,008758 ρ6

R6 +0 , 00040795 R10

ρ10 +0 ,0018146 R8

ρ8 )cos8θ+

(−0 ,0007880 ρ8

R8 +0 ,0006911 ρ10

R10−0 ,00002960 R12

ρ12 +0 ,0001265 R10

ρ10 )cos10 θ ]

(7)

σ θ a=2 PRπ

[−0 .506 r2

ρ2 ( R2+ ρ2

R2−ρ2 )+(2 .268−6 . 324 ρ2

R2+0 .4832 ρ4

R4 )cos (2θ )+

(0 . 3691 ρ2

R2−0. 6783 ρ4

R4 +0 . 0368 ρ6

R6−0 .0599 ρ4

R4 )cos (4θ )+

(0 . 06504 ρ4

R4 −0 .10026 ρ6

R6 +0 . 0041319 ρ8

R8 −0 . 00952 ρ6

R6 )cos (6θ )+

(0 . 008758 ρ6

R6 −0 .01225 ρ8

R8 +0.00040195 ρ10

R10−0 .0010888 ρ8

R8)cos(8θ )+

(0 . 0007880 ρ8

R8 −0 . 001037 ρ10

R10 +0 .00002960 ρ12

R12−0. 00008475 ρ10

R10 )cos (10θ ) ]

(8)

Título del Informe pg. 2

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(9)

Conocidos σ p,σ θ,τ pθ se pueden calcular σ 1,2, τ max y θp por medio de:

σ 1,2=σθ+σ p

2± 2√( σθ−σ p

2 )2

+(τ pθ)2

(10)

τ max=2√( σ

2 )2

+( τ pθ)2

(11)

τ max=2√( σθ−σ p

2 )2

+(τ pθ )2

(12)

tan2 θp=2 τ pθ

σθ−σ p

(13)

Cuando σ p y σθ son ambos de compresión o ambos de tensión, se puede obtener τ max con la ecuación 11, siendo σ el esfuerzo mayor entre σ p y σθ; cuando un esfuerzo es de tensión y el otro de compresión, τ max se halla por medio de la ecuación 12.

Método experimental (Medición de deformaciones):Los σ ' 1,2, τ 'máx, θ ' p de un elemento se pueden determinar experimentalmente una vez conocidas ε ρ , εθ,ε d y E,μ por medio de:

σ ' 1,2=E2 [ εθ+ε p

1−μ± 1

1+μ2√2 ( εθ−ε d )2+( εd−ε p )2]

(14)

τ ' max=E

2(1+μ)2√2 ( εθ−εd )2+( εd−ε p )2

(15)

tan2 θ ' p=2 ε d−εθ−ερ

εθ−ερ (16)

Método experimental (Fotoelasticidad):La fotoelasticidad es una técnica experimental para la medición de esfuerzos y deformaciones. Se basa en el uso de luz para dibujar figuras sobre piezas de materiales isótropos, transparentes y continuos, que están siendo sometidas a esfuerzos. Las figuras que se dibujan son semejantes a las mostradas al realizar un análisis de elementos finitos ya que se pueden observar contornos y colores. [1]

El esfuerzo cortante máximo del prototipo fotoelástico τ ' ' máx(p ) se puede calcular conocidos el número de franja n, el espesor del prototipo fotoelástico t( p), el coeficiente óptico C y la longitud de de onda de la luz monocromática usada λ, ó el índice de franja f, por medio de la siguiente ecuación:

τ ' ' máx(p )=σ1−σ2

2= nλ

2 tC= nf

2t (p ) (17)

La relación entre el τ ' 'máx(p ) y el esfuerzo máximo del anillo metálico τ ' 'máx (m ) se presenta en la ecuación 2.

τ ' ' máx(m )=τ ' ' máx(p )P

P(p)

t (p )

tR( p)

R= nf

2t (p)

PP( p)

t( p)

tR( p)

R

(18)

Para obtener las deformaciones experimentales ε 'en los puntos, estas deberán ser corregidas por:

ε '=F . C (ε−ε0 ) (19)

Donde:ε 0= Deformación previa que poseen las galgas en el

estado inicial.

F . C= 2G . F

(20)

La expresión utilizada para el porcentaje de error entre los datos es la siguiente:

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Error=|ValorTeorico−ValorExperimental|

ValorTeorico∗100 %

(21)

Lista de Equipos y Materiales

Para el primer método experimental (medición de deformaciones):

Anillo circular de aluminio con las siguientes propiedades:

Figura 1. Anillo circular de aluminio a compresión.

Tabla 1. Geometría y propiedades del anillo.Módulo de elasticidad, E (MPsi) 10,1Módulo de Poisson, µ 0,334Radio exterior, R (in) 4,5Radio interior, r (in) 2,25Espesor, t (in) 0,4Carga diametral, P (Kgf) 750

Las posiciones en las cuales será determinada la distribución de esfuerzos, el esfuerzo cortante máximo, esfuerzos principales y direcciones principales se indican en la siguiente figura:

Figura 2. Puntos de medición.

STRAIN INDICATOR, measurements group, instrument division (P3500 serie) deformímetro

120 Ω (ohm) resolución: μdeformaciones .

Figura 3. Control de lectura.

Strain gages con centro de lectura.

Figura 4. Strain Gage.

Barra metálica pivotada en uno de sus extremos por medio de la cual será aplicada la carga al anillo a través de un dado. Las dimensiones son:

Figura 5. Dimensiones del brazo utilizado para la aplicación de la carga diametral al anillo.

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Masas de diferentes valores.

Para el segundo método experimental (Análisis de Fotoelasticidad):

El anillo del modelo fotoelástico tiene las siguientes propiedades:

Tabla 2. Propiedades del prototipo fotoelástico.Radio exterior, Rp(in) 2

Espesor, t p (in) 0,235

Carga diametral, Pp (Lbf) 280

Índice de franja, f (Psi-in/Orden de franja) 88

ProcedimientoMétodo experimental (Medición de deformaciones)

- Se realizó el montaje de la figura 4, con la ayuda del instructor. - Por medio del control de lectura se tomaron las deformaciones iníciales para cada canal, se aumentó la carga progresivamente desde 2,79 Kgf hasta un valor de 42,34 Kgf, los valores de las deformaciones resultantes para cada peso fueron registrados. - Se rotó el disco 30º, 60º y 90º y en cada rotación se repitió el paso anterior. Los valores obtenidos en esta parte del experimento fueron registrados en las tablas 3 a 6.

Método experimental (Fotoelasticidad):-Con la ayuda del instructor se pudo observar las isocromáticas del prototipo del anillo circular sometido a compresión haciendo uso del proyector de perfiles del laboratorio de metrología.

Método numérico (Analisis con elementos finitos):-El software utilizado implementar el modelo con elementos finitos fue la herramienta computacional Ansys Parametryc Desing Lenguaje (APDL) en el cual se llevó a cabo un análisis estático lineal de esfuerzos.El procedimiento que se utilizó para modelar el anillo en ANSYS fue el siguiente:

- En preferences se seleccionó la disciplina que se iba a trabajar, en este caso STRUCTURAL.

- En Preprocessor, se asignó el elemento Shell, 4node 181. (Tipo placa con 4 nodos, cada uno con seis grados de libertad). Se tomó este elemento pues la relación del espesor es mucho menor con respecto a las demás medidas. (Teoría clásica de placas).

- Después de adicionar las real constants, se procede a definir el tipo del material y se crea la geometría de la pieza (ver figura 6).

Figura 6. Geometría del anillo modelado en ANSYS.

Por simetría en el anillo completo, se utilizó para el análisis solamente un cuarto de este.

- La línea exterior fue dividida en 60 partes, con el fin de aplicar en una de ellas una presión igual a 17565 psi (El valor de presión calculado para la fuerza aplicada de 750 N fue de 35130 Psi pero en el análisis se debió aplicar la mitad.)

- Se enmalló el área de la pieza a analizar.

Figura 7. Enmallado del modelo.

- Luego se aplicaron las condiciones de contorno (restricciones). La parte superior del anillo fue restringida para desplazamientos en la dirección X, y la parte inferior fue restringida para desplazamientos en la dirección Y, el área fue restringida para desplazamientos en la dirección Z.

-Por último, se aplicó la presión de 17565 Psi en la primera línea de la parte superior del anillo (Parte A de la figura 2), y se procedió a analizar el modelo.

Método Analítico:Para poder determinar la distribución de los esfuerzos del anillo teóricamente, se superpuso las soluciones para un

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disco y para un anillo (Solución dada por Timoshenko). Las ecuaciones 1 a 13, fueron desarrolladas para cada punto de medición (figura 2), por medio de un algoritmo implementado en el software MATLAB (ver Apéndice).

Datos y MedicionesMétodo experimental (Medición de deformaciones):Los valores de las deformaciones obtenidas para cada punto de medición fueron los siguientes:

Para el punto A:Tabla 3. Deformaciones experimentales en el punto A.

Posición Angular

Pesa (Kgf)

Peso (Kgf)

(± 1με )Atang Adiag Arad

30° (A) 0° (B, C, D)

0 0 253 710 16392,785 2,785 253 706 16382,785 5,57 253 705 16396,71 12,28 253 703 16446,71 18,99 253 698 1648

11,08 30,07 253 695 165911,32 41,39 253 685 1666

60° (A) 30° (B, C, D)

0 0 252 701 16222,785 2,785 251 708 16232,785 5,57 252 710 16206,71 12,28 252 718 16186,71 18,99 252 723 1616

11,08 30,07 252 728 161011,32 41,39 252 722 1605

90° (A) 60° (B, C, D)

0 0 252 712 16292,785 2,785 252 714 16252,785 5,57 252 718 16246,71 12,28 252 728 16216,71 18,99 252 735 1614

11,08 30,07 252 749 160211,32 41,39 252 760 1591

120°(A) 90° (B, C, D)

0 0 252 709 16292,785 2,785 252 710 16272,785 5,57 252 713 16256,71 12,28 252 716 16186,71 18,99 252 719 1610

11,08 30,07 252 728 160111,32 41,39 252 738 1594

Para el punto B:Tabla 4. Deformaciones experimentales en el punto B.

Posición Angular Pesa (Kgf) Peso (Kgf) (± 1με )

Btang Bdiag Brad

30° (A) 0° (B, C, D)

0 0 1365 105 -5172,785 2,785 1521 96 -5282,785 5,57 1564 88 -5366,71 12,28 1229 65 -5636,71 18,99 1260 40 -596

11,08 30,07 1241 6 -64611,32 41,39 1280 -31 -705

60° (A) 30° (B, C, D)

0 0 1232 113 -5052,785 2,785 1229 115 -5002,785 5,57 1226 113 -4986,71 12,28 1217 112 -4916,71 18,99 1207 100 -481

11,08 30,07 1186 74 -46811,32 41,39 1153 30 -460

90° (A) 60° (B, C, D)

0 0 1242 119 -5052,785 2,785 1244 116 -5072,785 5,57 1247 115 -5076,71 12,28 1254 114 -5096,71 18,99 1258 109 -512

11,08 30,07 1267 99 -51811,32 41,39 1272 87 -521

120°(A) 90° (B, C, D)

0 0 1250 120 -5082,785 2,785 1255 120 -5172,785 5,57 1261 117 -5156,71 12,28 1271 117 -5236,71 18,99 1278 114 -533

11,08 30,07 1297 115 -54411,32 41,39 1311 112 -554

Para el punto C:Tabla 5. Deformaciones experimentales en el punto C.

Posición Angular

Pesa (Kgf) Peso (Kgf) (± 1 με )

Ctang Cdiag Crad

30° (A) 0° (B, C, D)

0 0 1096 1230 27322,785 2,785 1098 1229 27292,785 5,57 1102 1230 27296,71 12,28 1110 1228 27246,71 18,99 1118 1225 271811,08 30,07 1132 1225 270811,32 41,39 1142 1222 2699

60° (A) 30° (B, C, D)

0 0 1083 1218 27322,785 2,785 1086 1220 27362,785 5,57 1086 1215 27386,71 12,28 1087 1206 27466,71 18,99 1083 1192 275411,08 30,07 1068 1156 276511,32 41,39 1043 1108 2770

90° (A) 60° (B, C, D)

0 0 1086 1224 27342,785 2,785 1082 1219 27332,785 5,57 1079 1215 27326,71 12,28 1072 1206 27356,71 18,99 1063 1192 273311,08 30,07 1047 1168 273411,32 41,39 1028 1137 2728

120°(A) 90° (B, C, D)

0 0 1085 1223 27262,785 2,785 1083 1226 27282,785 5,57 1083 1219 27256,71 12,28 1073 1209 27226,71 18,99 1059 1195 271511,08 30,07 1041 1179 271011,32 41,39 1014 1161 2706

Para el punto C:Tabla 6. Deformaciones experimentales en el punto D.

Posición Angular

Pesa (Kgf) Peso (Kgf) (± 1με )

Dtang

30° (A) 0° (B, C, D)

0 0 -10042,785 2,785 -9742,785 5,57 -9406,71 12,28 -870

Título del Informe pg. 6

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6,71 18,99 -79011,08 30,07 -66211,32 41,39 -525

60° (A) 30° (B, C, D)

0 0 -10312,785 2,785 -10222,785 5,57 -10126,71 12,28 -9866,71 18,99 -960

11,08 30,07 -91211,32 41,39 -863

90° (A) 60° (B, C, D)

0 0 -10752,785 2,785 -10912,785 5,57 -11046,71 12,28 -11446,71 18,99 -1186

11,08 30,07 -125511,32 41,39 -1335

120°(A) 90° (B, C, D)

0 0 -10912,785 2,785 -11122,785 5,57 -11406,71 12,28 -12146,71 18,99 -1283

11,08 30,07 -140211,32 41,39 -1520

Análisis de DatosSolución por medio del Método experimental

(Medición de deformaciones):Por medio de la ecuación 19, se corrigieron las deformaciones tomando como valor para GF= 2 para todos los strain gages, se supuso este valor ya que no se conocen los reales para cada strain gage.Los resultados para esta parte del análisis fueron:

Tabla 7. Deformaciones corregidas experimentales en el punto A.

Posición Angular Pesa (Kgf) Peso (Kgf) (± 1με )

Atang Adiag Arad

30° (A) 0° (B, C, D)

0 0 0 0 02,785 2,785 0 -4 -12,785 5,57 0 -5 06,71 12,28 0 -7 56,71 18,99 0 -12 911,08 30,07 0 -15 2011,32 41,39 0 -25 27

60° (A) 30° (B, C, D)

0 0 0 0 02,785 2,785 -1 7 12,785 5,57 0 9 -26,71 12,28 0 17 -46,71 18,99 0 22 -611,08 30,07 0 27 -1211,32 41,39 0 21 -17

90° (A) 60° (B, C, D)

0 0 0 0 02,785 2,785 0 2 -42,785 5,57 0 6 -56,71 12,28 0 16 -86,71 18,99 0 23 -1511,08 30,07 0 37 -27

11,32 41,39 0 48 -38

120°(A) 90° (B, C, D)

0 0 0 0 02,785 2,785 0 1 -22,785 5,57 0 4 -46,71 12,28 0 7 -116,71 18,99 0 10 -1911,08 30,07 0 19 -2811,32 41,39 0 29 -35

Para el punto B:Tabla 8. Deformaciones corregidas experimentales en

el punto B.Posición Angular Pesa (Kgf) Peso (Kg) (± 1με )

Btang Bdiag Brad

30° (A) 0° (B, C, D)

0 0 0 0 02,785 2,785 156 -9 -112,785 5,57 199 -17 -196,71 12,28 -136 -40 -466,71 18,99 -105 -65 -7911,08 30,07 -124 -99 -12911,32 41,39 -85 -136 -188

60° (A) 30° (B, C, D)

0 0 0 0 02,785 2,785 -3 2 52,785 5,57 -6 0 76,71 12,28 -15 -1 146,71 18,99 -25 -13 2411,08 30,07 -46 -39 3711,32 41,39 -79 -83 45

90° (A) 60° (B, C, D)

0 0 0 0 02,785 2,785 2 -3 -22,785 5,57 5 -4 -26,71 12,28 12 -5 -46,71 18,99 16 -10 -711,08 30,07 25 -20 -1311,32 41,39 30 -32 -16

120°(A) 90° (B, C, D)

0 0 0 0 02,785 2,785 5 0 -92,785 5,57 11 -3 -76,71 12,28 21 -3 -156,71 18,99 28 -6 -2511,08 30,07 47 -5 -3611,32 41,39 61 -8 -46

Para el punto C:Tabla 9. Deformaciones corregidas experimentales en

el punto C.Posición Angular

Pesa (Kg)

Peso (Kg)

(± 1με )Ctang Cdiag Crad

30° (A) 0° (B, C,

D)

0 0 0 0 02,785 2,785 2 -1 -32,785 5,57 6 0 -36,71 12,28 14 -2 -86,71 18,99 22 -5 -1411,08 30,07 36 -5 -2411,32 41,39 46 -8 -33

60° (A) 30° (B, C,

D)

0 0 0 0 02,785 2,785 3 2 42,785 5,57 3 -3 6

Título del Informe pg. 7

16 December 2010

6,71 12,28 4 -12 146,71 18,99 0 -26 2211,08 30,07 -15 -62 3311,32 41,39 -40 -110 38

90° (A) 60° (B, C,

D)

0 0 0 0 02,785 2,785 -4 -5 -12,785 5,57 -7 -9 -26,71 12,28 -14 -18 16,71 18,99 -23 -32 -111,08 30,07 -39 -56 011,32 41,39 -58 -87 -6

120°(A) 90° (B, C,

D)

0 0 0 0 02,785 2,785 -2 3 22,785 5,57 -2 -4 -16,71 12,28 -12 -14 -46,71 18,99 -26 -28 -1111,08 30,07 -44 -44 -1611,32 41,39 -71 -62 -20

Para el punto C:Tabla 10. Deformaciones corregidas experimentales en el punto D.

Posición Angular

Pesa (Kgf)

Peso (Kgf)

(± 1 με )Dtang

30° (A) 0° (B, C,

D)

0 0 02,785 2,785 302,785 5,57 646,71 12,28 1346,71 18,99 21411,08 30,07 34211,32 41,39 479

60° (A) 30° (B, C,

D)

0 0 02,785 2,785 92,785 5,57 196,71 12,28 456,71 18,99 7111,08 30,07 11911,32 41,39 168

90° (A) 60° (B, C,

D)

0 0 02,785 2,785 -162,785 5,57 -296,71 12,28 -696,71 18,99 -11111,08 30,07 -18011,32 41,39 -260

120°(A) 90° (B, C,

D)

0 0 02,785 2,785 -212,785 5,57 -496,71 12,28 -1236,71 18,99 -19211,08 30,07 -31111,32 41,39 -429

Se graficaron las cargas aplicadas versus las deformaciones corregidas de las tablas anteriores con el fin de determinar el comportamiento de estas y poder obtener las deformaciones producidas en el anillo al aplicarle una carga diametral de 750 Kgf Las gráficas generadas para cada punto fueron las siguientes:

Para la posición angular 30º (A) 0º (B, C, D):Gráfica 1.

Gráfica 2.

Gráfica 3.

Gráfica 4.

Título del Informe pg. 8

16 December 2010

Para la posición angular 60º (A) 30º (B, C, D):

Gráfica 5.

Gráfica 6.

Gráfica 7.

Gráfica 8.

Para la posición angular 90º (A) 60º (B, C, D):

Gráfica 9.

Gráfica 10.

Gráfica 11.

Título del Informe pg. 9

16 December 2010

Gráfica 12.

Para la posición angular 120º (A) 90º (B, C, D):

Gráfica 13.

Gráfica 14.

Gráfica 15.

Gráfica 16.

Utilizando las ecuaciones de las rectas de las gráficas anteriores, se pudo determinar el valor de las deformaciones para cada punto, teniendo en cuenta que el valor de x para cada recta tiene un valor de 41,18 Kgf debido a que se necesitó aplicar esta carga al brazo metálico de la figura 5 para que la fuerza en el dado sea de 750 Kgf.

Las deformaciones para la carga de 41,18 Kgf fueron tabuladas de la siguiente manera:

Para el punto A:Tabla 11. Deformaciones experimentales para 750 Kgf en el punto A.

Posición Angular Peso (Kg)

(± 1με )Atang Adiag Arad

30° (A) 0° (B, C, D) 41,18 0,00 -23,37 26,52

60° (A) 30° (B, C, D) 41,18 0,08 28,07 -16,51

90° (A) 60° (B, C, D) 41,18 0,00 49,05 -36,69

120° (A) 90° (B, C, D) 41,18 0,00 27,31 -36,55

Para el punto B:Tabla 12. Deformaciones experimentales para 750 Kgf en el punto B.

Posición Angular Peso (Kg)

(± 1με )Btang Bdiag Brad

30° (A) 0° (B, C, D) 41,18 -155,20 -135,95 -182,22

60° (A) 30° (B, C, D) 41,18 -71,56 -68,44 46,98

90° (A) 60° (B, C, D) 41,18 31,76 -29,17 -16,26

120° (A) 90° (B, C, D) 41,18 61,76 -8,09 -47,07

Para el punto C:Tabla 13. Deformaciones experimentales para 750 Kgf en el punto C.

Título del Informe pg. 10

16 December 2010

Posición Angular Peso (Kg)

(± 1με )Ctang Cdiag Crad

30° (A) 0° (B, C, D) 41,18 47,11 -7,85 -32,43

60° (A) 30° (B, C, D) 41,18 -30,17 -97,21 40,88

90° (A) 60° (B, C, D) 41,18 -55,49 -81,69 -3,53

120° (A) 90° (B, C, D) 41,18 -66,17 -61,69 -21,06

Para el punto D:Tabla 14. Deformaciones experimentales para 750 Kgf en el punto D.

Posición Angular Peso (Kg)

(± 1με )Dtang

30° (A) 0° (B, C, D) 41,18 472,50

60° (A) 30° (B, C, D) 41,18 164,69

90° (A) 60° (B, C, D) 41,18 -253,27

120° (A) 90° (B, C, D) 41,18 -426,19

A partir de los valores registrados en las tablas 11 a 14, se determinaron los esfuerzos principales por medio de la ecuación 14, el esfuerzo cortante máximo con la ecuación 15 y las direcciones principales haciendo uso de la ecuación 16.

Los resultados obtenidos para cada punto fueron:Para el punto A:Tabla 15. Esfuerzos y direcciones principales en el punto A.

Posiciónangular

A Esf princ

1 (Psi)Esf princ

2 (Psi)Esf Cort

máx. (Psi)Dir. princ

º30 º (A)

0º(B,C,D) 495,95 -93,88 294,91 0,6160 º (A)

30º(B,C,D) 156,42 -407,92 282,17 0,6790 º (A)

60º(B,C,D)249,13 -812,43 530,78 0,65

120 º (A)90º(B,C,D) 92,02 -659,87 375,94 0,59

Para el punto B:Tabla 16. Esfuerzos y direcciones principales en el punto B.

Posiciónangular

B Esf princ

1 (Psi)Esf princ 2

(Psi)Esf Cort

máx. (Psi)Dir.

princ º30 º (A)

0º(B,C,D) -2289,93 -2826,65 268,36 0,5960 º (A)

30º(B,C,D) 429,78 -807,79 618,78 0,3890 º (A) 451,28 -215,66 333,47 -0,50

60º(B,C,D)120 º (A)

90º(B,C,D) 534,28 -317,84 426,06 -0,14

Para el punto C:Tabla 17. Esfuerzos y direcciones principales en el punto C.

Posiciónangular

C Esf princ

1 (Psi)Esf princ

2 (Psi)Esf Cort

máx. (Psi)Dir.

princ º30 º (A)

0º(B,C,D) 433,58 -211,01 322,30 -0,1860 º (A)

30º(B,C,D) 897,89 -750,79 824,34 0,6290 º (A)

60º(B,C,D) -8,08 -890,40 441,16 0,55120 º (A)

90º(B,C,D) -454,74 -882,50 213,88 0,34Solución por medio del Método numérico (Análisis con elementos finitos):

La distribución de esfuerzos para una presión de 17565 Psi aplicada en la parte superior del anillo fue la siguiente:

Figura 8. Distribución de esfuerzos.

La distribución de esfuerzos utilizando el criterio de Von Misses generada por ANSYS fue la siguiente:

Figura 9. Distribución de esfuerzos de Von Misses.

Título del Informe pg. 11

16 December 2010

Se obtuvo un valor máximo igual a 41189 Psi y un valor mínimo de 73,595 Psi.

La distribución de los esfuerzos principales fueron los siguientes:

Figura 10. Esfuerzo Principal 1.

Figura 11. Esfuerzo Principal 2.

Figura 12. Esfuerzo Principal 3.

Utilizando la herramienta Query Results-Subgrid Solu, en la sección de General Postproc, se pudo determinar el valor de los esfuerzos principales para cada posición:

Figura 13. Esfuerzos principales 1 en cada posición.

Figura 14. Esfuerzos principales 2 en cada posición.

Figura 15. Esfuerzos principales 3 en cada posición.

Título del Informe pg. 12

16 December 2010

Los resultados para los esfuerzos principales en cada posición fueron resumidos en la siguiente tabla:

Tabla 18. Esfuerzos principales resultantes por el método de elementos finitos.

ESFUERZOS PRINCIPALES EN CADA NODORadio (in)

Angulo (°) Esfuerzo princ. 1

(Psi)

Esfuerzo princ.2 (Psi)

Esfuerzo princ. 3 (Psi)

2,25 30 2369 0 -44,8052,25 60 0 -247,789 -85552,25 90 13613 417,51 02,25 180 0 -398,21 -12249

3 30 3107 0 -33693 60 185,87 0 -40373 90 2827 0 -14183 180 0 -1305 -3967

3,75 30 1474 0 -31773,75 60 893.38 0 -14443,75 90 0 -1753 -74623,75 180 617,38 0 -738,134,5 30 11,652 0 -27714,5 60 2252 0 -7,1264,5 90 0 -33507 -445594,5 180 4110 0 -4,132

Solución por medio del Método analítico:Los esfuerzos principales, y el esfuerzo cortante máximo generados por el algoritmo en MATLAB fueron los siguientes:

Tabla 19. Esfuerzos generados en MATLAB.Posición

 Angulo Esfuerzo

Principal 1(Psi)

Esfuerzo Principal 2

(Psi)

Esfuerzo Cortante

máx.(Psi)

A 30º 39,48 -334,45 186,9760º 1856,47 -0,29 928,3190º 2810,47 -0,44 1405,45

120º 2149,11 -0,29 1074,63B 0º 301,65 -4380,82 2341,16

30º 762,53 -1246,79 1006,9860º 1315,45 55,16 723,7790º 1630,45 730,31 815,23

C 0º 2453,66 -3936,48 3195,1430º 1861,26 -2506,35 2212,1160º 1215,44 -278,42 802,4590º 2135,18 -25,26 1101,92

D 0º 7915,50 -7224,97 7570,3030º 3521,76 -4723,98 4147,6960º 1991,03 -1460,76 1725,9790º 5045,51 -2697,82 3924,43

Solución por medio del método fotoelástico:

Con las isocromáticas del modelo fotoelástico tomadas de la guía del laboratorio, se puede encontrar el número de franja, como lo indica la siguiente figura:

Figura 16. Número de franja en el prototipo del anillo.

Estas franjas representan la diferencia entre los esfuerzos principales; en las fronteras libres el esfuerzo normal es cero, correspondiente al esfuerzo tangencial. Utilizando la Ecuación 17 se encuentran los esfuerzos cortantes máximos para el prototipo, por medio de la ecuación 18 se encuentran dichos esfuerzos para el modelo (Anillo de aluminio).Para determinar las direcciones principales, se utilizó la figura 17 la cual muestra las isóclinas del prototipo del anillo utilizado en el experimento fotoelástico:

Figura 17. Isoclinas del prototipo.

Título del Informe pg. 13

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Los esfuerzos cortantes y las direcciones principales encontrados fueron los siguientes:

Tabla 20. Esfuerzos cortantes por medio del análisis foto elástico.Angulo Punt

o Radio [in]

Número de

Franja

Esfuerzo cortante

(Psi)

Dirección principal.

º0º B 3,75 9 1156,21 0

C 3,00 4 867,19 0D 2,25 3 2601,29 0

30º A 4,00 9 578,03 30B 3,75 2 867,19 53C 3,00 3 1445,23 70D 2,25 5 578,03 0

60º A 4,50 2 578,03 60B 3,75 2 578,03 28C 3,00 2 867,19 5D 2,25 3 1734,68 0

90º A 4,50 6 867,19 0B 3,75 3 289,02 0C 3,00 1 578,03 0D 2,25 2 2601,29 0

120º A 4,50 9 289,02 30

Discusión de ResultadosLa distribución de esfuerzos de la figura 8, cumple con el patrón fotoelástico de la figura 16, lo que garantiza la validez de dicho modelo. Sin embargo, los resultados experimentales difieren de los analíticos considerablemente.

Se encuentra que los mayores esfuerzos cortantes están en las ubicaciones para el radio interior a 0 y 90°.

Los resultados finales presentaron variación de acuerdo al método que se utilizó. Las posibles causas de estas variaciones pudieron ser: El anillo ha sido utilizado durante un gran periodo de tiempo y por ende podrían existir variaciones en las propiedades mecánicas de este, así como podrían haberse presentado fluencia en el material lo que conlleva a variaciones con los datos obtenidos con los otros modelos, los cuales consideran el anillo como una pieza homogénea e isotrópica. Una de las principales fuentes de variación de los valores del método experimental por medio de las deformaciones respecto a los demás métodos, pudo ser la ausencia del valor real del gage factor de cada uno de los strain gages utilizados en el experimento. En este caso se utilizó un valor igual a 2 lo cual puede ser incorrecto y eso conlleva a valores se alejan de la realidad del experimento. No se debe olvidar que los strain gages son dispositivos eléctricos por lo cual son vulnerables a las corrientes parasitas que al hacer contacto con el aluminio pueden presentarse errores en la lectura. La presión aplicada en el modelo por medio del método de elementos finitos es un valor aproximado, lo que conlleva a variaciones con respecto a los valores reales. Además se debe tener en cuenta al momento de analizar geometrías por medio de este tipo de software se pueden obtener resultados completamente diferentes a los esperados ya que si el tipo de elemento seleccionado no es el adecuado para el modelo, o si las condiciones de contorno no son las reales, este tipo de programas arrojaran resultados de acuerdo a la configuración hecha por el usuario. Por ende al momento de utilizar dichos paquetes computacionales se debe tener un conocimiento que le permita reconocer dichos factores importantes mencionados anteriormente.

Otra parte importante que se debe resaltar al usar estos programas es que se necesita hacer un análisis de convergencia para determinar qué cantidad de elementos o nodos son necesarios para obtener una solución aproximada. En el planteamiento analítico se considera que el anillo está sometido a una fuerza puntual y no a una presión, como se supone para los otros métodos.

El método de fotoelasticidad no es apropiado para obtener valores exactos de esfuerzos sino para observar la distribución de éstos en la pieza. El orden de franja permite hacerse una idea de la magnitud del esfuerzo en los puntos y se puede encontrar también la orientación de las direcciones principales. Este método se realiza con

Título del Informe pg. 14

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ayuda de un prototipo, que no tiene en cuenta las particularidades de la pieza, como geometría, material, entre otras tales como discontinuidades en el material y variaciones de la geometría, etc.

Conclusiones-Se determinó por medio de cuatro métodos distintos,

los esfuerzos principales, esfuerzos cortantes máximos y direcciones principales de un anillo de aluminio sometido a una carga diametral de 750 Kgf

-El método experimental en el cual se utilizaron strain gages, fue el que tuvo mayor diferencia en los resultados con respecto a los otros métodos, debido a la falta de los valores reales del Gafe factor correspondiente a cada uno de estos.

-Se encuentra que la distribución de esfuerzo por los

métodos visuales utilizados (ANSYS y fotoelasticidad) siguen un comportamiento muy similar para el problema del anillo.

-Los mayores esfuerzos cortantes se encontraron en el radio interior a 0 y 90º.

Referencias

[1 ] http://es.wikipedia.org/wiki/esfuerzo

Castro Ardila, Oscar Gerardo., Laboratorio ingeniería mecánica 1, proyecto de curso’ Santiago de Cali, universidad del Valle, 2010.Luis Manuel sanchez morales., Laboratorio ingeniería mecánica, laboratorio de fotoelasticidad` Guatemala, universidad de San Carlos, 2006.

Apéndice

Algoritmo en MATLABpara la determinación de esfuerzos principales, esfuerzo cortante máximo y direcciones principales.

Archivo Solucion_Analitica.m

clear allclc

%%CARACTERISTICAS DEL ANILLOa = 4.5*0.0254; %Radio Exterior (m)r = 2.25*0.0254; %Radio Interior (m)t = 0.4*0.0254; %Espesor (m)

P= 750*9.81; %Carga Aplicada (N)

%%PUNTOS DE MEDICIÓNang_A = (pi/180)*[30 60 90 120]; % Angulos para la Roseta A (º)ang = (pi/180)*[0 30 60 90]; % Angulos para las Rosetas B C D (º)ro = 0.0254*[4.5 3.75 3.00 2.25]; % Radios de A B C D (m)

%%DEFINICION DE MATRICESEsfuerzos = sparse(16,3); % Matriz de Esfuerzos en los Puntos de MediciónEsf_Prin = sparse(16,3); % Matriz de Esfuerzos PrincipalesDir_Prin = sparse(16,1); % Matriz de Direcciones Principales

n=1; % Contador

%%SECUENCIA PARA OBTENER LOS ESFUERZOS EN LOS PUNTOS DE MEDICIÓN

for i=1:4 % 1-A 2-B 3-C 4-Dfor j=1:4 % 1-30 2-60 3-90 4-120if i==1 %Para A escoja los Angulos "ang_A"teta=ang_A;Solucion_Disco; %Llamando al Programa "Solucion_Disco"Esfuerzos(n,1:3) = Soldisco(1,1:3); % Matriz de Esfuerzosn=n+1;elseteta=ang; %Para B, C y D escoja los Angulos "ang"Solucion_Disco; %Llamando al Programa "Solucion_DiscoEsfuerzos(n,1:3) = Soldisco(1,1:3); % Matriz de Esfuerzosn=n+1;endendendEsfuerzos;

%%SECUENCIA PARA OBTENER LOS ESFUERZOS PRINCIPALES, LAS DIRECCIONES PRINCIPALES Y EL ESFUERZO CORTANTE MAXIMO EN LOS PUNTOS DE MEDICIÓN

Título del Informe pg. 15

16 December 2010

for i=1:16r= sqrt(((Esfuerzos(i,1)-Esfuerzos(i,2))/2)^2+ (Esfuerzos(i,3))^2); %Término 1p= (Esfuerzos(i,1)+Esfuerzos(i,2))/2; %Término 2Esf_Prin(i,1) = p + r; %Esfuerzo Principal en la Dirección 1Esf_Prin(i,2) = p - r; %Esfuerzo Principal en la Dirección 2if (Esfuerzos(i,1)<0 & Esfuerzos(i,2)<0) | (Esfuerzos(i,1)>0 & Esfuerzos(i,2)>0);Esf_Prin(i,3) = sqrt((max(abs(Esfuerzos(i,1:2)))/2)^2 + Esfuerzos(i,3)^2); %Esfuerzo Cortante MáximoelseEsf_Prin(i,3) = r; %Esfuerzo Cortante MáximoendDir_Prin(i) = (180/pi)*(atan(2*Esfuerzos(i,3)/(Esfuerzos(i,1)-Esfuerzos(i,2))))/2; %Matriz de Direcciones Principalesend

Esf_Prin%SECUENCIA PARA EL ANILLO

%DEFINICIÓN DE LAS MATRICES:Esfuerzos_anillo= sparse(16,3); % Matriz de Esfuerzos en los Puntos de MediciónEsf_Prin_anillo = sparse(16,3); % Matriz de Esfuerzos PrincipalesDir_Prin_anillo = sparse(16,1); % Matriz de Direcciones Principales

n=1; % Contador

%SECUENCIA PARA OBTENER LOS ESFUERZOS EN LOS PUNTOS DE MEDICIÓN

for i=1:4 % 1-A 2-B 3-C 4-Dfor j=1:4 % 1-0 2-30 3-60 4-120if i==1 %Para A escoja los Angulos "ang_A"teta=ang_A;Solucion_Anillo; %Llamando al Programa "Solucion_Anillo"

Esfuerzos_anillo(n,1:3) = SolucionAnillo(1,1:3); % Matriz de Esfuerzosn=n+1;elseteta=ang; %Para B, C y D escoja los Angulos "ang"Solucion_Anillo; %Llamando al Programa "Solucion_aroEsfuerzos_anillo(n,1:3)=SolucionAnillo(1,1:3); % Matriz de Esfuerzosn=n+1;endendendEsfuerzos_anillo;

%SECUENCIA PARA OBTENER LOS ESFUERZOS PRINCIPALES, LAS DIRECCIONES PRINCIPALES Y EL ESFUERZO CORTANTE MÁXIMO EN LOS PUNTOS DE MEDICIÓN

for i=1:16raiz= sqrt(((Esfuerzos_anillo(i,1)-Esfuerzos_anillo(i,2))/2)^2+ (Esfuerzos_anillo(i,3))^2); %Término 1S= (Esfuerzos_anillo(i,1)+Esfuerzos_anillo(i,2))/2; %Término 2Esf_Prin_anillo(i,1) = S + raiz; %Esfuerzo Principal en la Dirección 1Esf_Prin_anillo(i,2) = S - raiz; %Esfuerzo Principal en la Dirección 2if (Esfuerzos_anillo(i,1)<0 & Esfuerzos_anillo(i,2)<0) | (Esfuerzos_anillo(i,1)>0 & Esfuerzos_anillo(i,2)>0)Esf_Prin_anillo(i,3) = sqrt((max(abs(Esfuerzos_anillo(i,1:2)))/2)^2 + Esfuerzos_anillo(i,3)^2); %Esfuerzo Cortante MáximoelseEsf_Prin_anillo(i,3) = raiz; %Esfuerzo Cortante MáximoendDir_Prin_anillo(i) = (180/pi)*(atan(2*Esfuerzos_anillo(i,3)/(Esfuerzos_anillo(i,1)-Esfuerzos_anillo(i,2))))/2 ; %Matriz de Direcciones PrincipalesendEsf_Prin_anillo;

Título del Informe pg. 16

16 December 2010

%SUPERPOSICIÓN (SOLUCIÓN) Ecuación 10-3

%ESFUERZOS PRINCIPALES

Esfuerzos_Principales= Esf_Prin + Esf_Prin_anillo

%DIRECCIONES PRINCIPALES

Direcciones_Principales= Dir_Prin_anillo + Dir_Prin

Archivo Solucion_Disco.m

%DISCO%%SECUENCIA PARA OBTENER LA SOLUCIÓN DEL DISCO

c = 2*P/(pi*a*t); % Término 1cn = cos(teta(j)); % Término 2c1 = ro(i)*cn/a; % Término 3c2 = (1 + (ro(i)/a)^2-(2*ro(i)*cn/a))^2; % Término 4c22 = (1 + (ro(i)/a)^2+(2*ro(i)*cn/a))^2; % Término 5c3 = cn-(ro(i)/a); % Término 6c4 = sin(teta(j)); % Término 7

Soldisco = c*[(1/2)-((1-c1)*c3^2/c2)-((1+c1)*(cn+(ro(i)/a))^2/c22) (1/2)-((1-c1)*c4^2/c2-((1+c1)*c4^2/c22)) ((1-c1)*c4*c3/c2)+((1+c1)*c4*(cn+(ro(i)/a))/c22)];

Archivo Solucion_Anillo.m

%ANILLO%SECUENCIA PARA OBTENER LA SOLUCIÓN DEL ANILLO

c = 2*P/(pi*a*t); % Término 1

cn_2 = cos(2*teta(j)); % Término 2cn_4 = cos(4*teta(j)); % Término 3cn_6 = cos(6*teta(j)); % Término 4cn_8 = cos(8*teta(j)); % Término 5cn_10 = cos(10*teta(j)); % Término 6

jc = (a/(ro(i))); % Término 7jc2 = (r/(ro(i))); % Término 8sn_2 = sin(2*teta(j)); % Término 9sn_4 = sin(4*teta(j)); % Término 10sn_6 = sin(6*teta(j)); % Término 11sn_8 = sin(8*teta(j)); % Término 12sn_10 = sin(10*teta(j)); % Término 13

rofin= (ro(i));

% ECUACIONES PARA LA SOLUCIÓN DEL ANILLO 10-7 a 10-9

Sigma_radial_anillo = c*(0.506*jc2^2*((a^2-rofin^2)/(a^2-r^2))+(-2.268-0.4832*(jc^4)+ 2.752*(jc^-2))*cn_2+(-0.3691*((inv(jc))^2)+ 0.2261*((inv(jc))^4)- 0.0368*(jc^6)+0.1798*(jc^4))*cn_4 + (-0.06504*((inv(jc))^4)+ 0.05013* ((inv(jc))^6)- 0.0041319*(jc^8)+ 0.01904 *(jc^6))*cn_6 + (-0.008758 *((inv(jc))^6)+ 0.007352 * ((inv(jc))^8)- 0.00040795* (jc^10)+ 0.0018146 * (jc^8))*cn_8 + (-0.0007880 * ((inv(jc))^8) + 0.0006911 * ((inv(jc))^10)- 0.0000296 * (jc^12)+ 0.0001265 * (jc^10))* cn_10);

Sigma_tang_anillo = c*(-0.506*jc2^2*((a^2+rofin^2)/(a^2-r^2))+(2.268-6.324*(inv(jc))^2+0.4832*jc^4)*cn_2+(0.3691*((inv(jc))^2) - 0.6783*((inv(jc))^4)+ 0.0368*(jc^6)- 0.0599*(jc^4))*cn_4 + (0.06504*((inv(jc))^4)-

Título del Informe pg. 17

16 December 2010

0.10026*((inv(jc))^6)+ 0.0041319*(jc^8)- 0.00952*(jc^6))*cn_6 + (0.008758 *((inv(jc))^6)- 0.001225*((inv(jc))^8)+ 0.00040795*(jc^10)- 0.0010888*(jc^8))*cn_8 + (0.0007880*((inv(jc))^8) - 0.001037*((inv(jc))^10)+ 0.0000296*(jc^12)- 0.00008475*(jc^10))*cn_10);

Tao_anillo = c* ( (2.268-3.162*((inv(jc))^2)- 0.4832*(jc^4)+ 1.376*(jc^2))* sn_2 + ( 0.3691* ((inv(jc))^2)- 0.4522*((inv(jc))^4) - 0.03680*(jc^6)+ 0.1198*(jc^4))*sn_4 + ( 0.06504*((inv(jc))^4)- 0.07520*((inv(jc))^6) - 0.0041319*(jc^8) +

0.01428*(jc^6))*sn_6 + (0.008758*((inv(jc))^6) - 0.009802*((inv(jc))^8) - 0.00040795*(jc^10) + 0.0014517*(jc^8))*sn_8 + (0.0007880*((inv(jc))^8) - 0.0008638*((inv(jc))^10) - 0.00002960*(jc^12) + 0.0001054*(jc^10))*sn_10);

%LAS ECUACIONES PARA LA SOLUCIÓN DEL ANILLO SE ALMACENAN EN EL SIGUIENTE VECTOR

SolucionAnillo = [Sigma_radial_anillo Sigma_tang_anillo Tao_anillo];

Título del Informe pg. 18