Flexion y Compresion

7Diseo para Flexiny Carga Axial

CONSIDERACIONES GENERALES FLEXIN

Para el diseo o la investigacin de los elementos solicitados a flexin (vigas y losas), la resistencia nominal de la seccintransversal (Mn) se debe reducir aplicando el factor de resistencia a fin de obtener la resistencia de diseo (Mn) de la seccin. Laresistencia de diseo (Mn) debe ser mayor o igual que la resistencia requerida (Mu). Tambin se deben satisfacer los requisitos decomportamiento en servicio para limitar las flechas (9.5) y distribucin de la armadura para limitar la fisuracin (10.6).

Los Ejemplos 7.1 a 7.7 ilustran la correcta aplicacin de los diversos requisitos del cdigo que gobiernan el diseo de loselementos solicitados a flexin. Antes de los ejemplos de diseo se describen procedimientos paso a paso para el diseo desecciones rectangulares que slo tienen armadura de traccin, secciones rectangulares con mltiples capas de armadura, seccionesrectangulares con armadura de compresin, y secciones con alas que slo tienen armadura de traccin.

DISEO DE SECCIONES RECTANGULARES QUE SLO TIENEN ARMADURA DETRACCIN7.1

En el diseo de secciones rectangulares que slo tienen armadura de traccin (Fig. 7-1), las condiciones de equilibrio son lassiguientes:

1.

Equilibrio de fuerzas:

C=T

0,85 f'c ba = Asfy = bdfy

(1)

a

As f y0,85fc' b

df y0,85fc'

2.

Equilibrio de momentos:

a 2

(2)

b

d

c

c

a = 1c

eje neutro

0,85fc

d-a2

C

As

s

Deformacin

T

Tensin equivalente

Figura 7-1 Deformacin especfica y distribucin equivalente de tensiones en una seccin rectangular

Dividiendo ambos lados de la Ec. (2) por bd2 se obtiene un coeficiente de resistencia nominal Rn:

R n

M nbd 2

0,5f y0,85fc'

(3)

Si b y d estn prefijados, se obtiene resolviendo la ecuacin cuadrtica para Rn:

0,85fc'f y

(4)

En la Figura 7-2 se ilustra la relacin entre y Rn para armadura Grado 60 y diferentes valores de f'c.

La Ecuacin (3) se puede usar para determinar la cuanta de acero conociendo Mu o viceversa si se conocen las propiedades de laseccin b y d. Reemplazando Mn = Mu/ en la Ecuacin (3), y dividiendo ambos lados de la ecuacin por f'c:

M ufc' bd 2

'

0,5f y0,85fc'

Se define

f yfc'

Reemplazando en la ecuacin anterior:

M n (C T) dM nbdf y d0,5d f y0,85 fc'f y11 12R n0,85fc'f y1fc

M ufc' bd 2

1 0,59

(5)

La Tabla 7-1, la cual se basa en la Ecuacin (5), fue desarrollada para servir a modo de ayuda de diseo para el diseo o lainvestigacin de secciones que solamente tienen armadura de traccin y para las cuales se conocen los valores b y d.

Tabla 7-1 Resistencia a la flexin Mu/f'cbd2 Mn/f'cbd2 de secciones rectangulares slo con armadura de traccin

22 = f'c/fy.2

0,000 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,0090,000,010,020,030,040,050,060,070,080,090,100,110,120,130,140,150,160,170,180,190,200,210,220,230,240,250,260,270,280,290,300,0 0,0010 0,0020 0,0030 0,0040 0,0050 0,0060 0,0070 0,0080 0,00900,0099 0,0109 0,0119 0,0129 0,0139 0,0149 0,0159 0,0168 0,0178 0,01880,0197 0,0207 0,0217 0,0226 0,0236 0,0246 0,0256 0,0266 0,0275 0,02850,0295 0,0304 0,0314 0,0324 0,0333 0,0343 0,0352 0,0362 0,0372 0,03810,0391 0,0400 0,0410 0,0420 0,0429 0,0438 0,0448 0,0457 0,0467 0,04760,0485 0,0495 0,0504 0,0513 0,0523 0,0532 0,0541 0,0551 0,0560 0,05690,0579 0,0588 0,0597 0,0607 0,0616 0,0626 0,0634 0,0643 0,0653 0,06620,0671 0,0680 0,0689 0,0699 0,0708 0,0717 0,0726 0,0735 0,0744 0,07530,0762 0,0771 0,0780 0,0789 0,0798 0,0807 0,0816 0,0825 0,0834 0,08430,0852 0,0861 0,0870 0,0879 0,0888 0,0897 0,0906 0,0915 0,0923 0,09320,0941 0,0950 0,0959 0,0967 0,0976 0,0985 0,0994 0,1002 0,1001 0,10200,1029 0,1037 0,1046 0,1055 0,1063 0,1072 0,1081 0,1089 0,1098 0,11060,1115 0,1124 0,1133 0,1141 0,1149 0,1158 0,1166 0,1175 0,1183 0,11920,1200 0,1209 0,1217 0,1226 0,1234 0,1243 0,1251 0,1259 0,1268 0,12760,1284 0,1293 0,1301 0,1309 0,1318 0,1326 0,1334 0,1342 0,1351 0,13590,1367 0,1375 0,1384 0,1392 0,1400 0,1408 0,1416 0,1425 0,1433 0,14410,1449 0,1457 0,1465 0,1473 0,1481 0,1489 0,1497 0,1506 0,1514 0,15220,1529 0,1537 0,1545 0,1553 0,1561 0,1569 0,1577 0,1585 0,1593 0,16010,1609 0,1617 0,1624 0,1632 0,1640 0,1648 0,1656 0,1664 0,1671 0,16790,1687 0,1695 0,1703 0,1710 0,1718 0,1726 0,1733 0,1741 0,1749 0,17560,1764 0,1772 0,1779 0,1787 0,1794 0,1802 0,1810 0,1817 0,1825 0,18320,1840 0,1847 0,1855 0,1862 0,1870 0,1877 0,1885 0,1892 0,1900 0,19070,1914 0,1922 0,1929 0,1937 0,1944 0,1951 0,1959 0,1966 0,1973 0,19810,1988 0,1995 0,2002 0,2010 0,2017 0,2024 0,2031 0,2039 0,2046 0,20530,2060 0,2067 0,2075 0,2082 0,2089 0,2096 0,2103 0,2110 0,2117 0,21240,2131 0,2138 0,2145 0,2152 0,2159 0,2166 0,2173 0,2180 0,2187 0,21940,2201 0,2208 0,2215 0,2222 0,2229 0,2236 0,2243 0,2249 0,2256 0,22630,2270 0,2277 0,2284 0,2290 0,2297 0,2304 0,2311 0,2317 0,2324 0,23310,2337 0,2344 0,2351 0,2357 0,2364 0,2371 0,2377 0,2384 0,2391 0,23970,2404 0,2410 0,2417 0,2423 0,2430 0,2437 0,2443 0,2450 0,2456 0,24630,2469 0,2475 0,2482 0,2488 0,2495 0,2501 0,2508 0,2514 0,2520 0,2527

Mn / f'c bd = (1 0,59 ), siendo = fy / f'cPara el diseo: Usando el momento mayorado Mu, ingresar a la tabla con Mu / f'c bd ; hallar y calcular el porcentaje de aceroPara la investigacin: Ingresar a la tabla con = fy / f'c; hallar el valor de Mn / f'c bd y resolver para la resistencia nominal, Mn.

1600

1400

1200

1000

800

600

400

200

0

psi

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

Cuanta de armadura,

Figura 7-2 Curvas de resistencia (Rn vs. ) para armadura de Grado 60

La Figura 7-3 muestra el efecto del factor de reduccin de la resistencia. En particular, muestra lo que ocurre cuando sesobrepasa el lmite para secciones controladas por traccin con un igual a 0,9. Como se puede ver en la Figura 7-3, no se lograningn beneficio diseando un elemento solicitado a flexin por debajo del lmite de deformacin especfica para seccionescontroladas por traccin de 0,005. Cualquier ganancia de resistencia que se pudiera obtener usando mayores cuantas de armaduraes anulada por la reduccin del factor de reduccin de resistencia que se debe aplicar para cuantas ms elevadas. Por lo tanto, loselementos solicitados a flexin se deberan disear como secciones controladas por traccin.

Uno se podra preguntar "porqu se permiten cuantas ms elevadas y menores deformaciones especficas netas de traccin si stasno representan ningn beneficio?" En muchos casos el acero provisto est por encima del valor ptimo en el lmite correspondientea secciones controladas por traccin. La porcin "horizontal" de la curva de la Figura 7-3 le permite al diseador proveer armaduraen exceso de la requerida (considerando tamaos de barra discretos) sin ser penalizados por "superar un lmite codificado."

Aunque los elementos solicitados a flexin casi siempre se deberan disear como secciones controladas por traccin con t 0,005, a menudo ocurre que las columnas con carga axial pequea y grandes momentos flectores se encuentran en la "regin detransicin" con t comprendida entre 0,002 y 0,005, y est comprendido entre el valor correspondiente a secciones controladaspor compresin y el valor correspondiente a secciones controladas por traccin.

Generalmente las columnas se disean usando grficas de interaccin o tablas. En los diagramas de interaccin el "punto lmite"para el cual t = 0,005 y = 0,9 puede estar por encima o por debajo de la lnea de carga axial nula.

fc = 6000 psifc = 5000fc = 4000 psifc = 3000 psisloLmitesuperioren laneta dede

Coeficiente de resistencia Rn (psi)

1200

1000

800

600

400

200

0

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

Cuanta de armadura, Figura 7-3 Curvas de resistencia de diseo (Rn vs. ) para armadura Grado 60

PROCEDIMIENTO DE DISEO PARA SECCIONES QUE SLO TIENEN ARMADURA DETRACCIN

Paso 1:

Seleccionar un valor aproximado para la cuanta de traccin menor o igual que t pero mayor que el mnimo(10.5.1), siendo la cuanta t igual a:

t

0,3191 fc'f y

donde 1 = 0,85 para f'c 4000 psi

1000

= 0,65 para f'c 8000 psi

Los valores de t se dan en la Tabla 6-1.

Paso 2:

Con el prefijado (min t) calcular bd2 requerida:

bd2 (requerida) =

M u R n

0,5 f y0,85 fc'

la flexin requerida):

fc = 6000 psifc = 5000 psifc = 4000 psifc = 3000 psi

Coeficiente de resistenciaRn (psi) fc' 4000 0,85 0, 005 para 4000 psi < f'c < 8000 psidonde R n f y1 , = 0,90 para flexin con t, y Mu = momento aplicado mayorado (resistencia a

Paso 3:

Paso 4:

Dimensionar el elemento de manera que el valor de bd2 provista sea mayor o igual que el valor de bd2 requerida.

En base a bd2 provista, calcular un nuevo valor revisado de aplicando uno de los mtodos siguientes:

1. Usando la Ecuacin (4) con Rn = Mu/bd2 (mtodo exacto)

2. Usando curvas de resistencia como las ilustradas en las Figuras 7-2 y 7-3. Los valores de para armadura Grado60 se dan en trminos de Rn = Mu/bd2.

3. Usando tablas de resistencia al momento tales como la Tabla 7-1. Los valores de = fy/f'c se dan en trminos dela resistencia al momento Mu / f'c bd2.

4. Por proporciones aproximadas

( original)

(R n revisada)(R n original)

Observar en la Figura 7-2 que la relacin entre Rn y es aproximadamente lineal.

Paso 5:

Calcular As requerida:

As = ( revisada) (bd provista)

Si los valores de b y d estn prefijados, As requerida se puede calcular directamente como:

As = (bd provista)

para lo cual se calcula usando uno de los mtodos indicados en el Paso 4.

PROCEDIMIENTO DE DISEO PARA SECCIONES CON MLTIPLES CAPAS DE ARMADURA

La manera sencilla y conservadora de disear una viga con dos capas de armadura de traccin consiste en tomar dt = d, laprofundidad al baricentro de toda la armadura de traccin. Sin embargo, el cdigo le permite al diseador aprovechar el hecho deque dt, medida hasta el centro de la capa ms alejada de la cara comprimida, es mayor que d. Esto slo sera necesario cuando sedisea en el lmite de deformacin especfica de 0,005 correspondiente a las secciones controladas por traccin, o muy cerca deeste lmite.

La Figura 7-4 ilustran los diagramas de tensin y deformacin para una seccin con mltiples capas de acero en la cual la capa deacero exterior est en el lmite de deformacin especfica para secciones controladas por traccin (0,005). Para esta seccin 2representa la mxima (basada en d).

Sin embargo,

2

t

Cf y bd

Cf y bd t

Por lo tanto,

2t

dd

d

(6)

El diagrama de deformaciones de la Figura 7-4 contiene informacin adicional. La deformacin especfica de fluencia de laarmadura Grado 60 es igual a 0,00207. Por similitud de tringulos, cualquier acero Grado 60 que est a una distancia menor o igualque 0,366dt de la capa inferior estar en fluencia. Esto casi siempre es as, a menos que se distribuya acero en las caras laterales.Adems, el acero comprimido estar en fluencia si se encuentra a una distancia menor o igual que 0,116dt ( 0,31c) de la caracomprimida.

d

dt

0,116d t

c = 0,375dt

y

0,003

C

y

0,366d t

T0,005

Figura 7-4 Mltiples capas de armadura

PROCEDIMIENTO DE DISEO PARA SECCIONES RECTANGULARES CON ARMADURA DECOMPRESIN

Se resumen los pasos para el diseo de vigas rectangulares (con b y d prefijados) que requieren armadura de compresin (verEjemplo 7-3)

Paso 1:

Verificar si es necesario colocar armadura de compresin. Calcular

R n

M nbd 2

Comparar este valor con la mxima Rn para secciones controladas por traccin indicada en la Tabla 6-1. Si Rn esmayor que el valor tabulado, usar armadura de compresin.

Si se requiere armadura de compresin, es probable que sea necesario colocar dos capas de armadura de traccin.Estimar la relacin dt/d.

Paso 2:

Hallar la resistencia al momento nominal resistida por una seccin sin armadura de compresin, y la resistencia almomento adicional M'n a ser resistida por la armadura de compresin y por la armadura de traccin agregada.

De la Tabla 6-1, hallar t. Luego, usando la Ecuacin (6):

t2 t d t

d t d

f yfc'

Determinar Mnt de la Tabla 7-1.

Calcular la resistencia al momento a ser resistida por la armadura de compresin:

M'n = Mn Mnt

Paso 3:

Paso 4:

Verificar la fluencia de la armadura de compresin

Si d'/c < 0,31 la armadura de compresin ha entrado en fluencia y f's = fy

Ver la Parte 6 para la determinacin de f's para el caso en que la armadura de compresin no entra en fluencia.

Determinar la armadura total requerida, A's y As

As'

M'n(d d ') fs'

As

M'n(d d ') f y

bd

Paso 5:

Verificar la capacidad de momento a 2

donde

a

's0,85 fc b

PROCEDIMIENTO DE DISEO PARA SECCIONES CON ALAS CON ARMADURA DETRACCIN

Se resumen los pasos para el diseo de secciones con alas que slo tienen armadura de traccin (ver Ejemplos 7.4 y 7.5).

Paso 1:

Determinar el ancho de ala efectivo b de acuerdo con 8.10.

Usando la Tabla 7-1, determinar la profundidad del bloque de tensiones equivalente, a, suponiendo comportamientode seccin rectangular con b igual al ancho de ala (es decir, a hf):

a

As f y0,85 fc'

b

d f y0,85 fc'

1,18d

tM n A As' f y d As' f y d d ' M u A As yf'

para lo cual se obtiene de la Tabla 7-1 para Mu/f'cbd2. Asumir que se trata de una seccin controlada por traccincon = 0,9.

Paso 2:

Paso 3:

Si a hf, determinar la armadura como si se tratara de una seccin rectangular que slo tiene armadura de traccin.Si a > hf, ir al paso 3.

Si a > hf, calcular la armadura Asf requerida y la resistencia al momentoMnf correspondiente al ala saliente de laviga en compresin:

Asf

Cff y

0,85 fc' b bw h ff y

h

2

Paso 4:

Paso 5:

Calcular la resistencia al momento requerida a ser soportada por el alma de la viga:

Muw = Mu Mnf

Usando la Tabla 7-1, calcular la armadura Asw requerida para desarrollar la resistencia al momento a ser soportadapor el alma:

Asw

0,85fc' bw a wf y

siendo aw = 1,18wd; w se obtiene de la Tabla 7-1 para Muw/f'cbwd2.

Alternativamente, Asw se puede obtener de la siguiente manera:

Asw

'f y

Paso 6:

Paso 7:

Paso 8:

Determinar la armadura total requerida:

As = Asf + Asw

Verificar si la seccin es controlada por traccin, con = 0,9:

c = aw / 1

Si c/dt 0,375 la seccin es controlada por traccin

Si c/dt > 0,375 se debe agregar armadura de compresin

Verificar la capacidad de momento:

a h 2 2

siendo Asf

'

f y

M nfAsf f y d fw c w df bM n As Asf f y d w Asf f y d f M u b b h0,85 fc w f

a w

As Asf f y'

CONSIDERACIONES GENERALES FLEXIN Y CARGA AXIAL

El diseo o investigacin de un elemento comprimido corto se basa fundamentalmente en la resistencia de su seccin transversal.La resistencia de una seccin transversal solicitada a una combinacin de flexin y carga axial debe satisfacer tanto la condicin deequilibrio de fuerzas como la condicin de compatibilidad de las deformaciones (ver Parte 6). Luego la resistencia a lacombinacin de carga axial y momento (Pn, Mn) se multiplica por el factor de reduccin de la resistencia que corresponda paradeterminar la resistencia de diseo (Pn,Mn) de la seccin. La resistencia de diseo debe ser mayor o igual que la resistenciarequerida:

(Pn,Mn) (Pu, Mu)

Todos los elementos solicitados a una combinacin de flexin y carga axial se deben disear para satisfacer este requisito bsico.Observar que la resistencia requerida (Pu, Mu) representa los efectos estructurales de las diferentes combinaciones de cargas yfuerzas que pueden solicitar una estructura. En la Parte 5 se discute la Seccin 9.2.

Se puede generar un "diagrama de interaccin de las resistencias" graficando la resistencia a la carga axial de diseoPn en funcinde la correspondiente resistencia al momento de diseoMn; este diagrama define la resistencia "utilizable" de una seccin paradiferentes excentricidades de la carga. En la Figura 7-5 se ilustra un tpico diagrama de interaccin de las resistencias a la cargaaxial y al momento de diseo, que muestra los diferentes segmentos de la curva de resistencia que se permiten para el diseo. Elsegmento "plano" de la curva de resistencia de diseo define la resistencia a la carga axial de diseo limitante Pn(max). La Parte 5contiene una discusin sobre 10.3.6. Como se ilustra en la figura, a medida que disminuye la resistencia a la carga axial de diseoPn, se produce una transicin entre el lmite correspondiente a secciones controladas por compresin y el lmite correspondiente asecciones controladas por traccin. El Ejemplo 6.4 ilustra la construccin de un diagrama de interaccin.PoResistencia nominal ( = 1,0)

Po

0,80Po

Resistencia de diseo

Lm. para seccin controladapor compresin

Lm. para seccin controladapor traccin

Mn MnResistencia al momento, M n

Figura 7-5 Diagrama de interaccin de las resistencias (columna con estribos cerrados)

Resistencai a la carga axial, Pn0,85 fc wb

CONSIDERACIONES GENERALES CARGA BIAXIAL

Una columna est solicitada a flexin biaxial cuando la carga provoca flexin simultnea respecto de ambos ejes principales. Elcaso ms habitual de este tipo de carga ocurre en las columnas de esquina. El diseo para flexin biaxial y carga axial se mencionaen R10.3.6 y R10.3.7. La Seccin 10.11.6 trata los factores de amplificacin de momento por consideraciones de esbeltez para loselementos comprimidos solicitados a carga biaxial. La seccin R10.3.6 establece que "las columnas de esquina y otras que estnexpuestas a momentos conocidos respecto de ambos ejes que ocurren en forma simultnea se deben disear para flexin biaxial ycarga axial." Se recomiendan dos mtodos para el diseo combinado a flexin biaxial y carga axial: el Mtodo de las CargasRecprocas y el Mtodo del Contorno de las Cargas. A continuacin se presentan ambos mtodos, junto con una extensin delMtodo del Contorno de las Cargas (Mtodo del Contorno de las Cargas de la PCA).

RESISTENCIA CON INTERACCIN BIAXIAL

Un diagrama de interaccin uniaxial define la resistencia a la combinacin de carga y momento en un nico plano de una seccinsolicitada por una carga axial P y un momento uniaxial M. La resistencia a la flexin biaxial de una columna cargada axialmente sepuede representar esquemticamente como una superficie formada por una serie de curvas de interaccin uniaxial trazadas enforma radial a partir del eje P (ver Figura 7-6). Los datos para estas curvas intermedias se obtienen variando el ngulo del ejeneutro (para configuraciones de deformacin especfica supuestas) con respecto a los ejes principales (ver Figura 7-7).

La dificultad asociada con la determinacin de la resistencia de las columnas armadas solicitadas a combinaciones de carga axial yflexin biaxial es fundamentalmente de naturaleza aritmtica. La resistencia a la flexin de una columna cargada axialmenterespecto de un eje oblicuo particular se determina mediante iteraciones que involucran clculos sencillos pero laboriosos. Estosclculos se vuelven an ms laboriosos si se desea optimizar la armadura o la seccin transversal.

Para la flexin uniaxial es habitual utilizar ayudas de diseo en forma de curvas o tablas de interaccin. Sin embargo, debido a lanaturaleza voluminosa de los datos y a lo difcil que resulta realizar mltiples interpolaciones, no resulta prctico desarrollar curvaso tablas de interaccin para diferentes relaciones entre los momentos flectores respecto de cada eje. Por este motivo se handesarrollado varios enfoques (todos ellos basados en aproximaciones aceptables) que relacionan la respuesta de una columna enflexin biaxial con su resistencia uniaxial respecto de cada uno de sus ejes principales.

PPo

My

Mnx

Mny

Mx

Mb, Pb

Figura 7-6 Superficie de interaccin biaxial

y

2Baricentroplstico

1

e x

Pu

ey

h

EjeNeutro4

3

x

c

s2

s1

c=

03

1 c

0,8

c

Pu

bSeccin

s4De

s3

n

fs4

Ten

fs3

sio

nes

fs2

fs1

S1S2Cc

rzntes

S3S4

Figura 7-7 Eje neutro que forma un ngulo respecto de los ejes principales

SUPERFICIES DE FALLA

La resistencia nominal de una seccin solicitada a flexin biaxial y compresin es una funcin de tres variables, Pn, Mnx y Mny, lascuales se pueden expresar en trminos de una carga axial actuando con excentricidades ex = Mny/Pn y ey = Mnx/Pn, como se ilustraen la Figura 7-8. Una superficie de falla se puede describir como una superficie generada graficando la carga de falla Pn en funcinde sus excentricidades ex y ey, o de sus momentos flectores asociados Mny y Mnx. Se han definido tres tipos de superficies defalla.7.4, 7.5, 7.6 La superficie bsica S1 se define mediante una funcin que depende de las variables Pn, ex y ey; esta superficie seilustra en la Figura 7-9(a). A partir de S1 se puede derivar una superficie recproca; para generar la superficie S2 (1/Pn, ex, ey) seutiliza la recproca o inversa de la carga axial nominal Pn como se ilustra en la Figura 7-9(b). El tercer tipo de superficie de falla,ilustrado en la Figura 7-9(c), se obtiene relacionando la carga axial nominal Pn con los momentos Mnx y Mny para producir lasuperficie S3 (Pn, Mnx, Mny). La superficie de falla S3 es la extensin tridimensional del diagrama de interaccin uniaxial quemencionamos anteriormente.

Varios investigadores han desarrollado aproximaciones tanto para la superficie de falla S2 como para la S3 que se pueden usar parael diseo y el anlisis.7.6 - 7.10 A continuacin presentamos una explicacin de estos mtodos utilizados en la prctica actual, junto

con algunos ejemplos de diseo.

y

ex

x

y

Pn

Mnx= PneyMny= Pnex

ey

x

No se ilustran las barras de armadura

Figura 7-8 Simbologa utilizada para carga biaxial

P

ey

P

Superficie de fallaS1 (Pn, ex, ey)

ex

(a) Superficie de falla S1

1/P

Superficie de fallaS2 (1/Pn, ex, ey)

ex

ey

(b) Superficie de falla recproca S2

Figura 7-9 Superficies de falla

My

Curvas de interaccinPn - Mn

Superficie de fallaS3 (Pn, Mnx, Mny)

Mx

(c) Superficie de falla S3

A.

Mtodo de las Cargas Recprocas de Bresler

Este mtodo aproxima la ordenada 1/Pn en la superficie S2 (1/Pn, ex, ey) mediante una ordenada correspondiente 1/P'n en el plano S'2(1/P'n, ex, ey), el cual se define por los puntos caractersticos A, B y C como se indica en la Figura 7-10. Para cualquier seccintransversal en particular, el valor Po (correspondiente al punto C) es la resistencia a la carga bajo compresin axial pura; Pox(correspondiente al punto B) y Poy (correspondiente al punto A) son las resistencias a la carga bajo excentricidades uniaxiales ey yex, respectivamente. Cada punto de la superficie verdadera se aproxima mediante un plano diferente; por lo tanto, la totalidad de lasuperficie se aproxima usando un nmero infinito de planos.

La expresin general para la resistencia a la carga axial p ara cualquier valor de ex y ey es la siguiente:7.6

1 1 1 1 1Pn P'n Pox Poy Po1/P

S2S2

A

B

C

1/Px

1/Py

1/Po

1/P

x

1/Pu

y

Figura 7-10 Mtodo de las cargas recprocas

Reordenando las variables se obtiene:

Pn

11 1 1Pox Poy Po

(7)

donde:

Pox = Mxima resistencia a la carga uniaxial de la columna con un momento de Mnx = Pn ey

Poy = Mxima resistencia a la carga uniaxial de la columna con un momento de Mny = Pn ex

Po = Mxima resistencia a la carga axial sin momentos aplicados

Esta ecuacin tiene una forma sencilla y las variables se pueden determinar fcilmente. Las resistencias a la carga axial Po, Pox yPoy se determinan usando cualquiera de los mtodos presentados anteriormente para flexin uniaxial con carga axial. Resultadosexperimentales han demostrado que esta ecuacin ser razonablemente exacta si la flexin no gobierna el diseo. La ecuacin slose debe usar si:

Pn 0,1 f'c Ag

(8)

B.

Mtodo del Contorno de las Cargas de Bresler

En este mtodo se aproxima la superficie S3 (Pn, Mnx, Mny) mediante una familia de curvas correspondientes a valores constantes dePn. Como se ilustra en la Figura 7-11, estas curvas se pueden considerar como "contornos de las cargas."La expresin general para estas curvas se puede aproximar7.6 por medio de una ecuacin de interaccin adimensional de la forma

M nox M noy

P

Curvas de interaccin Pn-Mn

Superficie de falla S3

Plano de Pn constanteMnox

(9)

Mnoy

Mnx

Mn

Pn,Mn

Mny

Pn

Contorno de carga

Mx

My

Figura 7-11 Contornos de las cargas de Bresler para Pn constante en la superficie de falla S3

M ny M nx 1, 0

donde Mnx y Mny son las resistencias nominales al momento biaxial en las direcciones de los ejes x e y, respectivamente. Observarque estos momentos son el equivalente vectorial del momento uniaxial Mn. El momento Mnox es la resistencia nominal al momentouniaxial respecto del eje x, y el momento Mnoy es la resistencia nominal al momento uniaxial respecto del eje y. Los valores de losexponentes y son funcin de la cantidad, distribucin y ubicacin de la armadura, las dimensiones de la columna, y laresistencia y las propiedades elsticas del acero y el hormign. Bresler7.6 indica que es razonable suponer = ; por lo tanto, laEcuacin (9) se convierte en

M nox M noy

(10)

lo cual se representa grficamente en la Figura 7-12.

Para utilizar la Ecuacin (10) o la Figura 7-12 an es necesario determinar el valor para la seccin transversal considerada.Bresler indic que, tpicamente, variaba entre 1,15 y 1,55 y que un valor de 1,5 era razonablemente exacto para la mayora de lassecciones cuadradas y rectangulares con armadura uniformemente distribuida.

Fijando igual a la unidad, la ecuacin de interaccin se vuelve lineal:

1, 0M nox M noy

(11)

Como se ilustra en la Figura 7-12, con la Ecuacin (11) siempre se obtendrn valores conservadores, ya que subestima la capacidadde la columna especialmente para el caso de cargas axiales elevadas o bajos porcentajes de armadura. Slo se debera usar cuando

Pn < 0,1 f'c Ag

1,0

(12)

0,8

a =

1,4

a =

3

M nyMnoy

0,6

a

=

1

0,4

0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

M nxMnoxFigura 7-12 Curvas de interaccin para el Mtodo del Contorno de las Cargas de Bresler [Ecuacin (9)]

C.

Mtodo del Contorno de las Cargas de la PCA

El enfoque de la PCA descrito a continuacin fue desarrollado como una extensin o ampliacin del Mtodo del Contorno de lasCargas de Bresler. Se eligi la ecuacin de interaccin de Bresler [Ecuacin (10)] como el mtodo ms viable en trminos deexactitud, practicidad y potencial de simplificacin.

M ny M nx 1, 0M nx M ny

En la Figura 7-13(a) se ilustra un contorno de carga tpico segn Bresler para una cierta Pn. En el mtodo de la PCA,7.11 el punto Bse define de manera tal que las resistencias nominales al momento biaxial Mnx y Mny tienen la misma relacin que las resistenciasal momento uniaxial Mnox y Mnoy. Por lo tanto, en el punto B

M ny M noy

(13)

Cuando el contorno de carga de la Figura 7-13(a) se hace adimensional toma la forma indicada en la Figura 7-13(b), y el punto Btendr las coordenadas x e y iguales a . Si se grafica la resistencia a la flexin en trminos de los parmetros adimensionales Pn/Po,Mnx/Mnox, Mny/Mnoy (estos dos ltimos llamados momentos relativos), la superficie de falla generada S4 (Pn/Po, Mnx/Mnox, Mny/Mnoy)adopta la forma tpica ilustrada en la Figura 7-13(c). La ventaja de expresar el comportamiento en trminos relativos es que loscontornos de la superficie (Fig. 7-13(b)) es decir, la interseccin formada por los planos de Pn/Po constante y la superficie paralos propsitos del diseo se pueden considerar simtricos respecto del plano vertical que bisecta los dos planos coordenados. Anpara las secciones que son rectangulares o en las cuales la armadura no est uniformemente distribuida, esta aproximacin permiteobtener valores con precisin suficiente para el diseo.

La relacin entre de la Ecuacin (10) y se obtiene reemplazando las coordenadas del punto B de la Figura 7-13(a) en laEcuacin (10), y resolviendo para en funcin de . As se obtiene:

log 0,5log

M y

Mnox

M noy

C

B

Contorno de carga

M nox

M noy

AM nox

Mnoy

M x

Figura 7-13(a) Contorno de cargas de la superficie de falla S3 sobre un plano de Pn constante

1,0

C

B

Contorno de cargaM nyM noy

A

M nx

1,0

M nox

Figura 7-13(b) Contorno de cargas adimensional para Pn constante

M nx M nox

PnPo1,0

0

1,0

45 MnxMnox1,0MnoyFigura 7-13(c) Superficie de falla S4 n , ,M MEn consecuencia la Ecuacin (10) se puede escribir como:

log 0,5

log 0,5

1, 0

(14)

Para simplificar el diseo, en la Figura 7-14 se grafican las curvas generadas por la Ecuacin (14) para nueve valores de .Observar que cuando = 0,5 (su lmite inferior), la Ecuacin (14) es una recta que une los puntos en los cuales los momentosrelativos son iguales a 1,0 a lo largo de los planos coordenados. Cuando = 1,0 (su lmite superior), la Ecuacin (14) toma laforma de dos rectas, cada una de ellas paralela a uno de los planos coordenados.

1,0

0,90,8

0,7

0,6M nyM noy 0,50,4

0,3

0,2

0,1

0

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

0,7

0,8

0,9 1,00

M nxM noxFigura 7-14 Relacin de resistencia al momento biaxial

=90=90=5550858075706550=5550858075706550Resistencia al momento uniaxialrespecto del eje x = Mnoxrespecto del eje y = MnoyResistencia al momento biaxialrespecto del eje x = Mnxrespecto del eje y = MnyResistencia al momento uniaxialrespecto del eje x = Mnoxrespecto del eje y = MnoyResistencia al momento biaxialrespecto del eje x = Mnxrespecto del eje y = MnyResistencia al momento uniaxialrespecto del eje x = Mnoxrespecto del eje y = MnoyResistencia al momento biaxialrespecto del eje x = Mnxrespecto del eje y = Mny

Mny P Mnx Mny Po nox noy M nxlog M nox M ny M noylog

Los valores de se calcularon en base a 10.2, usando un bloque de tensiones rectangular y los principios bsicos de equilibrio. Sehall que los parmetros , b/h y f'c no afectaban demasiado los valores de . La mxima diferencia en fue de alrededor de 5%para valores de Pn/Po comprendidos entre 0,1 y 0,9. La mayora de los valores de , especialmente en el rango de Pn/Po msutilizado, no presentaron diferencias mayores al 3%. En vista de estas pequeas diferencias, slo se desarrollaron envolventes delos valores de ms bajos para dos valores de fy y diferentes disposiciones de las barras, como se ilustra en las Figuras 7-15 y 7-16.

Como se puede observar en las Figuras 7-15 y 7-16, depende fundamentalmente de Pn/Po y en menor medida, aunque todavasignificativamente, de la distribucin de las barras, del ndice de armadura y de la resistencia de la armadura.

La Figura 7-14, junto con las Figuras 7-15 y 7-16, constituyen una manera conveniente y directa de determinar la resistencia almomento biaxial de una seccin transversal dada sujeta a una carga axial, ya que los valores de Po, Mnox y Mnoy se pueden obtenerfcilmente mediante los mtodos antes descritos.

Aunque se ha simplificado la investigacin de una seccin dada, slo se puede determinar una seccin que satisfaga los requisitosde resistencia impuestos por una carga excntrica respecto de ambos ejes realizando anlisis sucesivos de secciones supuestas. Sepuede lograr una convergencia rpida y sencilla que permite obtener una seccin satisfactoria aproximando las curvas de la Figura7-14 por medio de dos rectas que se intersecan en la lnea de 45 grados, como se ilustra en la Figura 7-7.

1,0

0,9

b

h

b

xe yy

Pn

x

y

3000f'c 60001,0 h/b 4,0 = fy / f'c = Ast / hb

Disposicin con 4 barras

0,8

0,7

0,6

=0,1

0,30,50,9

0,30,50,9

=0,1

0,50

1,30,1

0,2 0,3

0,4 0,5Pn / Po

fy = 40,000 psi0,6 0,7 0,8 0,9 0

1,30,1

0,2 0,3

0,4 0,5Pn / Po

fy = 60,000 psi0,6 0,7 0,8 0,9

Figura 7-15 (a) Constantes para el diseo biaxial Disposicin con 4 barras

1,0

0,9

b

h

b

xeyy

Pn

x

yex

0,6 1,03000 f'c 60001,0 h/b 4,0 = fy / f'c = Ast / hb

Disposicin con 8 barras

0,8

=0,1

0,7

0,3

=1,3

=0,1

=0,1

0,5

0,90,6 1,3

0,30,50,9

0,50

0,1

0,2 0,3

0,4 0,5Pn / Po

fy = 40,000 psi0,6 0,7 0,8 0,9

0

1,3

0,1

0,2 0,3

0,4 0,5P /P

fy = 60,000 psi0,6 0,7 0,8 0,9

Figura 7-15 (b) Constantes para el diseo biaxial Disposicin con 8 barras

1,0

h

xey

Pn

yex

Disposicin con 12 (o ms) barras - uniformemente espaciadas0,6 1,03000 f'c 60001,0 h/b 4,0

0,9

b

b

y

x

= fy / f'c = Ast / hb

0,8

=0,1

=1,3

0,7

0,3

=0,1

=0,1

0,5

0,9

0,3

0,6

1,3

0,50,9

0,50

0,1

0,2 0,3

0,4

0,5

fy = 40,000 psi0,6 0,7 0,8 0,9

0

1,30,1

0,2 0,3

0,4

0,5

fy = 60,000 psi0,6 0,7 0,8 0,9

Pn / Po

Pn / Po

Figura 7-16 (a) Constantes para el diseo biaxial Disposiciones con 12 o ms barras

n o

1,0

0,9

b

h

b

xeyy

Pn

x

yex

0,6 1,03000 f'c 60001,0 h/b 4,0 = fy / f'c = Ast / hb

Disposiciones con 6, 8 y 10 barras

0,8

w = 1,3

0,7

w = 0,1

0,3

w = 0,1

w = 0,1

0,3

0,6

0,9

1,3

0,5

0,50,9

0,50

0,1

0,2 0,3

0,4 0,5Pn / Po

fy = 40,000 psi0,6 0,7 0,8 0,9

0

1,30,1

0,2 0,3

0,4 0,5Pn / Po

fy = 60,000 psi0,6 0,7 0,8 0,9

Figura 7-16 (b) Constantes para el diseo biaxial Disposicin con 6, 8 y 10 barras

Por simples consideraciones geomtricas se puede demostrar que la ecuacin de las rectas superiores es:

M nx 1 M nyM nox M noy

que por conveniencia se puede escribir como:

M nx M nox

(15)

M noy M nox

M

(16)

1,0

MnyMnoy

1

45

MnxMnox

1

0

Mnx /Mnox

1,0

Figura 7-17 Aproximacin bilineal de un contorno de carga adimensionalizado [Fig. 7-13(b)]

Mny noy/M 1 paraM ny M noyM nx M ny noy 1 Mnx 1 Mnox Mny Mnoy 1

Para las secciones rectangulares con armadura igualmente distribuida en todas sus caras, la Ecuacin (16) se puede aproximarcomo:

M nx

h

M

(17)

La ecuacin de la recta inferior de la Figura 7-17 es:

M nxM nox

M ny 1M noy

M nyM nx

M noyM nox

(18)

M nx M ny

(19)

Para las secciones rectangulares con armadura igualmente distribuida en todas sus caras,

M nx M ny

h 1b

(20)

En las ecuaciones de diseo (17) y (20), se debe seleccionar la relacin b/h h/b y se debe suponer el valor de . Para las columnaspoco cargadas generalmente variar entre 0,55 y alrededor de 0,70. Por lo tanto, en general una buena opcin para iniciar unanlisis de flexin biaxial consiste en tomar un valor de igual a 0,65.

PROCEDIMIENTO DE DISEO MANUAL

Para ayudarle al diseador en el diseo de columnas solicitadas a flexin biaxial, a continuacin se describe un procedimiento paradiseo manual:

1.

2.

3.

4.

Elegir el valor de ya sea igual a 0,65 o bien estimando un valor en base a las Figuras 7-15 y 7-16.

Si Mny/Mnx es mayor que b/h, usar la Ecuacin (17) para calcular una resistencia al momento uniaxial equivalente aproximadaMnoy. Si Mny/Mnx es menor que b/h, usar la Ecuacin (20) para calcular una resistencia al momento uniaxial equivalenteaproximada Mnox.

Disear la seccin usando cualquiera de los mtodos presentados anteriormente para flexin uniaxial con carga axial paraobtener una resistencia a la carga axial Pn y una resistencia al momento uniaxial equivalente Mnoy o Mnox.

Verificar la seccin elegida mediante cualquiera de los tres mtodos siguientes:

a.

Mtodo de las Cargas Recprocas de Bresler :

Pn

11 1 1Pox Poy Po

(7)

b.

Mtodo de los Contornos de las Cargas de Bresler :

1, 0M nox M noy

(11)

c.

Mtodo de los Contornos de las Cargas de la PCA : Usar la Ecuacin (14) o bien

M ny noyb 1 1 para M nox M noy 1 M nox M noxM nx M ny

y

M nx 1 M ny

M nyM nx

M noyM nox

(15)

1, 0 paraM nox M noy

1, 0 paraM nx M ny 1M ny M noy

Ejemplo 7.1 Diseo de una viga rectangular slo con armadura de traccin

Seleccionar un tamao de viga y la armadura requerida As para soportar momentos bajo carga de servicio MD = 56 ft-kips yML = 35 ft-kips. Seleccionar la armadura para limitar la fisuracin por flexin.

f'c = 4000 psify = 60.00 psi

Referencia

Clculos y discusin

del Cdigo

1.

Para ilustrar un procedimiento de diseo completo para secciones rectangulares slo con armadura de traccin,se calcular una altura mnima de viga usando la mxima armadura permitida para elementos flexionadoscontrolados por traccin, t. El procedimiento de diseo seguir el mtodo descrito en las pginas anteriores.

Paso 1.Determinar la mxima cuanta de armadura para seccin controlada por traccin para las resistenciasde los materiales f'c = 4000 psi y fy = 60.00 psi

t = 0,01806 de la Tabla 6-1Calcular el rea bd2 requerida.Paso 2.

Resistencia al momento requerida:

Mu = (1,2 56) + (1,6 35) = 123,2 ft-kips

10.3.4

Ec. (9-2)

0,5 f y0,85 fc'

0,5 0, 01806 60.000 0,85 4000

bd2 (requerida)

M uR n

123, 21210000,90 911

Paso 3.

Dimensionar el elemento de manera que bd2 provista sea que bd2 requerida.

Fijar b = 10 in. (ancho de las columnas)

d

180310

13, 4 in.

Altura mnima de la viga 13,4 + 2,5 = 15,9 in.

Para la resistencia al momento, una viga de 10 16 in. es adecuada. Sin embargo, la flecha es unaconsideracin fundamental en el diseo de las vigas por el Mtodo de Diseo por Resistencia. Lalimitacin de la fisuracin se discute en la Parte 10.

Paso 4.

Usando la altura de viga de 16 in., calcular un valor revisado de . A ttulo ilustrativo, se calcular aplicando los cuatro mtodos antes descritos.

R n f y1 911 psi0, 01806 60.000 1 1803 in.3

d = 16 2,5 = 13,5 in.

1. Usando la Ecuacin (4) (mtodo exacto):

R n

2

M u

123, 21210000,901013,52

901 psi

0,85fc'f y

0,85 460

2 9010,85 4000

2. Usando curvas de resistencia como las ilustradas en la Figura 7-2:

para Rn = 901 psi, 0,0178

3. Usando tablas de resistencia al momento tales como la Tabla 7-1:

M ufc bd

2

123, 21210000,90 40001013,52

0, 2253

0,2676

fc'f y

460

4. Por proporciones aproximadas:

original

R n revisada R n original

0, 01806

901911

0, 0179

Paso 5.

Calcular As requerida.

As = ( revisada) (bd provista)= 0,0178 10 13,5 = 2,40 in.2

Comparar los resultados con los obtenidos en el Ejemplo 10.1 del documento Notes on ACI 318-99, diseadosegn el cdigo de 1999.

Segn 318-99Segn 318-02Mu138 ft-k123 ft-k0,90,9Dimensiones de la viga (b d)10 16 in.10 16 in.As requerida22,78 in.22,40 in.

bd provista2R n1 10,85fc'1 1 0, 0178' 0, 2676 0, 0178

La reduccin de As es una consecuencia directa del hecho que, con factores de carga ms bajos, no es necesarioreducir a menos de 0,9 para flexin en los elementos controlados por traccin.

2. Se puede revisar que los clculos sean correctos aplicando consideraciones estticas.

T = As fy = 2,40 60 = 144,0 kips

a

As f y0,85 fc' b

144, 00,85 410

4, 24 in.

Resistencia al momento de diseo:

a 4, 24 2 2

= 1475 in.-kips = 122,9 ft-kips Mu requerido = 123,2 ft-kips

VERIFICA

3. Seleccionar la armadura de manera de satisfacer los requisitos de distribucin de la armadura de flexin indicadosen 10.6.

As requerida = 2,40 in.2A modo de ejemplo, seleccionamos 1 barra No. 9 y 2 barras No. 8 (As = 2,40 in.2). En la prctica se prefiereutilizar un solo tamao de barra.

Estribo No. 4

No.8 No.9 No.8

10.6

cc = 1,5 + 0,5 = 2,0 in.

Mxima separacin permitida,

10"

1,5"

s

540fs

2,5cc

Ec. (10-4)

Usar fs = 36 ksi

s

54036

(2,5 2, 0) 10 in.

o ver Tabla 9-1: para fs = 36 y cc = 2 :: s = 10 in.

Separacin provista =

1,5 0,52 2

= 2,50 in. < 10 in.

VERIFICA

M nAs y144, 0f d 0,9 13,510 21 1, 0

Ejemplo 7.2 Diseo de una losa maciza armada en una direccin

Determinar el espesor y la armadura requerida para una losa continua de dos o ms tramos iguales armada en una sola direccin.Luz libre = 18 ft.

f'c = 4000 psify = 60.00 psiCargas de servicio: wd = 75 psf (asumir una losa de 6 in.); w = 50 psf

Referencia

Clculos y discusin

del Cdigo

1. Calcular las resistencias al momento requeridas usando el anlisis aproximado de momentos permitido por 8.3.3.El diseo se basar en el tramo final.

Carga mayorada wu = (1,2 75) + (1,6 50) = 170 psf

Momento positivo en el extremo discontinuo integral con el apoyo:

+Mu = wu n2/14 = 0,170 182 / 14 = 3,93 ft-kips/ft

Momento negativo en la cara exterior del primer apoyo interior:

Mu = wu n2/10 = 0,170 182 / 10 = 5,51 ft-kips/ft

2. Determinar el espesor de losa requerido.

Seleccionar un porcentaje de armadura aproximadamente igual a 0,5t, o un medio del mximo permitido parasecciones controladas por traccin, de manera de limitar la flecha a valores razonables.

De la Tabla 6-1, para f'c = 4000 psi y fy = 60.000 psi: t = 0,01806

Fijar = 0,5 (0,01806) = 0,00903

El procedimiento de diseo seguir el mtodo descrito anteriormente:

Ec. (9-2)

8.3.3

8.3.3

10.3.3

0,5f y0,85fc'

0,5 0, 00903 60.0000,85 4000

d requerida: d

M uR n b

5,5112.0000,90 49912

3,50 in.

Suponiendo barras No. 5, h requerida es h = 3,50 + 0,31/2 + 0,75 = 4,41 in.

Estos clculos indican que un espesor de losa de 4,5 in. es adecuado. Sin embargo, la Tabla 9-5(a) indica unespesor mnimo de /24 9 in., a menos que se calculen las flechas. Tambin se debe observar que la Tabla 9-5(a) slo es aplicable a "elementos que no soportan ni estn unidos a tabiques u otros elementos no estructuralesque pueden sufrir daos por grandes flechas." Si no se satisface esta condicin es necesario calcular las flechas.

R nf y1 0, 00903 60.0001 499 psi

A ttulo ilustrativo se calcular la armadura requerida para h = 4,5 in., d = 3,59 in.

3. Calcular la armadura de momento negativo requerida.

R n

M u2

5,511210000,912 3,592

475

475 499

As (requerida) = bd = 0,00860 12 3,59 = 0,37 in.2/ftUsar barras No. 5 con una separacin de 10 in. (As = 0,37 in.2/ft)

4. Para la armadura de momento positivo usar la Tabla 7-1:

M ufc bd

2

3,9312.0000,90 400012 3,592

0, 0847

De la Tabla 7-1, = 0,090

fc'f y

460

+As (requerida) = bd = 0,006 12 3,59 = 0,258 in.2/ftUsar barras No. 4 con una separacin de 9 in. (As = 0,27 in.2/ft) o barras No. 5 con una separacin de 12 in. (As = 0,31 in.2/ft)

bd 0, 00903 0, 00860' 0, 090 0, 006

Ejemplo 7.3 Diseo de una viga rectangular con armadura de compresin

Las dimensiones de la seccin transversal de una viga se limitan a los valoresilustrados. Determinar el rea de armadura requerida para momentos bajo cargade servicio MD = 430 ft-kips y ML = 175 ft-kips. Verificar los requisitos paralimitacin de la fisuracin del artculo 10.6.

f'c = 4000 psify = 60.00 psi

Clculos y discusin

1. Determinar la armadura requerida.

d=2,5"

b = 12"

As

A s

d t = 30"d = 28,8"

Referenciadel Cdigo

Paso 1.

Determinar si se requiere armadura de compresin.

Mu = 1,2 MD + 1,6 ML = 796 ft-kips

Mn = Mu / = 796 / 0,9 = 884 ft-kips

Ec. (9-2)

R n

M n2

88412100012 302

982

Este valor es mayor que el mximo Rn de 911 para secciones controladas por traccin construidas dehormign de 4000 psi, sin armadura de compresin (ver Tabla 6-1). Adems, parece que ser necesariousar dos capas de armadura. Estimar d = dt 1,2 in. = 28,8 in.

Paso 2.

Hallar el momento de resistencia nominal resistido por el hormign de la seccin, sin armadura decompresin.

t = 0,01806 de la Tabla 6-1

d 28,8

d t 30

(6)

f yf 'c

0, 01881

604

0, 282

7 - 28bdt 0, 01806 0, 01881

M ntf 'c bd 2

0, 2351 de la Tabla 7-1

Mnt = 0,2351 4 12 28,82 = 9360 in.-kips = 780 ft-kips resistidos por el hormign

Resistencia al momento requerida a ser resistida por la armadura de compresin:

M'n = 884 - 780 = 104 ft-kips

Paso 3.

Paso 4.

Determinar la tensin en el acero de compresin f's.

Verificar la fluencia de la armadura de compresin. Como la seccin se dise para el lmite dedeformacin especfica neta de traccin correspondiente a seccin controlada por traccin t = 0,005,c/dt = 0,375

c = 0,375 dt = 0,375 30 = 11,25 in.

d'c/c = 2,5 / 11,25 = 0,22 < 0,31

La armadura de compresin entra en fluencia al alcanzar la resistencia nominal (f's = fy)

Determinar la armadura total requerida:

A 's

M 'nf y d d '

10412100060.000 28,8 2,5

0, 79 in.2

As = 0,79 + bd= 0,79 + (0,01881 12 28,8) = 7,29 in.2

Paso 5.

Verificar la capacidad de momento.

Cuando la armadura de compresin entra en fluencia:

a

As A's f y0,85 f 'c b

6,50 600,85 412

9,56 in.

af 2 9,56 2

= 796 ft-kips = Mu = 796 ft-kips

VERIFICA

2. Seleccionar la armadura para satisfacer los criterios de fisuracin por flexin de 10.6.

Armadura de compresin:

Seleccionar 2 barras No. 6 (A's = 0,88 in.2 > 0,79 in.2)

M n As s y A 's y d d ' A' f d 0,96,50 60 0, 79 60 28,8 2,5 /1228,8

Armadura de traccin:

Seleccionar 6 barras No. 10 en dos capas (As = 7,62 in.2 > 7,29 in.2)

Estribo No. 4

6 No. 10

1" libre


dcg= 3,77"

b = 12"

1,5"

s

540fs

2,5 cc

Ec. (10-4)

Cc = 1,5 + 0,5 = 2,0 in.

Usar fs = 36 ksi

s

54036

(2,5 2) 10 in.


2 2

1,5 0,5

= 4,68 in. < 10 in.

VERIFICA

4. Se requieren zunchos o estribos cerrados en toda la distancia en la cual por motivos de resistencia se requierearmadura de compresin.

Mxima separacin = 16 dimetro de las barras longitudinales = 16 0,75 = 12 in. (determinante)

= 48 dimetro de las barras de los estribos = 48 0,5 = 24 in.

= menor dimensin del elemento = 12 in.

Usar smax = 12 in. para estribos No. 4

7.11.1

7.10.5.212 21 1, 27

Comparar la armadura requerida con la del Ejemplo 10.3 del documento Notes on ACI 318-99.

Se requiere algo ms de acero de compresin, pero usando ACI 318-02 se obtiene una reduccin significativa del acero detraccin.

Tambin se indican los resultados de un clculo (no incluido) realizado usando la hiptesis simplificadora d = dt. El aceroadicional es de apenas 1,2 por ciento.

Segn 318-99Segn 318-02Segn 318-02 suponiendo dt = dMu900 ft-k796 ft-k796 ft-k0,90,90,9A's requerida20,47 in.20,79 in.0,97As requerida28,17 in.27,29 in.7,21Armadura total28,67 in.28,08 in.8,18

Ejemplo 7.4 Diseo de una seccin con alas slo con armadura de traccin

Seleccionar la armadura para la seccin ilustrada, de manera que soporte los siguientes momentos por carga permanente ysobrecarga de servicio: MD = 72 ft-kips y ML = 88 ft-kips.

f'c = 4000 psify = 60.00 psi

a

be= 30"

2,5"

d t = 19"

As

10"

Referencia

Clculos y discusin

1. Determinar la resistencia a la flexin requerida.

Mu = (1,2 72) + (1,6 88) = 227 ft-kips

del Cdigo

Ec. (9-2)

2. Usando la Tabla 7-1, determinar la profundidad del bloque de tensiones equivalente, a, como para una seccinrectangular. Asumir = 0,9.

M u f 'c bd 2

227120,9 4 30192

0, 0699

De la Tabla 7-1, 0,073

a

As f y0,85 f 'c b

df y0,85 f 'c

1,18d 1,18 0, 07319 1, 64 in. 2,5in.

Como a < hf, determinar As como para una seccin rectangular (para el caso que a > hf ver el Ejemplo 7.5).

Verificar:

c = a / 1 = 1,64 / 0,85 = 1,93 in.

c / dt = 1,93 / 19 = 0,102 < 0,375

La seccin es controlada por la traccin, y = 0,9.

3. Calcular As requerida.

As fy = 0,85 f'c ba

As

0,85 4 301, 6460

2, 78 in.2

Alternativamente,

Asbd

f 'cf y

bd

0, 073

460

3019 2, 77 in.2

Intentar con 3 barras No. 9 (As = 3,0 in.2)

4. Verificar armadura mnima requerida.

Para f'c < 4444 psi,

10.5

Ec. (10-3)

min

200 200f y 60.000

0, 0053 0, 0033b w d 3019

5. Verificar distribucin de la armadura.


VERIFICA

10.6

s

540fs

2,5cc

Ec. (10-4)

cc = 1,5 + 0,5 = 2,0 in.

Usar fs = 36 ksi

3 No. 9

Estribo No. 4

s

54036

( 2,5 2, 0 ) 10 in.

1,5"

2,56"

Separacin provista

12

1,128

10"

= 2,44 in. < 10 in.

VERIFICA

0, 0033As 3, 010 21,5 0,52

Ejemplo 7.5 Diseo de una seccin con alas slo con armadura de traccin

Seleccionar la armadura para la seccin en Te ilustrada, para soportar un momento mayorado Mu = 400 ft-kips.

be= 30"

f'c = 4000 psify = 60.00 psi

Clculos y discusin

1. Determinar la armadura requerida.

a

As

10"

2,5"

19"

Referenciadel Cdigo

Paso 1.

Usando la Tabla 7-1, determinar la profundidad del bloque de tensiones equivalente, a, como para unaseccin rectangular.

Asumir que la seccin es controlada por traccin, = 0,9.

Mn = Mu / = 400 / 0,9 = 444 ft-kips

Asumir a < 2,5 in.

M nf 'c bd

2

444124 30192

0,123


a

As f y0,85 f 'c b

1,18 d

= 1,18 0,134 19 = 3,0 in. > 2,5 in.

Paso 2.

Paso 3.

Como el valor de a calculado como para seccin rectangular es mayor que el espesor del ala, el bloquede tensiones equivalente se extiende hacia el alma, y el diseo se debe basar en un comportamientocomo seccin Te. Para el caso en que a es menor que el espesor del ala, ver el Ejemplo 7.4.

Calcular la armadura requerida Asf y la resistencia nominal al momento requerida Mnf correspondientesal ala que sobresale de la viga solicitada a compresin (ver Parte 6).

Resistencia a la compresin del ala

Cf = 0,85 f'c (b bw) hf

= 0,85 4 (30 10) 2,5 = 170 kips

Asf requerida para equilibrar Cf:

Asf

Cff y

17060

Resistencia nominal al momento del ala:

h 2

= [2,83 60 (19 1,25)] / 12 = 251 ft-kips

Paso 4.

Paso 5.

Resistencia nominal al momento requerida a ser soportada por el alma de la viga:

Mnw = Mn Mnf = 444 251 = 193 ft-kips

Usando la Tabla 7-1, calcular la armadura Asw requerida para desarrollar la resistencia al momento aser soportada por el alma.

M nwf 'c bd 2

19312410192

0,1604


w 0,179

460

0, 01193

Paso 6.

Paso 7.

Paso 8.

Verificar si la seccin es controlada por traccin, con = 0,9:

t = 0,01806 de la Tabla 6-1

Por lo tanto, w < t y la seccin es controlada por traccin ( = 0,9)Asw = w bd = 0,01193 10 19 = 2,27 in.2

Armadura total requerida para soportar el momento mayorado Mu = 400 ft-kips:As = Asf + Asw = 2,83 + 2,27 = 5,10 in.2

Verificar la capacidad de momento.

a w

a

As Asf f y0,85 f 'c bw

f

2

f

2,83 in.2M nfAsf f y d fM n A Asf y d w Asf y d 2 h f

5,10 2,83 600,85 410

4, 01 in.

4, 01 2,52

= 400 ft-kips = Mu = 400 ft-kips

VERIFICA

2. Seleccionar la armadura para satisfacer los criterios de limitacin de la fisuracin.

Intentar con 5 barras No. 9 dispuestas en dos capas (As = 5,00 in.2)(2% menos de lo requerido, se supone suficiente)


10.6

s

540f s

2,5cc

Ec. (10-4)

cc = 1,5 + 0,5 = 2,0 in.

Usar fs = 36 ksi

s

54036

(2,5 2, 0) 10 in.


2 2

1,5 0,5

= 2,44 in. < 10 in.

VERIFICA

Estribo No. 45 No. 9

1" libre

dcg=3,41"1,5"

10"

Nota: Se requieren dos capas de armadura, lo cual puede no haber sido reconocido al suponer d igual a 19 in. Adems, la armaduraprovista es ligeramente menor que la requerida. Por lo tanto, la altura total debera ser algo mayor que d + dcg = 22,41 in., o bien sedebera aumentar la cantidad de armadura.

7 - 36M n 0,9 5,10 2,83 6019 2,83 6019 2 / 1210 21 1,128

Ejemplo 7.6 Diseo de un sistema nervurado armado en una direccin

Determinar la altura y armadura requerida para el sistema nervurado ilustrado a continuacin. Los nervios tienen 6 in. de ancho y laseparacin entre centros es de 36 in. La altura de la losa es de 3,5 in.

f'c = 4000 psify = 60.00 psiDL de servicioLL de servicio

= 130 psf (se asume como total correspondiente a los nervios y las vigas ms las cargas permanentes impuestas)= 60 psf

Ancho de las vigas perimetralesAncho de las vigas interiores

= 20 in.= 36 in.

Columnas:

interiores = 18 18 in.exteriores = 16 16 in.

Altura de piso (tpica)

= 13 ft

5 cada 30'-0" = 150'-0"

N

A

Nervios

A

30'-0"

30'-0"

15'-0"

8" 1'-0"

n = 27,5'

3'-0"

n = 27,0'

3'-0"

n = 27,0'

Sim. respecto del eje

Corte A-A

3 cada 30'-0" = 90'-0"

Referencia

Clculos y discusin

1. Calcular los momentnos mayorados en las caras de los apoyos y determinar la altura de los nervios.

wu = [(1,2 0,13) + (1,6 0,06)] 3 = 0,756 kips/ft

Usando los coeficientes aproximados, los momentos mayorados en el tramo son los siguientes:

Para una limitacin razonable de las flechas, seleccionar una cuanta igual a aproximadamente 0,5t.De la Tabla 6-1, t = 0,01806.

Fijar = 0,5 0,01806 = 0,00903

Determinar la altura requerida de los nervios en base a Mu = 56,1 ft-kips:

del Cdigo

Ec. (9-2)

8.3.3

f yf 'c

0, 00903 604

0,1355

De la Tabla 7-1, Mu / f'c bd2 = 0,1247

d

M uf 'c bw0,1247

56,1120,9 4 6 0,1247

15,8 in.

h 15,8 + 1,25 = 17,1 in.

De la Tabla 9-5(a), la mnima altura requerida para los nervios es:

h min

18,5

301218,5

19,5 in.

Usar nervios de 19,5 in. de altura (16 + 3,5).

2. Calcular la armadura requerida.

a. Tramo exterior, momento exterior negativo

M u f 'c bd

2

23,8120,9 4 618, 252

0, 0397


UbicacinMu (ft-kips)Tramo exteriorMu (ft-kips)Ext. neg.Pos.Int. neg.2wun2 / 24 = 0,756 27,5 / 24 = 23,82wun2 / 14 = 0,756 27,5 / 14 = 40,82wun2 / 10 = 0,756 27,5 / 10 = 56,1Tramo interiorPos.Neg.2wun2 / 16 = 0,756 27 / 16 = 34,42wun2 / 11 = 0,756 27 / 11 = 50,1

As

bdf 'cf y

0, 041 618, 25 460

Para f'c < 4444 psi, usar

As,min

200bw df y

200 618, 2560.000

Ec. (10-3)

Distribuir las barras uniformemente en la losa superior:

As

0,373

2

Usar barras No. 3 con una separacin de 10 in. (As = 0,13 in.2 / ft)

b. Tramo exterior, momento positivo

M u f 'c bd

2

40,8120,9 4 3618, 252

0, 0113


As

bdf 'cf y

0, 012 3618, 25 460

Verificar comportamiento de seccin rectangular:

a

A s f y'c

0,53 600,85 4 36

0, 26 in. 3,5 in.

VERIFICA

Usar 2 barras No. 5 (As = 0,62 in.2)

c. Tramo exterior, momento interior negativo

M u f 'c bd

2

56,1120,9 4 618, 252

0, 0936


As

bdf 'cf y

0,100 618, 25 460

Distribuir la armadura uniformemente en la losa:

As

0, 733

2

Usar barras No. 5 con una separacin de 12 in. por consideraciones de limitacin de la fisuracin (ver Tabla 9-1).

0,30 in.2 0,37in.2 As 0,123 in. / ft 0,53 in.20,85 f b 0, 73 in.2 0, 24 in. / ft

d. La armadura para las dems secciones se obtiene de manera similar. La siguiente tabla resume los resultados.Observar que en todas las secciones se satisfacen los requisitos de 10.6 sobre limitacin de la fisuracin.

* Separacin mxima de 12 in. requerida para limitar la fisuracin en la losa.

e. A menudo la armadura de la losa normal a los nervios se coloca a la mitad de la altura de la losa de maneraque resista tanto momento positivo como momento negativo.

Usar M u

0, 096 ft kips12 12

donde wu = 1,2 (44 + 30) + 1,6 (60)= 185 psf = 0,185 kips-ft2

M uf 'c bd

2

0, 096120,9 4121, 752

0, 0087

De la Tabla 7-1, 0,0087

As

bdf 'cf y

0, 0087121, 75 4 260

Para las losas, la armadura mnima est determinada por los requisitos dados en 7.12.2.1:

As,min = 0,0018 12 3,5 = 0,08 in.2/ft

smax= 5h = 5 3,5 = 17,5 in. (valor determinante)

= 18 in.

Usar barras No. 3 con una separacin de 16 in. (As = 0,08 in.2/ft)

3. Se debe verificar el corte en los apoyos. Dado que los nervios satisfacen los requisitos de 8.11, se permite quela contribucin del hormign a la resistencia al corte Vc sea 10% mayor que la especificada en el Captulo 11.

7.12.2.2

8.11.8UbicacinMu(ft-kips)As2(in. )ArmaduraTramo exteriorMu(ft-kips)As2(in. )ArmaduraExt. neg.Pos.Int. neg.23.840.856.10.370.530.73Barras No. 3 separadas 10 in.2 barras No. 5Barras No. 5 separadas 12 in.*Tramo interiorPos.Neg.34.450.10.420.652 barras No. 5Barras No. 5 separadas 12 in.

w u 2 0,185 2,52 0, 01 in. / ft

Ejemplo 7.7 Diseo de vigas continuas

Determinar la altura y armadura requerida para las vigas de apoyo ubicadas a lo largo de la lnea de columnas interiores delEjemplo 7.6. El ancho de las vigas es de 36 in.

f'c = 4000 psify = 60.00 psiDL de servicioLL de servicio

= 130 psf (se asume como total correspondiente a los nervios y las vigas ms las cargas permanentes impuestas)= 60 psf

Columnas:

interiores = 18 18 in.exteriores = 16 16 in.

Altura de piso (tpica)

= 13 ft

Referencia

Clculos y discusin

1. Calcular los momentos mayorados en las caras de los apoyos y determinar la altura de la viga.

wu = [(1,2 0,13) + (1,6 0,06)] 30 = 7,56 kips/ft

Usando los coeficientes aproximados, los momentos mayorados en los tramos son los siguientes:

del Cdigo

Ec. (9-2)

8.3.3.3

Por motivos de economa global, seleccionar la altura de la viga igual a la altura de los nervios determinada en elEjemplo 7.6.

Verificar la altura de 19,5 in. para Mu = 615,8 ft-kips:

De la Tabla 6-2:

R nt 820

M utbd 2

2

M u M ut

La seccin ser controlada por traccin sin armadura de compresin.

Verificar la altura de la viga en base a los criterios para limitacin de las flechas de la Tabla 9.5(a):

UbicacinMu (ft-kips)Tramo exteriorMu (ft-kips)Ext. neg.Pos.Int. neg.2wun2 / 16 = 7,56 28,58 / 16 = 385,92wun2 / 14 = 7,56 28,58 / 14 = 441,12wun2 / 10 = 7,56 28,54 / 10 = 615,8Tramo interiorPos.2wun2 / 16 = 7,56 28,50 / 16 = 383,8

M ut 820 3617 /1000 8531 in.-kips = 711 ft-kips

h min

18,5

301218,5

19,5 in.

VERIFICA

Usar una viga de 36 19,5 in.

2. Calcular la armadura requerida:

a. Tramo exterior, momento exterior negativo

M u f 'c bd

2

385,9120,9 4 36172

0,1236


As

bdf 'cf y

0,134 3617 460

Para f'c < 4444 psi, usar

As,min

200bw df y

200 361760.000

Ec. (10-3)


Verificar los requisitos sobre distribucin de la armadura de flexin de 10.6.


s

540fs

2,5cc

Ec. (10-4)

cc = 1,5 + 0,5 = 2,0 in.

Usar fs = 0,6 fy = 36 ksi

s

54036

2,5 2, 0 10 in.


1,5 0,56 2

= 5,17 in. < 10 in.

b. Tramo exterior, momento positivo

VERIFICA

M u f 'c bd 2

441,1120,9 4 36172

0,1413


5, 47 in.2 2, 04in.236 21 1, 0

As

bdf 'cf y

0,156 3617 460


Observar que esta armadura satisface los requisitos de fisuracin de 10.6.4 y cabe adecuadamente dentro delancho de la viga. Tambin se la puede usar de forma conservadora en la seccin correspondiente a la mitaddel tramo interior.

c. Tramo exterior, momento interior negativo

M u f 'c bd 2

615,8120,9 4 36172

0,1973


As

bdf 'cf y

0, 228 3617 460


Esta armadura tambin satisface los requisitos de fisuracin y separacin.

6,37 in.2 9,30 in.2

Ejemplo 7.8 Diseo de una columna cuadrada con carga biaxial

Determinar las dimensiones y la armadura requerida para una columna con estribos cerrados para las siguientes cargas y momentosmayorados. Suponer que la armadura est igualmente distribuida en todas las caras.

Pu = 1200 kips; Mux = 300 ft-kips;

Muy = 125 ft-kips

f'c = 5000 psi; fy = 60.00 psi

Referencia

Clculos y discusin

1. Determinar las resistencias nominales requeridas, asumiendo comportamiento controlado por compresin.

del Cdigo

9.3.2.2(b)

Pn

Pu

12000, 65

M nx

M ux

3000, 65

M ny

M uy

1250, 65

192,3 ft-kips

2. Asumir = 0,65

3. Determinar una resistencia al momento uniaxial equivalente Mnox o Mnoy.

M nyM nx

192,3465,1

0, 42 es menor que

bh

1, 0 (columna cuadrada)

Por lo tanto, usando la Ecuacin (19)

M nox M nx M ny

h 1

1 0, 65 0, 65

4. Suponiendo una columna cuadrada de 24 24 in., determinar la armadura requerida para proveer una resistenciaa la carga axial Pn = 1846 kips y una resistencia al momento uniaxial equivalente Mnox = 565,1 ft-kips.

La siguiente figura es un diagrama de interaccin para esta columna con 4 barras No. 11. La seccin con estaarmadura es adecuada para (Pn, Mnox).

1846 kips 461,5 ft-kipsb 461,5192,31, 0 565,1 ft-kips

3000

2500

2000

1500

1000

500

0

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

Momento Flector, ft-kips

5. Ahora verificamos la seccin elegida para la resistencia biaxial usando cada uno de los tres mtodos presentadosen la discusin.

a. Mtodo de las Cargas Recprocas de Bresler

Verificar Pn 0,1 f'c Ag

1714 kips > 0,1 (5) (576) = 288 kips

VERIFICA

(8)

Para usar este mtodo es necesario determinar Po, Pox y Poy.Po 0,85f 'c Ag Ast Ast f y

0,85 5 576 6, 24 6, 24 60 2796 kips

Pox es la resistencia a la carga uniaxial cuando sobre la columna slo acta Mnx.Del diagrama de interaccin, Pox = 2225 kips cuando Mnx = 461,5 ft-kips.

De manera similar, Poy = 2575 kips cuando Mny = 192,3 ft-kips. Observar que tanto Pox como Poy son mayoresque la fuerza axial balanceada, de modo que la seccin es controlada por compresin.

Usando estos valores se puede evaluar la Ecuacin (7):

Pn 1846 kips

11 1 1Pox Poy Po

Carga axial, kips

11 1 12225 2575 2796

2083 kips

VERIFICA

b. Mtodo del Contorno de las Cargas de Bresler

Como no hay datos disponibles, se elige un valor conservador = 1,0. Aunque Pu > 0,1 f'c Ag, se incluirn losclculos necesarios a ttulo ilustrativo. Dado que la seccin es simtrica, Mnox es igual a Mnoy.

Del diagrama de interaccin, Mnox = 680 ft-kips para Pn = 1846 kips.

Usando el valor anterior se puede evaluar la Ecuacin (11):

0, 68 0, 28 0,96 1, 0M nox M noy 680 680

VERIFICA

c. Mtodo del Contorno de las Cargas de la PCA

Antes de aplicar este mtodo es necesario hallar Po, Mnox, Mnoy y el valor real de .Po 0,85f 'c Ag Ast Ast f y

0,85 5 576 6, 24 6, 24 60 2796 kips

Dado que la seccin es simtrica, Mnox es igual a Mnoy.

Del diagrama de interaccin, Mnox = 680 ft-kips para Pn = 1846 kips.

Una vez que se conoce Po y usando g (real), el valor real de se determina de la siguiente manera:

PnPo

18462796

g f yf 'c

2 0,135

De la Figura 7-15(a), = 0,66

Usando los valores hallados se puede evaluar la Ecuacin (13):

log 0,5

log 0,5

1, 0

log 0,5 = 0,3

log = log 0,66 = 0,181

log 0,5log

1, 66

1,66 680

1,66 680

0,53 0,12 0, 65 1, 0

VERIFICA

M nx M ny 461,5 192,3 0, 666, 24 / 24M nxlog M nox M ny M noylog 461,5 192,3

Esta seccin tambin se puede verificar usando la aproximacin bilineal.

Como

M nyM nx

M noyM nox

se debera usar la Ecuacin (17).

M nox M noy 680 680 0, 66

= 0,68 + 0,15 = 0,83 < 1,0

VERIFICA

M nx M ny 1 461,5 192,3 1 0, 66

Flexion y Compresion

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