Análisis de supervivencia bivariado utilizando cópulas · Angélica Hernández Análisis de...

Análisis de supervivencia bivariado utilizando cópulas

Angélica Hernández Quintero

IV verano de probabilidad y estadística, CIMAT

6 de julio de 2011

Angélica Hernández () Análisis de supervivencia bivariado 6 de julio de 2011 1 / 30

1 Análisis de supervivenciaAnálisis de supervivencia bivariado

2 CópulasFamilias de cópulas

3 Análisis de supervivencia bivariado usando cópulasRepresentación gráfica


¿Qué es el análisis de supervivencia?


Características de los datos de supervivencia:

Son datos de cola larga.

Son censurados.

Tipos de censura:

Censura tipo I.

Censura tipo II.

Censura aleatoria.

Categorías:

Censura por la derecha.

Censura por la izquierda.

Censura por intervalos.


Notaciones

[0,τ], (τ < ∞): intervalo de observación,

T : v.a. tiempo de ocurrencia,

C: tiempo de censura,

Y = min(T ,C): duración de vida observada,

ν = 1(T ≤ C): indicador de censura.


DefiniciónLa función de distribución de T es,

F(t) = P{T < t}=∫ t

0f (u)du.

DefiniciónLa función de supervivencia es,

S(t) = P{T ≥ t}= 1−F(t).

DefiniciónLa fuerza de mortalidad es,

λ (t) = limδ t→0

[P{t < T ≤ t + δ t | T ≥ t}

δ t

].


La fuerza de mortalidad puede ser expresada como,

λ (t) =f (t)S(t)

=− ddt{logS(t)}.

La función de supervivencia puede se escrita como,

S(t) = exp{−Λ(t)},

donde Λ(t) =∫ t

0 λ (u)du, es la la función de riesgo acumulado.La función de verosimilitud para n observaciones independientes es,

Ln(θ) =n

∏i=1{f (Yi |θ)}νi{S(Yi |θ)}(1−νi). (1)


Modelos Paramétricos

Modelo exponencial. Si t ∼ EXP(γ) con γ > 0,

S(t) = exp{−γ t} f (t) = γ exp{−γ t} λ (t) = γ Λ(t) = γ t.

Modelo weibull. Si t ∼WEI(α,γ)

f (t) = αγ tα−1 exp{−γ tα}

S(t) = exp(−γ tα ).

Otros modelos paramétricos de supervivencia: el modelo del valor extremo, elmodelo de Gompertz-Makeham, el modelo lognormal, el modelo de pedazosexponeciales, entre otros (ver, Cox y Oakes, 1984; Klein y Moeschberger,1997; Johonson et al.,1994; Lawless, 1982; Meeker y Escobar,1998 y Voivnovy Nikulin, 1993).


Análisis de supervivencia bivariado

Ejemplos:

El síndrome de corazones rotos.

Modelo de riesgos competitivos.

Los tiempos de fallo de una enfermedad de órganos pares.

Los tiempos hasta la primera y segunda falla de un equipo reparable

Supóngase que se tienen T1,T2 tiempos de fallo registrados para cadaobservación. La función de supervivencia bivariada es definida como:

S(t1, t2) = P{T1 ≥ t1,T2 ≥ t2}


Si la función de supervivencia S(t1, t2) es absolutamente continua, ladensidad conjunta es expresada

h(t1, t2) =∂ 2S(t1, t2)

∂ t1∂ t2

Dadas n pares de observaciones pueden ser divididas en 4 grupos:

G1: T1 y T2 son observados.

G2: T1 es observado y T2 es censurado.

G3: T1 es censurado y T2 es observado.

G4: T1 y T2 son censurados.


La función de verosimilitud para el caso bivariado es expresada como:

Ln(θ) = ∏i∈G1

f (t1,i , t2,i) ∏i∈G2

−∂S(t1,i , t2,i)∂ t1,i

∏i∈G3

−∂S(t1,i , t2,i)∂ t2,i

∏i∈G4

S(t1,i , t2,i)

=n

∏i=1

{f (t1i , t2,i)

δ1,i δ2,i f2(t1i , t2,i)δ1,i(1−δ2,i)

f1(t1i , t2,i)(1−δ1,i)δ2,i S(t1i , t2,i)

(1−δ1,i)(1−δ2,i)}


¿Qué son las cópulas?


Cópulas

Definición

Una cópula bivariada es una función C : I2→ I = [0,1] que satisface lassiguientes condiciones,

C(0, t) = C(t,0) = 0 y C(1, t) = C(t,1) = t para toda t ∈ I

C(u2,v2)−C(u1,v2)−C(u2,v1) + C(u1,v1)≥ 0 para toda u1, u2, v1,v2 ∈ I, tales que u1 < u2 y v1 < v2

| C(u1,u2)−C(v1,v2) |≤2∑

n=1| un− vn | para toda u1, u2, v1, v2 ∈ I


(Ver e.g. Nelsen, 1999.)

Teorema (Sklar)Sea X ,Y variables aleatorias con función de distribución conjunta H ymarginales F y G respectivamente. Entonces existe una función cópulabivariada C tal que:

H(x ,y) = C [F(x),G(y)] (2)

para toda x ,y ∈ R. Más aún si F y G son continuas entonces C es únicasobre el rango F × rango G. Inversamente, si C es una cópula y F , G sonfunciones de distribución, entonces H definida en (2) es una función dedistribución conjunta con marginales F y G.


CorolarioDada una función de distribución conjunta H con marginales continuas F1 yF2, como está indicado en el teorema de Sklar, es fácil construir la cópulacorrespondiente como se muestra a continuación:

C(v1,v2) = H(

F (−1)1 (v1),F (−1)

2 (v2)),

donde F (−1)j es la función cuasi-inversa de Fj dada por Fj [F

(−1)j (u)] = u si

u ∈ rangoFj , o por F (−1)j (u) = sup{z | Fj(z)≤ u} si u /∈ rangoFj , para

j = 1,2. Nótese que si Y1 y Y2 son variables aleatorias continuas confunciones de distribución F1 y F2 respectivamente, entonces C es la funciónde distribución conjunta de V1 = F1(Y1) y V2 = F2(Y2) ya que F1(Y1) yF2(Y2) se distribuyen uniformemente en I = (0,1).


Ejemplo:Supóngase una distribución logística bivariada, la cual está dada por

F(x ,y) = exp

(−(

x−θ + y−θ

) 1θ

)x > 0,y > 0,θ ≥ 1.

Reescribiendo ésta función como:

F(x ,y) = exp

(−((− loge−1/x

)θ

+(− loge−1/y

)θ)1/θ

).

⇒ Las marginales de una logísitca bivariada son Fréchet.⇒ Se obtiene la cópula Gumbel-Hougard.

C(u1,u2) = exp

(−(

(− logu1)θ + ((− logu2)θ) 1

θ

).


Si F(x) G(y) y la cópula C(v1,v2) son diferenciables, la densidad conjunta esexpresada como,

h(x ,y) = f (x)g (y)c [F(x),G(y)] , (3)

donde f (x) y g(y) son las funciones de densidad de las marginalescorrespondientes y

c [F(x),G(y)] =∂ 2C(F (x) ,G (y))

∂x∂y,

la cual es conocida como la función cópula de densidad.


Medidas de correlación y concordancia

DefiniciónSean Y1,Y2 variables aleatorias con varianzas finitas. Entonces el coeficientede correlación de Pearson, se define como:

Cor(Y1,Y2) =Cov(Y1,Y2)√

Var[Y1]√

Var[Y2]

=E{(Y1−E[Y1]) (Y2−E[Y2])}{

E(Y1−E[Y1])2}1/2{

E(Y2−E[Y2])2}1/2

.


Definición

Una medida numérica κ de asociación entre dos variables aleatoriascontinuas Y1 y Y2 cuya cópula es C es una medida de concordancia si:

1 κ esta definida para cualquier pareja de variables aleatorias continuas;2 κ ∈ [−1,1], con κ(Y ,Y ) = 1 y κ(Y ,−Y ) =−1;3 κ(Y1,Y2) = κ(Y2,Y1);4 si Y1 y Y2 son independientes entonces κ(Y1,Y2) = 0;5 κ(−Y1,Y2) = κ(Y1,−Y2) =−κ(Y1,Y2);6 dos parejas aleatorias están representadas por las cópulas C1 y C2 de

manera tal que C1 ≺ C2, y si κi denota la medición de concordanciacorrespondiente a la cópula Ci , donde i = 1,2, entonces κ1 ≤ κ2;

7 las parejas aleatorias en la sucesión {Yn} estánn representadas por lascópulas Cn cuya medida de concordancia es κn, y si {Cn} converge a Ccuya medida de concordancia es κ , entonces l«ımn→∞ κn = κ .


DefiniciónSean X ,Y variables aleatorias continuas con función cópula C. La tau deKendall para X ,Y está definida por,

τ = 4∫ ∫

I2C(u,v)dC(u,v)−1

DefiniciónSean X ,Y variables aleatorias continuas con función cópula C. La rho deSpearman par X ,Y, está definida por,

ρ = 12∫ ∫

I2[C (u,v)−uv ]dudv


La cópula Morgenstern

La cópula Morgenstern es representada por

Cα (u,v) = uv [1 + α (1−u)(1− v)] , α ∈ [−1,1]. (4)

La función de densidad cópula correspondiente es

cα (u,v) = [1 + α(1−2u)(1−2v)]

La τ de Kendall está dada por τ = 2α/9, por lo que τ ∈ [−2/9,2/9]


La cópula Gaussiana

La familia Gaussiana de cópulas tiene la representacion

Cα (u,v) = Φ2(Φ−1 (u) ,Φ−1 (v)

)(5)

donde Φ2(·, ·) es la función de distribución conjunta de una normal bivariadacon media (0,0)T y matriz de covarianza R, igual a una matriz de 2×2 cuyoslos elementos fuera de la diagonal son iguales a α y los elementos de ladiagonal son igual a 1, Φ−1 es la inversa de la función de distribución de lanormal estándar. Para esta familia se tiene que, −1≤ α ≤ 1.


La función de la cópula densidad es representada por:

cα (u,v) =φ2[Φ−1 (u) ,Φ−1 (v)

]φ [Φ−1 (u)]×φ [Φ−1 (v)]

donde Φ y φ denotan las funciones de distribución y de densidad de la normalestándar univariada respectivamente, y φ2 denota la función de densidadbivariada de una normal.La τ de Kendall y la ρ de Spearman para la cópula gaussiana son:

τα =2π

arcsen(α) ρα =6π

arcsen(α

2).


Cópulas arquimedianas

Una distribución bivariada pertene a la familia de modelos de cópulasarquimedianos si tiene la siguiente representación:

C(x ,y) = φ−1[φ(x) + φ(y)] 0≤ x ,y ≤ 1,

donde φ : [0,1]→ [0,∞], es convexa y decreciente, tal que φ(1) = 0.Al término φ se le conoce como el generador de la cópula Cφ .La función de densidad h(x ,y) asociada con la ecuación (3) estárepresentada por:

h(x ,y) =−φ ′′(H)φ ′(x)φ(y)

[φ ′(H)]3


La tau de Kendall es de la siguiente forma:

τ(X ,Y ) = 4∫ 1

0

φ(t)φ ′(t)

dt + 1

Familias de cópulas arquimedianas

Nombre Parámetro Cópula bivariada GeneradorClayton α > 1 {u1−α + v1−α −1}1/(1−α) t1−α −1

Gumbel- α ≥ 1 exp{− [(− logu)α + (− logv)α ]1/α

}(− log t)α

Hougaard

Frank α 6= 0 1α

[1 + (eαu−1)(eαv−1)

eα−1

]log eα t−1

eα−1


La cópula Frank

La τ de Kendall asociada es:

τα = 1− 4α

(1− 1

α

∫α

0

tet −1

dt

)La cópula Gumbel-Hougaard

La cópula densidad para ésta cópula es expresada por:

cα (u,v) =1

Cα

∂Cα

∂u∂Cα

∂v

[(α−1)(− logCα )−1 + 1

]La τ de Kendall asociada es:

τα = 1−α−1


Análisis de supervivencia bivariado usando cópulas

Dados T1 y T2 tiempos de fallos, la función de supervivencia conjunta sedefine como:

S(t1, t2) = P{T1 ≥ t1,T2 ≥ t2}

Sean dos funciones de supervivencia marginales Sj(tj) = P{Tj ≥ tj}, conj = 1,2, éstas pueden ser “copuladas” para formar la función de supervivenciaconjunta, de la manera siguiente:

S(t1, t2) = C(S1(t1),S2(t2)) (6)

Y por tanto la función de densidad conjunta es:

h(t1, t2) = f1(t1)f2(t2)× c(S1(t1),S2(t2)),

donde c(·, ·) es la cópula de densidad.


Consíderese funciones Weibull parametrizadas como

S(ti) = exp{−(bi ti)ai} j = 1,2

donde:

b1 = 0,028

a1 = 2

b2 = 0,039

a2 = 1,5

Se estudiaron 3 niveles de asociación

τ = 0,1

τ = 0,4

τ = 0,7


Cópula Frank

Cópulagaussiana

Cópulapositiva estable


Bibliografía

D.R. Cox, Regression models and life-tables (with Discussion). J.R.Statist. Soc. B 34, 187-220, 1972.G. Escarela and J.F. Carriere, Fitting competing risks with an assumedcopula, Statistical Methods in Medical Research, 12, 333-349, 2003.E.W. Frees and E.A. Valdez, Understanding relationships using sopulas.Noth American Actuarial Journal, 2,1-25,1998.C. Genest and R.J. MacKay, The joy of copulas: bivariate distributions withuniform marginals, The American Statistician 40, 280-283,1986.J.D. Kalbfleisch and R. L. Prentice, Marginal likelihood based on Cox’sregression ans life model. Biometrica, 60, 267-278, 1973.R. B. Nelsen, An introduction to copulas, Springer, New York, UnitedStates, 1999.


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