Análisis de Técnicas de Control por Moldeo de Energía ...

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico Departamento de Ingeniería Electrónica

TESIS DOCTORAL

Análisis de Técnicas de Control por Moldeo de Energía Basado en Pasividad Aplicadas en Convertidores Tipo Elevador Entrelazados

para su Uso en Sistemas de Alimentación Distribuida

Presentada por:

JOSÉ ARMANDO OLMOS LÓPEZ Maestro en Ciencias en Ingeniería Electrónica por el CENIDET

como requisito para la obtención del grado de:

Doctor en Ciencias en Ingeniería Electrónica

Director de tesis:

Dr. Gerardo Vicente Guerrero Ramírez

Co-Director de tesis:

Dr. Francisco Venustiano Canales Abarca

CUERNAVACA, MORELOS, MÉXICO MARZO DEL 2012

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico Departamento de Ingeniería Electrónica

TESIS DOCTORAL

Análisis de Técnicas de Control por Moldeo de Energía Basado en Pasividad Aplicadas en Convertidores Tipo Elevador Entrelazados para su

Uso en Sistemas de Alimentación Distribuida

Presentada por:

JOSÉ ARMANDO OLMOS LÓPEZ Maestro en Ciencias en Ingeniería Electrónica por el CENIDET

como requisito para la obtención del grado de:

Doctor en Ciencias en Ingeniería Electrónica

Director de tesis:

Dr. Gerardo Vicente Guerrero Ramírez

Co-Director de tesis:

Dr. Francisco Venustiano Canales Abarca

Jurado: ________________________________

Dr. Carlos Manuel Astorga Zaragoza – Presidente ________________________________ Dr. Carlos Aguilar Castillo – Secretario

________________________________ Dr. Marco Antonio Oliver Salazar – Vocal

________________________________ Dr. Ciro Alberto Núñez Gutiérrez – Vocal

________________________________

Dr. Elías José Juan Rodríguez Segura – Vocal

________________________________

Dr. Gerardo Vicente Guerrero Ramírez – Vocal Suplente

Cuernavaca, Morelos, México. 15 de marzo 2012

A mis padres y hermanos:

Armando, Ernerstina, Pamela e Israel

Abstract

With increasing demand for higher power, modularity, higher efficiency, reduced current

ripples and reduced cost, the need for integrated and parallel converters is on the rise. A

desired feature in these connections is equal current sharing among the converters. However

this is not possible in real systems where factors as aging or heating cause mismatch in the

parameters. This thesis presents a passivity-based controllers which achieves equal current

sharing considering parameters uncertainty, ensures the PFC close to one with regulated DC

output voltage and allows the connection of ‘ n ’ interleaved converters.

The areas of application of DPS (distributed power systems) are numerous. A typical

Distributed Power System (DPS) for a telecommunication power supply evolves around a

primary DC bus regulated at 400 V and a secondary DC bus at 48 V. The power to the

primary dc bus is typically fed by boost converters, which interface to a multi-phase utility. The

high voltage on the primary bus is stepped down using front-end converters and their output

is connected to the secondary dc bus. The secondary bus serves as the source of power for

all the loads. This thesis deals with the primary dc bus built by PFC boost converters, which

have to guarantee 400 V and achieve a PFC equal to one.

To simplify the developments, the results considering first only two boost converts in

interleaved connection and go on presenting the connection of ‘ 4 ’ converters.

In this way, in this work is proved that it is possible to control ‘ n ’ interleaved PFC boost

converters, to guarantee a DC output voltage and this technique can be easily extended to ‘ n ’

converters, achieving equal sharing current among ‘n’ converters and to reduce input ripple ‘ n

’ times, all is based in a passivity-based controllers. These techniques achieve equal current

sharing considering parameters uncertainty. The proof of two boost converters form a passive

systems has been done, moreover, this proof can be extended to ‘ n ’ boost converters in

parallel connection.

Análisis de técnicas de control por moldeo de energía … OLMOS

I

Índice LISTA DE FIGURAS ..................................................................................................................................................... III

LISTA DE TABLAS ....................................................................................................................................................... IV

LISTA DE SÍMBOLOS ................................................................................................................................................... V

CAPÍTULO 1 . . INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................................................. 1

1.1. ANTECEDENTES ........................................................................................................................................................ 2 1.2. ESTADO DEL ARTE .................................................................................................................................................... 4

1.2.1. Tipos de conexión entre convertidores ............................................................................................................ 5 1.2.2. Métodos de modelado ...................................................................................................................................... 7 1.2.3. Técnicas de control ........................................................................................................................................ 10

1.2.3.1. Según conexión entre los módulos y el control. ........................................................................................................ 10 1.2.3.2. Según tipo de control ................................................................................................................................................. 13

1.2.4. Conclusiones del estado del arte.................................................................................................................... 21 1.3. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA A ESTUDIAR ....................................................................................................... 24 1.4. HIPÓTESIS Y OBJETIVOS DE LA TESIS ....................................................................................................................... 29 1.5. ALCANCE, APORTACIONES Y LIMITACIONES ........................................................................................................... 30 1.6. ORGANIZACIÓN DE LA TESIS ................................................................................................................................... 31

CAPÍTULO 2 . . CONTROLADORES PARA EL SISTEMA IDEAL ................................................................................................... 35

2.1. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA .............................................................................................................................. 35 2.2. MODELO DEL SISTEMA ............................................................................................................................................ 38 2.3. DISEÑO DE CONTROLADORES.................................................................................................................................. 38

2.3.1. Control Basado en Pasividad ........................................................................................................................ 39 2.3.2. Caso 1: Control Proporcional Basado en Pasividad sensando la corriente ii .............................................. 48 2.3.3. Caso 2: Control Basado en Pasividad sensando la corriente is ..................................................................... 51 2.3.4. Caso 3: Control por Charge-Control ............................................................................................................ 56 2.3.5. Control robusto .............................................................................................................................................. 59

2.4. RESULTADOS NUMÉRICOS ....................................................................................................................................... 69

CAPÍTULO 3 . . CONTROLADOR CONSIDERANDO RESISTENCIAS PARÁSITAS .................................................................... 81

3.1. MODELO DEL SISTEMA CONSIDERANDO R1, R2 Y RC ................................................................................................. 82 3.2. DISEÑO DE CONTROLADORES.................................................................................................................................. 83

3.2.1. Control basado en pasividad ......................................................................................................................... 83 3.2.2. Caso 1: Control Proporcional Basado en Pasividad sensando la corriente ii .............................................. 86 3.2.3. Caso 2: Control Basado en Pasividad sensando la corriente is ..................................................................... 87 3.2.4. Caso 3: Control por Charge-Control ............................................................................................................ 88 3.2.5. Control robusto .............................................................................................................................................. 89

3.3. RESULTADOS NUMÉRICOS ....................................................................................................................................... 91

CAPÍTULO 4 . . CONTROLADOR PARA CUATRO CONVERTIDORES ........................................................................................ 97

4.1. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA .............................................................................................................................. 97 4.2. DISEÑO DE CONTROLADORES................................................................................................................................ 100

4.2.1. Control basado en pasividad ....................................................................................................................... 100 4.2.2. Caso 1: Control Proporcional Basado en Pasividad sensando la corriente ii ............................................ 102 4.2.3. Caso 2: Control Basado en Pasividad sensando la corriente is ................................................................... 103 4.2.4. Caso 3: Control por Charge-Control .......................................................................................................... 104 4.2.5. Control robusto ............................................................................................................................................ 105

4.3. RESULTADOS EN SIMULACIÓN .............................................................................................................................. 105

José Armando Olmos López cenidet

II

CAPÍTULO 5 . . CONCLUSIONES ......................................................................................................................................................... 115

APÉNDICE A ............................................................................................................................................................... 123

APÉNDICE B ............................................................................................................................................................... 139

APÉNDICE C ............................................................................................................................................................... 148

BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................................................................................... 158


III

LISTA DE FIGURAS Fig. 1. Configuración básica de un SAD (Sistema de Alimentación Distribuido). .............................. 2 Fig. 2. Posibles combinaciones entrada-salida: a) Entrada-paralelo y salida-serie; b) Entrada-paralelo y salida-paralelo; c) Entrada-serie y salida-paralelo; d) Entrada-serie y salida-serie. .......................... 6 Fig. 3. Diagrama de la clasificación de los métodos paralelos. .......................................................... 11 Fig. 4. Diagrama de los métodos de control. ...................................................................................... 14 Fig. 5. Diagrama conceptual de los pasos para el diseño de un Controlador Robusto por Rediseño de Lyapunov ............................................................................................................................................ 19 Fig. 6. Diagrama que muestra un Sistema de Alimentación Distribuido: etapa (recuadro de línea punteada) constituida por convertidores correctores del factor de potencia (CFP). ........................... 25 Fig. 7. Esquema de la CFP para dos convertidores elevadores conectados en paralelo. .................... 28 Fig. 8. Conexión en paralelo de dos convertidores elevadores. ......................................................... 36 Fig. 9. Esquema y gráficas de la técnica de Charge-Control. ............................................................. 56 Fig. 10. Voltaje de salida al emplear los controladores diseñados. .................................................... 70 Fig. 11. El voltaje Sv y corriente Si tienen la misma forma y fase. ................................................... 72

Fig. 12. Formas de onda en convertidores entrelazados ..................................................................... 73 Fig. 13. Rizos de corriente ii , 1i y 2i cuando se utiliza un controlador basado en pasividad. ........... 74

Fig. 14. Distribución de corrientes entre los convertidores al emplear diferentes controladores. ...... 75 Fig. 15. Columna izquierda (línea azul) corriente Si , y (línea roja) voltaje Sv : a) control Basado en

Pasividad; b) control por Charge-Control; c) control Robusto........................................................... 76 Fig. 16. Corrientes al emplear el controlador PI reportado por Mike O’Loughlin [71]: a) Corriente de entrada ii ; b) Corrientes en los inductores. ........................................................................................ 79

Fig. 17. Convertidores elevadores considerando parásitos 1r , 2r y Cr . ............................................... 82

Fig. 18. Distribución de corriente ante diversos controladores. ......................................................... 92 Fig. 19. Señales de control para a) Controlador basado en pasividad; b) Controlador del Caso 1; c) Controlador del Caso 2; d) Controlador del Caso 3. .......................................................................... 93 Fig. 20. Comportamiento del sistema ante variaciones en el voltaje Sv empleando un control Basado en Pasividad. ....................................................................................................................................... 94 Fig. 21. Cuatro convertidores tipo elevador conectados en paralelo. ................................................. 98 Fig. 22. Comportamiento del sistema ante variaciones en la carga. ................................................. 107 Fig. 23. Comportamiento del sistema ante perturbaciones en el voltaje de entrada. ........................ 108 Fig. 24. Comportamiento del sistema ante perturbaciones en la frecuencia de entrada. .................. 110 Fig. 25. Rizos en las corrientes cuando existe variación paramétrica. ............................................. 112 Fig. 26. Diagrama del circuito equivalente de un convertidor tipo elevador. .................................. 143 Fig. 27. Conexión en paralelo de dos convertidores elevadores. ..................................................... 148 Fig. 28. Curvas de las corrientes cuando los inductores tienen diferentes características: Empleando el Control Basado en Pasividad; b)Empleando el control por Charge-Control; c) empleando el Control Robusto ................................................................................................................................ 157


IV

LISTA DE TABLAS Tabla 1. Especificaciones del sistema ................................................................................................ 26 Tabla 2. Valores de los parámetros utilizados en la simulación. ........................................................ 69 Tabla 3. Errores en las variables controladas por las diferentes propuestas ....................................... 71 Tabla 4. Errores de las variables controladas considerando incertidumbre paramétrica. ................... 78 Tabla 5. Valores de los parámetros utilizados en la simulación. ........................................................ 91 Tabla 6. Errores de las variable controladas considerando incertidumbre paramétrica. .................... 95 Tabla 7. Especificaciones del sistema ................................................................................................ 99 Tabla 8. Errores en las variables controladas considerando variación en la carga. .......................... 109 Tabla 9. Errores de las variables controladas considerando variaciones en el voltaje de entrada. ... 109 Tabla 10. Errores de las variables controladas considerando variaciones en la frecuencia de entrada. .......................................................................................................................................................... 111 Tabla 11. Errores de las variables controladas considerando variaciones en la frecuencia de entrada. .......................................................................................................................................................... 112 Tabla 12. Errores de las variables controladas considerando variación paramétrica: Prueba 1. ...... 113 Tabla 13. Errores de las variables controladas considerando variación paramétrica: Prueba 2. ...... 113 Tabla 14. Errores de las variables controladas considerando variación paramétrica: Prueba 3. ...... 113 Tabla 15. Valores de los parámetros utilizados en la simulación. .................................................... 156


V

LISTA DE SÍMBOLOS Símbolos matemáticos utilizados comúnmente

Conjunto de los números reales

n Espacio real Euclidiano de dimensión n

n m Espacio matricial con n filas y m columnas de elementos en

Conjunto de los números reales no negativos

Pertenece a

t Variable tiempo, t

, Producto interno

Valor absoluto

Norma euclidiana

Se define como

Equivalente a

Para todo

Mapeo de un dominio a un rango

Subconjunto de

TM Transpuesta de una matriz M cualquiera

L-1 Transformada inversa de Laplace

Símbolos empleados en el modelado

C Capacitor

CD Corriente directa

Li Corriente del inductor

Ci Corriente del capacitor de salida

L Inductor

R Resistencia de carga


VI

r Resistencia parásita

Señal de control del interruptor

H( ) Función de almacenamiento

t Tiempo

Cv Voltaje en el capacitor C

Sv Voltaje de la fuente de voltaje de red

Vector de error de parámetros

x Vector de error de parámetros

ix i-ésima variable de estado deseada

Símbolos empleados en el modelado de los convertidores

D Matriz de elementos que almacenan energía

C Matriz de elementos no trabajadores

R Matriz de elementos disipativos

u Vector de fuentes externas

Vector de enlaces de flujo

q Vector generalizado de posición

q Vector de velocidades generalizadas

T Energía cinética

U Energía potencial

G Energía disipada por los elementos resistivos

H( ) Función de almacenamiento de energía

Símbolos empleados en el diseño de los controladores

amR Matriz de inyección de amortiguamiento

V ( ) Función de Lyapunov


VII

Acrónimos frecuentes

SAD Sistema de Alimentación Distribuido

PFC Corrector del Factor de Potencia (del inglés Power Factor Corrector)

CD Corriente Directa

CA Corriente Alterna

PWM Modulación por ancho de pulso

P Controlador Proporcional

PI Controlador Proporcional-Integral

FP Factor de potencia


VIII


1

CAPÍTULO 1

.

.

INTRODUCCIÓN

En este capítulo se presenta la importancia y la necesidad de este trabajo de tesis, así

como la formulación del problema a resolver, el cual está relacionado con la calidad de

energía eléctrica que se proporciona en un bus de CD para la alimentación de diferentes

tipos de cargas. Las primeras dos secciones de este capítulo ofrecen una descripción de

lo que es un Sistema de Alimentación Distribuido y una revisión del Estado del Arte. En la

sección 1.3 se plantea la problemática que se estudiará en el presente trabajo de tesis. La

última sección presenta el título de tesis, los objetivos y se describen los trabajos que se

presentarán en los siguientes capítulos de la tesis.

Este capítulo establece las bases para comprender el problema a resolver y la

importancia de su solución.


2

1.1. Antecedentes

Actualmente, la arquitectura de los sistemas de alimentación modular (o sistemas de

alimentación distribuida) para conversiones de potencia de corriente directa (o alterna) a

corriente directa (CD-CD o CA-CD) necesita conectar bloques de convertidores de baja

potencia y bajo voltaje, en cualquier combinación serie o paralelo.

Esta arquitectura distribuida, para sistemas de alimentación conmutados, está

siendo ampliamente adoptada como una práctica común por la industria, con el fin de

alimentar la siguiente generación de dispositivos utilizados en la era de la tecnología de

información. La fuerza que impulsa esta arquitectura se basa en diferentes aplicaciones

emergentes claves, tales como: telecomunicaciones, servidores, aplicaciones

aeroespaciales y navales (barcos y submarinos), equipos médicos y vehículos eléctricos,

solo por mencionar algunos. La Fig. 1 muestra la configuración básica de un SAD:

Un Sistema de Alimentación Distribuido (SAD) proporciona:

Una arquitectura abierta

Diseño modular

Mejor direccionamiento (lo cual es importante en la tolerancia a fallas)

Mayor confiabilidad sin añadir costos significantes

Debido al gran uso que tienen los SAD se abre la oportunidad de

estandarizar el diseño modular para procesamiento de potencia.

Fig. 1. Configuración básica de un SAD (Sistema de Alimentación Distribuido).


3

El análisis convencional para convertidores conmutados de potencia (los cuales se

emplean en los SADs) se basa en modelos promediados, los cuales ignoran dinámicas

que ocurren a frecuencias diferentes de la frecuencia de conmutación y analizan la

estabilidad del convertidor en un sistema de orden reducido. Como resultado, la validez de

los modelos promediados varía dependiendo de la frecuencia de conmutación aún cuando

se trate de la misma estructura topológica.

Si el diseño de los controladores para lograr el seguimiento a la referencia y la

estabilidad de los convertidores conmutados se basa en estos modelos promediados

linealizados, se obtendrá un control que sólo conseguirá el correcto funcionamiento en el

punto específico para el cual fue diseñado. Esto implica que alguna alteración en los

parámetros del sistema o en las señales de entrada, puede producir un funcionamiento

deficiente e inclusive llegar a la inestabilidad.

Algunos trabajos de investigación abordan el diseño de controladores no lineales,

aunque generalmente se han limitado al estudio de un sólo convertidor y emplean un

modelo lineal del sistema.

En general, la operación de los convertidores electrónicos de potencia (CEP) puede

ser descrita como una repetición ordenada de una secuencia fija de topologías de circuitos

producida por la apertura y cierre de interruptores electrónicos estratégicamente

colocados. Así, la operación de los convertidores implica un modelo multi-topológico en el

cual una topología en particular describe el comportamiento del sistema en el intervalo de

tiempo correspondiente. La operación es cíclica, implicando que las topologías resultantes

se repiten periódicamente, por lo que una manera natural para modelar tal operación es

dividir el sistema en varios subsistemas. Si se desea encontrar la solución en un tiempo

futuro se considera un tiempo inicial, se identifica en que subsistema se encuentra el

sistema y se resuelve, y se continúa con la solución de los subsistemas subsecuentes

hasta alcanzar el tiempo deseado. Sin embargo, el tratamiento matemático de la operación

de los CEP no es simple y se han usado diferentes representaciones matemáticas,

dependiendo del objetivo a alcanzar.

Los análisis elementales de los convertidores electrónicos de potencia producen

modelos matemáticos simples que se enfocan en los componentes centrales del

procesamiento de potencia (circuitos de potencia) y funciones de control (funciones de

transferencia), haciendo simplificaciones y aproximaciones razonables para un primer


4

análisis, tales como ignorar las dinámicas con frecuencias mayores a la frecuencia de

conmutación o despreciar el efecto de los elementos parásitos, entre otros. Las técnicas

de modelado más utilizadas son las de espacio de estado promediado y la del PWM-

Switch; la obtención del modelo invariablemente pasa por simplificaciones que limitan la

validez del modelo.

Como se puede ver, existe una necesidad para el modelado y el análisis del

comportamiento de los convertidores de potencia desde una perspectiva diferente.

La siguiente sección presenta algunos de los desarrollos más notables sobre

modelado de los convertidores, tipos de conexiones en los SADs y las técnicas de control

empleadas en los convertidores que conforman un SAD.

1.2. Estado del arte

La necesidad de convertidores paralelos y con la capacidad de integrarse a módulos

similares ha aumentado considerablemente debido a la creciente demanda de altas

potencias, confiabilidad, modularidad, alta eficiencia, convertidores de alimentación

reconfigurables, rizos de corriente y voltaje reducidos, bajos costos, respuestas dinámicas

rápidas. Los SADs son una excelente solución a esta necesidad. La composición modular

de un SAD integra módulos: front-end, convertidores de carga (convertidores integrados

en la tarjeta, VRM de alto o bajo voltaje), correctores del factor de potencia, y buses de

distribución.

Una característica deseable de un SAD es que los convertidores individuales

compartan la corriente de carga de forma equitativa y estable: algo que puede lograrse

con conexiones en paralelo de los módulos que funcionan como fuentes. Por esta razón,

la conexión en paralelo de módulos de convertidores estandarizados, ya sea front-end o

convertidores de carga, se emplea ampliamente en los SADs.

Los métodos de conexiones entre los módulos son de vital importancia, ya que

dependiendo de la conexión se podrá proporcionar un voltaje de salida de varias decenas

o centenas de volts, o una corriente elevada.


5

La siguiente sección menciona los tipos de conexión y en la sección de

Conclusiones del estado del arte se especifica cual tipo de conexión se trabajará en la

tesis.

1.2.1. Tipos de conexión entre convertidores

Existen diferentes formas de conexión entre los convertidores, las cuales son entrada

paralelo y salida paralelo, entrada paralelo y salida serie, entrada serie y salida paralelo,

entrada serie y salida serie; como se muestra en la Fig. 2, [1, 14, 19].

Las características deseables de los SADs se pueden puntualizar de la siguiente

manera:

El sistema de potencia debe adaptarse adecuadamente a las fuentes y cargas

presentes, en términos de voltaje y frecuencia a la que trabaja la fuente primaria.

También debe de proporcionar un alto grado de controlabilidad de la carga y

fuentes de potencia (convertidores que funcionan como fuentes de

alimentación).

El sistema debe tener la posibilidad de expandirse, es decir, que nuevas cargas

y nuevas fuentes (convertidores que cumplen con la función de fuente de voltaje

y/o corriente) puedan sumarse sin alterar las unidades ya conectadas.

La comunicación entre los convertidores individuales debe de evitarse dado que

añadir nuevas unidades haría complicado al sistema; además, el sistema podría

tener problemas de confiabilidad. Por otra parte, se considera necesaria la

comunicación en un rango de frecuencias bajas para un control de supervisión.

Por lo cual, convertidores independientes tendrían permitido comunicarse a un

bajo ancho de banda pero deben de ser capaces de operar como unidades

aisladas.

Los requerimientos básicos expuestos arriba exigen otros, más técnicos. Por

ejemplo, el ancho de banda de la fuente (convertidor) y los controladores de corrientes del

lado de la carga deben de ser capaces de proporcionar controlabilidad en la carga y en la


6

fuente de potencia primaria. Esto significa que existe un serio compromiso entre la

velocidad de respuesta del lazo interno (generalmente el de corriente) y el lazo de voltaje o

externo; el ancho de banda del lazo interno es mucho mayor que el lazo externo [19].

Además, el bus de CD debe de ser robusto ante perturbaciones (o disturbios) provenientes

de la carga o de la fuente de alimentación.

Fig. 2. Posibles combinaciones entrada-salida: a) Entrada-paralelo y salida-serie; b) Entrada-paralelo y salida-paralelo; c) Entrada-serie y salida-paralelo;

d) Entrada-serie y salida-serie.

De las posibles combinaciones de conexiones de entrada, la topología entrada-

paralelo y salida-serie (IPOS) es la más utilizada en aplicaciones que requieren alto voltaje

a la salida. Una conexión entrada paralelo y salida paralelo (IPOP) permite tener bajo

voltaje de salida y corriente de salida muy alta.

Es con este tipo de conexión (IPOP) que se trabajará en la investigación de esta

tesis.

Para lograr las especificaciones de diseño de un SAD con conexión IPOP, es

necesario conocer cuál será el comportamiento de los convertidores conectados en

paralelo. Además, para poder diseñar un control que sea capaz de cumplir con la tarea de


7

mantener una correcta distribución de carga entre los módulos y mantener estable el

voltaje de salida, es conveniente tener el modelo matemático del SAD. Por esto es

necesario conocer cuáles son las técnicas de modelado matemático más relevantes que

se han desarrollado en el tema de los convertidores conmutados, lo cual se presenta en la

siguiente sección.

1.2.2. Métodos de modelado

La técnica de modelado más empleada en los convertidores electrónicos de potencia es el

análisis en pequeña señal basado en espacio de estados promediados. Esta consiste en

obtener simples expresiones analíticas basadas en leyes de voltaje y de corriente de

Kirchhoff para caracterizar la respuesta del sistema. Después se expresa el modelo

obtenido en variables de estados promediados, lo cual simplifica la representación del

proceso de conmutación del convertidor [1]. De ésta forma, mediante un espacio de

estados promediados, el sistema de estructura variable no lineal original se simplifica a un

sistema continuo no lineal. La expresión (1.1) es la forma general del modelado por

variables de estado promediadas

1 2 1 2

1 2

(1 ) (1 )

(1 )T T

d d d d

y d d

x A A x B B u

C C x

(1.1)

donde:

x es el vector de variables de estado,

x su derivada y y la salida.

1A y 2A son matrices de coeficientes de las variables de estado durante el

tiempo de encendido y apagado, respectivamente.

d es el ciclo de trabajo y (1 )d su complemento.

1B y 2B son las matrices de coeficientes de las señales de entrada, durante el

tiempo de encendido y apagado, respectivamente.

u es la señal de entrada y corresponde a la fuente primaria de alimentación.


8

1TC y 2

TC son las matrices de salida durante el tiempo de encendido y apagado,

respectivamente.

Dado que los convertidores electrónicos de potencia se diseñan para un punto de

operación específico, es posible analizar (1.1) alrededor del punto de interés. Para lograr

esto se realiza una pequeña perturbación alrededor de un punto de operación al sistema

promediado y se simplifica el modelo resultante despreciando los términos cuadráticos que

se obtienen. Así, se logra encontrar lo que se llama el modelo en pequeña señal del

convertidor.

Después de una considerable cantidad de manipulaciones matriciales y una

transformación al dominio de la frecuencia del sistema (1.1), se obtienen algunas

características del sistema tales como: impedancia de salida, impedancia de entrada,

función de transferencia y características de control-salida.

La técnica PWM switch es otra forma de obtener un modelo para el análisis de los

convertidores. Consiste en identificar los dispositivos no lineales de tres terminales

(interruptores pasivos y activos en un convertidor electrónico) a los que se les llama el

PWM switch. Ya determinadas las propiedades del PWM switch, se obtiene un modelo

equivalente del circuito promediado, y posteriormente se obtienen las características de

pequeña señal y de CD del convertidor mediante la sustitución del PWM switch por su

circuito equivalente [39, 41].

Por otra parte, la técnica de modelado en tiempo discreto o modelado discreto no

realiza suposiciones ni simplificaciones como lo hace la técnica de análisis en pequeña

señal. Como ya se mencionó, una manera natural de modelar el comportamiento de los

convertidores conmutados es separar el sistema en diversos subsistemas, cada uno

describiendo al sistema en un subintervalo de tiempo. En el instante de la conmutación se

realiza un proceso de ‘hilvanar’, el cual utiliza el valor final del subintervalo anterior como

valor inicial del subintervalo presente. Así, el sistema conmutado continuo es reemplazado

por un sistema discreto que describe el estado del sistema en la frecuencia de

conmutación. De ahí que esta técnica de modelado puede predecir las dinámicas fast-


9

scale (o en frecuencias rápidas, entendiéndose como frecuencias iguales o mayores a la

frecuencia de conmutación), [18, 25, 37, 38].

La expresión general de este modelado tiene la forma

1 _

1 1 _

( ) ( )k k k k in k

k k in k

d d

y

x Φ x Γ v

Cx Dv (1.2)

donde:

x es el vector de estados

y es el vector de las señales de salida

k es el número de muestras realizadas

Φ L-1 -1(s - )I A es matriz de coeficientes constantes

0

( )kd

id Γ Φ B

C es la matriz de los coeficientes de salida

d es el ciclo de trabajo

Algunos de los fenómenos que se presentan en los convertidores electrónicos de

potencia provocados por la variación de los parámetros son los llamados bifurcación y

caos. Este tipo de fenómenos o comportamientos no se puede analizar ni registrar con un

modelo en pequeña señal basado en variables de estado promediado o por el modelado

PWM switch; es necesario otro tipo de modelo matemático [38].

En la práctica, las bifurcaciones y caos se presentan en los convertidores

conmutados, aunque debido a los parásitos no considerados en la placa, estos fenómenos

no suceden en los mismos valores de las variables de estado empleadas en las

simulaciones computacionales [18]. Esta es otra razón importante por la cual es necesario

conocer con mayor precisión la dinámica de los CEP.


10

Una vez revisado el análisis de los convertidores conmutados, se aborda el diseño

de los controladores para los SAD a los que se agrupan, en este trabajo, en dos

categorías: según la conexión entre los módulos y el bloque o técnica de control (métodos

de caída, control maestro-esclavo, etc.); y la segunda, de acuerdo al tipo de control

empleado (PID, modos deslizantes, pasividad, entre otros).

1.2.3. Técnicas de control

1.2.3.1. Según conexión entre los módulos y el control.

En 1980, se publica uno de los trabajos sobre convertidores CD-CD conectados en

paralelo donde se propone una topología aislada [3]. Desde entonces los convertidores

CD-CD paralelos han encontrado una extensa aplicación en SADs. Sin embargo, el control

de tales convertidores no es simple ya que los módulos de los convertidores paralelos no

son idénticos, debido a las diferencias de fabricación de los componentes, características

de los conductores eléctricos que se conectan a la carga compartida y a cambios en las

características de los componentes por causas de envejecimiento o por estar sujetos a

diferentes condiciones físicas. Por lo cual, dos sistemas estables aisladamente pueden no

compartir equitativamente la carga cuando son conectados en paralelo. Esta desigualdad

puede incrementar el estrés térmico de una o más unidades, lo cual implica que la

confiabilidad del sistema se reduce. La Fig. 3 muestra un diagrama a bloques de los

esquemas de control que se emplean con las topologías de conexión paralela entre

convertidores. De los esquemas más utilizados son las técnicas de maestro-esclavo y el

“método de caída” (droop method).

En el control maestro-esclavo se realiza una distribución de carga activa y el

maestro genera la referencia de potencia; la cual transmite a los otros controladores que

funcionan como fuentes: los convertidores esclavos. Las principales ventajas y

desventajas de la técnica maestro-esclavo y sus variantes, son las siguientes.


11

Ventajas:

Sólo se emplea un bloque de control, reduciendo costos en este rubro.

Desventajas:

Conexiones entre módulos disminuyen la confiabilidad del sistema completo.

En un solo módulo recae la responsabilidad del buen funcionamiento del

sistema.

El control de un maestro-esclavo rotativo se complica debido a las

conexiones entre módulos.

Métodos de caída

Usando convertidorescon característicasinherentes de caída

Caída de voltaje debido auna resistencia en serie

Caída de voltaje mediantela retroalimentación de la

corriente de salida

Modo corriente con bajaganancia en cd

Control programadomediante ganancia no

lineal

Distribución decorriente pico

Distribución decorrientepromedio

Regulación del lazointerno

Regulación del lazode salida

Controladorexterno

Programaciónbásica de la

corrientepromedio

Programaciónmodificada de

la corrientepromedio

Programaciónaislada de la

corrientepromedio

Maestroautomático

Maestrorotativo

Maestrodedicado

Métodos activos de distribución decorriente

ESQUEMASPARALELOS

CONTROL DECONVERTIDORES

POR MODOCORRIENTE

Métodos de programación decorriente promedio

Métodos de programaciónmaestro-esclavo

MÉTODOS DE PROGRAMACIÓN DE CORRIENTE

ESQUEMASDE CONTROL

Fig. 3. Diagrama de la clasificación de los métodos paralelos.

En el control por caída (empleado en esquemas paralelos) no existen

interconexiones entre convertidores; esto es bueno desde el punto de vista de

modularidad y expansión e integrabilidad de módulos. Como resultado, el sistema


12

completo tiene alta modularidad y confiabilidad. La impedancia de salida de cada

convertidor es suficientemente grande para asegurar que la corriente compartida

desprecia cualquier diferencia pequeña en sus voltajes de salida. Sin embargo, este

método tiene una regulación de la corriente de salida pobre ante variaciones paramétricas

del convertidor (como una variación en las resistencias parásitas del convertidor). Por otra

parte, el análisis de estabilidad sólo se ha enfocado a la región lineal [5, 7, 8, 9, 21, 22]. En

el trabajo [14], se muestra un esquema que emplea la técnica de control por caída; dos

buck conectados en paralelo deben proporcionar a la carga una alimentación de 26 volts.

En ese trabajo se demuestra, de una manera sencilla, que empleando el método de caída

se tiene una buena regulación en el voltaje de salida aun ante variación paramétrica.

Como se ha mencionado, la técnica de caída de voltaje tiene sus ventajas y

desventajas. Estas se resumen en los siguientes puntos

Las ventajas son:

La señal de control para cada módulo es individual para cada convertidor.

No existen interconexiones entre convertidores.

Gran modularidad y expansión al integrar módulos convertidores.

El sistema tiene una gran confiabilidad.

Se tienen un buen seguimiento de voltaje, aun ante variaciones paramétricas

y de la carga.

Las desventajas son:

La adecuada distribución de la corriente se ve afectada cuando los

parámetros internos de algún convertidor presentan variación. Sin embargo,

esto se puede resolver con una técnica de control de corriente adecuada.

Existe una técnica de control, variación del método de caída, que permite que los

convertidores de potencia CD-CD paralelos compartan equitativamente la carga en los

SADs. Esta técnica no requiere de conexiones entre los módulos y automáticamente

compensa la variación de los parámetros del convertidor de potencia e impedancia de

línea [4]. La idea principal del esquema de control es permitir que cada convertidor inyecte

un pequeño voltaje de CA (corriente alterna) al sistema como una señal de control, por lo


13

que la señal de control inyectada es dependiente de la corriente de salida de la unidad. La

señal de control de cada unidad es diferente si la carga compartida es desigual. El

inconveniente de la metodología propuesta es la complejidad añadida a los circuitos, pues

ahora es necesario controlar una señal de inyección lo suficientemente pequeña para

poder sensarla. Otro inconveniente son los pequeños rizos introducidos a la salida.

Además el desempeño de los estados del convertidor, sobre todo bajo condiciones

transitorias, está lejos de ser satisfactorio, pues la señal de CA introducida se confunde

con el estado transitorio del voltaje, lo cual repercute en el estado transitorio de la

corriente.

1.2.3.2. Según tipo de control

Se han desarrollado diversas técnicas de control para los CEP y los trabajos que las

abordan son también numerosos. Sin embargo, no está de más recomendar algunas

referencias fundamentales que se consideran útiles en la comprensión del problema y

diseño de controladores para convertidores. El trabajo de Sira-Ramírez [47] es un

excelente libro que muestra varias técnicas de control, tanto lineales como no lineales,

aplicadas a diversos convertidores conmutados, como el convertidor tipo elevador. La

metodología de análisis de estabilidad y diseño de controladores en el dominio de la

frecuencia puede resultar muy comprensible en los trabajos de Erickson [39] y Ang [34],

donde se presenta el diseño en CD del convertidor tipo elevador, el modelado en pequeña

señal y el método PWM switch. El trabajo de Ortega [53] introduce al lector a los sistemas

no lineales y su modelado y diseño de controladores desde un enfoque energético; es en

esta obra donde se podrá encontrar un análisis detallado del diseño del controlador

basado en pasividad aplicado a una diversa cantidad de sistemas electromecánicos,

electrónicos y mecánicos. En esta referencia se estudia un convertidor tipo elevador sin

elementos parásitos y sin perturbaciones al sistema.

La Fig. 4 muestra un diagrama de algunas de las técnicas de control que se

encuentran en las referencias ya citadas.


14

Fig. 4. Diagrama de los métodos de control.

El diseño más simple de controladores empleado en convertidores electrónicos de

potencia es el método por linealización aproximada. Basándose en modelos promediados

de los convertidores y su linealización mediante una aproximación, se han diseñado

técnicas de control lineal como: retroalimentación de estado por colocación de polos,

control PD por realimentación de estados, control basado en pasividad, entre otros [39,

47].

En los trabajos [39, 41, 47] se detalla el procedimiento para el diseño de

controladores PD, PI, PID aplicado a CEP. El más empleado de los tres controladores

mencionados es el PI, debido a que es económico, además el error en estado estacionario

puede hacerse cero y es sencillo de implementar; sin embargo, es lento comparado con el

PID.

Un mejor controlador que el PI y el PID, es el compensador de atraso-adelanto con

un integrador. Este compensador se diseña de tal forma que el integrador provoque que el

sistema en lazo cerrado tenga un polo en el origen del plano complejo, [18, 38, 41]. La

ecuación que representa este tipo de control es

1 2

1 2

1 1

( )1

compensador C

s sT TG s K

s s sT T

(1.3)


15

donde: CK es la ganancia del compensador, 1

1T

y 2

1T

son constantes que indican la

ubicación de los ceros, 1T

y 2

1T indican la ubicación de los polos.

Las siguientes características, que se buscan en los convertidores conmutados, son

razones que motivan a emplear un compensador de atraso-adelanto como se muestra en

(1.3):

Tener alta ganancia en bajas frecuencias, lo cual se logra con el cero en el

origen

Aumentar el ancho de banda del convertidor, para ello se emplean los dos

ceros y uno de los polos

Reducir la ganancia en frecuencias mayores a la frecuencia de corte, esto se

alcanza con el tercer polo

Tener un amplio margen de fase para mantener al sistema lejos de la

inestabilidad; logrado con la combinación de fases del compensador

completo.

Por otra parte, cuando se compara este tipo de controladores lineales contra las

técnicas de control no lineal, en general, resulta evidente la mejora que existe en las

propiedades de la ley de control no lineal: mejor seguimiento a la referencia, se logra con

más rapidez la estabilidad, mejor precisión y mayor robustez; no obstante, la complejidad y

costo en la implementación de las técnicas no lineales desanima a muchos diseñadores (o

fabricantes). Si se realiza un balance de todas las ventajas de emplear un control no lineal

contra la desventaja del costo en la implementación, la balanza se inclinará a la utilización

de un control no lineal. La referencia [47] detalla algunas de las técnicas de control no

lineal más sobresalientes aplicadas a convertidores conmutados. Entre ellas están:

linealización por retroalimentación de estados, linealización por retroalimentación de

entrada-salida, control basado en pasividad y modos deslizantes.

La siguiente sección detalla algunas de estas técnicas y propone otras nuevas que

no se reporta haberlas empleado en SADs.


16

Modos deslizantes

Los convertidores de potencia son sistemas de estructura variable debido a que admiten

descripciones matemáticas diferentes durante periodos de operación diferentes. Los

cambios de estructura se producen bien por efectos del valor que toma el vector de

estados del sistema en regiones diferentes del espacio de estado, bien por el

accionamiento voluntario de uno o varios conmutadores o gracias a condiciones externas,

exógenas, que dictaminan el valor temporal de uno a varios parámetros en el sistema.

En el caso de los convertidores conmutados, la posición de uno o varios

conmutadores constituyen nuestro único conjunto de variables de control. En estos

circuitos controlados por interruptores, donde la variable de control sólo puede tomar

valores de 0 y 1, considerar la estrategia de control por modos deslizantes resulta ser algo

obvio y natural, desde el punto de vista tecnológico y teórico. Esta técnica de control

pertenece a la categoría de diseño en el dominio del tiempo, por lo que puede emplearse

para caracterizar al sistema bajo condiciones de pequeña y gran señal.

Intuitivamente, la técnica de modos deslizantes se basa en el principio de que es

mucho más fácil de controlar sistemas de primer orden (es decir, sistemas descritos por

ecuaciones diferenciales de primer orden), que controlar sistemas de n-ésimo orden (es

decir, sistemas descritos por ecuaciones diferenciales de n-ésimo orden). La superficie

deslizante (comúnmente denotada por ( )S t , que es una función suave) es la región de un

plano en donde la variable a controlar estará deslizándose, o en otras palabras,

convergerá al punto de equilibrio moviéndose sobre ( )S t . Si alguna perturbación causa

que el sistema salga de ese punto de equilibrio, ( )S t provocará que el sistema se deslice

regresando al equilibrio después de un tiempo. Por esto, la principal característica de este

tipo de control, es la baja sensibilidad a variaciones del sistema [49, 55]. De hecho,

cuando el sistema entra en la superficie deslizante, idealmente, nunca saldrá de ella.

Como una de las características deseables en todo convertidor de potencia es un

amplio rango de operación, los controladores basados en modos deslizantes son mejores

candidatos que los controladores PWM convencionales; debido a su robustez y

propiedades de estabilización ante perturbaciones de gran señal (large-signal) [50]; sin

embargo, esta técnica de control no es del todo satisfactoria en su forma original o pura.


17

Por esta causa, existen numerosas investigaciones en las cuales suman los efectos de

otras leyes de control o modifican la forma original del control por modos deslizantes;

como los controladores por modos deslizantes a frecuencia fija, que son particularmente

adecuados para las implementaciones prácticas de convertidores [43, 45-51].

Otro inconveniente del control por modos deslizantes es que la ley de control

siempre está activa debido a que las condiciones para no salir de la superficie deslizante

originan chattering y esto a su vez provoca un gran esfuerzo constante en la ley de control.

En los trabajos [48, 51] se plantea un método generalizado para el diseño de un

control por modos deslizantes para el convertidor tipo reductor y tipo elevador o cualquier

sistema conmutado.

Cuando se conectan varios convertidores en paralelo es necesario saber si

formarán un sistema estable, y las características que tendrá el nuevo sistema. Si se

desea aplicar la técnica de modos deslizantes para controlar dos o más convertidores en

paralelo, el análisis de estabilidad requiere que primero se defina una región de operación,

la cual se ubica en la intersección de ‘n’ superficies deslizantes (donde n es el número de

convertidores conectados); cada superficie representa la solución de un convertidor. Para

garantizar la estabilidad global o del sistema completo en esta región, se necesita mostrar

que todas las trayectorias se aproximan a esta región de intersección, y una vez en esta

hipersuperficie deslizante, no salir de ella. Si estas dos condiciones se cumplen, entonces

el sistema discontinuo tiene una solución superficial o de modo deslizante. Finalmente, se

demuestra que todas las soluciones sobre esta superficie tienden a un punto singular de

equilibrio cuando t [18].

Una de las leyes de control que se añade a la técnica de modos deslizantes y cuyo

resultado ha sido satisfactorio, es el control basado en pasividad [18]. La siguiente sección

describe la metodología de un control basado en pasividad en su forma pura aplicado a un

convertidor tipo elevador.

Control Basado en Pasividad

La metodología para el diseño del control reportada en [23] y [53], puede resumirse en los

siguientes pasos:


18

1. Definir el sistema •

Dx+ Cx + Rx = u

2. Definir el sistema deseado •

d d d dDx +Cx + Rx = u

3. Obtener la ecuación de error •

dDe+ Ce + Re = u - u empleando la definición del

error de = x - x

4. Emplear la función (1 2)V( )= Te e De

para hallar los valores de V( )e

que

satisfagan las condiciones de estabilidad de Lyapunov

5. Encontrar el control basado en pasividad •

d d du = Dx +Cx + Rx

Siguiendo estos pasos, se obtiene el control basado en pasividad para cualquier

sistema de pueda representarse en la estructura del punto 1. Este controlador fue el

empleado para el sistema estudiado en esta tesis, por lo cual no se explica más aquí ya

que se describe en el Capítulo 2.

El esfuerzo en la ley de control basada en pasividad es menor que el esfuerzo al

aplicar modos deslizantes; esto debido a que se tiende asintóticamente a la estabilidad y

el esfuerzo en la ley es directamente correspondiente al error en el seguimiento a la

referencia.

Sin embargo, en [23, 24] se demuestra que el control basado en pasividad puede

mejorarse añadiéndole robustez: utilizando el control por pasividad se agrega una ley de

control robusta basada en el método de rediseño de Lyapunov para enfrentar la

incertidumbre paramétrica. Este tópico se aborda en la sección siguiente.

Control Robusto Basado en Pasividad por Rediseño de

Lyapunov

En [23] y [61] se ha demostrado que el control basado en pasividad mejora a un control PI

el cual ha sido ampliamente empleado para controlar sistemas electrónicos. En esta tesis

se plantea una solución al problema que se presenta en el control nominal basado en

pasividad, cuando el valor de algún parámetro cambia. La solución propuesta es el empleo


19

de la técnica de rediseño de Lyapunov, la cual tiene como meta encontrar una señal

adicional que enfrente los efectos de la variación paramétrica, y sumar esta señal a una

ley de control (basada en el método de Lyapunov) previamente diseñada [23], [60]. El

siguiente diagrama a bloques describe la metodología

Fig. 5. Diagrama conceptual de los pasos para el diseño de un Controlador Robusto por Rediseño de Lyapunov

Este controlador se describe con más amplitud en el Capítulo 2, 3 y 4, por lo cual no

se explica el procedimiento de diseño aquí.

Control PID no lineal

El empleo de los controladores PID para lograr estabilizar a los convertidores conmutados

ha sido una técnica ya empleada en [18, 58, 63, 71, 87]. Sin embargo, sólo se han

empleado diseños de PID lineales aplicados a un modelo lineal del convertidor que se esté

estudiando.

En el trabajo de Lyshevsky, [54], se propone el empleo de un controlador PID no

lineal para el control de motores de CD y algunos otros sistemas electromecánicos.

Empleando está metodología se presenta el procedimiento de diseño de un PID no lineal

de segundo orden aplicado al modelo lineal del convertidor buck (tipo reductor). La función


20

de transferencia entrada-salida de un convertidor tipo reductor sin considerar resistencias

parásitas en el inductor, ni en el capacitor, se muestra en la expresión (1.4)

2

200

(s)(s)

(s)1

buck

y DG

u s sw Qw

ˆ

(1.4)

donde: 01w LC ,

0

RQ w L , (s) (s)ˆ ˆy v , D es la ganancia y inu s v sˆ ˆ( ) ( ) . Se

desea aplicar un control PID no lineal siguiendo la metodología presentada en [54], la cual

parte de un PID no lineal en su forma general

2 1 2 1 2 1

2 1 2 1 2 1

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )j j j

pj ij djj j j

du t k e t k e t dt k e t

dt

(1.5)

donde:

pjk es la ganancia proporcional

ijk es la ganancia integrativa

djk es la ganancia derivativa

2 1

2 1

j

e ,

2 1

2 1

j

e y

2 1

2 1

j

e es el error para las acciones proporcional, integrativa y derivativa,

respectivamente.

El diseñador debe de escoger los valores de , , , , y , los cuales deben

ser positivos. Si se eligen , , , , y iguales a cero, se obtendría un control PID

lineal. De esta manera, si 1 se obtiene un PID de segundo orden,

resultando la siguiente ley de control no lineal

1/3 1/30 1 0

1/31 0 1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

p p i

i d d

u t k e t k e t k e t dt

d dk e t dt k e t k e t

dt dt

(1.6)


21

El resultado de aplicar este control a la expresión (1.4) es

21/30

0 02 2

11 1

( ) ( )...

( )

ibuck PID p d

ip d

kDwG G s k sk e t

w ss s wQ

kk sk e t

s

(1.7)

Las funciones 1/3( )e t y ( )e t se han dejado expresadas en el dominio del tiempo para

que su transformada de Laplace no complique la visualización del controlador PID de

segundo orden que se aplicó.

Si las constantes 0pk , 1pk , 0ik , 1ik , 0dk y 1dk se sintonizan adecuadamente se tendrá

un controlador que mantiene estable y con un buen desempeño al sistema retroalimentado

[56, 57], aun cuando el funcionamiento del buck salga del punto de operación original para

el que fue diseñado.

De la expresión (1.7) se observa que el resultado de aplicar un PID de segundo

grado no es otra cosa que aplicar dos controladores PID a una señal de error no lineal.

Esto implica que la dificultad matemática para analizar el sistema en lazo cerrado

controlado por un PID no lineal ha aumentado considerablemente. Sin embargo, los

resultados costo/beneficio de emplear esta técnica parecen ser promisorios como se

reporta en [56, 57], donde se aplica un PID no lineal a un convertidor resonante.

El esfuerzo en la ley de control es grande debido a que no se trata de un PID sino

de varios controladores, tantos como el diseñador desee según el orden escogido.

1.2.4. Conclusiones del estado del arte

Con la intención de limitar el trabajo de investigación, se ha escogido la configuración

IPOP, ya que presenta las mejores características para poder conformar un SAD; esto de

acuerdo con los razonamientos expuestos anteriormente.


22

El método de pequeña señal basado en estados promediados es sencillo y fácil de

tratar matemáticamente y modelar al circuito. Sin embargo, sólo es útil para caracterizar

fenómenos a baja frecuencia o slow-scale. Por el contrario, los modelos discretos ofrecen

información más completa de la dinámica del sistema en estudio; aunque son más

complejos que los modelos promediados y su tratamiento matemático es laborioso. Dado

que el modelo discreto se basa en muestrear el sistema en tiempo discreto, la información

es limitada por la velocidad de muestreo. En el caso de que la velocidad de muestreo sea

igual a la frecuencia de conmutación, el modelo discreto es capaz de describir la dinámica

que ocurre en la frecuencia de muestreo, pero no proporciona ningún dato de lo que

sucede dentro de un periodo de conmutación; si deseamos conocer que sucede ahí,

debemos de elevar la velocidad de muestreo. La información que puede obtenerse

empleando este modelado es de gran trascendencia ya que muestra las bifurcaciones y

tendencias al caos que ocurren en los CEP y por lo tanto en los SADs. Sin embargo,

trabajar con este modelado sólo para conocer que la tendencia al caos existe, y en qué

punto sucede, no resulta de relevante ni de gran interés; los controladores discretos que

puedan derivarse del modelado presentan más inconvenientes que ventajas [16, 58].

En la Tesis que aquí se presenta se empleó un modelado basado en ecuaciones

diferenciales promediadas, las cuales no se linealizan. Esto permite conocer el

comportamiento del sistema en cualquier instante de tiempo, además del empleo de

controladores no lineales.

Se ha seleccionado el método de caída de voltaje ya que, como es característico de

la técnica de control, existe una buena regulación de voltaje; aunque ante variaciones en

los dispositivos de alguno de los convertidores la corriente no es bien regulada o

distribuida equitativamente entre los dos convertidores. Sin embargo, esto puede

resolverse empleando un control de corriente adecuado. Es en el controlador de corriente

donde se enfoca el trabajo de esta tesis; se proponen cinco diferentes controladores para

el lazo de corriente, mientras que para el lazo de voltaje se utiliza un controlador tipo PI ya

reportado en otro trabajo de investigación, [71].

De la revisión bibliográfica se concluye que muchos de los trabajos ya publicados

basan su análisis y diseño de control en un sistema nominal (con esto se entiende que los

valores de los parámetros del sistema son conocidos y no presentan variaciones por

causas de envejecimiento, desgaste, calentamiento, etc.). Si existe algún cambio en los


23

parámetros anteriormente mencionados (variación paramétrica), la respuesta puede ser

diferente a la que se desea, e inclusive llevar al sistema a la inestabilidad.

Se desea mejorar el desempeño de los SADs y una mejora sería diseñar un

controlador que tolerara variaciones en los parámetros.

Existen diversos métodos que puede enfrentar el problema de los efectos de la

incertidumbre paramétrica en los sistemas, entre los cuales están:

Control por modos deslizantes

Control adaptable

Control PID no lineal

Control inteligente

Control Basado en Pasividad

Control Robusto.

El control adaptable, por ser una ley dinámica, aumenta el orden del sistema al

añadir una ecuación dinámica del error [47].

El control inteligente presenta reglas de inferencia que pueden resultar complicadas

de entender. Además, la programación de tal controlador requiere de grandes esfuerzos

computacionales [35].

El control por modos deslizantes tiene un buen desempeño aún ante ligeras

perturbaciones. Esta robustez es inherente al controlador ya que no se diseña la ley de

control basándose en el análisis de las variaciones paramétricas, y por lo tanto no tolera

variaciones paramétricas grandes. Es por esta razón que no es del interés de este trabajo

de tesis analizar su desempeño.

Existen otras metodologías que son estáticas, entre ellas está el control robusto, el

cual se aplicará para mejorar el control basado en pasividad. Aquí se plantea una solución

al problema que se presenta en el control nominal basado en pasividad, cuando el valor de

algún parámetro cambia. La solución que se propone es el empleo de la técnica de

rediseño de Lyapunov, la cual tiene como meta encontrar una señal adicional que enfrente

los efectos de la variación paramétrica, y sumar esta señal a una ley de control (basada en

el método de Lyapunov) previamente diseñada.


24

Aunque modos deslizantes y rediseño de Lyapunov son técnicas robustas y ambas

pueden añadirse a un control basado en pasividad, se considera mejor la segunda por

tender a la estabilidad asintóticamente y sólo activarse cuando existe una incertidumbre.

Es decir, el esfuerzo en la ley de control por rediseño de Lyapunov es menor que en el

caso deslizante ya que esta última siempre está activa aunque no haya variación

paramétrica.

El utilizar un control robusto, diseñado por la técnica rediseño de Lyapunov, resulta

de gran interés por lo que ya se ha mencionado y que puede resumirse en las siguientes

características:

El control robusto da solución a los efectos de la incertidumbre en los parámetros.

El sistema de ecuaciones resultante es de orden menor que el obtenido empleando

una técnica dinámica. Es decir, no se incrementa el número de ecuaciones que

representa al sistema.

El error en el seguimiento no es cero pero puede minimizarse tanto como el

diseñador lo desee si elige los factores adecuados.

De las técnicas de control estudiadas la mejor es la que aplica un control basado en

pasividad más una señal que enfrenta incertidumbres. En otras palabras, emplear un

control que enfrente incertidumbres paramétricas en los SAD es de gran utilidad pues

añadir un módulo o sustituirlo por uno nuevo, aun cuando sean módulos estandarizados,

implica diferencias en los dispositivos.

1.3. Planteamiento del problema a estudiar

Como ya se mencionó, existen diversas características que motivan a emplear

convertidores electrónicos de potencia en conexiones paralelo: una creciente demanda de

altas potencias, modularidad, respuestas dinámicas rápidas, alta eficiencia y reducción en

los rizos de corrientes y voltajes. Las áreas de aplicación de tales sistemas son bastante


25

amplias. La Fig. 6 ilustra un sistema de alimentación distribuido (SAD) para aplicaciones

en telecomunicaciones, el cual está compuesto por un bus primario de CD (regulado a

400 volts) y un bus secundario de CD (regulado a 48 volts) [5, 7, 8, 10,14, 103, 104]. La

energía en el bus primario es típicamente proporcionada por convertidores elevadores

(boost), formando así una interfaz para múltiples utilidades. Este bus de voltaje ‘alto’ es

reducido empleando convertidores “front-end”, (generalmente convertidores “buck”), cuyas

salidas se interconectan para formar un bus secundario de CD. Así, este bus sirve como

fuente de alimentación para todas las cargas finales (módulos VRM’s, convertidores On-

board, etc.).

Fig. 6. Diagrama que muestra un Sistema de Alimentación Distribuido: etapa (recuadro de línea

punteada) constituida por convertidores correctores del factor de potencia (CFP).

En esta tesis se trabajó en el análisis de alternativas para la implementación del bus

primario de CD, en donde un reto a resolver es la adecuada distribución de corrientes

entre los módulos en paralelo; la parte del sistema mostrada en el recuadro de línea

punteada en el circuito de la Fig. 6. Las especificaciones generales del sistema, tomadas

de una aplicación industrial real1, requieren que sea capaz de tolerar: variaciones en el

voltaje de entrada desde 85 hasta 240Vrms (voltaje de alimentación universal); variaciones

en la frecuencia del voltaje de entrada desde 47 a 63 Hz; diferencias en la magnitud de las

1 350-W, Two-Phase Interleaved PFC Pre-regulator, Texas Instruments.


26

inductancias y en su resistencias parásitas; diferencias del valor nominal del capacitor y de

su resistencia parásita. Se restó 3 Hz a la frecuencia utilizada en Europa y se le sumó la

misma cantidad a la utilizada en América, como límites permitidos en las variaciones,

aunque las normas mundiales (como la IEC61000-3-2 o la IEEE 519-1992) limitan esta

variación máxima a 61Hz.

Considerando sólo dos convertidores en paralelo, el rizo máximo permitido en la

corriente total o corriente de entrada debe de ser de 2.1ii A con una corriente pico

máxima en los diodos de 5.3Dpeaki A . Se requiere que ante estas variaciones y/o

diferencias: el voltaje de salida promedio deberá de mantenerse en 0 400 CDV V , con una

tolerancia de 0 010%V V en el rizo y se espera que ante un transitorio en el voltaje de

entrada Sv , la recuperación del sistema completo no exceda de 200ms. Estas

especificaciones se resumen en la Tabla 1, en donde se ha tomando en cuenta los

inductores para construir cuatro convertidores conectados en paralelo.

Tabla 1. Especificaciones del sistema

Nombre Parámetro Valor mínimo Valor típico Valor máximo Voltaje de entrada Vs 85 Vrms 120 o 230 Vrms 265 Vrms

Voltaje pico de entrada vS 120 Vac 170 o 325 Vac 380 Vac Frecuencia de entrada fs 47 60 o 50 63

Voltaje nominal de salida V0 400 Vdc Rizo de voltaje de salida

0V 10%

Rizo de corriente de entrada ii 2.1A

Inductor de entrada de cada convertidor L1, L2, L3, L4 1.9 mH 2 mH 2.1 mH Resistencias parásitas de los inductores r1, r2, r3 y r4 0.9 Ω 1 Ω 1.1 Ω Capacitor de salida de los convertidores C 210 µF 220 µF 230 µF

Resistencia parásita del capacitor rC 0.5 Ω 0.6 Ω 0.7 Ω Frecuencia de conmutación fswitch 100 kHz Distorción armónica total THD 10%

Aunado a las especificaciones mostradas en la Tabla 1, se busca que un SAD

satisfaga otros objetivos importantes en este tipo de sistemas. Los principales objetivos de

la primera etapa de un SAD son: alcanzar el nivel deseado en el voltaje de salida, lograr

un factor de potencia cercano a uno, eliminar el rizo en la corriente de entrada, distribuir


27

equitativamente la corriente de entrada entre los inductores y permitir la integración de ‘n ’

número de convertidores elevadores.

El primer objetivo, alcanzar el nivel deseado en el voltaje de salida, puede

resolverse empleando un controlador PI para alcanzar la señal de referencia del lazo de

voltaje, tal y como se presenta en [69-71, 74,77]. En esta etapa es necesario sensar el

voltaje de salida.

El segundo objetivo, lograr un factor de potencia cercano a la unidad, puede

lograrse siguiendo las propuestas reportadas en [71, 93, 94] donde se utiliza un

controlador PI para el lazo de corriente y un lazo de pre-alimentación para obtener el valor

RMS de Sv . En esas propuestas se requiere sensar la corriente total y el voltaje de

entrada para cubrir el objetivo de control; las señales del lazo de pre-alimentación y del

lazo de voltaje pasan por un módulo multiplicador, el cual proporciona la señal de

referencia refi para el lazo de corriente.

El tercer objetivo, eliminar el rizo en la corriente de entrada, puede alcanzarse

cuando los convertidores elevadores interconectados en paralelo trabajan en modo

‘interleaved’ o entrelazado. El funcionamiento en modo entrelazado proporciona [72 – 73]:

un rizo pequeño en la corriente de entrada para los filtros EMI, una corriente más pequeña

para los capacitores de salida, reduce el estrés en los dispositivos (MOSFEST’s, diodos e

inductores) y es una estructura sencilla.

La Fig. 7 muestra el esquema para lograr el primer, segundo y tercer objetivo; como

se reporta en [69-71, 74,77, 93, 94] en donde sólo se consideran dos convertidores tipo

elevador conectados en paralelo. En esta figura los recuadros “Lazo de corriente”, “Lazo

de voltaje” y “Lazo de pre-alimentación” indican que lazo de control debe de ir en cada

recuadro; aunque no muestran el diagrama interno de cada uno de ellos.

Para el cuarto objetivo, distribuir equitativamente la corriente de entrada entre los

inductores, diversas propuestas se han estudiado: configuración maestro-esclavo, control

modo corriente, técnica de corriente promedio programada, por mencionar algunas [69,


28

73, 82, 70 – 72, 81]. Todas estas propuestas consideran sólo dos convertidores y en ellas

se plantea la necesidad de sensar las corrientes de los inductores para asegurar la

distribución de corriente, es decir, requieren dos sensores de corriente. En otros trabajos

ivSv

+

_

1L

2L

1i

2i

ii

1S

2S

C+

_

Cv

2K3K

filtro

ABC

2()d

VA

C

B

refi

1d

2d

Lazo de prealimentación

Lazo de voltaje

Lazo de corriente

1K

Load

Fig. 7. Esquema de la CFP para dos convertidores elevadores conectados en paralelo.

como la propuesta reportada en [70], se evita el sensor en uno de los inductores

reduciéndose la confiabilidad del sistema. En los trabajos [69 – 73, 81, 82], para lograr una

exacta distribución de corriente se requiere que ambos inductores tengan iguales

características; sólo sí se garantiza esto se asegura la distribución equitativa de corriente.

Pero si los inductores no son idénticos o si el mismo uso modifica ligeramente algunas

características de los inductores, la distribución de corriente no se logra [70]. Sin embargo,

este requisito necesario e indispensable (en esas propuestas) sólo nos indica que la

técnica de control no logra la distribución de corriente, sino lo que hace posible la

distribución de corriente es la manufactura de los inductores.

Para satisfacer el quinto objetivo, conectar en paralelo ‘ n ’ número de convertidores,

los esquemas de control, implementados en circuitos analógicos, propuestos en [3-5, 7,

13, 17, 18, 20, 21] pueden modificarse para integrar otros convertidores. Por ejemplo, en

el trabajo [81], donde se tiene originalmente dos convertidores conectados en paralelo, es


29

posible extender la conexión a cuatro o seis convertidores; pero como se hace notar, sólo

se pueden añadir módulos ya compuestos por dos convertidores en paralelo, es decir, no

es posible añadir sólo un convertidor. La propuesta [69] permite una conexión más sencilla

de tres convertidores al emplear un controlador programado en un DSP.

Ya se ha dado una breve descripción de algunas propuestas (ya publicadas) que

abordan el mismo problema que trata esta tesis y de esta se pueden mencionar las

ventajas y las desventajas de las mismas propuestas:

Pros

Se logra el nivel del voltaje de salida deseado

Se logra la CFP

Se logra la disminución del rizo de la corriente de entrada

Contras

La mayoría de las propuestas emplean controladores implementados con

circuitos analógicos

El diseño en circuitos analógicos dificulta la adición de nuevos módulos PFC

a un circuito ya diseñado

En ambos casos (tanto con circuitos analógicos como circuitos digitales) no

se logra la distribución de corriente por técnicas de control a menos que los

inductores sean idénticos

No se diseñan controladores que enfrenten la incertidumbre paramétrica

El estudio de los anteriores trabajos motivó la propuesta del trabajo de tesis y hace

posible comparar los resultados obtenidos; los cuales se tratan en los Capítulos

siguientes.

1.4. Hipótesis y objetivos de la tesis

Debido al gran interés por alcanzar los objetivos deseados en los sistemas de

alimentación distribuidos (SAD), se ha desarrollado el presente trabajo de investigación, el

cual tiene como hipótesis:


30

Es posible emplear un controlador basado en pasividad para garantizar la

distribución equitativa de corriente en sistemas pasivos acoplados

estructuralmente (caso de aplicación: convertidores elevadores

conectados en paralelo).

El objetivo general es:

Estudio, modelado y control de un sistema conformado por convertidores

elevadores conectados en paralelo, enfocado a distribuir la corriente en los

inductores, además regular el voltaje de salida y garantizar la corrección del factor

de potencia (CFP).

Y los objetivos particulares son:

Desarrollar un modelo del sistema que permita incluir varios convertidores en

paralelo dentro del modelo matemático

Diseñar un control basado en pasividad que simplifique la conexión de más

módulos convertidores al controlador y permita su implementación en un dispositivo

digital de control (como un procesador digital de señales DSP)

Analizar el comportamiento del sistema en lazo cerrado ante la presencia de

variaciones paramétricas y perturbaciones.

1.5. Alcance, aportaciones y limitaciones

Se ha propuesto un lazo de control de corriente, basado en una forma diferente

de diseño, el cual no necesita dos controladores para lograr que una misma

variable (la corriente del sistema) logre dos objetivos de control.

Diseño de una metodología de diseño de un controlador no lineal que:

Logra la distribución equitativa de corriente entre los módulos del sistema

Logra la regulación del voltaje de salida

Logra la corrección del Factor de Potencia


31

Facilita la interconexión de más módulos y, derivado de esto

Permite la disminución del rizo de la corriente de entrada.

Además de esto, esta técnica propuesta elimina la necesidad de un sensor de

corriente total.

Se han desarrollado cinco controladores no lineales, novedosos y que logran

los objetivos de control; no se ha encontrado artículos publicados de ninguno de

estos controladores aplicados a la interconexión de sistemas de estructura

variable.

Dentro de las limitaciones del trabajo de investigación se tiene lo siguiente:

Se trabajó únicamente con los modelos monofásicos del sistema

Se consideró que los interruptores son ideales

Se obtuvieron sólo resultados numéricos, en forma digital en la computadora,

empleando software de simulación científica (Matlab®)

No se comprobó que el control funcionara en algún prototipo o modelo

experimental de laboratorio.

1.6. Organización de la tesis

En el presente trabajo de investigación se diseñaron cinco controladores enumerados a

continuación:

1. Un control basado en pasividad, siguiendo una metodología muy similar a la

reportada en [53, 61] y la ley obtenida se probó sin considerar simplificación alguna,

por lo tanto requiere un sensor de corriente para cada convertidor tipo elevador con

el objetivo de lograr el seguimiento a la referencia en corriente.

2. Se propuso una simplificación al controlador anterior (No. 1) no considerando los

efectos de la derivada de la corriente total en los inductores, pues el cálculo de


32

dicha derivada representa un par de sensores de corrientes y grandes esfuerzos

computacionales. Esta simplificación elimina la necesidad de un sensor para cada

convertidor requiriendo sólo un sensor para medir la corriente total. Como la

simplificación fue realizada a un controlador (ya diseñado) basado en pasividad se

decidió llamarle Caso 1: Control Proporcional Basado en Pasividad sensando la

corriente i_i (i_i es la corriente total después del puente de diodos, ver Fig. 7)

3. Se propuso sensar la corriente i_s (antes del puente de diodos) para no simplificar

el diseño del controlador No. 1. Este controlador necesita sensar sólo la corriente

total i_s y no la corriente para cada convertidor. Para lograr evitar el cálculo de la

derivada de la corriente i_s se procedió a expresar la misma empleando series de

Fourier. Esto permitió el diseño de un controlador basado en pasividad y no

“despreciar” el efecto de la derivada de la corriente (lo cual se hizo en el caso

anterior). Por lo cual, el controlador se le llamó Caso 2: Control Basado en

pasividad sensando la corriente i_s.

4. Realizando unas consideraciones al diseño de los tres controladores anteriores (No.

1, No. 2 y No. 3) se encontró que al unir la técnica de Charge-Control con un

Control Basado en Pasividad es posible realizar mayores simplificaciones al

controlador pasivo. Lo que se concluyó de este análisis es que las simplificaciones

hechas al controlador pasivo deben de cumplir con las condiciones necesarias para

garantizar la estabilidad en el sentido de Lyapunov, si esto se satisface entonces el

sistema puede ser llevado al punto de equilibrio deseado. Aunque se emplea el

Charge-Control esta técnica emplea una señal de referencia derivada de control

pasivo. El nombre seleccionado para este controlador fue Caso 3: Control por

Charge-Control

5. El control No. 1 fue la base para el diseño de un control robusto, al cual

propiamente se le puede llamar “controlador robusto basado en pasividad

empleando la técnica de rediseño de Lyapunov”. Este control permitió explorar el

comportamiento del sistema empleando un controlador que enfrenta los efectos de

las incertidumbres y/o variaciones paramétricas.

Si bien los controladores diseñados (No.2, No.3 y No. 4) ya no tienen la estructura

de los controladores pasivos reportada en [23, 24, 53], para su deducción se partió de un


33

controlador diseñado con base en pasividad. Por lo cual los cinco controladores moldean

la energía del sistema y satisfacen las condiciones de estabilidad del Segundo Método de

Estabilidad de Lyapunov; conducen al sistema al punto de equilibrio.

Así, en el Capítulo 2 se presenta el diseño de los cinco controladores ya

mencionados pero aplicados a un sistema compuesto sólo por dos convertidores sin

considerar resistencias parásitas en los dispositivos. Por lo cual, la sección de resultados

de este capítulo tiene la finalidad de mostrar el desempeño del sistema ideal con los

diferentes controladores.

El Capítulo 3 muestra el diseño de los cinco controladores utilizados en un sistema

compuesto por dos convertidores, pero ahí se consideran resistencias parásitas en los

mismos. La intención es conocer cómo se comporta el sistema cuando esos elementos

parásitos tienen diferentes variaciones en los convertidores.

En el Capítulo 4 se presentan cuatro controladores aplicados a una conexión de

cuatro convertidores operando en modo entrelazado y considerando resistencias parásitas

tanto en las inductancias como en el capacitor de salida.

Finalmente, el Capítulo 5 contiene las conclusiones del trabajo de investigación.

También se mencionan los aportes logrados y se plantean algunas propuestas de trabajos

futuros que se derivan de esta investigación.


34


35

CAPÍTULO 2

.

.

CONTROLADORES PARA EL

SISTEMA IDEAL

2.1. Formulación del problema

Para facilitar el análisis, el diagrama de la Fig. 8 considera sólo a dos convertidores

elevadores conectados en paralelo, los cuales tienen en común: la fuente de entrada

(2 )S S Sv V sen f t (donde SV es el valor pico de la magnitud del voltaje y Sf es la frecuencia


36

de línea: SV puede ser 170 o 325 Vpico con Sf de 60 o 50 Hertz, respectivamente), el

capacitor de salida y la carga. Como se observa en la Fig. 6, el voltaje deseado en la

salida se ha establecido como 400voltsd CDV .

Fig. 8. Conexión en paralelo de dos convertidores elevadores.

Aplicando leyes de Kirchhoff, el modelo matemático del sistema puede escribirse

como

11 1

22 2

1 1 2 2

i C

i C

C C

div v

dt

diL v v

dt

vdvC i i

dt R

L

(2.1)

donde la variable k , 1,2k , es la señal de control que genera la secuencia de

conmutación que enciende y apaga el interruptor kS . De esta manera, si 1k entonces

kS está abierto y esto provoca que se “inyecte” el voltaje Cv en (2.1). Si 0k entonces kS

está cerrado y el voltaje Cv no aparece en (2.1). Un caso análogo sucede para la corriente

ki en la tercera ecuación de (2.1).

El sistema (2.1) tiene la forma

x = F(t, x) + G(t, x)u

(2.2)


37

donde nx es el estado y mu es la entrada de control. Las funciones F y G están

definidas por 0 n( t,x ) , Ρ , donde nΡ es un dominio que contiene al origen

x = 0 . Se asume que F y G son continuas a trozos en t y localmente Lipschitz en x y u .

En otras palabras, la conexión en paralelo de dos convertidores elevadores tiene la forma

de un sistema afín al control.

Bajo estas suposiciones, al sistema (2.2) se le puede aplicar un controlador

estabilizante ( , )u t x tal que el sistema en lazo cerrado resulta

= F(t, x) + G(t, x) (t, x)x

(2.3)

donde ( , )u t x logra que el sistema (2.3) alcance los estados deseados ndx en el

sistema. El diseño del control estabilizante ( , )u t x se abordará en las siguientes

secciones.

Los objetivos, o estados deseados, en este circuito pueden establecerse como

0

1 2

;

2 2;

i

d

i i

i i ii gv

v V

i ii

i i

i

(2.4)

donde ii , dV son los valores deseados de ii y 0v , respectivamente. Para garantizar que la

1CFP la corriente de entrada debe de tener la misma forma y ángulo de fase que el

voltaje de entrada iv , por tal motivo i igvi ; donde g , es una ganancia aún no definida,

que se utiliza para modular la amplitud de la corriente de referencia ii , tal que el voltaje de

salida 0v permanezca en el valor deseado dV ante cualquier carga2 final que se conecte al

sistema. Si se logra 1 2 2ii i i entonces 1 2 i ii i i i , es decir, se está garantizando la

distribución equitativa de corriente.

2 La expresión “ante cualquier carga” es en el sentido ideal puesto que si se excede la potencia que es capaz de proporcionar el sistema, entonces no será posible regular las variables a controlar.


38

2.2. Modelo del sistema

Realizando un análisis de leyes de Kirchhoff al circuito de la Fig. 8, se obtiene el modelo

de la expresión (2.1), que es repetido aquí por facilidad de referencia

11 1

22 2 2

1 1 2 2

1=i C i

i C i

C C

div v v

dt

diL v v v

dt

vdvC i i

dt R

L

(2.5)

donde se ha definido 1 1 Cv y 2 2 Cv , los cuales son los voltajes ‘inyectados’ a las

mallas y 1k kd , 1,2k , es la señal de control que genera la secuencia de

conmutación que enciende y apaga los interruptores 1S y 2S , respectivamente ( kd es el

ciclo de trabajo del k ésimo modulador PWM).

2.3. Diseño de controladores

De acuerdo con la Fig. 7, el diseño de los controladores requiere de tres lazos de control:

lazo de corriente o lazo interno, lazo de voltaje o lazo externo y un lazo de

prealimentación. El ciclo de trabajo kd provoca que el inductor kL se cargue o descargue,

de esta manera la primera variable afectada es la corriente ki del inductor, la cual debe

seguir a la referencia ii , donde 1,2k . También se desea que el voltaje del capacitor Cv

alcance un valor constante y permanezca en él; es decir, mantenga el valor deseado.

Debido a la gran diferencia de escalas de tiempo entre las dinámicas de la corriente del

inductor y la del voltaje del capacitor, puede asumirse que ambas dinámicas están

desacopladas una de la otra; en este trabajo el periodo en el que los inductores se cargan

y descargan es de 1/ switchf , donde 100KHzswitchf , mientras que el periodo del voltaje de


39

línea Sv es 1/ Sf , donde Sf es igual a 50Hz o 60 Hz . Este desacoplo permite trabajar cada

dinámica por separado facilitando enormemente el diseño del controlador.

Por estos motivos es usual diseñar primero el lazo de corriente considerando que el

voltaje C dv V mediante ‘algún’ controlador estabilizante. Posteriormente se diseña el lazo

de voltaje considerando que los objetivos del lazo de corriente ya se han logrado, evitando

así el manejo de armónicos provocados por rizos de corriente. La finalidad del lazo de

prealimentación es que la señal iv aparezca en la corriente de referencia.

Estas consideraciones se utilizan en el diseño de los controladores presentados a

continuación.

2.3.1. Control Basado en Pasividad

Empleando la formulación Euler-Lagrange, el sistema (2.5) puede expresarse como

•

D x+ Cx + Rx = u (2.6)

para el cual las matrices D , C y R están dadas por

11 1 1

2 2 2 2

1 2 33

0 0 0 0 0 0 0

0 0 ; 0 0 ; 0 0 0 ; ; ;

0 0 0 1 00 0

i

i

xL x v

L x x v

C xxR

D C R x x u

(2.7)

donde 1 1 2 2 3; ; Cx i x i x v son los estados del sistema y

x el vector de sus derivadas

respectivas. , 0,n n T D D D D ( D es real, simétrica y definida positiva) y contiene a

los elementos que almacenan energía; ,n n T C C C ( C es antisimétrica y real) y

contiene a los elementos que no aportan ni disipan energía (interruptores); , 0n n R R


40

( R es real y semidefinida positiva3) y contiene los elementos que disipan energía en el

sistema; u es un vector de fuerzas externas (en este caso corresponde al voltaje aplicado

iv ).

Para validar la aplicación del control basado en pasividad es necesario mostrar que

la interconexión de dos convertidores elevadores es un sistema pasivo [12, 8], lo cual se

realiza a continuación4.

Sea el sistema de la Fig. 8 formado por los convertidores 1 y 2 cuyos

elementos son kL , kS , C , R , con 1, 2k , respectivamente. De las propiedades de

pasividad de 1 y 2 , [53, 61], se cumple que la función de almacenamiento de

energía, de cada convertidor, es 1

( )2

Tk k k k kH ξ ξ D ξ y corresponde al Hamiltoniano

del sistema, el cual satisface 0

( ( )) ( (0))t

k k k k kH t H y dt , donde: ( ) 0kH , es

decir, ( )kH es definida o semidefinida positiva; iv ; 1 1y i y 2 2y i son el

voltaje de entrada y las corrientes de salida del convertidor respectivo.

La interconexión paralela produce una salida 1 2 1 2y = y + y i i y tiene la función de

almacenamiento 1 1 2 2( ) ( ) ( ) 0H H H . Considerando condiciones iniciales a

cero se tiene

0

0

( ( )) ( (0))

( ( ))

t

t

H t H x ydt

H t ydt

(2.8)

Como el suministro de energía 1 2i iy v i v i nunca es mayor que la energía

almacenada en el sistema, entonces de (2.8) se concluye que conforma un

sistema pasivo.

3 Sin considerar parásitos en el sistema, la matriz cumple 0R . Al considerar parásitos en los inductores se tiene 0R . 4 Para mayor detalle de esta demostración se sugiere revisar el APÉNDICE B.


41

La metodología para el diseño del control, [23] y [53], puede resumirse en los

siguientes pasos

1. Representar al sistema real como •

D x+ Cx + Rx = u

2. Definir el sistema deseado d d d d

•

Dx +Cx + Rx = u

3. Obtener la ecuación de error d

•

De+ Ce + Re = u - u empleando la definición del

error de = x - x

4. Emplear el método de Lyapunov con la función 1( )

2TV e e De

5. Encontrar el control basado en pasividad que garantice ( ) 0TV e

e De

De acuerdo a los pasos anteriores, se desea modificar la dinámica del sistema (2.6)

llevándolo a un estado deseado (con subíndice d ) y tener en el sistema un

comportamiento definido por

d d d d

D x Cx Rx u (2.9)

Si los sistemas (2.6) y (2.9) no son iguales, entonces existe un error dado por la

expresión

d

De Ce Re u - u (2.10)

en donde: d

e x x , de = x - x . La ley de control se diseña empleando el método de

Lyapunov, para lo cual se propone la función5

5 Para demostrar que la expresión (2.11) es una función candidata de Lyapunov puede emplearse el Teorema 2.3 y Teorema 2.4 del libro de Rafael Kelly [99] o el Teorema 4.1 del libro de Khalil [60]. Sin pérdida de generalidad esta demostración no se presenta aquí y se pone mayor interés en el Teorema de Estabilidad en el sentido de Lyapunov.


42

12( ) TV e e De (2.11)

Para satisfacer el teorema de estabilidad de Lyapunov (2.11) debe cumplir:

(0) 0;V ( ) 0V e ; ( ) 0V e

; lo cual asegura que (2.11) tiene un punto de equilibrio

estable (si ( ) 0V e

) o asintóticamente estable (si ( ) 0V e

), [60]. Empleando las

propiedades de D , es fácil notar que (0) 0V y ( ) 0V e se cumplen, falta verificar

( ) 0V e

. Derivando (2.11) se tiene

( ) TV e

e De (2.12)

Despejando

De de (2.10) y sustituyendo en (2.12) se llega a

( ) T T TdV e

e Ce e Re e u -u (2.13)

El producto 0T e Ce (debido a la propiedad de antisimetría de C ) y dado que

0R , R , se encuentra que

( ) T TdV e

e Re e u - u (2.14)

es semidefinida negativa si ( ) 0Td e u u . Es decir, sólo basta que du u para que el

punto de equilibrio sea estable; por lo que la ley de control resulta

d d d am

u D x Cx Rx R e (2.15)

donde, para aumentar o apresurar la convergencia del sistema al punto de equilibrio, se ha

añadido la matriz de inyección de amortiguamiento amR : n nam

R y además 0am R o al

menos amR . Los vectores y matrices de (2.15) están dados por


43

11 1 1 1

2 2 2 2 2

1 2 3 33

1 1 1

2 2 2

3 3 3

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 10 0

0 0

0 0

0 0 1/

di d d

i d d d

d dd

am d

am d

am d

xv L x x

v L x x x

C x xx R

R x x

R x x

R x x

(2.16)

Los elementos resultantes del producto de amR con los errores k kdx x , 1,2,3k

deben de ser congruentes con las unidades en la ecuación que participan, por tal motivo la

matriz amR se define como aparece en (2.16): los productos 1 1 1( )am dR x x y 2 2 2( )am dR x x

son voltajes, mientras que 3 3 3(1/ )( )am dR x x corresponde a corriente.

Notar que la introducción de amR permite escribir la expresión (2.14) como

( ) T Teq dV e

e R e e u - u , donde eq amR R + R , lo cual implica que ( ) 0V e

si

( ) 0Td e u u , es decir, se tiene un punto de equilibrio asintóticamente estable.

Las ecuaciones (2.16) dan una definición implícita de la señal de control. Para

obtener una expresión explícita es necesario utilizar los grados de libertad que se tienen,

ya que existen cinco variables ( 1 , 2 , 1dx , 2dx y 3dx ) y solo tres ecuaciones a satisfacer.

Sin embargo, 1dx , 2dx y 3dx son variables definidas por el comportamiento deseado dado

en la expresión (2.4); donde el valor deseado de 1x es el mismo que 2x definido por

1 2 2d d ix x i y el valor deseado de 3dx está definido por 3d dx V . Además, como ya se

ha mencionado, para el diseño del controlador de corriente se considera que 3 3dx x

mediante algún6 control estabilizante. Tomando estas consideraciones, ahora se tienen

sólo dos variables libres 1 y 2 las cuales se despejan de la primera y segunda ecuación

de (2.16)

6 El controlador de voltaje está dado por la ecuación (2.28).


44

1 1 1 1 1 13

2 2 2 2 2 23

1( )

1( )

i d am dd

i d am dd

v L x R x xx

v L x R x xx

(2.17)

Como la ecuación (2.17) fue diseñada empleando el método de Lyapunov, entonces

el controlador logra que 0kx donde k k kdx x x , 1,2k , es decir, se garantiza la

estabilidad asintótica; lo cual se comprueba fácilmente retroalimentando en (2.5) las

señales de control encontradas

111 3

11

222 3

2

1 1 13

1 1

2 2 23

2 2 2

1

0

1

0

di d

di d

i amd

am

i amd

am

dxdxv

dt dt

dx

dt

dxdxL v

dt dt

dx

dt

L v L R x xx

L R x

v L R x xx

L R x

(2.18)

Las expresiones (2.18) son cero cuando k kdx x , lo cual indica que el controlador

logra la distribución de corriente. Si ahora se define que 1 2L L L y 1 2am am amR R R

entonces de la suma de las ecuaciones (2.17) resulta

1 2 1 2 1 23

12 ( )

12 ( )

12

i d d am d dd

ii am i i

Cd

ii am i

Cd

v L x x R x x x xx

div L R i i

dt v

div L R i

dt v

(2.19)

Para lograr los objetivos, la expresión (2.17) genera dos leyes de control (una para

cada convertidor) sensando las corrientes 1 1x i y 2 2x i . Pero la ecuación (2.19) genera


45

una sola ley de control, ya sea sensando ii o sensando 1i y 2i para luego sumarlas

1 2ii i i . De esta manera, si se divide (2.19) entre dos (el número de convertidores

elevadores en paralelo), entonces es posible utilizar la misma señal de control para

generar las secuencias de conmutación de los interruptores kS . Esto se deduce de las

ecuaciones (2.17) y (2.19)

1 2;2 2

(2.20)

Es importante mencionar que esta ley de control basada en pasividad, expresiones

(2.17) o expresión (2.19), se compara con una señal diente de sierra y de esta comparación

se obtienen los ciclos de trabajo kd que encienden o apagan a los interruptores kS ,

1,2k .

Ahora se procede a diseñar el controlador de voltaje. Para propósitos de diseño se

utiliza la ecuación (2.19) la cual se escribe nuevamente

2 iCd i am i

div v L R i

dt

(2.21)

Tanto en (2.17) como (2.19) se supuso que ‘algún’ controlador estabilizante

aseguraba 3 3dx x . Este controlador estabilizante del voltaje se diseña a continuación,

para lo cual se considera que el control de corriente ha logrado 1 2 2ii i i y por lo tanto

0ii . Por facilidad en el diseño del controlador se empleará la notación utilizada en (2.5),

en la cual k k Cv , 1,2k . Multiplicando la tercera ecuación de (2.5) por Cv se tiene

1 1 2 2

2C C

C

dv vv C i i

dt R

(2.22)


46

Definiendo 2 2Cv , 2 2dV se tiene que C Cv v

. Empleando este cambio de

variable y como 1 2 2ii i i , la ecuación de error para el voltaje del capacitor resulta

1 1 2 2 1 2

2 2

2 2

2

2 2

i

i ii i i

dC i i

dt R R

R R

i

i diLv i i

dt

(2.23)

donde 1 2 está dada por la expresión (2.21). En este trabajo se utiliza i

i definido por

2,i i i s RMSi gv v G v , donde el valor RMS de Sv ( ,S RMSv ) se utiliza para escalar la magnitud de

G a valores congruentes con la magnitud de la corriente de entrada ii . De esta manera

se puede despreciar el segundo término del lado derecho de (2.23), tomando en cuenta

que introduce armónicos7 de magnitud 12 0iLdi dt , resultando

2,

2

2,

2

2

ii

S RMS

S

S RMS

dC

dt R

Gvv

v

Gv

v R

(2.24)

Aún más, dado que en el diseño del control de voltaje el mayor interés es la

dinámica de los componentes en DC de , se tiene que la componente en CD de 2Sv es el

cuadrado del valor RMS de Sv y por lo tanto (2.24) resulta

2d

Cdt

GR

(2.25)

7 Para el caso del sistema con los parámetros dado por la Tabla 2, 1 1

2 2 (0.002)(11) 0.011iLdi dt . En los

resultados mostrados más adelante se podrá notar que el valor pico de ii es menor de 11 amperes.


47

Para calcular el valor de G , en este trabajo se utiliza

int ;p

dG dK K

dt dt

(2.26)

donde: intK y pK son parámetros de diseño. El signo negativo de la expresión (2.26) se

introduce para que la retroalimentación positiva, debida a la definición del error

2 2dV , no provoque inestabilidad en el sistema8. Haciendo un abuso de la

nomenclatura, la expresión (2.26) también puede escribirse en la forma de una función de

transferencia, donde es la entrada y G la salida

intpK s KG

s

(2.27)

Puede notarse fácilmente que (2.27) es un controlador tipo PI, el cual ya se

encuentra ampliamente estudiado y logra que 2 2 0dV , [41, 42, 71, 75].

Expresando (2.27) en el dominio del tiempo se tiene

int

0

t

pG K K d

(2.28)

El controlador tipo PI (2.28) se emplea para el lazo de voltaje y garantiza que se

llegue al valor de referencia dV . La introducción de este filtro pasa-bajas previene los

efectos de armónicos que pueden degradar el factor de potencia. El ancho de banda del

lazo de voltaje (filtro pasabajas) usualmente es menor a 20 KHz; así, los armónicos

generados por el lazo de corriente (con una 100switchf KHz ) son filtrados por el

controlador PI.

En la expresión (2.19) es necesario sumar las corrientes de los inductores para

obtener ii o medir la corriente ii y omitir el sensado de las corrientes en los inductores.

8 Si la variable de error en el voltaje Cv se define como 2 2dV el signo negativo de (2.26) no es necesario.


48

Hacer esto último se traduce en confiar que ambos inductores tienen las mismas

características y/o su variación es despreciable. Sin embargo, estrictamente hablando, una

diferencia de inductancia de algún inductor puede deteriorar la distribución equitativa de

corrientes, aunque sí estabiliza la distribución a niveles aceptables9.

En este trabajo se presenta una opción para emplear un sólo sensor de corriente

(midiendo a ii ), lo cual se traduce en utilizar una sola ley de control, y no exigir que los

inductores tengan las mismas características: el empleo de la técnica de Charge-Control.

2.3.2. Caso 1: Control Proporcional Basado en Pasividad sensando la corriente ii

En este Caso 1 se muestra la técnica más usual de diseño de los dos lazos de control, la

cual se basa en el sensado de la corriente ii . No obstante de emplear una técnica ya

conocida, el empleo de un controlador no lineal en el lazo de corriente mejora el

desempeño del sistema y además, en esta sección se propone una simplificación al

controlador.

Con la mira en lograr un factor de potencia FP = 1 en el sistema de la Fig. 8, se

proponen las siguientes leyes de control basadas en pasividad para las dos primeras

ecuaciones de (2.5)

11 1 1

22 2 2

1

2

1

2

ii

C

ii

C

diLv K i

v dt

diLv K i

v dt

(2.29)

donde 1 1 2ii i i , 2 2 2ii i i , 2,i i s RMSi Gv v , i Sv v , G es una variable aún no definida

y 1 2, 0K K son parámetros de diseño. Como puede notarse, las expresiones (2.29) son

las diseñadas en el control basado en pasividad, ecuaciones (2.17), aunque expresadas de 9 Aunque como ya se mencionó líneas arriba, el controlador presenta cierta robustez que será mostrará en los resultados.


49

diferente manera. Como se mostró en la sección anterior, el empleo de esta ley de control

garantiza que el sistema es estable lo cual puede verse fácilmente al sustituir (2.29) en

(2.5).

Ahora, si se define 1 2L L L y 1 2K K K entonces la suma de las ecuaciones

(2.29) da como resultado

1 2

1

2 2 2 2

12

i i i ii i

C

ii i

C

di i di iL Lv K i v K i

v dt dt

div L Ki

v dt

(2.30)

donde i i ii i i . En el diseño del control de voltaje para el caso anterior basado en

pasividad, se consideró que 0iLdi dt , donde los parámetros del circuito se tomaron de

la Tabla 2. Aplicando está consideración10 en la expresión (2.30) resulta

1 2

1(2 )

/ 2 ; / 2

i iC

v Kiv

(2.31)

Retroalimentando el control (2.31) en las ecuaciones de corrientes de (2.5), donde

1 1 2ii i i y 2 2 2ii i i se tiene que el sistema es estable en el punto de equilibrio. Esto

puede verse fácilmente al emplear el procedimiento mostrado en la sección del

Controlador Basado en Pasividad:

Sea el sistema deseado dado por •

D x+ Cx + Rx = u , se establece el sistema deseado

d d d d

Dx Cx Rx u . La diferencia de ambos sistemas se expresa como

10 Para este caso, 0.022iL di dt .


50

d

De Ce Re u - u , en donde: d

e x x , de = x - x . Nuevamente se propone la

función 12( ) TV e e De , la cual cumple (0) 0V y ( ) 0V e y cuya derivada está dada

por

( ) T T TdV

e e Ce e Re e u -u (2.32)

Continuando el desarrollo sólo para la primera ecuación de (2.32), teniendo

presente que se está analizando el circuito mostrado en Fig. 8, se tiene

3 1 3

23 1

( ) Td

Td

V e e

e

e e u - u

e u - u (2.33)

Para sustituir la señal de control 1 de la expresión (2.31), debe de recordarse que

esta se obtuvo de la consideración de du u , lo cual implica que 0d u u . Así, la

expresión (2.33) resulta

2 23 1( ) / /i C CV e v v e K v

e (2.34)

la cual es definida negativa. Un procedimiento similar se puede seguir para la

segunda ecuación de (2.32). El desarrollo anterior prueba que el controlador (2.31)

logra que 0ki de manera asintótica, donde 1,2k .

Es importante hacer notar que el análisis de estabilidad anterior consideró que se

conoce la medida de las corrientes de los inductores, algo que no se considera en la

expresión (2.31). Por lo cual, para lograr la estabilidad del sistema es necesario sensar las

corrientes de los inductores aunque para el diseño de (2.31) no sean necesarias. Si se

utiliza esta ley simplificada, expresión (2.31), y se compara con una señal diente de sierra

para generar los PWM de los interruptores 1S y 2S , los resultados tienen un error

considerable cuando existe diferencia paramétrica mayor del 20% del valor nominal.


51

Para el lazo de voltaje se emplea la ecuación (2.28), la cual se utilizó para el control

basado en pasividad de la sección anterior

0

t

p iG K K d (2.35)

2.3.3. Caso 2: Control Basado en Pasividad sensando la corriente is

En este Caso 2 se emplea la medida de la corriente Si como se propone en [75]; sensar

esta corriente también permite la solución al problema de seguimiento de corriente y, con

mucha facilidad, puede tratarse el problema del contenido armónico11 en el voltaje de

entrada Sv . Además, en este mismo Caso 2, no se desprecia el término iL di dt sino que

se sustituye por un filtro resonante ajustado al segundo armónico [74]. El controlador de

corriente que se propone permite la conexión en paralelo de ‘ n ’ convertidores.

Para diseñar el controlador considerando el contenido armónico de Sv es más

conveniente escribir el modelo del sistema empleando la siguiente transformación de

coordenadas

sgn( )S i Si i i (2.36)

sgn( )i S Sv v i (2.37)

donde se utiliza la función sgn( )Si por conveniencia en el diseño. Considerando a los dos

convertidores con parámetros iguales, es decir 1 2L L L y 1 2K K K , y definiendo

2 2Cv , se escribe el sistema (2.5) de la siguiente manera

11 Aunque este problema no se aborda en este trabajo, el lector puede constatar la sencillez de filtrar el contenido armónico en el voltaje de entrada revisando los trabajos [74, 75].


52

2

2ii C C i

di dC i

dt dt RL v v v

(2.38)

donde 1 2 se define en (2.40). Así, considerando conjuntos abiertos excluyendo los

puntos de cruce por cero12, es decir, t , tal que ( ) 0Si t , y utilizado (2.36) y (2.37), el

sistema (2.38) puede escribirse como

sgn(sgn(

sgn( 2 sgn(

2

))

) )

2 sgn( )

S i S

S

S i

S s S C

S S C

C S

di di d ii

dt dt dt

dii i

dt

dC

dt R

i

L v v

v i v

v i

(2.39)

donde i Si i y la corriente deseada se define como S Si gv . Para el sistema (2.39) se

propone el diseño de un control basado en pasividad, cuyo desarrollo se obtiene siguiendo

los pasos 1 – 5 ya mostrados arriba. El controlador basado en pasividad para la ecuación

(2.39) es

sgn( ) 2

sgn( ) 2

SC S S S

SS S S

div i v Ki L

dt

dgvi v Ki L

dt

(2.40)

donde S S Si i i . La expresión (2.40) es la misma ecuación de (2.30) con la diferencia en el

empleo del voltaje y corriente sensados. Se expresa el voltaje de entrada Sv en series de

Fourier como

12 Para el diseño del controlador no se pone mucha atención en los puntos de cruce por cero, es decir 0Si . Aunque,

debido a limitaciones físicas, el controlador no tiene otra opción que tomar el valor cero en esos puntos.


53

,T

S h S hh

v

ψ Γ (2.41)

donde: es el conjunto de armónicos considerados; ( ) ( )Th cos h t sen h t ψ ; es

la frecuencia de línea; , , ,

Tr iS h S h S hV V , con , ,,r i

S h S hV V , corresponde a las magnitudes

del h ésimo armónico de la descripción de Sv en series de Fourier, donde los

superíndices ( )r y ( )i se utilizan para distinguir los coeficientes asociados con ( )cos h t y

( )sen h t , respectivamente.

Así, utilizando (2.41) se desarrolla el tercer término del lado derecho de (2.40)

, ,

,

, ,

,

[ ( ) cos( )][ ]

T TSh S h h S h

h h

r i T TS S h S h

h h

T Th S h h S h

h h

Th S h

h

dgv d dgL gL L

dt dt dt

dggL h sen h t h t V V L

dt

dggL h L

dt

dgL gh

dt

ψ Γ ψ Γ

ψ Γ

ψ βΓ ψ Γ

ψ β Γ

(2.42)

donde 0 1 ; 1 0 β . Definiendo ,( )h S hL dg dt h g Φ β Γ la expresión (2.42) se

puede escribir como

,TS Sh h d

h

di dgvL L

dt dt

ψ Φ (2.43)

donde el subíndice d se ha agregado para indicar que ,h dΦ corresponde al valor deseado

de la corriente Si . Escribiendo (2.40) con los desarrollos logrados se tiene

,sgn( ) 2 TC S S S h h d

h

v i v Ki

ψ Φ (2.44)


54

Retroalimentando (2.44) y aplicando la igualdad (2.43) en la primera expresión de

(2.39) resulta

,

,

2 sgn( ) sgn( ) 2

0

S

S

TS S S S S h h d

h

TS h h d

h

S

di

dt

di

dt

L v i i v Ki

Ki

L Ki

ψ Φ

ψ Φ

(2.45)

donde S S Si i i . La expresión (2.45) es cero sólo cuando S Si i , es decir, el controlador

(2.44) logra la estabilidad asintótica del sistema. El controlador (2.44) puede simplificarse

dado que ( )S Si I sen h t es una función impar y su derivada es par; se sabe que en una

función par (expresada en series de Fourier) las magnitudes relacionadas con los

términos de seno se hacen cero. Lo cual implica que (2.44) puede escribirse como

,sgn( ) 2

sgn( ) 2

T rC S S S h h d

h

rS S S h

h

v i v Ki

i v Ki

ψ Φ

Ω

(2.46)

de esta manera, dividiendo por 2 a (2.46) se tiene las leyes de control 1 y 2 .

Ya se ha definido ,( )h S hL dg dt h g Φ β Γ , por lo cual

, ,

,

( )

( ) ( )

( )

r T r rh h h d h d

rS h

h

cos h t

cos h t L dg dt h g V

cos h t

Ω ψ Φ Φ

(2.47)

La variación de la ganancia g (la cual está dada por el control del lazo de voltaje)

es lenta en comparación con la dinámica del control del lazo de corriente. Por lo cual, la

variación del valor de h se considera muy lenta o tiene cambios de valor en pasos, esto


55

permite que en el diseño del control de corriente se considere a h prácticamente

constante para cada armónico. Expresando (2.47) como una función de transferencia, con

( )Si s como entrada y ( )rh sΩ como salida se tiene

2 2 2( ) ( )r h

h S

ss i s

s h

Ω (2.48)

La expresión (2.48) es una igualdad para cualquier armónico h de Sv . Por lo cual, la

sumatoria de la expresión (2.46) es un cálculo que puede simplificarse considerando

solamente la suma de los armónicos de mayor magnitud. Considerando sólo el segundo

armónico, se realiza la siguiente aproximación

2 2

( )4

SS

di sL i s

dt s

L (2.49)

donde S S Si i i , 2,S S S S RMSi gv Gv v , L indica la transformada de Laplace y es la

magnitud del armónico.

La ecuación (2.46) debe de ser dividida entre dos y emplearse para generar los

ciclos de trabajo para cada interruptor 1S y 2S . Nuevamente, el diseño de (2.46) no

requiere los valores de las corrientes 1i y 2i sino de Si (aun cuando Si se obtenga de la

suma de 1i y 2i ). Sin embargo, si no se miden las corrientes de los inductores se estaría

suponiendo que los parámetros de los inductores son iguales. Una manera de introducir el

sensado de estas corrientes ( 1i y 2i ) y no emplearlas en el diseño del controlador (2.46) es

la técnica de Charge-Control.

Nuevamente, se propone el controlador del lazo de voltaje 2,s RMSg G v , donde G es

calculada de acuerdo a (2.28).


56

2.3.4. Caso 3: Control por Charge-Control

Una manera sencilla y ‘no costosa’ de garantizar 1 2 2ii i i , donde ii es el valor

deseado de la corriente de entrada, es empleando la técnica de Charge-Control [76, 100].

La idea se muestra en la Fig. 9 (para el inductor 1L ), donde 1Si es la corriente en el

interruptor 1S la cual es igual a 1i durante el tiempo de encendido. En Charge-Control el

interruptor 1S se enciende al inicio de cada periodo ST . Un capacitor llamado 1TC es

cargado hasta que su voltaje alcance la señal de referencia refv . Cuando esto ocurre, 1S

se abre y el interruptor 1TS se cierra, por lo cual 1TC se descarga completamente antes de

que el siguiente periodo inicie. De esta manera, se controla la carga total de 1TC en un

ciclo, la cual es proporcional al valor de la corriente promedio de 1i durante un periodo.

Fig. 9. Esquema y gráficas de la técnica de Charge-Control.

Para el sistema de la Fig. 8 necesitamos dos bloques de Charge-Control como el

que se muestra en la Fig. 9. Analizando el circuito para el interruptor 1S , el voltaje 1( )Tv t en

el capacitor 1TC está dado por la expresión

0

1 0 11

1( ) (t)dτ

S

S

kT t

T S ST kT

v kT t iC

(2.50)


57

donde SkT es el inicio del k ésimo periodo ST de la frecuencia de conmutación del

interruptor 1S , el cual indica el instante en que 1S se enciende y 0t es el tiempo durante el

cual el mismo interruptor permanece encendido antes de alcanzar el valor de referencia

refv . Cuando el valor de 1( )T refv t v el interruptor 1S es apagado y el interruptor 1TS se

cierra permitiendo que se descargue el capacitor 1TC . Por lo cual la expresión (2.50)

resulta

1

1 1 11

11

1( ) (t)dτ

1

S

S

kT d

T S ref ST kT

T

v kT d v iC

C

(2.51)

donde 1 es la carga en el capacitor 1TC ; 1d es el ciclo de trabajo 1 11d .

Reacomodando términos en (2.51) se tiene

1 11 1 1 1

1 1 1

1( )T S

T

dv kT d

d C d

(2.52)

Se busca que 1 1 1 2ref id v i . Esto se puede expresar en forma de ecuaciones

como

1 11 1

1 1

1 1 1

1

2

2

12

iref

i

i

iv

d d

id

i

(2.53)

donde 1 es el valor deseado de la carga en el capacitor TC . El mismo procedimiento se

puede seguir para el interruptor 2S de donde resulta


58

2 2 212ii

(2.54)

Para el cálculo del controlador de corriente ( 1 y 2 ) puede utilizarse cualquiera de

los controladores diseñados en el Caso 1 y Caso 2, dados por las expresiones (2.31) y

(2.46), respectivamente. En este Caso 3 se utilizará nuevamente una ley de control basada

en pasividad sin inyección de amortiguamiento, es decir, los términos k kK i , 1,2k no se

incluyen en el diseño de la ley basada en pasividad. Las ecuaciones resultantes son

11

22

2

2

iC i

iC i

diLv v

dt

diLv v

dt

(2.55)

La magnitud máxima del primer miembro del lado derecho es S picoV (decenas de

volts)13 y la magnitud máxima del segundo miembro del lado derecho es 12 0k iL di dt ,

1,2k . Es fácil deducir que la contribución del segundo miembro no repercute

drásticamente en la señal de control generada. Por lo que (2.55) puede simplificarse a

1

2

C i

C i

v v

v v

(2.56)

Para analizar la estabilidad del controlador (2.56) se emplea el método de Lyapunov

y se utiliza la función 12( ) TV e e De , la cual cumple (0) 0V y ( ) 0V e y cuya derivada está

dada por

( ) T T TdV e

e Ce e Re e u -u (2.57)

13 El valor de 325S picoV volts o 170S picoV volts depende de que voltaje de entrada

Sv se utilice,

170 (2 60 )Sv sen t o 325 (2 50 )Sv sen t .


59

El desarrollo sólo se realiza para la primera ecuación de (2.57), teniendo presente

que se está analizando el circuito mostrado en Fig. 8. Bajo estas consideraciones se tiene

3 1 3

23 1

( ) Td

Td

V e e e

e

e u - u

e u - u (2.58)

Dado que la expresión (2.56) se ha obtenido de un control basado en pasividad (en

el cual es suficiente du u ) entonces en (2.58) se tiene 0d u u . De esto resulta

23( ) /i CV e e v v

(2.59)

la cual es definida negativa. Por lo que (2.56) garantiza que 0ki , es decir, la corriente

2k ii i sigue a la referencia, donde 1,2k .

La ecuación (2.55) requieren la medición de la corriente ii mientras que el empleo

de (2.56) no necesita la medición de la corriente total (ni de corriente alguna) para generar

la señal de referencia o señal de control.

Es importante recalcar la utilidad de (2.56) donde no es necesario sensar la

corriente total del sistema; la técnica de Charge-Control logra la distribución de carga y

además, empleando como referencia la ecuación (2.56), se logra la CFP para nuestro

sistema.

Nuevamente, la ley de control de voltaje es la ecuación (2.28).

2.3.5. Control robusto

Aquí se plantea una solución al problema que se presenta en el control nominal

(basado en pasividad) cuando el valor de algún parámetro cambia. La solución propuesta

es el empleo de la técnica de rediseño de Lyapunov, la cual tiene como meta encontrar

una señal adicional que enfrente los efectos de la variación paramétrica y sumar esta


60

señal a una ley de control (basada en el método de Lyapunov) previamente diseñada [23],

[60]. El estudio de sistemas perturbados permite tener una visión clara de cómo abordar el

problema de la variación paramétrica14 para conocer qué tipo de perturbaciones, en el

sistema, es capaz de “absorber” el Control Robusto por Rediseño de Lyapunov; si tolera

perturbaciones exógenas al sistema o sólo variaciones paramétricas internas (en

resistencias parásitas o en valores nominales de los dispositivos).

Las expresiones desarrolladas en esta sección emplean el mismo modelo

matemático utilizado en el control basado en pasividad, por motivos de distinción aquí se

utiliza la variable z para representar a los estados del sistema 1 1 2 2 3; ; Cz i z i z v .

Sea el sistema real, denotado por el subíndice r , de la Fig. 8

r r r r r r r

D z C z + R z = u (2.60)

en el cual puede existir incertidumbre paramétrica. Los elementos rD , rC , rR , r

z y rz

están dados por

11 1 1

2 2 2 2

1 2 33

0 0 0 0 0 0 0

0 0 ; 0 0 ; 0 0 0 ; ;

0 0 0 10 0

r

r r r r r r

rr

zL z

L z z

C zzR

D C R z z

(2.61)

1k kd , 1,2k , es la señal de control que genera la secuencia de conmutación.

La ecuación de error entre el sistema (2.60) y el sistema deseado

r d r d r d d

D z C z + R z u es

r r r r d

D e C e + R e = u - u (2.62)

donde r d e z z y su derivada como r d

e z z .

14 Un breve análisis de sistemas perturbados se describe en el APÉNDICE A.


61

El diseño del controlador robusto ru requiere el diseño de un controlador para el

sistema nominal n n d n d n d am

u D z C z R z R e más una señal adicional, 0X , que enfrenta

los efectos de las incertidumbres paramétricas. Así se define el control real como

0r n X u u (2.63)

donde nu está dada por la expresión (2.15) y la señal 0X es una señal por definir y está en

función de los parámetros inciertos. Para aplicar la propiedad de matching condition [60],

es necesario expresar a 0X sólo en términos de los parámetros inciertos y representar al

sistema real como la suma de términos que no tienen variación paramétrica más los

términos que contienen parámetros inciertos. Lo anterior se logra mediante una

parametrización lineal a nu

n n d n d n d am

u D z C z R z R e (2.64)

de lo cual resulta

1 3 1 1

2 3 2 2

3 33 1 1 2 2

3

1 1

22

0 0

; 0 0

10 0

0 0( , ) ;

0 0

•

n d d n am

d am

d am am

dn d d d

am

T

d rd d n

rd

(z ,z )

z R e

z R e

z eC z z z

RR

z Lz z

Lz

0

0

u g Y θ R e

g R e

Y θ

(2.65)

en donde

0g agrupa los términos que no tienen variación paramétrica


62

( , )d dz z

Y es un regresor que está en función de los estados deseados y sus

derivadas

nθ es el vector de parámetros nominales

amR es la inyección de amortiguamiento que se realizó en el control nominal

e es el error existente entre el estado real rz y el deseado dz

Definiendo 0 ( , )d dX z z

Y W donde W es una variable a encontrar, rθ como el

vector de parámetros reales y n r θ θ θ como el vector de error en los parámetros, el

control real se puede representar como

0

0

0

0

( , )

( , ) ( , )

( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

r n

d d n am

d d n am d d r

d d n r am d d r

d d d d am d d r

X

z z e X

z z e X z z

z z X z z

z z z z z z

0

0

0

0

u u

g Y θ R

g Y θ R Y θ

g Y θ θ R e Y θ

g Y θ Y W R e Y θ

(2.66)

Realizando las sustituciones adecuadas se tiene

•

d d

( , ) ( , )

(z , z ) ( , ) ( , )

( , )

r r r r d

d d am d d r r d r d r d

am d d r d d r

d d am

z z e z z

e z z z z

z z e

0

0 0

D e C e R e u u

g Y θ W R Y D z C z R z

g Y θ W R Y g Y θ

Y θ W R

(2.67)

Siguiendo los pasos de la técnica de rediseño de Lyapunov, se debe emplear la

misma función de Lyapunov, utilizada para el diseño del control nominal, para diseñar el


63

controlador robusto; encontrar la señal 0X . La función de Lyapunov propuesta para el

control nominal es

12( ) T

rV e e D e (2.68)

donde el subíndice r indica que se trata de la matriz D real. Al igual que en el caso del

control nominal, para satisfacer el teorema de estabilidad de Lyapunov la expresión (2.68)

debe de cumplir con

( ) 0 ( ) 0 , 0

( ) 0 ( ) 0 , 0

V e y V e e

V e y V e e

(2.69)

Es fácil notar que (0) 0V y ( ) 0V e se cumplen. Falta por satisfacer ( ) 0V e

,

para lo cual se deriva (2.68) a lo largo de las trayectorias del error, resultando

( ) TrV e

e D e (2.70)

Despejando y sustituyendo r

D e de la ecuación (2.67) se tiene

( ) ( , )T T T Tdr am dV e z z

e Ce e R e e R e e Y θ W (2.71)

Aplicando la propiedad de la matriz antisimétrica C , (2.71) resulta

( ) ( ) ( , )

( , )

T Tdam d

T Tdeq d

V e z z

z z

re R R e e Y θ W

e R e e Y θ W

(2.72)


64

Dadas las propiedades de eq R , 0eq R , para garantizar que ( )V e

sea definida

negativa se analiza

0 θ W (2.73)

Como se observa de (2.73), W es la señal adicional que enfrentará los efectos de

la variación paramétrica. Se define

θ (2.74)

para indicar que la magnitud de la variación paramétrica está acotada por el término , lo

cual implica que no se necesita conocer la magnitud de θ , lo único necesario es que esta

magnitud esté acotada por . Aplicando algunas propiedades de normas de vectores y

empleando la expresión (2.74), se analiza el tercer término del lado derecho de (2.72)

22

2

2

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , )( , )

( , )

( , ) ( , )( , )

( , )

( , )( , )

( , )

T T T Td d d dd d d d

Tdd

Tdd

Tdd

T Td dd d

Tdd

Tdd

Tdd

Tdd

Tdd

z z z z W z z z z

z zz z

z z

z z z zz z

z z

z zz z

z z

e Y θ e Y e Y θ e Y W

e Y θe Y W

e Y θ

e Y Y ee Y W

e Y

Y ee Y

e Y

W

(2.75)

Si (2.74) se cumple, entonces W enfrentará los efectos de la incertidumbre

paramétrica cuya magnitud sea menor que .

Igualando (2.75) a cero se puede encontrar que


65

2( , )

( , )

Td d

Td d

z z

z z

Y eW

e Y (2.76)

donde W garantiza la estabilidad del sistema retroalimentado. La expresión anterior es

una función que presenta discontinuidad al existir la posibilidad de una división por cero.

Además, la implementación práctica de un control empleando la expresión (2.76) provoca

el fenómeno de chattering lo cual puede generar efectos indeseados en el sistema. En

lugar de tratar de trabajar fuera de estos problemas y para efectos de robustez, es común

eliminar la discontinuidad agregando un término ε como se muestra a continuación [60]

2( , )

( , )

Td d

Td d

z z

z z

Y eW

e Y (2.77)

Sustituyendo (2.77) en (2.72) se tiene

( ) T Tr amV e

e R e e R e (2.78)

Si se cumple

T Tr am e R e e R e (2.79)

entonces (2.78) será definida negativa. Como no se puede asegurar que (2.79) se

mantenga para cualquier tiempo t , es común seleccionar de tal forma que el error se

encuentre en una vecindad cercana al cero, logrando así una estabilidad práctica. En un

sistema asintóticamente estable, estrictamente el error nunca será cero aún después de

un tiempo t muy grande. De forma similar, cuando un sistema es exponencialmente

estable, teóricamente el error sí llega a cero en algún tiempo t . Cuando el error en el

sistema es tan pequeño, encontrándose en una región (o vecindad) muy cercana al punto

de equilibrio (o cero), por practicidad se considera que el sistema ya se encuentra en


66

estado estable. Por lo cual, el término estabilidad práctica considera que el sistema es

estable aunque estrictamente no se haya alcanzado el punto de equilibrio, evitando así

grandes periodos de espera para que el error sea cero. En sistemas lineales, la estabilidad

práctica es equivalente al concepto de margen de error del 3 o 5 % [13].

Una forma práctica de conocer el valor de es empleando la desigualdad de

Rayleigh en la expresión (2.79)

2

min( )Tr am r am e R R e e R R (2.80)

de la cual se obtiene

2

min r am e R R

(2.81)

De esta manera, la ley de control real (2.66) para el circuito de la Fig. 8, resulta

( , ) ( , )r am d d r d dz z z z

0u g R e Y θ Y θ W (2.82)

donde

1 3 1 1 1

2 3 2 2 2

3 3 33 1 1 2 2 3

1

1 112

2

0 0

; ; 0 0

0 10 0

0

( , ) 0 ; ;

0 0

i d am d

r i d am am d

d dn d d d am

d

n rrd d d r

r

v z R z z

v z R z z

z z zC z z z R

R

zL LL

z z zLL

0u g R e

Y θ θ2 2

2 21 1 2 2[ ] ; ;

n r

T d dT T

L

z e z e

We Y e Y

(2.83)


67

Cuando no existe perturbación, es decir r nθ θ , el cuarto término del lado derecho

de la ecuación (2.82) desaparece y el control nominal será el único que funcione; en otro

caso funciona el nominal más el robusto. Es decir, la señal adicional de control generada

por esta técnica sólo se activaría cuando existiera una incertidumbre paramétrica, así el

esfuerzo en la ley de control que provee esta técnica será el mismo que en el control

basado en pasividad, salvo cuando existe una incertidumbre. Esto cumple con la teoría del

método de rediseño de Lyapunov. Para que lo anterior sea posible la expresión (2.82)

debe de utilizar el valor de θ (y no el valor de ) para obtener los valores de W , lo cual

requiere conocer la magnitud de la incertidumbre.

De igual forma que en el control nominal, se asume que se dispone de la medición

de todas las variables del sistema. Así, empleando la expresión (2.82) se puede obtener,

implícitamente, las señales de control robusto de la siguiente manera

1 3 1 1 1 1

2 3 2 2 2 2

3 33 1 1 2 2

3

d am d n

r d am d n

dn d d d

am

z R e z L

z R e z L

z eC z z z

R R

u

(2.84)

Despejando y obteniendo de manera explícita las señales de control 1 y 2 se tiene

1 1 1 1 13

2 2 2 2 23

1

1

i am d nd

i am d nd

v R e z Lz

v R e z Lz

(2.85)

Sumando las expresiones de (2.85) da como resultado una única ecuación de

control dada por

1 2

1 1 2 2 1 1 2 23

12 i am am d n d n

d

v R e R e z L z Lz

(2.86)


68

La expresión (2.85) no se ha simplificado pues se considera que la variación

paramétrica en los inductores no es en la misma magnitud en ambos convertidores. Esto

significa que debe de utilizarse una ley de control independiente para cada convertidor. La

expresión (2.86) puede emplearse, sí y sólo sí, la variación paramétrica sucede en la

misma magnitud y al mismo tiempo en ambos inductores. Por estos motivos se utilizará la

expresión (2.85) en el caso del controlador robusto.

La retroalimentación de las expresiones (2.85) en el sistema perturbado (2.5) da

como resultado

11

22

1 1 1 1

2 2 2 2

1

1

r i C

r i C

i am nCd

i am nCd

div v

dt

diL v v

dt

L v R i i Lv

v R i i Lv

(2.87)

donde 1 1 1r nL L L y 2 2 2ˆ

r nL L L indican el valor de las inductancias perturbadas o con

variación paramétrica. Recordando que para el diseño del controlador de corriente se

considera que C Cdv v , de (2.87) se obtiene

11

11

1 1

22

22

2 2

1 1 1 1

11 1 1 1

1 1 1 1

2 2 2 2

22 2 2 2

2 2 2 2

ˆ 0

ˆ 0

ˆ 0

ˆ 0

r

n

r

n

am n

n am

n am

am n

n am

n am

di

dt

di di

dt dt

di di

dt dt

diL

dt

di di

dt dt

di di

dt dt

L R i i L

L L L R i

L L R i

R i i L

L L L R i

L L R i

(2.88)


69

De acuerdo al rediseño de Lyapunov, se cumple que el efecto de 1L será

compensado por los efectos que genera la magnitud (un caso similar ocurre para 2L y

). Dicho en otras palabras, , y son constantes, por lo que las ecuaciones (2.88)

son cero si y solo si 0ki . Esto indica que el controlador logra que el sistema alcance el

punto de equilibrio asintóticamente estable. De igual forma que en el control nominal, se

asume que se dispone de la medición de todas las variables del sistema. Las leyes de

control (2.85) se comparan con una señal triangular para generar el PWM que apaga y

enciende los interruptores 1S y 2S . Estás mismas leyes también pueden utilizarse con la

técnica de Charge-Control, sin embargo, como ya se ha demostrado, la ténica Charge-

Control logra conducir a las variables al punto de equilibrio aun cuando la ley de control es

tan sencilla como las expresiones (2.56).

Para el controlador de voltaje se propone emplear la misma ecuación de la

expresión (2.35), la cual corresponde a un control tipo PI dado por la expresión

0

t

p iG K K d

(2.89)

2.4. Resultados numéricos

El circuito mostrado en la Fig. 8 fue simulado en Simulink™ con los valores nominales de

parámetros dados por la Tabla 2.

Tabla 2. Valores de los parámetros utilizados en la simulación.

Nombre Parámetro Valor Voltaje de entrada VS 120 VRMS

Voltaje pico de entrada vS 170 Vac Frecuencia de entrada fs 60 Hz

Frecuencia de conmutación fswitch 100 KHz Voltaje de salida Vo 400 Vdc

Rizo de voltaje de salida 0V 10%

Inductor 1 L1 2 mH Inductor 2 L2 2 mH

Capacitor de salida C 220 µF Resistencia de carga R 200 Ω


70

Las siguientes gráficas, en la Fig. 10, muestran el voltaje de salida al emplear los

controladores diseñados: en todos los casos el voltaje de salida es regulado cubriendo las

especificaciones de diseño.

Con la finalidad de comparar los resultados de los controladores diseñados con

algún otro ya reportado en la literatura, se ha seleccionado el controlador PI del trabajo de

Mike O’Loughlin, [71], por ser uno de los que cumplen con los objetivos deseados.

Además, es uno de los trabajos que sirve de base para generar desarrollos tecnológicos

en prototipos industriales. En ese trabajo se emplea un controlador para satisfacer cada

objetivo de control: un PI para regular el voltaje; un controlador PI para la corrección del

factor de potencia; un controlador Charge-Control para la distribución de corriente. Como

puede notarse, este trabajo emplea dos controladores para la misma variable: corriente.

a) Basado en Pasividad b) Caso 1

c) Caso 2 d) Charge-Control

e) Robusto f) PI diseñado en [71] Fig. 10. Voltaje de salida al emplear los controladores diseñados.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2150

200

250

300

350

400

450

Tiempo (s)

Ma

gnitu

d (v

olts

)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2150

200

250

300

350

400

450

Tiempo (s)

Ma

gnitu

d (v

olts

)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2150

200

250

300

350

400

450

Tiempo (s)

Ma

gnitu

d (

volts

)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2150

200

250

300

350

400

450

Tiempo (s)

Mag

nitu

d (v

olts

)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2150

200

250

300

350

400

450

Tiempo (s)

Ma

gni

tud

(vo

lts)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2150

200

250

300

350

400

450

Tiempo (s)

Mag

nitu

d (v

olts

)


71

La hipótesis de nuestra investigación es demostrar que con un control basado en

pasividad se logra la distribución equitativa de corriente del sistema en estudio; utilizado

en el lazo de corriente es equivalente a lograr ambos objetivos: la CFP y la distribución de

corriente. Para comparar los resultados obtenidos al emplear nuestros controladores se ha

seleccionado el controlador PI empleado en el lazo de corriente del trabajo de Mike

O’Loughlin [71], la Fig. 10f se muestra el voltaje de salida al emplear este esquema de

control; un PI para el lazo de voltaje y un sólo control PI para el lazo de corriente.

De las gráficas de la Fig. 10 se observa que la regulación del voltaje se logra al

emplear cualquiera de los seis controladores: los cinco diseñados en esta tesis y el

reproducido del trabajo [71]. Debido a que las diferencias que existen entre las curvas de

la Fig. 10 son casi imperceptibles a la vista, en la Tabla 3 se presenta el error que existe en

la regulación del voltaje; se ha empleado como indicador el error cuadrático medio. Como

es notorio, los errores son similares de lo cual se deduce que en cuanto a la regulación de

voltaje los seis controladores presentan un buen desempeño; los peores casos en la

regulación de voltaje son el controlador Caso 3 y el reportado en [71].

La Fig. 11a muestra el voltaje de entrada Sv y la corriente de entrada Si cuando se

utiliza el Control Basado en Pasividad sin ninguna simplificación. Debido a la diferencia en

las magnitudes de ambas curvas, es usual escalar el voltaje Sv a valores similares de la

corriente. La Fig. 11b muestra las mismas curvas sólo que ya adecuadas para su

comparación. En lo posterior, se efectuará el mismo proceso de escalamiento en todas las

gráficas donde se compare la variable Sv con la variable Si , o la variable iv con ii . En esta

gráfica ambas curvas tienen la misma forma y fase.

Tabla 3. Errores en las variables controladas por las diferentes propuestas

Controlador utilizado Error cuadrático medio

Voltaje Corriente 1i Corriente 2i

Pasivo 8.4891 0.1138 0.1138 Caso 1 8.5676 0.1081 0.1081 Caso 2 8.5013 0.1090 0.1090 Caso 3 8.6948 0.1239 0.1239

Robusto 8.5441 0.1073 0.1073 PI diseñado en [71] 8.6840 1.1690 1.1690


72

Las gráficas Fig. 11c a Fig. 11g muestran el voltaje de entrada iv , ya escalado, y la

corriente de entrada ii de los controladores simulados. En todas estas gráficas se tienen

resultados similares en estado estable aunque con ligeras diferencias en estado

transitorio.

a) Voltaje Sv y corriente Si en magnitudes originales. b) Voltaje Sv escalado y corriente Si .

c) Caso 1 d) Caso 2

e) Charge-Control f) Robusto

g) PI diseñado en [71] h) Acercamiento a un periodo del inciso g)

Fig. 11. El voltaje Sv y corriente Si tienen la misma forma y fase.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

-300

-200

-100

0

100

200

300

Tiempo (s)

Mag

nitu

d

v

is

s

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-6

-4

-2

0

2

4

6

Tiempo (s)

Mag

nitu

d

vs

is

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

2

4

6

8

10

12

Tiempo (s)

Mag

nitu

d

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

2

4

6

8

10

12

Tiempo (s)

Mag

nitu

d

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

2

4

6

8

10

12

Tiempo (s)

Mag

nitu

d

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

2

4

6

8

10

12

Tiempo (s)

Ma

gnitu

d

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

2

4

6

8

10

12

Tiempo (s)

Ma

gnitu

d

0.192 0.193 0.194 0.195 0.196 0.197 0.198 0.199 0.20

2

4

6

8

10

12

Tiempo (s)

Mag

nitu

d


73

En la curva Fig. 11h se realizó un acercamiento a un periodo de ii y iv de la Fig.

11g, para observar con más detalle que la curva de corriente está en fase con la curva de

voltaje. Lograr que las curvas de voltaje y de corriente estén en fase se logra con

cualquiera de los seis controladores, por esta razón sólo se amplió un periodo de las

curvas obtenidas (del controlador PI).

Disminuir la magnitud del rizo en la corriente de entrada es un objetivo importante

en nuestro sistema. Esto se logra haciendo que los convertidores conectados en paralelo

trabajen de manera “entrelazada” (“interleaved” por sus siglas en inglés), provocando un

desfase entre los ciclos de trabajo kd , 1,2k ; el ángulo de desfasamiento entre cada

ciclo de trabajo está dado por la expresión

360 / n (2.90)

en la cual “ n” es el número de convertidores entrelazados. En el caso de dos

convertidores el desfasamiento es de 0180 y cuando 50%kd del periodo de conmutación

en ambos convertidores, los ciclos de trabajo serían como se muestra en la Fig. 12;

entonces el rizo en la corriente de entrada ii es cero.

1i

2i

ii

1d

2d

2ii

Fig. 12. Formas de onda en convertidores entrelazados

Para analizar los rizos de corriente en las simulaciones, se ha hecho un

acercamiento a los rizos de las corrientes ii , 1i y 2i . La comparación se muestra en la Fig.

13a y b; en donde se nota que ii es menor al rizo de 1i o de 2i . Como ya se mencionó,

será cero sólo cuando 1 2 50%d d del periodo de conmutación. Por lo cual el


74

funcionamiento entrelazado de convertidores no cancelará el rizo al 100% pero sí

disminuirá drásticamente el rizo en ii , es decir 0ii conforme 1 2 50%d d . Otra

manera de disminuir ii es incrementando el número de convertidores entrelazados; esto

se abordara en el Capitulo 4.

0.1956 0.1956 0.1956 0.1956 0.1956 0.1956 0.1956 0.19Ti ( )

80ii mA

1,2 480i mA

a) Corriente ii b) Corrientes ii , 1i y 2i

Fig. 13. Rizos de corriente ii , 1i y 2i cuando se utiliza un controlador basado en pasividad.

Como puede notarse en la Fig. 13a, la cresta de las corrientes 1i y 2i no excede a los

5A . Esto significa que la corriente pico en los diodos es 5Dpeaki A , lo cual no excede al

valor de diseño. También, en la misma figura se observa que 1,2 500i mA (en el peor de

los casos) es menor que el valor máximo de diseño 2.1 A ; por lo cual se satisface esta

especificación.

En las gráficas de la Fig. 14 se presenta un periodo de las corrientes 1i y 2i ;

fácilmente se observa que ambas corrientes están una sobre la otra, lo cual indica que la

corriente ii es equitativamente distribuida entre 1i y 2i . En cada gráfica se ha realizado un

acercamiento en los recuadros que aparecen para observar que ambas corrientes tienen

prácticamente las mismas magnitudes, con excepción de la Fig. 14e y Fig. 14f que

corresponden a los casos controlador robusto y control PI reportado en [71],

respectivamente.

En la Tabla 3 (páginas arriba) se calcularon los errores en la distribución de

corriente al emplear los diferentes controladores. De esta Tabla 3 y de las gráficas de la

Fig. 14 se concluye que todos los controladores que emplean la teoría de Pasividad tienen

0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.20

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Tiempo (s)

Mag

nitu

d (a

mpe

res)


75

mejores resultado que el emplear un control PI. Por lo cual es posible (y recomendable)

emplear un control por moldeo de energía para garantizar la distribución equitativa de

corriente en dos convertidores electrónicos de potencia, y no emplear dos controladores:

uno para la CFP y otro para la distribución.

Para que el control robusto basado en pasividad (diseñado en este trabajo) esté en

funcionamiento, es necesario que exista una diferencia paramétrica. Por lo cual para

obtener la Fig. 14e se consideraron los valores 1 1.8L mH y 2 2.5L mH , es decir 10%

menos del valor nominal en 1L y 25% más en 2L . Debido a estas diferencias el rizo de

corriente en cada inductor es diferente aunque su valor “promedio” sea el mismo, lo cual

es evidente en la figura. Sin embargo, en la Fig. 14f para el caso del control PI, las

diferencias no son provocadas por variación paramétrica sino que el controlador no es

capaz de mantener la distribución equitativa.

a) Basado en Pasividad b) Caso 1

c) Caso 2 d) Charge-Control

Tiempo (s) e) Robusto f) PI diseñado en [71]

Fig. 14. Distribución de corrientes entre los convertidores al emplear diferentes controladores.

0.192 0.193 0.194 0.195 0.196 0.197 0.198 0.199 0.20

1

2

3

4

5

Tiempo (s)

Mag

nitu

d (a

mpe

res)

0.192 0.193 0.194 0.195 0.196 0.197 0.198 0.199 0.20

1

2

3

4

5

Tiempo (s)

Ma

gnitu

d (a

mpe

res)

0.192 0.193 0.194 0.195 0.196 0.197 0.198 0.199 0.20

1

2

3

4

5

Tiempo (s)

Ma

gnitu

d (a

mpe

res)

0.192 0.193 0.194 0.195 0.196 0.197 0.198 0.199 0.20

1

2

3

4

5

Tiempo (s)

Mag

nitu

d (

amp

eres

)

0.192 0.193 0.194 0.195 0.196 0.197 0.198 0.199 0.20

1

2

3

4

5

Tiempo (s)

Magn

itud

(am

pere

s)

0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Mag

nitu

de

(am

per

es)

i2 i1


76

Tanto en la Fig. 10f y como en Fig. 11g, los controladores PI logran tanto la

regulación del voltaje de salida como la corrección del factor de potencia, aunque la

distribución equitativa de la corriente no se garantiza. La diferencia trata de ser

compensada por el controlador (sin lograrlo) provocando que la situación se invierta; este

desbalance persiste en t . Por lo cual es necesario añadir una señal extra para

compensar el desbalance, tal como se describe en [71].

Para probar la robustez de los controladores diseñados, se realizó una variación

paramétrica en el inductor 2 15L L . La Fig. 15 muestra las curvas obtenidas tomando los

valores de la Tabla 2, con la variación ya mencionada. En dicha figura se muestran sólo

tres casos por considerar sus diseños con diferencias relevantes: el control basado en

pasividad (Fig. 15a), el controlador por Charge-Control (Fig. 15b) y el controlador robusto

(Fig. 15c); los resultados del controlador Caso 1 y del controlador Caso 2 son similares a

los resultados aquí presentados para el controlador Caso 3.

a)

b).

c)

Fig. 15. Columna izquierda (línea azul) corriente Si , y (línea roja) voltaje Sv : a) control Basado en

Pasividad; b) control por Charge-Control; c) control Robusto.

0.16 0.165 0.17 0.175 0.18 0.185 0.19 0.195 0.2-6

-4

-2

0

2

4

6

Tiempo (s)

Ma

gnitu

d

0.19 0.191 0.192 0.193 0.194 0.195 0.196 0.197 0.198 0.199 0.20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Tiempo (s)

Ma

gnitu

d (a

mpe

res) i1

i2

0.16 0.165 0.17 0.175 0.18 0.185 0.19 0.195 0.2-6

-4

-2

0

2

4

6

Tiempo (s)

Ma

gnitu

d

0.19 0.191 0.192 0.193 0.194 0.195 0.196 0.197 0.198 0.199 0.20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Tiempo (s)

Ma

gnitu

d (a

mpe

res)

i1

i2

0.16 0.165 0.17 0.175 0.18 0.185 0.19 0.195 0.2-6

-4

-2

0

2

4

6

Tiempo (s)

Ma

gnitu

d

0.19 0.191 0.192 0.193 0.194 0.195 0.196 0.197 0.198 0.199 0.20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Tiempo (s)

Mag

nitu

d (a

mpe

res)

i1

i2

vS

vS

vS 88Si mA

95Si mA

87Si mA

1

2

389

131

i mA

i mA

1

2

388

143

i mA

i mA

1

2

378

125

i mA

i mA


77

En todas las curvas de la Fig. 15 se han empleado los controladores de corriente

que generan una ley de control para cada convertidor, es decir, para el controlador basado

en pasividad se utilizan las ecuaciones (2.17), para el controlador Caso 3 (Charge-Control)

se emplean las ecuaciones (2.56), y para el controlador robusto se usaron las ecuaciones

(2.85).

En la Fig. 15, la columna de la izquierda muestra a Sv e Si ; como puede notarse, se

logra la corrección del factor de potencia. En la columna derecha de la misma Fig. 15 se

muestran las corrientes de los inductores para los casos correspondientes; se observa que

la distribución de corriente se logra satisfactoriamente.

La Tabla 4 presenta los errores en las variables controladas: 0v , 1i y 2i . En todas

las gráficas anteriores, el ángulo de desfasamiento entre la corriente de entrada ii y el

voltaje de entrada es pequeño (menor a 2 grados) por lo cual el factor de potencia es

0.99939FP ; salvo en el caso Charge-Control donde en los cruces por cero presenta

problemas en el cálculo numérico provocando que el ángulo sea hasta 4 grados y el

0.99756FP .

Como puede notarse de la misma figura, existe una ligera deformación de la curva

de corriente. Por tal motivo se procedió a realizar un análisis de la Distorsión Armónica

Total (THD por sus siglas del idioma inglés). Para medir las deformaciones en las curvas

de corriente respecto a una onda senoidal pura, se muestra en la Tabla 4 la distorsión

armónica total en cada caso; en todos ellos la distorsión es alrededor del 2%.

Del análisis de estos datos y de las gráficas de la Fig. 15 nuevamente se demuestra

que aún ante una variación paramétrica tan severa, los objetivos de la regulación del

voltaje de salida, corrección del factor de potencia y disminución del rizo de la corriente de

entrada se logran satisfactoriamente con los seis controladores. Al comparar las

magnitudes en los errores de corriente se puede concluir que la distribución de corriente

es equitativa (puesto que tienen exactamente el mismo error).


78

Tabla 4. Errores de las variables controladas considerando incertidumbre paramétrica.

Controlador utilizado Error cuadrático medio

Factor de Potencia THD(x100) Voltaje 0v Corriente 1i Corriente 2i

Pasivo 8.5400 0.0962 0.0962 0.99939 0.0220

Caso 1 8.5837 0.0847 0.0847 0.99939 0.0211

Caso 2 8.5823 0.0854 0.0854 0.99939 0.0207

Caso 3 8.5816 0.0844 0.0844 0.99756 0.0204

Robusto 8.6206 0.0756 0.0756 0.99939 0.0209

PI diseñado en [71] 8.7312 1.9603 1.9603 0.99939 0.0267

En los tres casos mostrados, los controladores son capaces de distribuir

equitativamente la corriente entre los convertidores y lograr la corrección del factor de

potencia; además de satisfacer los otros objetivos de control: regular el voltaje de salida,

disminuir el rizo en la corriente de entrada. La única diferencia notable en las curvas de

corriente mostradas en la Fig. 15 es la magnitud en los rizos de las corrientes 1i y 2i , lo

cual es provocado por las diferencias en la inductancia. Sin embargo, para el controlador

basado en pasividad como en el controlador robusto, el empleo de un controlador de

corriente para cada uno de los convertidores no facilita la conexión de más convertidores.

Es importante hacer notar que el controlador del Caso 3 (Charge-Control) logra la

distribución equitativa de la corriente aun cuando las leyes de control (2.56) son bastante

sencillas, e inclusive es la mima señal de referencia generada. Esto implica que sólo se

genera una ley de control la cual es enviada a ambos convertidores y la técnica de

Charge-Control logra la distribución de la corriente y genera los pulsos para encender o

apagar los interruptores 1S y 2S .

La Tabla 4 permite conocer los errores en el seguimiento a la referencia. Como

puede notarse, el error en la regulación del voltaje es prácticamente el mismo en todos los

casos. Por otro lado, el error en la distribución de corriente es cercano a cero al utilizar los

controladores basados en pasividad, no así al usar el controlador PI reportado en [71].

Además, en este controlador PI la curva de corriente está en fase con la de voltaje, como

se observa en la Fig. 16a, pero la distribución equitativa de corriente no es aceptable, Fig.

16b.


79

a) b) Fig. 16. Corrientes al emplear el controlador PI reportado por Mike O’Loughlin [71]: a) Corriente de

entrada ii ; b) Corrientes en los inductores.

0.15 0.155 0.16 0.165 0.17 0.175 0.18 0.185 0.19 0.195 0.20

2

4

6

8

10

Tiempo (s)

Mag

nitu

d

0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.20

2

4

6

8

10

Tiempo (s)

Mag

nitu

d (a

mper

es)


80


81

CAPÍTULO 3

.

.

CONTROLADOR

CONSIDERANDO

RESISTENCIAS PARÁSITAS

Al considerar resistencias parásitas la complejidad de las expresiones aumenta debido a

que las variables de interés (corrientes de inductores y voltaje de capacitor) aparecen en

términos que no siempre es fácil despejar y así obtener expresiones matemáticas

sencillas. Por tal motivo es usual considerar paulatinamente las resistencias parásitas y

así tener una mayor comprensión de sus efectos dentro del sistema. De esta manera, se


82

han considerando dos casos: un caso es analizando los efectos de las resistencias de los

inductores y el otro caso es considerando tanto las de los inductores como la del capacitor

de salida. El caso más sencillo (resistencias sólo en los inductores) se describe en el

APÉNDICE C y en este Capítulo 3 se analiza el más complejo.

3.1. Modelo del sistema considerando r1, r2 y rC

Nuevamente el diagrama de la Fig. 17 presenta a dos convertidores elevadores

conectados en paralelo en los cuales se han dibujado las resistencias parásitas 1r , 2r y Cr

de los inductores y del capacitor, respectivamente.

Fig. 17. Convertidores elevadores considerando parásitos 1r , 2r y Cr .

Realizando un análisis de leyes de Kirchhoff al circuito se obtienen las siguientes

ecuaciones

11 1 0

22 2 0

1 1 2 2

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

0

i i

i i

C

div v

dt

diL v v

dt

vdvC i i

dt R

L i r v i r

i r v i r

(3.1)

donde, en este caso, 1 1 0v y 2 2 0v son los voltajes ‘inyectados’ a las mallas.


83


Al igual que la sección anterior, se inicia con el diseño del Control Basado en Pasividad ya

que es el controlador base para el diseño de los siguientes controladores. El diseño del

Controlador Robusto Basado en Pasividad por Rediseño de Lyapunov presenta un caso

especial al considerar la resistencia parásita del capacitor de salida; esto se analiza en la

sección del controlador. En la sección final de este Capítulo se presentan y discuten los

resultados numéricos al emplear los controladores diseñados.

3.2.1. Control basado en pasividad

El sistema (3.1) puede expresarse como

x x u

D R (3.2)

donde las matrices D y R están dadas por

1 1 1

11 1

2 2 2 2 2 2

33

1 2

0

0 0

0 0 ; 0 ; ; ;

0 01

C

C C

C

C C

C C C

r R Rr

R r R r xL x

r R RL r x x

R r R rC x

xR R

R r R r R r

D R x x

(3.3)

Siguiendo la metodología empleada anteriormente se obtiene el control basado en

pasividad para dos convertidores elevadores, donde las variables de control 1 y 2 son


84

1 1 1 1 1 1 11

1 3

2 2 2 2 2 2 22

2 3

( )

( )

i d d am d

Cd d

C C

i d d am d

Cd d

C C

v L x r x R x xr R R

x xR r R r


x xR r R r

(3.4)

Sumando ambas expresiones de (3.4), con las consideraciones 1 2L L L ,

1 2am am amR R R , 1 2r r r y 1 2d dx x , se obtiene

1 2 1 2 1 2

1 3

0

2 ( )

2

2

2

i d d d d am

Cd d

C C

ii i am i

i CCd

C C

ii i am

v L x x r x x R e e

r R Rx x

R r R r

div L ri R i

dti r R R

vR r R r

div v L ri R i

dt

(3.5)

La expresión anterior puede dividirse por dos (el número de convertidores

conectados) y utilizarse como la señal de control para cada convertidor. Como puede

advertirse, (3.5) necesita el sensado de la corriente de entrada ii o de las corrientes 1i y 2i

las cuales sumadas dan como resultado ii . No obstante, aún sensando 1i y 2i , la

expresión (3.5) calcula una única ley de control para los dos convertidores y no se

obtienen dos leyes de control como en (3.4).

A continuación se presenta el diseño del lazo de voltaje.

Multiplicando la tercera ecuación de (3.1) por 0v y considerando que / 2k ii i ,

1,2k , resulta


85

1 1 2 2

20

0 0 0

20

0

2 20

2

2 2 2

C

i

i ii i i i i

dvv C i i

dt R

v

R

R

vv v

iv

i di vL Kv i r i i i

dt

(3.6)

donde 0v se tomó de la expresión (3.5).

Es posible simplificar (3.6) siguiendo el mismo proceso del Capítulo 2, considerando

que la magnitud máxima del segundo y tercer miembro del lado derecho es

1 12 2 6i ii r L di dt . También se considera que la ley de control de corriente ha logrado

que i ii i por lo que 0ii . Aún más, para el diseño del controlador de voltaje el mayor

interés es analizar las componentes en CD y la componente15 en CD de 2Sv es 2

,S RMSv . Así,

bajo estas consideraciones se obtiene

2 20 0

0 2,

20

C ii i i

S RMS

dv vC

dt R

Gv vv v i v

v R

vG

R

(3.7)

Para no manipular términos de alto orden se considera que 0 Cv v . Lo cual permite

que (3.7) se pueda escribir como

2C C

C

dvC

dt

vv G

R (3.8)

Nuevamente, se utiliza la variable 2 2Cv , para definir el error 2 2dV . Así,

empleando este cambio de variable la expresión del error en el voltaje de salida es

15 Recordar que i Sv v , por lo cual 2 2

i Sv v .


86

2d

C Gdt R

(3.9)

Para obtener el valor de G , en este trabajo se sugiere un controlador PI, el cual

esta dado por la expresión

0

t

p iG K K d (3.10)

que es la misma expresión (2.28) encontrada en el diseño del Controlador Basado en

Pasividad del Capítulo 2.


De manera similar al desarrollo mostrado para el Caso 1 del Capítulo 2 anterior, se

proponen las mismas leyes de Control Basado en Pasividad mostradas en (3.4), pero aquí

se escriben de diferente manera

*1

1 0 1 1 1

*2

2 0 2 2 2

2 2

2 2

i ii

i ii

i diLv v r K i

dt

i diLv v r K i

dt

(3.11)

Considerando 1 2L L L , 1 2r r r y 1 2K K K , entonces la suma de las

ecuaciones (3.11) es

*

0 2 ii i i

div v ri L Ki

dt

(3.12)


87

donde i i ii i i . Dado que 0iLdi dt es posible aproximar (3.12) a una forma más

simplificada dada por

*

0 2 i i iv v ri Ki (3.13)

Para el controlador del lazo de voltaje se propone emplear el controlador dado por

la expresión (3.10).


La ley de control (3.12) puede desarrollarse, donde se hace un abuso en la nomenclatura

para facilitar la comparación, como sigue

*0

2 2, ,

2 2, ,

2 2 2, 0

2

2 sgn( ) sgn( ) sgn( ) sgn( )

sgn( ) 2

sgn( ) 2

ii i i

S SS s S S s s s

S RMS S RMS

S Ss S S S

S RMS S RMS

Ss S S S

S RMS

div v Ki ri L

dtGv dvLG

v i K i i i r i iv v dt

Gv dvLGi v K i i r

v v dt

Gv si v Ki r i

v s

(3.14)

donde 2 2 2

, 0

SS

S RMS

dvLG si

v dt s

, S S Si i i , 2,S S S RMSi Gv v . Es decir, no se desprecian los

efectos de la derivada de la corriente deseada Si , sino que se expresan empleando series

de Fourier. La variable G es calculada de acuerdo a (3.10).


88


Nuevamente, como en el Caso 3 del Capítulo 2, la integral de la corriente 1Si durante la

duración del ciclo de trabajo 1d , no es alterada por los efectos de la resistencia parásita 1r .

Lo mismo sucede en la corriente 2Si . Es decir, los valores deseados k en el capacitor

, 1,2TkC k , están dados por

1 1 1

2 2 2

12

12

i

i

i

i

(3.15)

Las señales de control 1 y 2 pueden tomarse de (3.13) o (3.14). Sin embargo,

como se ha hecho en las secciones anteriores, es posible seguir el siguiente desarrollo

para simplificar las expresiones sin perder controlabilidad.

La técnica de Charge-Control no se ve afectada por la inclusión de resistencias

parásitas en las inductancias, por lo cual es posible emplear la siguiente aproximación

(sólo si las características de los inductores son iguales)

1 0 2 0 iv v v (3.16)

en la cual los términos *k kL di dt , k kr i y k kK i , 1,2k se han despreciado debido a su

magnitud *k k k k iL di dt r i v y a que 0k kK i conforme 0ki .

Para el controlador de voltaje se emplea el controlador de la expresión (3.10).


89


Nuevamente, se inicia del modelo del sistema real de la Fig. 17

r r r r r

•

D z + R z = u (3.17)

con las matrices rD , rR , r

z y rz dadas por

11 1

2 2 2

33

1 1 1

2 2 2

1 2

0 0

0 0 ; ;

0 0

0

0

1

r

r r r r

r

Cr r rr

r Cr r Cr

Cr r rr r

r Cr r Cr

r r

r Cr r Cr r Cr

zL z

L z z

C zz

r R Rr

R r R r

r R Rr

R r R r

R R

R r R r R r

•

D z z

R (3.18)


Para el diseño del controlador empleando este método es necesario representar al

sistema de la siguiente manera

•

(z, z)r r0u = g + Y θ (3.19)

donde 0g agrupa los términos que no tienen variación paramétrica, •

(z, z)Y es un regresor

que está en función de los estados y sus derivadas, y rθ es el vector de parámetros

nominales. Una manera de expresar (3.17) como (3.19) es la siguiente


90

1 1 3 1

1

2 2 3 2

2

1 1 2 2 3

1 1

1 1

3

;

1

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

Cr r r

rr Cr r Cr

r

Cr r rr

r Cr r Crr

r rr

r Cr r Cr r Cr

r R Rz z LR r R r

rr R R

z z LR r R r

rR R

Cz z zR r R r R r

z z

z z

z

0 rg θ

Y

(3.20)

Sin embargo, como se observa, no es posible separar las señales 1 y 2 del

parámetro Crr , lo cual significa que si el valor de este parámetro cambia entonces la ley de

control robusto no podrá hacer frente a esta variación.

Otra manera de expresar a (3.17) de la forma (3.19) es la siguiente

1

1

2

2

1 1 1 1 1 3

2 2 1 3 2 2

1 1 2 2 3 3

0 ;

1

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0

r

r

Cr r r Cr

r r Cr

r

r

r

r Cr

L

r

r R R r

R R r

L

r

C

R r

z z z z

z z z z

z z z z

0 rg θ

Y

(3.21)


91

En la expresión (3.21) la matriz 0g no existe, esto implica que deben de incluirse las

variables de control 1 y 2 dentro del regresor (o en el vector de parámetros). Al hacer

esto no es posible obtener una expresión para encontrar los valores de tales variables; en

otras palabras, no es posible despejar dichas variables.

Por estas razones el diseño de un control robusto basado en el rediseño de

Lyapunov no es posible cuando se considera que el sistema tiene una resistencia parásita

Cr .

Lo anterior muestra que es necesario tener una representación del sistema que

cumpla la condición relacional (matching condition) para aplicar el rediseño de Lyapunov.

3.3. Resultados numéricos

El circuito mostrado en la Fig. 17 fue simulado en Simulink® con los valores nominales de

parámetros dados por la Tabla 5. Al implementar una ley de control a un sistema real, no

es posible asegurar que los valores de los dispositivos serán los mismos que se utilizaron

para diseñar la ley de control; aun cuando en el diseño del controlador se hayan tomado

en cuenta elementos parásitos. Factores como la temperatura o el envejecimiento, por

mencionar algunos, provocan una variación paramétrica que no es viable medir ni predecir

con exactitud. Por esta razón es importante conocer cuál es el desempeño del controlador

ante tales incertidumbres paramétricas.

Tabla 5. Valores de los parámetros utilizados en la simulación. Nombre Parámetro Valor

Voltaje de entrada vS 230 Vrms Frecuencia de conmutación fswitch 100 KHz

Voltaje de salida Vo 400 Vdc Inductor 1 L1 2 mH Inductor 2 L2 2 mH

Resistencia del inductor 1 r1 1 Ω Resistencia del inductor 2 r2 1 Ω

Capacitor de salida C 220 µF Resistencia del capacitor rC 0.6 Ω

Resistencia de carga R 200 Ω


92

Las siguientes gráficas muestran el desempeño de los controladores diseñados

ante incertidumbres paramétricas. Los parámetros nominales de los convertidores se han

tomado de la Tabla 5 y los reales tienen las siguientes variaciones: 1L y 1r son 10% veces

mayor que su valor nominal y 2L y 2r son 30% veces menor que su valor nominal. Estas

diferencias paramétricas son mayores que las que pueden existir en módulos de

convertidores estandarizados, donde las diferencias oscilan entre el 5% .

Si se utilizan las leyes de control que generan una ley de control para cada

convertidor, la distribución equitativa de corriente se logra de manera satisfactoria en todos

los casos. Sin embargo, lo más interesante es emplear una sola ley de control, dividirla

entre el número de convertidores y generar los pulsos que encienden y apagan los

interruptores de los convertidores. Emplear una sola ley de control permite una mayor

facilidad la integración de nuevos módulos CFP.

La Fig. 18 muestra las corrientes de los inductores al utilizar los controladores: a)

Basado en Pasividad, sin simplificaciones, ecuación (3.5); b) Caso 1; c) Caso 2; d) Caso 3,

control solamente por Charge-Control, ecuación (3.16). El caso del controlador robusto no

se presenta por razones ya comentadas.

( a ) ( b )

( c ) ( d )

Fig. 18. Distribución de corriente ante diversos controladores.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

5

10

15

20

25

30

Tiempo (s)

Ma

gnitu

d (

amp

ere

s)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

5

10

15

20

25

30

Tiempo (s)

Mag

nitu

d (a

mpe

res)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

5

10

15

20

25

30

Tiempo (s)

Ma

gnitu

d (a

mpe

res)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

5

10

15

20

25

30

Tiempo (s)

Mag

nitu

d (a

mpe

res)


93

Dentro de las figuras se muestra un mayor acercamiento a la curva de las

corrientes, en las cuales se puede ver que las únicas que presentan un desbalance en la

distribución de corriente son las del inciso c). Esto se debe a que el término derivativo de

la ley de control pasiva sólo se aproximó con una expresión de su segundo armónico.

Analizando las señales de control existen diferencias bastante perceptibles, Fig. 19,

en especial en la señal de control generada en el Caso 3, Fig. 19d. Es importante notar

como en el Caso 3, sólo la técnica de Charge-Control, las señales de referencia para

generar el PWM son curvas ‘suaves’ (en el concepto matemático) y mucho más sencillas.

( a ) ( b )

( c ) ( d )

Fig. 19. Señales de control para a) Controlador basado en pasividad; b) Controlador del Caso 1; c) Controlador del Caso 2; d) Controlador del Caso 3.

Las variaciones en la magnitud de la fuente de entrada es algo que nuestro sistema

debe de tolerar y responder de manera satisfactoria. La Fig. 19 presenta los resultados del

desempeño del controlador Basado en Pasividad ante este tipo de variaciones.

Como se estableció en el desarrollo teórico, el desempeño de los demás

controladores es similar al Control Basado en Pasividad. Esto produce curvas similares

con diferencias casi imperceptibles a la mirada. Para tener un mejor análisis de los

0.19 0.191 0.192 0.193 0.194 0.195 0.196 0.197 0.198 0.199 0.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tiempo (s)

Magn

itud

0.19 0.191 0.192 0.193 0.194 0.195 0.196 0.197 0.198 0.199 0.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tiempo (s)

Ma

gn

itud

0.19 0.191 0.192 0.193 0.194 0.195 0.196 0.197 0.198 0.199 0.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tiempo (s)

Mag

nitu

d

0.19 0.191 0.192 0.193 0.194 0.195 0.196 0.197 0.198 0.199 0.20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tiempo (s)

Mag

nitu

d

5

9

5

5

2

0 1946 0 1946 0 1946 0 1946 0 1946 0 1946 0 1946 0 1946 0 1946 0 194

6

8

9

2

4

6

8

9

2


94

resultados, la Tabla 6 presenta los errores en las variables controladas, así como el factor

de potencia en cada caso y la THD.

a)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

10

20

30

40

50

Tiempo (s)

Mag

nitu

d (v

olts

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1100

150

200

250

300

350

400

450

500

Tiempo (s)

Mag

nitu

d (v

olts

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

2

4

6

8

10

Tiempo (s)

Mag

nitu

d (a

mpe

res)

0 9956 0 9956 0 9956 0 9956 0 9956 0 9

b)

c)

Fig. 20. Comportamiento del sistema ante variaciones en el voltaje Sv empleando un control Basado en Pasividad.

85 120 215 265 120


95

Tabla 6. Errores de las variable controladas considerando incertidumbre paramétrica.

Voltaje

Sv Controlador

utilizado

Error cuadrático medio Factor de Potencia THD (x100)

Voltaje 0v Corriente 1i Corriente 2i

120 Pasivo 8.6371 0.0871 0.0871 0.99619 0.1500

Caso 1 8.6345 0.0885 0.0885 0.99571 0.1500

Caso 2 8.6398 0.0832 0.0832 0.99646 0.1500

Caso 3 8.6365 0.0837 0.0837 0.99699 0.1500

Robusto 8.6333 0.0813 0.0813 0.99629 0.1500

170 Pasivo 8.6179 0.1079 0.1079 0.99879 0.0388

Caso 1 8.6188 0.1088 0.1088 0.99862 0.0388

Caso 2 8.6193 0.1056 0.1056 0.99834 0.0388

Caso 3 8.6112 0.1025 0.1025 0.99939 0.0388

Robusto 8.6177 0.1065 0.1065 0.99939 0.0388

215 Pasivo 8.5282 0.1188 0.1188 0.99939 0.0870

Caso 1 8.5295 0.1163 0.1163 0.99862 0.0870

Caso 2 8.5254 0.1136 0.1136 0.99834 0.0870

Caso 3 8.5212 0.1109 0.1109 0.99846 0.0870

Robusto 8.5297 0.1154 0.1154 0.99839 0.0870

374 Pasivo 8.5168 0.1001 0.1001 0.99829 0.1034

Caso 1 8.5134 0.1028 0.1028 0.99834 0.1034

Caso 2 8.5182 0.1100 0.1100 0.99939 0.1034

Caso 3 8.5198 0.1021 0.1021 0.99939 0.1034

Robusto 8.6128 0.1010 0.1010 0.99812 0.1034

De la tabla anterior se concluye que los controladores diseñados logran mantener la

regulación del voltaje de salida dentro de los límites establecidos, cumplen con la

distribución equitativa de corriente y el factor de potencia es cercano a la unidad. Aunque

la distorsión aumenta conforme se incrementa el voltaje de entrada, las magnitudes de la

THD están dentro de las especificaciones; excepto el caso cuando el voltaje de entrada es

85VRMS, donde la THD es del 15%.


96


97

CAPÍTULO 4

.

.

CONTROLADOR PARA

CUATRO CONVERTIDORES

4.1. Formulación del problema

El diagrama de la Fig. 21 muestra a cuatro convertidores elevadores conectados en

paralelo y al igual que los dos circuitos ya estudiados, tienen en común: la fuente de

entrada (2 )S S Sv V sen f t , el capacitor de salida y la carga. Las especificaciones de este

circuito se muestran en la Tabla 7.


98

Fig. 21. Cuatro convertidores tipo elevador conectados en paralelo.

Aplicando leyes de Kirchhoff, el modelo matemático del circuito de la Fig. 21 puede

escribirse como

11 1 0

22 2 0

33 3 0

44 4 0

1 1 2 2 3 3 4 4

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

4 4 4 4 4

0

i i

i i

i i

i i

C

div v

dt

diL v v

dt

diL v v

dt

diL v v

dt

vdvC i i i i

dt R

L i r v i r

i r v i r

i r v i r

i r v i r

(4.1)


99

donde la variable k , 1,2,3,4k , es la señal de control que genera la secuencia de

conmutación que enciende y apaga el interruptor kS . De esta manera, si 1k entonces

kS está abierto y esto provoca que se “inyecte” el voltaje 0v en (4.1). Si 0k entonces kS

está cerrado y el voltaje 0v no aparece en la ecuación. Un caso análogo sucede para las

corrientes ki en la quinta ecuación de (4.1).

Tabla 7. Especificaciones del sistema

Nombre Parámetro Valor mínimo Valor típico Valor máximo Voltaje de entrada Vs 85 Vrms 120 Vrms 240 Vrms

Voltaje pico de entrada 120 Vac 170 Vac 380 Vac Frecuencia de entrada fs 47 60 63

Voltaje nominal de salida V0 400 Vdc Inductor de entrada de cada convertidor L1, L2, L3, L4 1.9 mH 2 mH 2.1 mH Resistencias parásitas de los inductores r1, r2, r3 y r4 0.9Ω 1 Ω 1.1 Ω

Capacitor de salida C 210 µF 220 µF 230 µF Resistencia parásita del capacitor rC 0.5Ω 0.6Ω 0.7Ω

Los objetivos, o estados deseados, en este circuito pueden establecerse como

0

1 2 3 4

;

4 4 4 4; ; ;

i

i i i i

i i i

d

i gv

v V

i i i ii i i i

i i

(4.2)

donde ii , dV son los valores deseados de ii y 0v , respectivamente. Si se logra

1 2 3 4 4ii i i i i entonces 1 2 3 4 i ii i i i i i , es decir, se está garantizando la

distribución equitativa de corriente.


100


4.2.1. Control basado en pasividad

El sistema (4.1) puede expresarse como

x x u

D R (4.3)

donde las matrices D y R están dadas por

1

11

2 22

33 3

41

45

5

1 1 1

2 2 2

3 3 3

4 4

0 0 0 0

0 0 0 0

; ; ;0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

C

C C

C

C C

C

C C

C

xxL

x xL

xL xxL

xxC

x

r R Rr

R r R r

r R Rr

R r R r

r R Rr

R r R r

r Rr

R r

D x x

R

4

1 2 3 4

1C C

C C C C C

R

R r

R R R R

R r R r R r R r R r

(4.4)

Siguiendo la metodología empleada anteriormente, Capítulo 2, se obtiene el control

basado en pasividad para las corrientes en los convertidores elevadores, donde las

variables de control 1 , 2 , 3 y 4 son


101

1 1 1 1 1 1 11

1 5

2 2 2 2 2 2 22

2 5

3 3 3 3 3 3 33

3 5

4 4 4 4 4 4 44

4 5

( )

( )

( )

( )

i d d am d

Cd d

C C

i d d am d

Cd d

C C

i d d am d

Cd d

C C

i d d am d

Cd d

C C


x xR r R r


x xR r R r


x xR r R r


x xR r R r

(4.5)

Sumando las expresiones de (4.5), con las consideraciones 1 2 3 4L L L L L ,

1 2 3 4am am am am amR R R R R , 1 2 3 4r r r r r y 1 2 3 4d d d dx x x x , se obtiene

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

1 3

0

4 ( )

4

4

4

i d d d d d d d d am

Cd d

C C

ii i am i

i CCd

C C

ii i am

v L x x x x r x x x x R e e e e

r R Rx x

R r R r

div L ri R i

dti r R R

vR r R r

div v L ri R i

dt

(4.6)

La expresión anterior puede dividirse por el número de convertidores conectados y

utilizarse como la señal de control para cada convertidor. Como puede advertirse, la

expresión (4.6) calcula una única ley de control para los cuatro convertidores.


102

A continuación se presenta el diseño del lazo de voltaje. Multiplicando la tercera

ecuación de (3.1) por 0v y considerando que / 4k ii i , 1,2,3,4k , resulta

1 1 2 2 3 3 4 4

20

0 0 0 0 0

20

0

2 20

4

4 4 4

C

i

i ii i i i i

dvv C i i i i

dt R

v

R

R

vv v v v

iv

i di vL Kv i r i i i

dt

(4.7)

donde 0v se tomó de la expresión (4.6). Es posible simplificar esta última expresión

(realizando las consideraciones del Capítulo 2), de lo cual se obtiene

2 20 0

0 2,

20

C ii i i

S RMS

dv vC

dt R

Gv vv v i v

v R

vG

R

(4.8)

De esta manera se sugiere un controlador PI para el cálculo de G , el cual está

dado por la expresión

0

t

p iG K K d (4.9)


De manera similar al desarrollo mostrado para el Caso 1 del Capítulo 2 y 3, escribimos las

leyes de control (4.5) como punto de partida


103

*1

1 0 1 1 1

*2

2 0 2 2 2

*3

3 0 3 3 3

*4

4 0 4 4 4

4 4

4 4

4 4

4 4

i ii

i ii

i ii

i ii

i diLv v r K i

dt

i diLv v r K i

dt

i L div v r K i

dt

i diLv v r K i

dt

(4.10)

Considerando 1 2 3 4L L L L L , 1 2 3 4r r r r r y 1 2 3 4K K K K K ,

entonces la suma de las ecuaciones (4.10) es

*

0 4 ii i i

div v ri L Ki

dt

(4.11)

donde i i ii i i . Dado que 0iLdi dt es posible aproximar (4.11) a una forma más

simplificada dada por

*

0 4 i i iv v ri Ki (4.12)

la cual es nuestra ley de control para los cuatro convertidores. Para el controlador del lazo

de voltaje se propone emplear el controlador dado por la expresión (4.9).


La ley de control (4.6) puede desarrollarse como sigue


104

*0

2 2, ,

2 2, ,

2 2 2, 0

4


sgn( ) 4

sgn( ) 4

ii i i

S SS s S S s s s

S RMS S RMS

S Ss S S S

S RMS S RMS

Ss S S S

S RMS

div v Ki ri L

dtGv dvLG


Gv dvLGi v K i i r

v v dt

Gv si v Ki r i

v s

(4.13)

donde 2 2 2

, 0

SS

S RMS

dvLG si

v dt s

, S S Si i i , 2,S S S RMSi Gv v . Es decir, en esta ley de control no

se desprecian los efectos de la derivada de la corriente deseada Si , sino que se expresan

empleando series de Fourier. La variable G es calculada de acuerdo a (4.9).


Nuevamente, como en el Caso 3 del Capítulo 2 y 3, la integral de la corriente 1Si durante la

duración del ciclo de trabajo 1d , no es alterada por los efectos de la resistencia parásita 1r .

Lo mismo sucede para las otras corrientes 2Si , 3Si y 4Si . Es decir, los valores deseados k

en el capacitor TkC , 1,2,3,4k , están dados por

1 1 1 2 2 2

3 3 3 4 4 4

1 14 4

1 14 4

i i

i i

i i

i i

(4.14)

Las señales de control k pueden tomarse de (4.10). Sin embargo, como la técnica

de Charge-Control no se ve afectada por la inclusión de resistencias parásitas en las


105

inductancias y el término k kK i sólo fue introducido para que la trayectoria al punto de

equilibrio del sistema fuese más rápida; por lo cual es posible emplear la siguiente

aproximación (sólo si las características de los inductores son iguales)

1 0 2 0 3 0 4 0 iv v v v v (4.15)

en la cual los términos *k kL di dt , k kr i y k kK i , 1,2,3,4k se han despreciado debido a su

magnitud *k k k k iL di dt r i v y a que 0k kK i conforme 0ki .

Para el controlador de voltaje se emplea el controlador de la expresión (4.9).


Nuevamente, el diseño de un control robusto basado por el método de rediseño de

Lyapunov no es posible debido a la resistencia parásita Cr ; es necesario tener una

representación del sistema que cumpla la condición relacional (matching condition) para

aplicar el rediseño de Lyapunov.

Por tal motivo no se presenta ningún desarrollo en esta sección puesto que no se

llegará a ningún resultado que no haya sido ya presentado.

4.3. Resultados en simulación

En las secciones anteriores se ha demostrado que la operación entrelazada (o en

interleaved) de los convertidores permite disminuir el rizo de la corriente de entrada ii y a

mayor cantidad de módulos entrelazados se produce una mayor disminución; siempre y

cuando los convertidores operen en modo entrelazado y la distribución equitativa de la

corriente se logre [70, 73]. Además se probó, para el caso de dos convertidores trabajando


106

en modo entrelazado, que la regulación del voltaje de salida 0v y la CFP se alcanza con

facilidad con los controladores diseñados en esta investigación; por lo cual se espera que,

de acuerdo a la teoría, al integrar más módulos estos objetivos también se garanticen.

Con el propósito de mostrar que los desarrollos teóricos de esta sección son

válidos, se presentan resultados numéricos para conocer el desempeño del sistema.

También es interesante probar el comportamiento del sistema ante diferentes

perturbaciones y/o variaciones paramétricas.

Los resultados mostrados en esta sección muestran el desempeño del sistema

considerando perturbaciones en la carga y fuente de alimentación conectadas al sistema

nominal; sin variaciones paramétricas. Posteriormente se presentan resultados

considerando variaciones paramétricas.

Las primeras perturbaciones provocadas al sistema son variaciones en la carga.

Los resultados numéricos del presente Capítulo 4 sólo utilizan como carga una resistencia

de valor 200R . Sin embargo, las cargas que se conectan a la primera etapa de un

SAD son, por lo general, sistemas integrados en tarjetas; las cuales se añaden al sistema

sin apagar al SAD. Estas tarjetas generalmente tienen una capacitancia en la entrada para

filtrado (o parásita) y una resistencia de protección (o parásita); inclusive, algunas

conexiones además presentan una inductancia. Una manera de simular los efectos

producidos por la entrada o salida de tarjetas a la etapa pre-reguladora es conmutar entre

diferentes tipos de cargas [10].

La Fig. 22 presenta los resultados obtenidos en el sistema al emplear el control por

Charge-Control y provocar una variación en la carga del sistema; de 0 a 0.33 segundo la

carga es sólo resistiva con R; de 0.33 a 0.66 segundos la carga es una conexión serie

RLC; de 0.66 a 0.99 la carga es una conexión serie RC.


107

a)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90

5

10

15

20

Tiempo (s)

Mag

nitu

d (a

mpe

res)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90

1

2

3

4

5

6

7

Tiempo (s)

Ma

gnitu

d (

ampe

res)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9150

200

250

300

350

400

450

Tiempo (s)

Mag

nitu

d (v

olts

)

b)

c)

Fig. 22. Comportamiento del sistema ante variaciones en la carga.

Las figuras correspondientes a los otros controladores tienen prácticamente el

mismo desempeño, por lo cual no se muestran. Sin embargo, en la Tabla 8 se presentan

los errores en las variables al emplear los diferentes controladores.

Otra prueba importante a los controladores diseñados, es considerar variaciones en

el voltaje de alimentación. Las especificaciones de diseño indican que el valor nominal del

voltaje de la fuente de alimentación es 120 RMSV en América, o 230 RMSV en Europa. Sin

embargo las compañías que suministran la energía eléctrica indican que pueden existir

CARGA RC CARGA RLC


108

variaciones en un rango más amplio; dentro del cual se debe de asegurar la regulación del

voltaje de salida. Por tal motivo, en los resultados de la Fig. 23 se consideró que el voltaje

de entrada puede variar desde 85 RMSV hasta 265 RMSV . Para obtener esta figura se

empleo el controlador Caso 1.

a)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

Tiempo (s)

Mag

nitu

d (v

olts

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.100

150

200

250

300

350

400

450

500

Tiempo (s)

Mag

nitu

d (v

olts

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80

1

2

3

4

5

Tiempo (s)

Mag

nitu

d (a

mpe

res)

110ii mA

1,2,3,4 490i mA

b)

c)

Fig. 23. Comportamiento del sistema ante perturbaciones en el voltaje de entrada.

Al igual que en el caso anterior, no se muestran las curvas obtenidas al emplear los

otros controladores, pero si se muestran los errores en el control de las variables de

interés: ver Tabla 9.


109

Tabla 8. Errores en las variables controladas considerando variación en la carga.

Tipo de

Carga

Controlador utilizado

Error cuadrático medio Factor de Potencia

THD(x100) Voltaje

0v

Corriente

1i

Corriente

2i

Corriente

3i

Corriente

4i

R

Pasivo 8.5391 0.1154 0.1150 0.1148 0.1152 0.99939 0.0251

Caso 1 8.5391 0.1150 0.1148 0.1152 0.1155 0.99939 0.0245

Caso 2 8.5386 0.1154 0.1150 0.1150 0.1151 0.99939 0.0245

Caso 3 8.5361 0.1152 0.1147 0.1148 0.1150 0.99756 0.0241

RLC

Pasivo 9.4834 0.1143 0.1143 0.1142 0.1143 0.99813 0.0233

Caso 1 9.4827 0.1141 0.1139 0.1142 0.1141 0.99756 0.0222

Caso 2 9.4802 0.1144 0.1143 0.1140 0.1141 0.99904 0.0218

Caso 3 9.4775 0.1143 0.1145 0.1142 0.1139 0.99897 0.0219

RC

Pasivo 12.3907 0.1120 0.1125 0.1124 0.1121 0.99812 0.0170

Caso 1 12.3755 0.1123 0.1122 0.1119 0.1118 0.99691 0.0152

Caso 2 12.3718 0.1120 0.1122 0.1122 0.1121 0.99862 0.0154

Caso 3 12.3618 0.1117 0.1116 0.1118 0.1119 0.99834 0.0144

Tabla 9. Errores de las variables controladas considerando variaciones en el voltaje de entrada. Voltaje

de entrada

Sv

(RMS)


Error cuadrático medio

Factor de Potencia

THD(x100) Voltaje

0v

Corriente

1i

Corriente

2i

Corriente

3i

Corriente

4i

85

Pasivo 8.6256 0.0909 0.0911 0.0916 0.0910 0.99939 0.1300

Caso 1 8.5874 0.0922 0.0919 0.0930 0.0925 0.99939 0.1400

Caso 2 8.5909 0.0916 0.0919 0.0914 0.0919 0.99939 0.1500

Caso 3 8.5925 0.0913 0.0920 0.0915 0.0914 0.99866 0.1500

120

Pasivo 8.6528 0.1153 0.1155 0.1155 0.1151 0.99691 0.0406

Caso 1 8.5686 0.1142 0.1146 0.1147 0.1146 0.99688 0.0493

Caso 2 8.5975 0.1153 0.1151 0.1151 0.1154 0.99899 0.0394

Caso 3 8.5965 0.1151 0.1151 0.1150 0.1149 0.99808 0.0387

212

Pasivo 8.5369 0.1279 0.1300 0.1296 0.1283 0.99656 0.1211

Caso 1 8.6641 0.1284 0.1292 0.1289 0.1276 0.99710 0.1215

Caso 2 8.6222 0.1288 0.1285 0.1281 0.1278 0.99897 0.1209

Caso 3 8.6219 0.1285 0.1269 0.1270 0.1288 0.99821 0.1208

265

Pasivo 8.6222 0.1110 0.1103 0.1075 0.1085 0.99686 0.1858

Caso 1 8.6401 0.1095 0.1089 0.1072 0.1084 0.99651 0.1873

Caso 2 8.6094 0.1083 0.1066 0.1079 0.1097 0.99687 0.1855

Caso 3 8.6243 0.1096 0.1086 0.1086 0.1095 0.99711 0.1838


110

Una prueba del desempeño de los controladores diseñados, es considerar variación

en la frecuencia del voltaje de entrada. Por lo cual se realizó una variación en la frecuencia

de la fuente de entrada de 47Hz a 63Hz; dentro del rango establecido en las

especificaciones (ver Tabla 1).

a)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80

5

10

15

Ti ( )

Mag

nitu

d

i i

63 hertz47 hertz

v50 hertz 50 hertz

i

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8100

150

200

250

300

350

400

450

Mag

nitu

d (

volts

)

Ti ( )

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Tiempo (s)

Magn

itud (

am

per

es)

i i ii 421 3

b) c)

Fig. 24. Comportamiento del sistema ante perturbaciones en la frecuencia de entrada.

En la Fig. 24a se presenta el voltaje de entrada iv junto con la corriente de entrada

ii para mostrar que están en fase y además tienen la misma forma de onda; se logra la

corrección del factor de potencia. Para obtener las curvas de la figura se utilizó el

controlador Caso2. La Fig. 24b es la curva correspondiente al voltaje de salida 0v ,

60 hertz


111

permitiendo ver que ante perturbaciones en la frecuencia se logra la regulación en el valor

deseado; se realizó una ampliación (mostrada en un recuadro) a la perturbación de mayor

magnitud provocada por variaciones en la frecuencia. Posteriormente, en la Fig. 24c se

presenta la distribución de corriente en 1i y 2i y se realiza un acercamiento para verificar el

desfasamiento de 0180 entre ambas corrientes; los disturbios en la frecuencia de la fuente

de voltaje provocan transitorios en el sistema pero la distribución de corriente se mantiene.

Los resultados de aplicar los otros controladores no se graficaron, pero en la Tabla

10 se muestran lo errores en las variables controladas con los controladores diseñados.

Tabla 10. Errores de las variables controladas considerando variaciones en la frecuencia de entrada.

Frecuencia

Sf Controlador

utilizado


THD (x100)

Voltaje

0v

Corriente

1i

Corriente

2i

Corriente

3i

Corriente

4i

47

Pasivo 11.0346 0.1161 0.1162 0.1163 0.1162 0.99691 0.1500

Caso 1 11.0233 0.1164 0.1162 0.1161 0.1162 0.99688 0.1502

Caso 2 11.0069 0.1163 0.1162 0.1162 0.1163 0.99899 0.1500

Caso 3 11.0420 0.1161 0.1161 0.1164 0.1162 0.99808 0.1500

50

Pasivo 10.2375 0.1147 0.1151 0.1147 0.1151 0.99656 0.0282

Caso 1 10.3008 0.1164 0.1162 0.1152 0.1150 0.99656 0.0246

Caso 2 10.2100 0.1154 0.1151 0.1147 0.1151 0.99862 0.0220

Caso 3 10.2346 0.1152 0.1150 0.1150 0.1151 0.99834 0.0267

60

Pasivo 8.5372 0.1150 0.1150 0.1152 0.1152 0.99939 0.0252

Caso 1 8.7441 0.1150 0.1150 0.1152 0.1150 0.99939 0.0250

Caso 2 8.3989 0.1152 0.1152 0.1150 0.1150 0.99939 0.0232

Caso 3 8.5343 0.1148 0.1149 0.1148 0.1146 0.99866 0.0248

63

Pasivo 8.1523 0.1144 0.1145 0.1147 0.1146 0.99904 0.0248

Caso 1 8.1589 0.1147 0.1146 0.1145 0.1145 0.99897 0.0254

Caso 2 8.1226 0.1145 0.1147 0.1144 0.1145 0.99812 0.0248

Caso 3 8.1491 0.1143 0.1145 0.1145 0.1146 0.99691 0.0235

Los tres casos de perturbaciones ya mostrados prueban que es posible con

cualquiera de los controladores diseñados satisfacer las especificaciones de diseño y

lograr los objetivos del sistema; estas perturbaciones provienen de la fuente de

alimentación o de la carga.

Otro caso de gran interés es estudiar el desempeño de los controladores cuando

existe incertidumbre paramétrica: variaciones en los valores de los inductores y de sus

resistencias parásitas.


112

Las variaciones paramétricas consideradas fueron las mostradas en la Tabla 11.

Algunos de los valores seleccionados son ligeramente mayores a los especificados en

hojas de datos de módulos CFP estándar: 10% del valor nominal [71].

Tabla 11. Errores de las variables controladas considerando variaciones en la frecuencia de entrada.

Parámetro Valor

nominal Valor utilizado

Prueba 1 Prueba 2 Prueba 3 L1 2 mH 2 mH 2 2 L2 2 mH 2.2 mH 3 4 L3 2 mH 1.6 mH 1.4 1.8 L4 2 mH 2.5 mH 3.6 8 r1 1 Ω 1 Ω 1 1 r2 1 Ω 1.1 Ω 1.5 2 r3 1 Ω 0.8 Ω 0.7 0.9 r4 1 Ω 1.25 Ω 1.8 4

La Fig. 25a muestra la corriente de entrada ii en la magnitud real y las corrientes

1,2,3,4i , también en su magnitud real, cuando se utiliza el controlador Basado en Pasividad.

En la Fig. 25b se ha realizado un acercamiento a las secciones de los recuadros para

visualizar las diferencias en magnitud de los rizos y cómo el funcionamiento entrelazado

permite la disminución del rizo.

70ii mA

600ii mA

a) b) Fig. 25. Rizos en las corrientes cuando existe variación paramétrica.

El desempeño de los otros tres controladores es similar, por lo cual no se muestran

las gráficas de sus curvas. No obstante, las tablas Tabla 12, Tabla 13 y Tabla 14 permiten

estudiar el desempeño de los controladores.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

2

4

6

8

10

12

Tiempo (s)

Mag

nitu

d (a

mpe

res)


113

Tabla 12. Errores de las variables controladas considerando variación paramétrica: Prueba 1.



THD (x100)

Voltaje

0v

Corriente

1i

Corriente

2i

Corriente

3i

Corriente

4i

Pasivo 8.5794 0.1213 0.1037 0.1398 0.0975 0.99939 0.1500

Caso 1 8.5840 0.1210 0.1033 0.1396 0.0969 0.99866 0.1500

Caso 2 8.5817 0.1211 0.1029 0.1396 0.0969 0.99691 0.1500

Caso 3 8.5825 0.1210 0.1031 0.1395 0.0966 0.99688 0.1500




THD (x100)

Voltaje

0v

Corriente

1i

Corriente

2i

Corriente

3i

Corriente

4i

Pasivo 8.5846 0.1264 0.0793 0.1590 0.0748 0.99939 0.1500

Caso 1 8.5887 0.1263 0.0799 0.1599 0.0755 0.99939 0.1500

Caso 2 8.5844 0.1264 0.0762 0.1591 0.0748 0.99866 0.1500

Caso 3 8.5852 0.1253 0.0785 0.1582 0.0737 0.99904 0.1500




THD (x100)

Voltaje

0v

Corriente

1i

Corriente

2i

Corriente

3i

Corriente

4i

Pasivo 8.5875 0.1172 0.0556 0.1251 0.0458 0.99939 0.1500

Caso 1 8.5899 0.1177 0.0556 0.1266 0.0459 0.99866 0.1500

Caso 2 8.5863 0.1171 0.0556 0.1255 0.0458 0.99939 0.1500

Caso 3 8.5841 0.1172 0.0556 0.1257 0.0522 0.99866 0.1500

Como puede descifrarse de esta sección, la perturbación que más afecta al sistema

es la variación paramétrica y en donde existe un mayor deterioro es en la distribución de

corriente; los valores de Factor de Potencia son bastante aceptables al igual que la THD y

la regulación del voltaje de salida.


114


115

CAPÍTULO 5

.

.

CONCLUSIONES

La corrección del factor de potencia y la regulación de voltaje de salida pueden lograrse

empleando controladores de tipo PI (o compensadores de atraso adelanto); es decir, no se

requiere un control no lineal para garantizar estos objetivos. Sin embargo, de acuerdo con

los resultados obtenidos en esta investigación y los resultados ya reportados por otros

investigadores, este tipo de controladores no garantizan una distribución equitativa de la

corriente. Por lo cual, se ha propuesto el empleo de un control no lineal basado en

pasividad para el sistema en estudio y a este mismo control se le sumaron las

características de otras leyes de control.


116

Se han empleado cinco técnicas de control al sistema en estudio: Controlador

Basado en Pasividad, Controlador Proporcional Basado en Pasividad sensando ii (Caso

1), Controlador basado en pasividad sensando Si (Caso 2), Controlador Charge-Control

(Caso 3), Controlador Robusto. Se han realizado las consideraciones necesarias en las

leyes de control de tal manera que se estudiaron los efectos de las mismas en un sistema

que presenta parásitos en sus componentes.

Se ha demostrado que la interconexión paralela de dos convertidores elevadores

conforma un sistema pasivo. Esta demostración es trascendental para justificar el uso de

un control basado en pasividad.

Al aplicar sólo el control basado en pasividad (es decir, sin añadirle otra ley de

control) se obtuvieron excelentes resultados cuando se genera una señal para cada

convertidor. Sin embargo, cuando sólo se utiliza una señal para ambos convertidores no

es posible lograr la distribución equitativa de corriente de manera satisfactoria ante las

mismas perturbaciones, ya que no puede evitarse un ligero desbalance.

Se propuso el empleo del controlador basado en pasividad despreciando los efectos

que produce la derivada de la corriente (dentro de la ley de control). Esta propuesta

permitió la simplificación de la ley Basada en Pasividad y tal simplificación no deterioró la

distribución de equitativa de corriente ni repercutió en el buen desempeño del sistema. Lo

que si provocó fue una reducción en la magnitud de variaciones paramétricas que tolera el

controlador; pasó de tolerar más del 50% a tan solo un 25% en los valores de las

inductancias.

Para no simplificar la ley de Control Basado en Pasividad, se utilizó análisis de

Fourier y la medición de la corriente de línea Si . Esta ley de control obtenida tiene los

mismos efectos que el Control Basado en Pasividad sin simplificaciones, solo que no

resuelve derivada alguna al emplear series de Fourier. Esta ley obtenida logra excelentes

resultados permitiendo que la magnitud de variación paramétrica tolerada volviera a ser de

más de 50% en los valores de las inductancias.


117

Se ha presentado la aplicación de la técnica Charge-Control más Control Basado en

Pasividad. La utilización de la técnica Basada en Pasividad se introdujo para generar una

señal de referencia para el controlador Charge-Control el cual se encarga de conmutar los

interruptores de los convertidores elevadores. La señal generada empleando Pasividad

satisface las condiciones de estabilidad del Segundo Método de Estabilidad de Lyapunov y

por lo tanto garantiza que el sistema llegará al punto de equilibrio. Afortunadamente la

señal encontrada es bastante sencilla ya que coincide sólo con el voltaje rectificado iv

como señal de referencia; por lo cual el controlador propuesto facilita la integración de más

módulos CFP al sistema ya construido.

Resumiendo las características del controlador propuesto por Charge-Control más

Control Basado en Pasividad es posible:

Emplear una sóla ley de control para ‘n’ convertidores en interleaved; sólo

debe de dividirse entre ‘n’ número de convertidores

Lograr la distribución equitativa de corriente entre ‘n’ convertidores

Reducir el rizo de la corriente de entrada ‘n’ veces

En la técnica del Charge-Control se ha demostrado matemáticamente que no es

necesaria la medición de la corriente total ( 1 2ii i i ) ni de las corrientes 1i y 2i para el

diseño del control de corriente, ya que resulta redundante. De la ecuación (2.5) se puede

notar que hay tres ecuaciones diferenciales y que existen sólo tres variables a ser

controladas ( 1i , 2i y Cv , donde 1 2ii i i ); por lo que no está clara la necesidad de sensar

una cuarta variable ( ii ) como se sugiere en [47, 69 – 73]. Por lo cual, en la propuesta de

esta tesis no se necesita incluir las mediciones de corriente en la generación de la

referencia ii y la conmutación se realiza sólo en la etapa de Charge-Control. Estas

características significan mayores ventajas en la implementación y diseño del sistema y de

los controladores.

Para la implementación de esta técnica se propone emplear transformadores de

corriente como sensores, los cuales permiten:


118

El sensor mide la corriente del interruptor, mientras que la técnica de

corriente promedio mide la corriente del inductor

El sensor es más barato que el sensor de efecto Hall

El sensor está referido a tierra, a diferencia del sensor de efecto Hall

Sencillo de implementar

Uno de los controladores propuestos plantea una solución al problema que surge

cuando el valor de algún parámetro cambia. La propuesta es el empleo de un Control

Robusto basado en la Técnica de Rediseño de Lyapunov, la cual tiene como meta

encontrar una señal adicional que enfrente los efectos de la variación paramétrica, y

sumar esta señal a una ley de control (basada en el método de Lyapunov) previamente

diseñada.

Se ha demostrado que el empleo de la técnica de rediseño de Lyapunov no puede

aplicarse al sistema cuando se considera la resistencia parásita en el capacitor de salida,

debido a que no se cumple con la condición relacional (matching condition).

De las cinco técnicas de control estudiadas esta técnica (Control Robusto) presenta

mayor versatilidad al añadir un módulo o sustituirlo por uno nuevo; ya que inclusive

tratándose de módulos estandarizados existen ligeras diferencias en los dispositivos.

Hacerle saber al controlador que dichos parámetros han sufrido un cambio e indicarle la

magnitud del cambio no es viable en la práctica, además de que el algoritmo para

implementar dicho controlador en un DSP (de los que se fabrican actualmente) es

prácticamente imposible. Por esta razón, la propuesta del Controlador Robusto presenta

una opción en la cual no se requiere saber cuál parámetro sufrió un cambio ni la magnitud

de la variación; lo único necesario es conocer el límite de variación que deberá de

permitirse en el sistema.

En los Capítulos 2, 3 y 4, el vector de parámetros sólo incluye variaciones en

inductores, capacitor y resistencias parásitas de estos elementos. Esto significa que la ley

de control se diseña para enfrentar los efectos de perturbaciones en estos dispositivos y

no perturbaciones exógenas. Sin embargo, como se muestra en los Capítulos 3 y 4, el


119

Control Robusto Basado en Pasividad por Rediseño de Lyapunov “absorbe” ciertas

perturbaciones exógenas; variaciones en frecuencia y magnitud en el voltaje de entrada, y

variaciones en magnitud y tipo de la carga final del sistema (carga resistiva, de tipo RLC y

RC).

Se ha mostrado que el empleo de la medición de la corriente total en la generación

de la señal de referencia para la corriente ( ii ) provoca mayores esfuerzos de cómputo en

los dispositivos de control. Además, debido a que la misma señal se utiliza para generar

los PWM de cada interruptor se generarían mayores errores en la distribución equitativa

de corriente.

Se presentan resultados del desempeño del sistema, con diferentes controladores,

cuando se entrega la energía a una carga que no es puramente resistiva, es decir, una

carga no lineal. Como carga no lineal se provocó la conmutación entre diferentes cargas;

una puramente resistiva; otra con elementos capacitivos y resistivos; y una tercera, con

inductancias, capacitancias y resistencias. La intención de estos cambios en las cargas es

simular el efecto de entrada y salida de tarjetas al bus de CD generado por los

convertidores tipo elevador.

Se concluye que el diseño del controlador “Caso 3: Charge-Control más Control

Basado en Pasividad”, dada su versatilidad y desempeño, es la mejor técnica para

implementarse en un prototipo práctico.

Se ha demostrado con resultados numéricos, que el empleo de un control no lineal

Basado en Pasividad logra la distribución equitativa de la corriente entre los convertidores,

además de asegurar la CFP y la regulación del voltaje en la salida. Como puede

concluirse, la hipótesis propuesta al inicio del trabajo se ha comprobado.

En la siguiente tabla, columna izquierda, se listan los objetivos particulares del

trabajo de tesis. La columna de en medio aparecen las actividades realizadas para lograr

alcanzar los objetivos.


120

Objetivos particulares Actividades realizadas

Aplicar una técnica de

modelado que permita el

empleo de técnicas de

control no lineal

Modelado continuo

Modelo de estados promediado empleando

ecuaciones diferenciales

o Considerando parásitos en las inductancias

o Considerando parásitos en las inductancias y

en el capacitor

Diseñar un controlador no

lineal y compararlo con

algunos controladores ya

utilizados en otros

trabajos

Controlador Basado en Pasividad

Considerando parásitos en las inductancias

Considerando parásitos en las inductancias y en

el capacitor

Controlador Proporcional Basado en Pasividad



el capacitor

Controlador Proporcional+filtro resonante



el capacitor

Controlador por Charge-Control



el capacitor

Controlador Robusto por rediseño de Lyapunov


No es posible aplicarlo en las demás opciones

Analizar el

comportamiento del

sistema en lazo cerrado

ante la presencia de

variaciones paramétricas

Para cada uno de los controladores (excepto el

robusto) se consideraron variaciones paramétricas

en:

Los inductores 1L y

2L

Resistencias parásitas 1r ,

2r y Cr

El capacitor C

Y también se consideraron perturbaciones en el

voltaje de entrada y en la carga final del sistema


121

Resumen de aportaciones y alcances de la investigación

Se ha propuesto un lazo de control de corriente, basado en una forma diferente

de diseño, el cual no necesita dos controladores para lograr que una misma

variable (la corriente del sistema) logre dos objetivos de control.

Diseño de una metodología de diseño (Charge-control + Pasividad) de un

controlador no lineal que:

Logra la distribución equitativa de corriente entre los módulos del sistema

Logra la regulación del voltaje de salida

Logra la corrección del Factor de Potencia

Facilita la interconexión de más módulos y, derivado de esto

Permite la disminución del rizo de la corriente de entrada.

Además, esta técnica propuesta elimina la necesidad de un sensor de corriente

total.

Se han desarrollado cinco controladores no lineales, novedosos y que logran

los objetivos de control; no se ha encontrado artículos publicados de ninguno de

estos controladores aplicados a la interconexión de sistemas de estructura

variable.

o Controlador Basado en Pasividad

o Controlador Proporcional basado en Pasividad (Caso 1)

o Controlador Basado en Pasividad sensando Si (Caso 2)

o Controlador por Charge-Control (Caso 3)

o Controlador Robusto Basado en Pasividad por rediseño de Lyapunov

Limitaciones del trabajo de investigación:

Se trabajó únicamente con los modelos monofásicos del sistema

Se consideró que los interruptores son ideales


122

Se obtuvieron sólo resultados numéricos, en forma digital en la computadora,

empleando software de simulación científica (Matlab®)

No se comprobó que el control funcionara en algún prototipo o modelo

experimental de laboratorio.

Originalidad

El trabajo presenta el diseño de controladores que no se han empleado (hasta el

momento no se ha encontrado referencia alguna) para lograr los objetivos en

convertidores elevadores conectados en paralelo.

Se presentó un artículo en el congreso APEC 2011:

“Passivity-based control to sharing current in PFC interleaved boost converters”.

IEEE Applied Power Electronics Conference and Exposition, APEC 2011, Fort

Worth, USA.

Se presentó un artículo en el congreso ISIE 2010:

“Charge control technique to sharing current in PFC interleaved boost converters”.

IEEE International Symposium on Industrial Electronics, ISIE 2010, Bari, Italia.

Se presentó un artículo en el congreso AMCA 2010:

“Diseño de un control basado en pasividad para convertidores elevadores CFP en

paralelo”. Asociación de México de Control Automático, AMCA 2010, Puerto

Vallarta, Jalisco, México.


123

APÉNDICE A

ANÁLISIS DE SISTEMAS PERTURBADOS

Considerar el sistema

( , ) ( , )x f t x g t x

(A.1)

donde 0 nf : [ , ) D y 0 ng : [ , ) D son funciones diferenciables a trozos en

el tiempo t , localmente Lipschitz en x sobre 0 n, D , nD es un dominio que

contiene al origen 0x .

Se supone que el sistema (A.1) es una perturbación del sistema nominal

( , )x f t x

(A.2)

en donde el término g( t ,x ) corresponde a la perturbación16. Esta perturbación podría ser

el resultado de:

Errores de modelado

Envejecimiento

Incertidumbres

Disturbios

problemas que existen en cualquier sistema real [60].

En la mayoría de los casos g( t ,x ) es desconocida, sin embargo se conoce las

cotas que limitan la magnitud de g( t ,x ) y es de especial interés conocer la cota superior

16 Todas las perturbaciones que no modifican el orden del sistema pueden representarse de esta forma.


124

( , )g t x (A.3)

Un enfoque natural para analizar la estabilidad del sistema perturbado es utilizar la

función de Lyapunov, para el sistema nominal, como una función candidata para el

sistema perturbado.

Si 0x es un punto de equilibrio exponencialmente estable del sistema (A.2) y

V( t ,x ) es una función de Lyapunov que satisface

1 2( , )x V t x x (A.4)

3( , )V V

f t x xt x

(A.5)

4

Vx

x

(A.6)

para todo 0( t,x ) , D , donde 1 , 2 , 3 y 4 son funciones clase K . Además, se

supone que la perturbación g( t ,x ) satisface

( , ) ; 0,g t x x t x D (A.7)

donde es una constante no negativa.

Utilizando la función de Lyapunov V( t ,x ) del sistema (A.2) como una función de

Lyapunov candidata para el sistema perturbado, la derivada de V( t ,x ) está dada por

( , ) ( , ) ( , )V V V

V t x f t x g t xt x x

(A.8)

Los primeros dos términos de la derecha de la expresión (A.8) corresponden a la

derivada de V( t ,x ) en las trayectorias del sistema nominal. El tercer término ( , )V g t xx

es

el efecto de la perturbación.


125

Puesto que no se conoce exactamente la función g( t ,x ) , no es posible afirmar que

este término mejora o empeora las causas que provocan que ( , )V t x

sea definida negativa;

pero sÍ se conoce (al menos) la cota superior de g( t ,x ) . Con esta información se puede

analizar el peor caso, es decir, si ( , )V g t xx

está acotada superiormente por un término

no negativo. Utilizando las expresiones (A.5), (A.6) y (A.7) se obtiene

3 3 4( , ) ( , )V

V t x x g t x x xx

(A.9)

y si se escoge

3

4

x

x

(A.10)

entonces

3 4( , )V t x x x

(A.11)

es definida negativa.

Lo anterior se resume en el siguiente lema:

Lema 1. Sea 0x un punto de equilibrio exponencialmente estable del sistema

(A.2). Sea V( t ,x ) una función de Lyapunov del sistema nominal (A.2), que satisface

(A.4) a (A.6) en el dominio 0, D . Además la perturbación g( t ,x ) satisface (A.7)

y (A.10). Entonces el origen es un punto de equilibrio del sistema perturbado (A.1).

Aun más, si todas las suposiciones se cumplen globalmente, entonces el origen es

global y asintóticamente estable.


126

Este lema es conceptualmente importante, ya que demuestra que la estabilidad

exponencial del origen es robusta para una clase de perturbaciones que satisfacen (A.7) y

(A.10).

De esta manera, se considera que el siguiente sistema cumple con las propiedades

del Lema 1

x f ( t,x ) G( t,x ) u ( t,x,u )

(A.12)

al cual se aplica el control

u ( t ,x ) v (A.13)

Se demostrará que (A.12) es estable siempre que se retroalimente con un

controlador del tipo (A.13), donde u puede agruparse como la suma del control nominal

( t ,x ) y una función v por definir. El sistema (A.12) en lazo cerrado resulta

x f ( t ,x ) G( t,x ) ( t ,x ) G( t,x ) v ( t ,x,u )

(A.14)

El cual es una perturbación del sistema nominal en lazo cerrado

x f ( t ,x ) G( t ,x ) ( t ,x )

(A.15)

al que se le ha aplicado el control u ( t ,x ) . Calculando la derivada de V( t ,x ) sobre las

trayectorias de (A.14) se obtiene la expresión (A.16). Por conveniencia no se escriben los

argumentos de las funciones variables.

3

V V V VV f G G( v ) x G( v )

t x x x

(A.16)

Definiendo


127

T Vw G

x

(A.17)

se escribe la desigualdad (A.16) como

3T TV x w v w

(A.18)

El primer término del lado derecho se debe al sistema nominal en lazo cerrado. El

segundo y el tercero representan los efectos del control v y el término incierto sobre V

,

respectivamente. Debido a la matching condition, el término incierto aparece en el lado

derecho exactamente en el mismo punto donde v aparece. Por consiguiente, es posible

seleccionar v para cancelar el efecto (desestabilizante) de sobre V

. Aplicando la norma

euclidiana o norma dos, es posible encontrar la ley de control v .

Así, suponiendo que

0 00 1t ,x, ( t ,x ) v t ,x k v , k (A.19)

se podrá satisfacer si se emplea 2 .

De esta manera, del segundo y tercer miembros del lado derecho de la ecuación

(A.18) se tiene

0T T T Tw v w w v w w v w ( t ,x ) k v (A.20)

Definiendo

w

v n( t ,x )w

(A.21)

y sustituyendo en la expresión (A.20), se llega a


128

2

0

2 2

0

2

0

01

T T T ww v w w n w

w

n wwn w w k

w w

w wn w k n

w w

wn w w k n

w

n w k w

(A.22)

Si se establece que

0

01

( t ,x )n( t ,x ) , ( t ,x ) , D

k

(A.23)

se encuentra la siguiente expresión

0T Tw v w w w (A.24)

Por lo tanto, el control (A.21) logra que la derivada de V( t ,x ) , durante las

trayectorias del sistema en lazo cerrado, sea definida negativa.

La teoría de Lyapunov dice que si se encuentra una función de Lyapunov para un

sistema dado, entonces el sistema en lazo cerrado será estable.

La ley de control dada por (A.21) es una función discontinua del estado x . Esta

discontinuidad causa problemas tanto teóricos como prácticos.

En teoría se debe de cambiar la ley de control para evitar la división por cero.

También se debe verificar la cuestión de la existencia y unicidad de las soluciones, de una

manera mucho más cuidadosa, ya que las funciones retroalimentadas no son localmente

Lipschitz en x .

En la práctica, la implementación de tales controles discontinuos se caracteriza por

el fenómeno de “chattering” o “castañeo” donde, debido a las imperfecciones de los


129

conmutadores o retardos computacionales, el control tiene fluctuaciones conmutadas

rápidas a través de la superficie de conmutación17. En lugar de tratar de trabajar fuera de

esos problemas, es común elegir la fácil y práctica ruta de aproximar la ley de control

discontinua a una continua.

La expresión (A.21) es una ley discontinua, por lo que ahora se considera la ley de

control retroalimentado

2

wn si n w

wv

wn si n w

(A.25)

El sistema en lazo cerrado es

x f ( t ,x ) G( t,x ) ( t ,x ) G( t,x ) v ( t ,x, ( t ,x ) v )

(A.26)

así que sustituyendo (A.25), es decir, cuando n w se tiene

3

2

3

2

3 0

2

03

3 0

3 0 1

TTw nw

V x ww

n wx w

w

n wx w w k v

w

n w w k n wx w

w w

x n w w k n w

x k n w w

(A.27)

Si ahora se escoge

17 Ver la sección 14.1 del libro de Khalil para una discusión más amplia sobre el castañeo.


130

0

01

p( t ,x )n( t ,x ) , ( t ,x ) , D

k

(A.28)

se puede llegar a la expresión

3 0

03

0

3

1

1

1

V x k n w w

k p wx w

k

x

(A.29)

por lo tanto, 0V

siempre que n w .

Sólo se necesita verificar V

cuando n W . En este caso

2

3

22 2

3 0

22 22

3 0

T Tn wV x w w

n w n wx w w k

n w n wx w k w

(A.30)

como ya se ha seleccionado que

0

01

p( t ,x )n( t ,x ) , ( t ,x ) , D

k

entonces

01( t,x ) n( t,x ) k (A.31)

sustituyendo ( t ,x ) en (A.30) se tiene


131

22 22

3 0 0

22

3 0 0

22

3 0

1

1 1

1

n w nV x w n k k w

n wx k n k w

n wx k n w

(A.32)

el término

22n w

n w

(A.33)

alcanza un máximo valor de

4 (A.34)

en

2

n w

(A.35)

lo cual se comprueba derivando (A.33)

22 22n w n wd

n w nd w

(A.36)

igualando a cero la expresión (A.36) se encuentran las raíces de la derivada, las cuales

indican el máximo y/o el mínimo

2

2

20

2 2

n wn

nw

n n

(A.37)


132

la expresión (A.37) indica que hay un máximo cuando 2w n , por lo que la expresión

(A.33) está acotada por el valor máximo que alcanza en el punto en el punto 2w n , el

valor es

22 2

4 2

4

n wn w

(A.38)

Por lo tanto

03

1

4

kV x

(A.39)

siempre que

n w (A.40)

Por otro lado, cuando n w se tiene que V

cumple

03 3

1

4

kV x x

(A.41)

por lo que la desigualdad

03

1

4

kV x

(A.42)

se cumple, independientemente del valor de n w . Tomando 0r tal que rB D , además

de escoger


133

13 2 1

0

2

1

( r )

k

(A.43)

y ajustando

1 13 0 2 11 2k / ( r ) (A.44)

entonces se tiene

3

1

2V x , x r

(A.45)

De lo anterior se puede obtener el siguiente teorema 1, el cual muestra que las

soluciones del sistema en lazo cerrado están acotadas finalmente y uniformemente por

una función clase K de .

Teorema 1. Considerar el sistema

x f ( t,x ) G( t,x ) u ( t,x,u )

(A.46)

Sea nD un dominio que contiene al origen y rB x r D . Sea ( t ,x ) una

ley de control retroalimentada estabilizante para el sistema nominal

x f ( t ,x ) G( t ,x )u

(A.47)

con una función de Lyapunov V( t ,x ) que satisface

1 2

3

x V( t,x ) x

V Vf ( t ,x ) G( t,x ) ( t ,x ) x

t x

(A.48)


134

con la norma dos para todo 0t y toda x D , con algunas funciones clase K 1 ,

2 y 3 . Se asume que el término incierto satisface

0 00 1t ,x, ( t ,x ) v t ,x k v , k (A.49)

en la norma dos para todo 0t y toda x D . Sea v dada por

2

wn si n w

wv

wn si n w

(A.50)

en donde se emplea que sea

13 2 1

0

2

1

( r )

k

(A.51)

Entonces, para cualquier

10 2 1x( t ) ( r ) (A.52)

existe un tiempo finito 1t tal que la solución del sistema en lazo cerrado

x f G G v

(A.53)

satisface

0 0 0 1x( t ) x( t ) ,t t , t t t (A.54)

1x( t ) b , t t (A.55)


135

en donde es una función clase KL y b es de clase K definida por

1 1 11 2 1 2 3 01 2b ( ) k / (A.56)

Si todas las suposiciones se cumplen de forma global y además 1 pertenece a la

clase K , entonces (A.54) y (A.55) se cumplen para cualquier estado inicial 0x( t ) .

Por lo que, en general, el rediseño de Lyapunov en forma continua dado por (A.50)

no estabiliza el origen como su contraparte discontinua lo hace

w

v nw

(A.57)

Sin embargo, garantiza acotamiento último uniforme de las soluciones. Dado que la

cota última b es una función clase K de , puede hacerse arbitrariamente pequeña

mediante la selección de un suficientemente pequeño. En el límite, cuando 0 , se

recupera el desempeño del controlador discontinuo. Notar que no existe razón analítica

para exigir que sea muy pequeño. La única restricción analítica sobre es que se

cumpla (A.51). Este requisito se satisface para cualquier cuando las suposiciones se

cumplen globalmente y i 1 2 3i , , son funciones clase K . Por supuesto, desde un

punto de vista práctico, es favorable hacer tan pequeño como sea posible, ya que se

desea conducir a los estados del sistema a una vecindad del origen tan pequeña como se

pueda. Sacando provecho de la pequeñez de dentro del análisis, se puede llegar a un

resultado abrupto cuando la incertidumbre desaparece en el origen. Suponer que hay

una bola aB x a , a r tal que las siguientes desigualdades se cumplen para toda

ax B

23

0

1

0

x ( x )

n( t ,x ) n

( t ,x ) ( x )

(A.58)


136

Aquí, n: es una función definida positiva de x . Seleccionando 1b ( a ) se

asegura que las trayectorias del sistema en lazo cerrado será restringidas a aB después

de un tiempo finito. Cuando n w la derivada V

satisface

3

2

3

2 2 2

3 0

22 20

3

2 22 20

3

220

3

220

3 3

1

11 1

2 2

T T

T T

T

TT

V x w v w

n wx w v w

n w n wx w k

w k n wn wx w

n w w k nx w

n k wx w

n k wx x w

(A.59)

aplicando las desigualdades (A.58) en (A.59) se obtiene

220 02

3 1

1

23 0 0

1

11 1

2 21

1 12 1

2 2

T

n k wV x ( x ) w ( x )

( x ) ( x )x n kw w

(A.60)

La matriz de la forma cuadrática será definida positiva si

2

0 0

21

2 1n k

(A.61)

por lo que, si se selecciona tal que se cumpla (A.61) se tendrá


137

3

1

2V x

(A.62)

Dado que 3 3 2V x x /

cuando n w se concluye que (A.62) se

cumple, lo cual demuestra que el origen es asintóticamente y uniformemente estable.

Corolario 1. Suponer que las desigualdades (A.58) se cumplen, además de todas

las suposiciones del Teorema 1. Entonces, para toda que cumpla

2

0 0 121

2 1n kmin ,b ( a )

(A.63)

el origen del sistema en lazo cerrado

x f ( t ,x ) G( t,x ) ( t ,x ) G( t,x ) v ( t ,x,u )

(A.64)

es asintóticamente y uniformemente estable. Si Ci i( r ) k r entonces el origen es

exponencialmente estable.

El corolario 1 es particularmente útil cuando el origen del sistema nominal en lazo

cerrado

x f ( t ,x ) G( t ,x ) ( t ,x )

(A.65)

es exponencialmente estable y la perturbación ( t ,x,u ) es Lipschitz en x y u , y

desaparece para 0 0x , u . En este caso ( x ) es proporcional a x y el término incierto

satisface

0 00 1t ,x, ( t ,x ) v t ,x k v , k (A.66)


138

con ( x ) que cumple

1( t,x ) ( x ) (A.67)

En general, la condición (A.67) puede requerir más que sólo perturbaciones que

desaparezcan en el origen. Por ejemplo, si en un caso escalar 3

( x ) x , entonces un

término de perturbación x no puede estar acotado por 1 ( x ) .

El resultado de la estabilización del corolario 1 depende de la elección de n tal que

satisfaga

0 0n( t,x ) n (A.68)

Puede mostrarse que si n no satisface (A.68) el control retroalimentado puede fallar al

estabilizar el origen. Cuando n satisface (A.68) la ley de control retroalimentado (A.50)

actúa en la región n w como un control retroalimentado de gran ganancia

v Kw (A.69)

con 20K n / . Tal control de gran ganancia puede estabilizar el origen cuando se cumplen

23 x ( x ) , (A.68) y (A.67).


139

APÉNDICE B

MODELADO EULER-LAGRANGE

El modelado Euler-Lagrange de un sistema permite representarlo por medio de una

estructura que posee cualidades que facilitan el diseño del control. Esta estructura es

( ) ( , ) ( )D q q C q q q R q q u

(B.1)

y sus cualidades son: D es simétrica y definida positiva, que contiene a los elementos que

almacenan energía; C es antisimétrica y contiene a los elementos no aportan ni disipan

energía (interruptores); R es una matriz definida positiva y simétrica, que contiene los

elementos que disipan energía en el sistema; u es un vector de fuerzas externas; q es la

coordenada generalizada;

q es la velocidad generalizada y

q la aceleración generalizada.

El método Euler-Lagrange consiste en los siguientes pasos:

1. Determinar las coordenadas generalizadas del sistema. Es decir, el sistema se

especifica en función de las variables de esfuerzo y flujo generalizadas (estas

variables indican las energías almacenadas y disipadas en los elementos que

participan en el sistema).

2. Determinar las variables variacionales, para ello es necesario conocer si

existen restricciones en el sistema. Para un análisis nodal en donde la variable

de interés es el esfuerzo, una restricción es cualquier fuente de flujo que exista

en el sistema. Para un análisis de mallas, la variable de interés es el flujo, y las

restricciones equivalen a una fuente de esfuerzo. El número de variables

variacionales es igual a la diferencia entre las coordenadas generalizadas y las

restricciones.

3. Conocer cuántos grados de libertad tiene el sistema (el número de grados de

libertad es igual al número de variables variacionales). El número de grados de


140

libertad toma en cuenta las restricciones del sistema e indica que la ecuación

de Euler-Lagrange se debe evaluar tantas veces como grados de libertad

existan. Esto significa que se obtendrán tantas ecuaciones de Euler-Lagrange

como grados de libertad tenga el sistema.

4. Formar la ecuación Lagrangiana la cual, por definición, es la diferencia entre la

energía cinética y la energía potencial. Para esto, es necesario tener

expresiones de la energía que almacenan los elementos que forman el sistema

y se debe conocer la relación constitutiva de cada elemento que participa en el

sistema18. Cuando el análisis es nodal se emplea el Lagrangiano, el cual es

U T L (B.2)

en donde

U es la coenergía en los elementos que almacenan flujo. Esta función

corresponde a la energía cinética.

T es la energía en los elementos que almacenan esfuerzo. Esta función

corresponde a la energía potencial.

En este caso, tanto U* (energía cinética) como T (energía potencial) deben de

expresarse en términos del esfuerzo.

Si el análisis fuera por mallas deberá emplearse el Lagrangiano

complementario. Para el Lagrangiano complementario todas las expresiones

deben de estar en términos de la variable de flujo

(B.3)

en donde

18 Para tener una mejor comprensión de las relaciones constitutivas se sugiere revisar la referencia [53].

* *T U .L


141

T es la coenergía en los elementos que almacenan esfuerzo. Esta función

corresponde a la energía cinética.

U es la energía en los elementos que almacenan flujo. Esta función

corresponde a la energía potencial.

5. Evaluar la ecuación de Euler-Lagrange

(B.4)

la primera corresponde a un análisis nodal, en donde se emplea el

Lagrangiano y la segunda corresponde a un análisis de mallas en donde se

emplea el Lagrangiano complementario. En (B.4) J y G son funciones de

disipación de Rayleigh, donde J es la coenergía disipada y G es la energía

disipada. Las expresiones (B.4) están igualadas a fuentes de flujo F y a

fuentes de esfuerzo E , respectivamente. El subíndice i indica que debe de

evaluarse la ecuación para cada grado de libertad.

En estos cinco pasos se resume la metodología Euler-Lagrange basada en [53]. En

el análisis de sistemas eléctricos, esta metodología consiste en establecer los parámetros

Euler-Lagrange del circuito, asociado con cada una de las topologías correspondientes a

las dos posibles posiciones del interruptor regulador. Esta consideración inmediatamente

permite encontrar que algunos elementos modelados por parámetros Euler-Lagrange

permanecen invariantes bajo la acción del interruptor, mientras que otros se modifican

debido a la suma o cancelación de ciertas cantidades de energía. Éste mismo enfoque es

adecuado para aplicarse a una gran clase de convertidores de potencia DC-DC, AC-DC o

DC-AC existentes físicamente.

La técnica de modelado Euler-Lagrange se basa en una adecuada parametrización,

en términos de la posición del interruptor, de las funciones Euler-Lagrange que describen

ii i

ii i

d JF

dt qq q

d GE

dt qq q

L L

L L


142

cada uno de los sistemas participantes y la aplicación subsecuente del formalismo

Lagrangiano.

En la metodología Euler-Lagrange, para una gran variedad de sistemas, la matriz

de los elementos que almacenan energía es la misma matriz empleada en la función de

almacenamiento energético. Esta última función se puede emplear en el diseño de un

control basado en pasividad. De ahí que el control basado en pasividad se proponga como

una técnica natural de control para los convertidores tipo elevador [53, 101, 102].

Es importante recalcar que, al emplear la función de almacenamiento de energía

como función candidata de Lyapunov, se busca garantizar que esta función energética sea

conducida a un estado de equilibrio. Esto se logra modificando la energía del sistema para

satisfacer el Segundo Método de Estabilidad de Lyapunov; de ahí que a esta técnica se le

conozca como Moldeo de Energía.

Las variables (corrientes de los inductores y voltaje del capacitor) empleadas como

medición de la dinámica del sistema, también se han seleccionado como salidas del

sistema. Es decir, mediante el moldeo de la energía del sistema completo es posible

producir los efectos deseados en las variables de interés. Existen otras técnicas de control

(como control PID o compensadores de atraso-adelanto) para producir el comportamiento

deseado en las corrientes y voltajes del sistema; sin embargo en esta tesis se seleccionó

el moldeo de energía debido a las ventajas que ofrece, las cuales son mencionadas en las

Conclusiones del trabajo.

MODELO DE LA CONEXIÓN EN PARALELO DE DOS

CONVERTIDORES TIPO ELEVADOR

La Fig. 26 corresponde al sistema de dos convertidores elevadores en una de sus

representaciones más simples; considerando al sistema ideal. Este mismo esquema es

utilizado en el Capítulo 2 para obtener el modelo matemático por el método de leyes de

Kirchhoff.


143

Fig. 26. Diagrama del circuito equivalente de un convertidor tipo elevador.

Empleando la metodología Euler-Lagrange descrita anteriormente y, con el fin de

obtener la estructura (B.1) y aprovechar las propiedades de las matrices D , C y R el

sistema de la Fig. 26 se puede representar de forma matricial compacta definiendo

11 1 1

2 2 2 2

1 2 33

0 0 0 0 0 0 0

0 0 ; 0 0 ; 0 0 0 ; ; ;

0 0 0 1 00 0

i

i

xL x v

L x x v

C xxR

D C R x x u (B.5)

de lo cual resulta

•

D x+ Cx + Rx = u (B.6)

La ecuación (B.6) cumple con las propiedades definidas en (B.1) y éstas

propiedades se emplean en el diseño del Control Basado en Pasividad.

Primero debe de demostrarse que los convertidores tipo elevador son sistemas que

cumplen con las propiedades de pasividad. Existen dos formas de mostrar lo anterior:

1. Utilizando propiedades de la estructura matemática del sistema (enfoque

analítico).

2. Utilizando el balance energético del sistema (enfoque físico).


144

En [53] se demostró que los convertidores son sistemas pasivos (que cumplen con

las propiedades de pasividad), empleando las propiedades de dinámica cero y grado

relativo del sistema. En este trabajo se demuestra pasividad en los convertidores tipo

elevador partiendo de un análisis del balance energético del sistema. Este análisis permite

ligar fácilmente el balance energético con el modelado Euler-Lagrange. Además, el diseño

de un control nominal basado en pasividad emplea la función de almacenamiento

energético del sistema como función de Lyapunov (empleando el método de Lyapunov

para el diseño del control nominal). Esta es una característica de primacía en la técnica de

rediseño de Lyapunov.

Una forma de demostrar la propiedad de pasividad en los convertidores tipo

elevador es partir del hecho de que pueden representarse por una estructura (B.6).

Despejando ( )t•

Dx , la cual es la energía almacenada en el sistema

( ) ( ) ( ) ( )t t t t •

Dx Rx Cx u (B.7)

Multiplicando (B.7) por ( )T tx e integrando de 0 a t, se tiene

0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t t t

T T T Td d d d •

x D x x Rx x Cx x u (B.8)

Dado que la matriz D es diagonal, cuadrada y constante, la integración del término de la

izquierda resulta

00 0 0

1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

tt t t

T T T Td d d x Dx x Rx x Cx x u (B.9)

y evaluando de 0 a t

0 0 0

1( ) ( ) (0) (0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

t t tT T T T Tt t d d d x Dx x Dx x Rx x Cx x u (B.10)


145

Como la matriz C es antisimétrica, el producto

( ) ( ) 0T x Cx (B.11)

por lo cual (B.10) queda de la siguiente manera

0 0

1 1( ) ( ) (0) (0) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

t tT T T Tt t d d x Dx x Dx x Rx x u (B.12)

Sea la función

1

( ( )) ( ) ( )2

TH x x Dx (B.13)

la cual se sustituye en (B.12) resultando

0 0

( ( )) ( (0)) ( ) ( ) ( ) ( )t t

T TH t H d d x x x u x Rx (B.14)

y ordenando

0 0

( ( )) ( (0)) ( ) ( ) ( ) ( )t t

T TH t H d d x x x Rx x u (B.15)

la expresión anterior corresponde al balance energético del sistema dado por (B.6).

El primer término del lado izquierdo de (B.15) corresponde a la energía total

almacenada en el sistema en un intervalo de tiempo 0,t . El segundo término del lado

izquierdo corresponde a la energía disipada en el sistema durante el mismo intervalo de

tiempo. El término del lado derecho corresponde a la energía suministrada durante 0,t .

Dado que la función definida en (B.13) indica la energía almacenada en el sistema,

se le conoce como función de almacenamiento y es la suma de la energía cinética más la


146

energía potencial. Para el caso del sistema estudiado en la tesis esta función corresponde

al Hamiltoniano.

El balance energético, expresión (B.15), del sistema indica que existe disipación de

energía y según la definición de disipatividad el sistema es disipativo.

Para demostrar que el sistema es pasivo, se analiza el miembro derecho de la

expresión (B.15)

0

( ) ( )t

T d x u (B.16)

Como ya se dijo, ( t )u es un vector definido por ( ) ( ) ( ) 0T

i it v t v tu para el caso

de los convertidores tipo elevador. De lo cual

1 2 3

0 0

1 2

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

t tT

t

i i

d x x x d

x v x v d

x u u

(B.17)

Además, del modelo del sistema, se tiene que 1 2( )y t x x corresponde a la salida

del sistema, entonces

1 2

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t

i i ix v x v d y v d (B.18)

sustituyendo (B.18) en (B.15) se tiene

0 0

( ( )) ( (0)) ( ) ( ) ( ) ( )t t

TiH t H d y v d x x x Rx (B.19)

y de acuerdo con la definición de pasividad, el sistema es pasivo ya que la energía

suministrada es producto de la entrada y la salida del sistema. Por lo cual, la función de


147

almacenamiento de energía total (de ambos convertidores) se puede moldear para lograr

la energía deseada.

De acuerdo al procedimiento anterior, la interconexión paralela produce una salida

1 2 1 2y = y + y i i y la función de almacenamiento de energía total es la suma de las

funciones de almacenamiento de cada convertidor, esto es 1 1 2 2( ) ( ) ( ) 0H H H .

Se hace notar que la expresión (B.19) fue desarrollada para dos convertidores tipo

elevador en paralelo y aplica tanto para uno como para tres o más convertidores. Esto

implica que la metodología Euler-Lagrange de las expresiones (B.1) a (B.4) se puede

desarrollar para obtener las respectivas funciones de almacenamiento de energía. Aún

más, esto significa que la técnica de control por moldeo de energía también aplica a uno,

dos o más convertidores en paralelo.


148

APÉNDICE C

Diseño de controladores considerando r1 y r2.

Modelo del sistema

El diagrama de la Fig. 27 muestra a dos convertidores elevadores conectados en paralelo,

en los cuales aparecen resistencias en serie con los inductores. Estas resistencias, 1r y 2r ,

corresponden a las resistencias parásitas en estos dispositivos.

Fig. 27. Conexión en paralelo de dos convertidores elevadores.

Realizando un análisis de leyes de Kirchhoff al circuito de la Fig. 27, es posible

representar a nuestro sistema por

11 1

22 2 2

1 1 2 2

1 1 1 1 1

2 2 2 2

i C i

i C i

C C

div v v

dt

diL v v v

dt

vdvC i i

dt R

L i r i r

i r i r

(C.1)


149

Diseño de controladores

Control basado en pasividad

Para el diseño del controlador basado en pasividad se expresa el sistema (C.1) como

x x x u

D C R (C.2)

donde las matrices D , C y R están dadas por

11 1 1 1

2 2 2 2 2

1 2 33

0 0 0 0 0 0

0 0 ; 0 0 ; 0 0 ; ; ;

0 0 0 10 0

xL r x

L r x x x x

C xxR

D C R (C.3)

donde , 0, T D D D D , , T C C C , , 0 R R , 1 1 2 2 3; ; Cx i x i x v . Como

puede notarse, el sistema (C.2) difiere del analizado en (2.6) sólo en la matriz R .

Siguiendo la metodología empleada anteriormente se obtiene el control basado en

pasividad para dos convertidores elevadores, donde las variables de control 1 y 2 están

dadas por

1 1 1 1 1 1 1 13

2 2 2 2 2 2 2 23

1( )

1( )

i d d am dd

i d d am dd

v L x r x R x xx

v L x r x R x xx

(C.4)

Sumando ambas expresiones de (C.4), con las consideraciones 1 2L L L ,

1 2r r r y 1 2am am amR R R , se obtiene


150

3 1 2 1 2 1 22 ( )d i d d d d amx v L x x r x x R e e

(C.5)

donde 1 1 1de x x , 2 2 2de x x . El diseño del lazo de voltaje es similar al obtenido en la el

Capítulo 2. Se multiplica la tercera ecuación de (C.1) por Cv resultando

1 1 2 2

2

2

22

2

2

C CC C C

i C

i Ci i i i i

dv vv C i i

dt R

v

R

v

R

v v

i

diLv i i r i Ki

dt

(C.6)

donde está dada por (C.5), 1 2i i ii i i e e y amK R . Es posible simplificar la expresión

anterior (como se realizó en el Capítulo 2.) ya que el término 0iLdi dt y se considera

que el control de corriente ha logrado 0ii . Empleando 2 2Cv se tiene que C Cv v

,

así la ecuación (C.6) puede escribirse

2i i i

dC

dt Rv i r i

(C.7)

El mayor interés en el diseño del control de voltaje es regular las componentes en

CD de , la componente en CD de , ,i CD s RMSv v y la componente en CD de

,( ) /i CD S RMSi r Gr v . Comparando las magnitudes de estos dos términos19 se tiene que

,i CD i CDv i r , por lo cual la contribución del término ii r puede despreciarse. Así (C.7)

resulta

19 En esta tesis el valor de 0.5r y el máximo valor de 11ii

.


151

2

i i

dC v

dt Ri

(C.8)

De esta ecuación se obtiene, el control de voltaje

0

t

p iG K K d (C.9)

donde 2 2Cv y 2 2dV . Como puede notarse, el control de voltaje de la expresión

(C.9) es el mismo controlador tipo PI de la expresión (2.28).

Caso 1: Control Proporcional Basado en Pasividad sensando la corriente ii

De manera similar al desarrollo mostrado para el Caso 1 de esta sección, se proponen las

siguientes leyes de control basadas en pasividad para las expresiones (C.1)

*1

1 1 1 1

*2

2 2 2 2

1

2 2

1

2 2

i ii

C

i ii

C

i diLv r K i

v dt

i diLv r K i

v dt

(C.10)

donde, como ya se definió anteriormente, 1 1 2ii i i , 2 2 2ii i i , 2,i i s RMSi Gv v , i Sv v ,

G es una variable aún no definida, 1K y 2K son valores escalares positivos.

Si se establece 1 2L L L , 1 2r r r y 1 2K K K entonces la suma de las ecuaciones

(C.10) resulta ser

*1

2 ii i i

C

div ri L Ki

v dt

(C.11)


152

donde i i ii i i . La expresión (C.11) puede simplificarse considerando que 0iLdi dt ,

de esta manera resulta

*12 i i i

C

v ri Kiv

(C.12)

El controlador de voltaje de la expresión (C.9) es el que se utiliza para regular el

voltaje en la salida.

Caso 2: Control Proporcional+Filtro resonante sensando la corriente Si

Considerando que Sv y Si tienen el mismo ángulo de fase, el sistema puede expresarse en

términos de las variables Sv y Si , realizando la transformación de coordenadas

sgn( )S i Si i i y sgn( )i S Sv v i donde se utiliza la función sgn( )Si por conveniencia en el

diseño. De esta manera la ley de control (C.11) puede desarrollarse como sigue

*

2 2, ,

2 2, ,

2


sgn( ) 2

iC i i i

S SS s S S s s s

S RMS S RMS

S Ss S S S

S RMS S RMS

div v Ki ri L

dtGv dGvL


Gv dGvLi v K i i r

v v dt

(C.13)

Empleando un abuso en la notación se realiza una transformación al dominio de la

frecuencia, de lo cual se tiene

2 2 2, 0

sgn( ) 2 SC s S S S

S RMS

Gv sv i v Ki r i

v s

(C.14)


153

donde 2,( )S RMS SL v dGv dt de la expresión (C.13) se ha reconstruido empleando la

aproximación 2 2 2, 0( ) ( )S RMS S SL v dGv dt i s s con S S Si i i , 2

,S S S RMSi Gv v , como se

realizó en el Capítulo 2. El proceso desarrollado en (C.13) para aproximar la derivada de ii

es el mismo utilizado en la expresión (2.49), pero expresado de manera diferente.

El controlador de voltaje G se calcula empleando (C.9).

Caso 3: Control por Charge-Control

La integral de la corriente 1Si durante la duración del ciclo de trabajo 1d , no es alterada por

los efectos de la resistencia parásita 1r . Lo mismo sucede en la corriente 2Si . Es decir, los

valores deseados 1 y 2

en el capacitor TC están dados por

1 1 1 2 2 21 12 2i ii i

(C.15)

En la expresión (C.15) pueden emplearse 1 y 2 obtenidos en el Caso 1 y Caso 2

de esta sección o puede emplearse el controlador de corriente diseñado a continuación.

Para el cálculo del controlador de corriente, 1 y 2 , se utilizará nuevamente una ley de

control basada en pasividad sin inyección de amortiguamiento, es decir, los términos k kK i ,

1,2k no se incluyen en el diseño de la ley basada en pasividad. Las ecuaciones

resultantes son

*1

1 1

*2

2 2

2 2

2 2

i iC i

i iC i

i diLv v r

dt

i diLv v r

dt

(C.16)

Recordando que la magnitud máxima del primer miembro del lado derecho es SV

(cientos de volts) y la magnitud máxima del segundo y tercer miembro del lado derecho es


154

1 12 2 5.5i k k ii r L di dt , 1,2k , se deduce que la contribución del segundo y tercer

miembro no repercute drásticamente en la señal de control generada. Por lo que (C.16)

puede aproximarse a

1 2C C iv v v (C.17)

La técnica de Charge-Control dada por (C.17) no se ve afectada por la inclusión de

resistencias parásitas en la inductancias. Para el análisis de estabilidad de (C.17) se

emplea el método de Lyapunov, el cual ya se ha presentado en el diseño del controlador

Caso 3 de esta sección.

El cálculo del control de voltaje se hace mediante la expresión (C.9).

Control robusto

Nuevamente, partimos del sistema real de la Fig. 27

r r r r r r rz z z u

D C R (C.18)

con las matrices y vectores rD , rC , rR , rz

y rz dados por

11 1 1 1

2 2 2 2 2

1 2 33

0 0 0 0 0 0

0 0 ; 0 0 ; 0 0 ; ; ;

0 0 0 10 0

r r

r r r r r r r

rr

zL r z

L r z z

C zzR

D C R z z

(C.19)


Realizando las sustituciones adecuadas, se obtiene la ley de control robusto Fig. 8


155

•

d d(z , z ) ( , )r am r d de z z 0u g R Y θ Y θ W (C.20)

donde

1 3 1 1 1

2 3 2 2 2

3 3 33 1 1 1 2 3

11 1

22 2

1

2

0 0

; ; 0 0

0 10 0

0 0

( , ) 0 0 ;

0 0 0 0

i d am d

r i d am d

d dn d d d am

rd d

rd d d d r

r

r

v z R z z

v z e R z z

z z zC z z z R

R

Lz zL

z z z zr

r

0 amu g R

Y θ

1 1

2 2

1 1

2 2

;

n r

n r

n r

n r

T

L L

L L

r r

r r

θ

W

(C.21)

donde , , y están definidas por

2 21 1 1 1

2 22 2 2 2

d dT T

d dT T

z e z e

z e z e

e Y e Y

e Y e Y

(C.22)

Así, empleando la expresión (C.20) se puede escribir la ley de control robusto de la

siguiente manera

1 3 1 1 1 1 1 1

2 3 2 2 2 2 2 2

3 33 1 1 2 2

3

d am d n d n

r d am d n d n

dn d d d

am

z R e z L z r

z R e z L z r

z eC z z z

R R

u (C.23)


156

Despejando las señales de control 1 y 2 se tiene

1 1 1 1 1 1 13

2 2 2 2 2 2 23

1

1

i am d n d nd

i am d n d nd

v R e z L z rz

v R e z L z rz

(C.24)

De igual forma que en el control nominal, se asume que se dispone de la medición

de todas las variables del sistema. Nuevamente, el control de voltaje se calcula empleando

(C.9).

Resultados en simulación

El circuito mostrado en la Fig. 27 fue simulado en Simulink™ con los valores nominales de

parámetros dados por la Tabla 15.

Tabla 15. Valores de los parámetros utilizados en la simulación. Nombre Parámetro Valor

Voltaje de entrada vS 230 Vrms Frecuencia de conmutación fswitch 100 KHz

Voltaje de salida Vo 400 Vdc Inductor 1 L1 2 mH Inductor 2 L2 2 mH

Resistencia del inductor 1 r1 0.5 Ω Resistencia del inductor 2 r2 0.5 Ω

Capacitor de salida C 220 µF Resistencia de carga R 200 Ω

Realizando una prueba de la robustez de los controladores, se realizó una

simulación con una variación 2 15r r y 2 15L L . La Fig. 28 muestra los desbalances en la

distribución de corriente con las diferentes características en 1L y 2L .


157

a) b)

Tiempo (s)

c) Fig. 28. Curvas de las corrientes cuando los inductores tienen diferentes características: Empleando

el Control Basado en Pasividad; b)Empleando el control por Charge-Control; c) empleando el Control Robusto

En el inciso a) se empleó un Controlador Basado en Pasividad; en el inciso b) se

aplicó un control por Charge-Control; el inciso c) muestra el caso para el control robusto.

Aquí, al igual que la sección anterior, sólo se muestran los resultados obtenidos al utilizar

sólo estos tres casos ya que son los casos donde las leyes de control presentan mayor

diferencia en su diseño. La ventaja de la ley de control basada en pasividad y del control

robusto es bastante notable ya las curvas de corriente están una sobre la otra, aunque

presentan un desbalance.

Es importante notar, que aun ante tal diferencia en los parámetros ( 2 15L L y

2 15r r ) el controlador por Charge-Control mantiene al sistema en un estado estable

aunque no el deseado; distribución equitativa de corriente. Para esa diferencia en

parámetros, tanto el control pasivo como el robusto logran un desempeño excelente.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.140

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Tiempo (s)

Ma

gnitu

d (

am

per

es)

2i

i1

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.140

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Tiempo (s)

Mag

nitu

d (a

mpe

res)

2i

i1

0 0.05 0.1 0.150

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Mag

nit

ud

e (a

mp

eres

)

i2

i1


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