Análisis estadístico de datos muestrales

Resumen

Representación de los datos de una muestra: tablas de frecuencias,

frecuencias relativas y frecuencias relativas acumuladas. Representación gráfica de dichas tablas: Histogramas y polígonos de

frecuencias. Analogías de estos polígonos con las funciones de

probabilidad según el concepto frecuentista de la probabilidad:

distribuciones empíricas de probabilidad. Medidas de tendencia central, de dispersión de la muestra, de sesgo y

aplanamiento de la muestra, cuando los datos de ella están o no

agrupados. Analogía de estas medidas con las correspondientes a la

función de probabilidad de la variable aleatoria discreta. 1.1 La población y la muestra. Relación entre

la probabilidad y la estadística.

Clasificaciones de la estadística. Estadística: En el lenguaje común es conocida

como un conjunto de datos. Se refiere a un

conjunto de métodos para manejar la obtención,

presentación y el análisis de observaciones

numéricas. Sus fines son: Describir al conjunto

de datos obtenidos y tomar decisiones, o bien,

realizar generalizaciones acerca de las

características de todas las posibles

observaciones bajo consideración.

De esta definición pueden percibirse dos grandes

áreas de acción de la Estadística, la Descriptiva y

la Inferencial. Estadística Descriptiva. Se refiere a aquella

parte del estudio que incluye la obtención,

organización, presentación y descripción de la

información numérica. Estadística Inferencial. Es una técnica de la

cual se obtienen generalizaciones o se toman

decisiones con base a información parcial o

incompleta obtenida mediante técnicas

descriptivas.

1

Es necesario determinar que todas las ciencias

sin importar la disciplina tienen como

denominador común al método científico, por

ende, la Estadística al ser una herramienta

necesaria ara el método científico, forma parte

también de todas las ciencias. Desde el punto de vista de la naturaleza de la

información manipulada, la Estadística puede

clasificarse como Paramétrica y No Paramétrica. Estadística Paramétrica. Son todas aquellas

técnicas y herramientas estadísticas que utilizan

variables cuantitativas, es decir, medibles. Estadística No Paramétrica. Son todas aquellas

técnicas y herramientas estadísticas que utilizan

variables cualitativas. Desde el punto de vista del número de variables

sobre las cuales se basa el análisis matemático

respectivo, siendo la estadística univariable la

que utiliza una sola variable, mientras que la

estadística multivariable analiza dos o más

variables. Población. Conjunto de todas las posibles

observaciones. Sinónimo de Conjunto Universal

se le define como la totalidad de todas las

posibles mediciones observables, bajo

consideración en una situación dada por

determinado problema, circunstancias diferentes

implican situaciones diferentes.

Las Poblaciones se clasifican en función a su

cardinalidad. Población Finita. Es aquella que incluye un

número limitado de medidas y observaciones. Población Infinita. Es aquella que por incluir un

gran número de medidas y observaciones no es

posible determinar la cantidad de éstas. En lo general, las características medibles de una

población son denominadas Parámetros. Muestra. Conjunto de observaciones o medidas

tomadas a partir de una población dada, es decir,

es un subconjunto de la población. Desde luego,

la cardinalidad de la muestra depende de la

cardinalidad de la población. Las muestras deben

ser representativas para evitar un sesgo u error.

Estadísticos Muestrales1. En lo general, son las

características medibles de una muestra El muestreo es la técnica seguida para obtener o

extraer una muestra. Su ventaja radica en que

nos permite conocer, con un grado de

aproximación aceptable, a partir de sus

características, las características propias de la

población de la cual proviene. Esto resulta 1 En la literatura suelen denominarse

por igual estadísticos o estadísticas a las características de las muestras.

2

invaluable, tomando en cuenta que en la mayoría

de los casos, las características de las muestras

son desconocidas. El sesgo es la diferencia que existe entre los

datos obtenidos a través de una muestra y los

datos reales (normalmente desconocidos)

pertenecientes a la población. Puede interpretarse

como un error absoluto entre un valor real y uno

aproximado. Cuando se denomina como sesgado

a determinado resultado se pretende establecer

que su valor es diferente al real. Las técnicas de muestreo pueden clasificarse de

la siguiente forma:

Muestreo Probabilístico. Es aquel en donde en

la elección de una muestra interviene el azar. Muestreo No Probabilístico. Es aquel en donde

en la selección de una muestra no interviene el

azar. Muestreo Aleatorio Simple. Cada uno de los

componentes de la muestra tienen la misma

probabilidad de ser elegido. Puede ser:

Con Reemplazo logra un número infinito

de las muestras, lo que asegura la

independencia estadística entre ellas.

Sin Reemplazo logra un número finito de

las muestras las cuales son

estadísticamente dependientes.

Muestreo Estratificado. Esta técnica implica

dividir a la población en clases o grupos

denominados Estratos. Se supone que las

unidades que componen al estrato, son

relativamente homogéneas, con respecto a las

características que vayan a estudiarse. A menudo

se toma una razón de muestreo igual para todos

los estratos generalmente en proporción; a una

muestra seleccionada así, se le llama Muestra

Estratificada Proporcional. (Se estudia sólo el

estrato) Cuando la proporción de rastreo está

directamente relacionada con la homogeneidad

es decir entre más homogéneo sea el estrato

menor será su proporción incluida en la muestra.

A una muestra obtenida de esta forma se le

denomina: Muestra estratificada

Desproporcionada. (De una población normal

se toma una muestra proporcional) Muestreo por Conglomerados. Este

procedimiento implica la selección de grupos

(conglomerados) a partir de la población, las

diferencias entre conglomerados son

generalmente pequeñas, aunque internamente sus

unidades son heterogéneas. Cada conglomerado

es una miniatura de la población. Muestreo sistemático. Se selecciona una

muestra tomada cada k-ésima unidad de la

población a la vez, una vez que las unidades de

la población están arregladas de alguna forma. k,

es la razón del muestreo. (En el metro, preguntar

a cada 5 personas que pasan.)

3

1.2 Estadística descriptiva.

Representación de los datos de una

muestra. La Estadística Descriptiva se

encarga de la obtención, organización,

representación y descripción de los datos. La obtención de los datos se logra a través de

las técnicas de muestreo, conforme al diseño

del experimento seleccionado. Como se podrá observar más adelante,

existen expresiones que permiten trabajar

con la totalidad de los datos de la muestra; al

arreglo que utiliza la totalidad de los datos se

le conoce como datos no agrupados. Antes de la evolución tecnológica o bien,

cuando los recursos de cómputo son

limitados, trabajar con un número alto de

datos resulta complicado. Por tal motivo, se

conformó un arreglo de datos basado en

intervalos conocido como tabla de

frecuencias. Cuando se utiliza la tabla de

frecuencias se dice que se trabaja con datos

agrupados. Ahora bien, con el avance en los recursos de

cómputo resulta ahora de lo más sencillo

trabajar con datos no agrupados, lo que evita

errores numéricos y los propios ocasionados

por el agrupamiento de los datos en las tablas

de frecuencia. No obstante, las tablas de

frecuencias son necesarias para construir las

representaciones gráficas de las muestras. Intervalos de clase. Se refiere a los intervalos

en los cuales serán agrupados los n datos

obtenidos en el muestreo. Una tabla de

frecuencias se compone de un número finito de

intervalos continuos, todos del mismo ancho.

El número de intervalos es variable y su

elección depende de la experiencia de quién

construye la tabla. No existe consenso por

parte de los autores para determinar el número

óptimo de intervalos, pero en lo

general se coincide que no sean tan pocos

que no resulte apropiada la agrupación de

datos ni tantos que la haga poco práctica. En

general, se recomienda que el número de

intervalos no sea ni menor de cinco ni mayor

a quince. Por otra parte, ciertos autores han establecido

algunas reglas matemáticas para determinar el

número de intervalos. Dos de ellas son:

Ley de Sturges: # intervalos = 1

+ 3.322 Log (n) # intervalos = n

En ambos casos, n es el número total

de datos. Lo que resulta importante, más que

determinar el número de intervalos, es que

estos cumplan con una serie de

características:

1. Todos los intervalos deben tener el

mismo ancho.

2. Un dato sólo puede pertenecer a un

solo intervalo. 3. No debe haber intervalos vacíos.

Ilustremos lo anterior con un ejemplo.

Ejemplo. Los siguientes datos corresponden

a 80 mediciones de la longitud de un

travesaño parte de un chasis. Sus

dimensiones son en centímetros.

50.1 50.6 51.1 50.8 52.2 51.9 51.2 52.0 50.6 49.1 51.8 51.0 50.8 51.8 51.1 49.7 50.7 51.4 51.9 50.4 51.7 51.0 49.5 52.0 51.1 51.8 50.3 51.5 51.7 50.3 49.9 49.7 52.0 51.3 51.1 50.8 49.4 50.3 51.1 51.2 50.8 51.5 51.1 51.2 50.3 51.3 51.7 51.8 51.4 51.0 51.7 50.1 52.1 51.0 52.8 51.1 49.9 50.9 50.2 51.5 51.0 50.2 49.6 51.3 51.8 50.3 50.5 51.7 51.7 50.4 49.6 51.2 51.3 51.2 51.6 51.9 51.9 51.6 53.1 51.8

4

El primer paso para construir los intervalos de

clase consiste en ordenar los datos de menor a

mayor, sin eliminar ninguno de ellos.

49.1 50.1 50.5 51.0 51.1 51.4 51.7 51.9 49.4 50.2 50.6 51.0 51.2 51.4 51.7 51.9 49.5 50.2 50.6 51.0 51.2 51.5 51.7 51.9 49.6 50.3 50.7 51.0 51.2 51.5 51.8 52.0 49.6 50.3 50.8 51.1 51.2 51.5 51.8 52.0 49.7 50.3 50.8 51.1 51.2 51.6 51.8 52.0 49.7 50.3 50.8 51.1 51.3 51.6 51.8 52.1 49.9 50.3 50.8 51.1 51.3 51.7 51.8 52.2 49.9 50.4 50.9 51.1 51.3 51.7 51.8 52.8 50.1 50.4 51.0 51.1 51.3 51.7 51.9 53.1

Rango. Es la diferencia entre el dato mayor y el

menor.

Rango = 53.1 – 49.1 = 4.0 Número de intervalos. Es atribución del

diseñador del experimento definir el número de

intervalos con la recomendación de que no sean

ni menos de cinco ni más de quince. No obstante,

es posible utilizar como guía las siguientes

expresiones:

# intervalos = 1 + 3.322 Log (80) = 7.32 # intervalos = n = 80 = 8.94

Se conviene en establecer ocho intervalos

Ancho del intervalo. Se define como:

W : Ancho del Intervalo

W =

Rango

# intervalos

Para nuestro ejemplo:

W = 4.0

8 = 0.5

Todos los intervalos medirán 0.5 cm de ancho.

Ahora bien, el primer intervalo puede comenzar

justo en el dato más pequeño, aunque esto no es

regla general; si al diseñador le conviene, puede

empezar con un límite inferior menor al dato

menor. Para motivos de nuestro ejemplo,

comenzaremos en el dato menor.

Intervalos de Clase Límite Límite

Clase Inferior Superior 1 49.1 49.6 2 49.6 50.1 3 50.1 50.6 4 50.6 51.1 5 51.1 51.6 6 51.6 52.1 7 52.1 52.6 8 52.6 53.1

Puede observarse que tanto el dato menor como

el mayor son incluidos en algún intervalo; sin

embargo, se produce un conflicto ya que algunos

datos coinciden con las fronteras compartidas de

los intervalos, lo cual no satisface la segunda

característica de los intervalos de clase. A este respecto, algunos autores en apego fiel a la definición de intervalos expresan a los intervalos de clase en forma de intervalos abiertos por un extremo y cerrados por el otro (el extremo cerrado o abierto es decisión del

diseñador)2. Sin embargo, por usos y costumbres

y pensando en las representaciones gráficas de los datos, se utilizan algunos recursos para evitar esta eventualidad. Uno de estos recursos consiste en aprovechar la

uniformidad de los datos producto del diseño del

experimento. En nuestro caso, el muestreo arrojó

datos uniformes en el sentido de que todos ellos

son compuestos por dos cifras enteras y una cifra

decimal. Se puede proceder de dos formas:

1. Iniciar los intervalos un poco antes que

el dato menor, por ejemplo en 49.05. Al

establecer un límite de intervalos con

una cifra decimal más, se minimiza la

probabilidad de que algún dato coincida

con alguna frontera. Sin embargo, el

dato mayor quedará excluido del último

intervalo, por lo que se deberá aumentar

el ancho del intervalo.

2 Se les denomina Límites Reales de Clase.

5

2. Aumentar el ancho de intervalo en una

cifra decimal más que la que contienen

los datos, por ejemplo, 0.55. Debe

tomarse en cuenta que en determinado

momento, la suma de los anchos de

intervalo pueden hacer coincidir un dato.

Resulta más conveniente utilizar 0.51

Intervalos de Clase Límite Límite

Clase Inferior Superior 1 49.10 49.61 2 49.61 50.12 3 50.12 50.63 4 50.63 51.14 5 51.14 51.65 6 51.65 52.16 7 52.16 52.67 8 52.67 53.18

Este último arreglo garantiza el cumplimiento de

las tres características de los intervalos de clase. Marcas de clase. Son los puntos intermedios de

cada intervalo de clase.

T : Marca de Clase T =

Lsup

−

Linf

i i 2

Intervalos de Clase Marcas de

Límite Límite

Clase

Clase

Inferior Superior

1 49.10 49.61 49.36

2 49.61 50.12 49.87

3 50.12 50.63 50.38

4 50.63 51.14 50.89

5 51.14 51.65 51.40

6 51.65 52.16 51.91

7 52.16 52.67 52.42

8 52.67 53.18 52.93

Frecuencia. Es el número de datos que

pertenece a cada intervalo de clase.

Fi : Frecuencia de la i-ésima clase

49.1 50.1 50.5 51.0 51.1 51.4 51.7 51.9

49.4 50.2 50.6 51.0 51.2 51.4 51.7 51.9

49.5 50.2 50.6 51.0 51.2 51.5 51.7 51.9

49.6 50.3 50.7 51.0 51.2 51.5 51.8 52.0

49.6 50.3 50.8 51.1 51.2 51.5 51.8 52.0

49.7 50.3 50.8 51.1 51.2 51.6 51.8 52.0 49.7 50.3 50.8 51.1 51.3 51.6 51.8 52.1

49.9 50.3 50.8 51.1 51.3 51.7 51.8 52.2

49.9 50.4 50.9 51.1 51.3 51.7 51.8 52.8

50.1 50.4 51.0 51.1 51.3 51.7 51.9 53.1

Naturalmente, la suma de todas las frecuencias

debe coincidir con el número total de datos (n). Frecuencia Relativa. Se refiere a la frecuencia

de cada una de las clases dividida entre el

número total de datos (n) . De aquí se deriva la

interpretación frecuentista de la probabilidad.

F 'i : Frecuencia relativa de la i-ésima clase

F 'i = Fi

n

Comprobando el axioma de la probabilidad para

variables aleatorias discretas: ∑P(x) =1, la ∀X

suma de todas las frecuencias relativas debe ser

la unidad. Frecuencia Acumulada. Son los datos

acumulados desde el primer dato hasta la i-ésima

clase.

Faci : Frecuencia Acumulada de la i-ésima

clase. Este concepto coincide con el particular de

Función de Distribución o Función de

Probabilidad Acumulada. Debe destacarse que la

Frecuencia Acumulada de la última clase debe

coincidir con el número total de datos (n).

.

6

Frecuencia Acumulada Relativa. En la

frecuencia acumulada de la clase i-ésima entre

el numero total de datos (n).

F 'aci : Frecuencia Acumulada Relativa

Faci

F

'

aci

= n

De la misma forma, se comprueba que

∑P(x) =1 ya que la frecuencia relativa de la ∀X

última clase, debe ser la unidad. La tabla completa queda de la siguiente forma:

El Histograma en una gráfica de barras o

columnas que se construye en un sistema

coordenado en cuyo eje horizontal o de abscisas

se detallan los intervalos de clase y en el eje

vertical o de ordenadas se ubican las frecuencias

o las frecuencias relativas. El polígono de frecuencias es una línea

quebrada que une los puntos de intersección de

la abscisa que corresponde a la marca de clase

con la ordenada que puede ser la frecuencia o la

frecuencia relativa. El polígono se cierra con el

eje horizontal al iniciarlo en el límite inferior del

primer intervalo de clase y concluirlo en el límite

superior del última intervalo de clase.

Intervalos de Clase

Marcas de

Frecuencia Frecuencia Frecuencia

Clase Límite Límite Frecuencia Acumulada

Inferior Superior Clase Relativa Acumulada Relativa

1 49.10 49.61 49.36 5 0.06 5 0.06

2 49.61 50.12 49.87 6 0.08 11 0.14

3 50.12 50.63 50.38 12 0.15 23 0.29

4 50.63 51.14 50.89 18 0.23 41 0.51

5 51.14 51.65 51.40 16 0.20 57 0.71

6 51.65 52.16 51.91 20 0.25 77 0.96

7 52.16 52.67 52.42 2 0.03 79 0.99

8 52.67 53.18 52.93 1 0.01 80 1.00

Σ 80 1.00

Esta tabla se conoce como Distribución de

Frecuencias. Representación gráfica de la distribución de

frecuencias. Una forma muy rápida y efectiva de

interpretar la información contenida en una

distribución de frecuencias consiste en graficar

sus elementos. Básicamente existen tres tipos de

representaciones:

Histograma

Polígono de Representaciones frecuencias Gráficas

Ojiva de frecuencias

Cuando un polígono se dibuja sobre un

histograma de la misma distribución, la línea

quebrada une los centros de las bases superiores

de los rectángulos del histograma. Las ojivas de frecuencias son líneas quebradas

que se trazan por los puntos de intersección de

las coordenadas que corresponden a las marcas

de clase y sus respectivas frecuencias

acumuladas o frecuencias acumuladas relativas.

.

7

18 20

20

16

15 12

10 5

6

5 2

1

0

49 . 10 49 . 61 50 . 12 50 . 63 51. 14 51. 65 52 . 16 52 . 67 53. 18

Histograma

20 20

18

15 16

12

10

5 5 6

2 1

0

49.36 49.87 50.38 50.89 51.40 51.91 52.42 52.93

Polígono de frecuencias

100

80 77 79 80

60 57

40 41

20 23

11

0 5

49.36 49.87 50.38 50.89 51.40 51.91 52.42 52.93

Ojiva de frecuencias .

8

Medidas descriptivas. Estos índices permiten

caracterizar a las distribuciones de frecuencias

para poder hacer una interpretación acertada de

la misma. En lo general, todas estas medidas pueden ser

calculadas para datos no agrupados y para datos

agrupados. Cuando se datos agrupados se trata, se utiliza la

información contenida en la distribución de

frecuencias lo que realmente implica una

simplificación, ya que se considera que todos los

datos que se ubican en un mismo intervalo de

clase (frecuencia) son iguales y se ubican sobre

la marca de clase respectiva. Naturalmente, esta

simplificación origina un error en los cálculos,

mismo que no se considera significativo y que

puede reducirse utilizando intervalos de

confianza angostos. Medidas de Tendencia Central. Son aquellas

medidas que nos proporcionan un dato que, con

ciertos matices, puede considerarse representante

de los n datos obtenidos del muestreo. Media. Tradicionalmente se considera a la media

como un promedio aritmético de n datos. En

realidad es más que esto. La media pretende

representar de la mejor forma a los datos de los

cuales proviene. Esta representación puede

lograrse de varias formas.

Media Aritmética

∑n X i

Para datos no agrupados:

= i=1

X

n

donde n es el número total de

datos. Para datos agrupados:

∑k Fi Ti k

= i=1

= ∑F 'i Ti

X

n

i=1

Donde:

Fi es la frecuencia de la i-ésima clase Ti es la marca de clase de la i-ésima clase F

'i es la frecuencia relativa de la i-ésima

clase k representa el total de clases de la distribución

9

Como dato representante de una muestra, la

media aritmética presenta el problema de los

datos ubicados en los extremos de la muestra, los

más pequeños y los más grandes, que en la

generalidad suelen ser pocos, sesgan o inducen

un error en el resultado. La media aritmética

nunca debe utilizarse por sí sola para hacer

alguna conclusión sobre la muestra, resulta

conveniente acompañarla de alguna medida de

dispersión como se verá más adelante. Media Ponderada. A diferencia del promedio

aritmético, el promedio ponderado toma en

cuenta la existencia de los elementos además de

su valor a promediar. Es decir, al tomar en

cuenta el número de elementos repetidos

minimiza la posibilidad de uno o dos datos

extremos modifiquen dramáticamente el

resultado. La media ponderada corresponde

directamente al valor esperado o esperanza

matemática estudiado en Probabilidad. Para calcular la media ponderada de n datos

(datos no agrupados) es necesario contar todos

ellos para establecer cuantos de ellos se repiten.

En la práctica, esto implica ordenarlos, motivo

por el cual no se acostumbra su cálculo en esta

modalidad. Por otra parte, como puede

observarse, la media ponderada para datos

agrupados coincide con la media aritmética para

datos agrupados, si consideramos un punto de

vista frecuentista de la probabilidad, ya que la

frecuencia de la clase i-ésima dividida entre el

número total de datos es la probabilidad de que

un dato pertenezca a la clase respectiva, mientras

que la marca de clase representa el valor

específico del dato.

∑k Fi Ti k

= i=1

= ∑F 'i Ti

X

n

i=1

Media geométrica.

En la práctica suele obtenerse a través de

logaritmos.

Log (G )= 1

n [Log ( X 1 ) + Log ( X 2 ) + Log ( X 3 ) + ... + Log ( X n )]

Media armónica . La media armónica de una

serie de números es el recíproco de la media

aritmética de los recíprocos de los números.

=

1

=

n

X

1 ∑n

1

∑n 1

n X

n

= i

=

i 1 i 1

en la práctica se utiliza:

∑n 1

X1

= i=1

nX

i

Mediana. Es el dato que divide exactamente a la

mitad a la muestra.

n impar n par

Se muestran los dos posibles casos de la mediana

con datos no agrupados, en el primer caso la

muestra está compuesta por un número non de

observaciones. La mediana es el dato que se

encuentra exactamente a la mitad de la muestra

ordenada. (de menor a mayor por ejemplo); esto

se puede entender considerando una balanza que

contiene los datos; para que esté equilibrada debe

existir el mismo número de datos de cada lado,

por lo que la mediana será la que quede situada

en el centro de la balanza.

X = n X1 ⋅ X 2 ⋅ X 3 ⋅...⋅ X n

.

10

El segundo caso cuando la muestra está

compuesta por un número par de observaciones.

En este caso, la mediana es el promedio de los

dos valores centrales. Para su cálculo como dato no agrupado es

necesario ordenar los datos en forma

descendente o ascendente y atender la siguiente

regla, de acuerdo a la naturaleza del número total

de datos n:

Si n es impar:

med

=

X n+1

2

X n + X n +1

Si n es par: med = 2 2

2

Como puede observarse, cuando el número de

elementos es par no hay un valor que se

encuentre exactamente a la mitad de la muestra;

en este caso se pueden promediar los dos valores

más cercanos a la mitad.

Para nuestro caso, n es par e igual a 80. De tal

forma:

med =

X 80

+

X 80

+1 X

40

+

X 41

51.1+51.1

2 2 = = = 51.1

2 2

2

Para su cálculo como dato agrupado, la mediana

se obtiene determinando cual es la clase que

incluye a la mediana, la cual se distingue porque

tiene una frecuencia acumulada relativa mayor o

igual a 0.5 (50% de los datos).

Para obtener una expresión que permita su

cálculo, a partir de la ojiva de frecuencias

acumuladas relativas se puede aproximar su

mediana trazando una línea horizontal a partir de

la ordenada 0.5 (o 50%) hasta cortar la gráfica y

en dicho punto localizar el correspondiente en el

eje de las abscisas.

Fac

w

n

n Fk

2

F’ack-1

Med Linfk Lsupk

.

11

A partir de una interpolación lineal, se utiliza la

ecuación de la recta:

y = y0 + m( x − x0 )

de acuerdo con la anterior figura:

y = 0.5 y = F 'ack −1 m = f 'k

w

x = med x0 = Liminf

donde:

k : Clase donde se ubica a la mediana F ' ack : Frecuencia acumulada relativa de la clase anterior a la en que se encuentra la

mediana f 'k : frecuencia de la clase donde se ubica

la median w : ancho del intervalo Liminf : Límite inferior de la clase donde se ubica la mediana.

Sustituyendo los valores:

0.5 = F ' ack −1 + fw

'k (me − Lminf )

despejando:

med = Liminf + fw

'k (0.5 − F ' ack −1 )

No obstante, por motivos generalistas, resulta

mejor expresar a la mediana en función de

frecuencias absolutas en lugar de relativas:

n − Fack −1

2

med = Lim inf

+ w

F

k

para nuestro ejemplo, la clase mediana (o la

que incluye a la mediana) es la clase 4, ya que

su frecuencia acumulada relativa es de 0.51. De

tal forma:

80 −

23

2

med = 50.63 + (0.51)= 51.11

18

Moda. Es el elemento de la muestra que más se

repite. Una muestra puede tener una o más

modas. Cuando todos los elementos de la

muestra son diferentes, no tiene sentido hablar de

ella. Para datos no agrupados, la moda se determina

por inspección, mientras que para datos

agrupados se puede aproximar con la marca de

clase del intervalo de la clase modal, que es la

que tenga la mayor frecuencia. En algunos casos se puede mejorar la

aproximación considerando que la moda es la

abscisa del máximo de una curva hipotética que

pasa por las marcas de clase, como se observa:

R S

D1 E P

F D2

T

Q

X

Linf mod

Lsup

12

De acuerdo con lo anterior, se puede considerar

que la moda debe pertenecer al intervalo de clase

con máxima frecuencia, pero proporcionalmente

más cercano al intervalo adyacente que le siga en

frecuencia, de esta manera se puede plantear la

proporción (triángulos semejantes):

EP PF Mod − L Lsup − Mod

= → inf =

RQ ST

D

D 2

1

(Mod − Linf )D2 = (Lsup − Mod )D1

Mod ( D1 − D2 )= Linf D2 + Lsup D1

Si: w = Lsup − Linf → Lsup = Linf + w

sustituyendo

Mod( D1 − D2 ) = Linf D2 +( Linf + w)D1

Mod =

Linf (

D1

+

D2 )

+

wD1 D1 + D2

D1

+ D Mod

=

L

inf +

D w

1 2

donde:

Linf : Límite inferior de la clase modal

Medidas de dispersión. Estas medidas reflejan

la separación o alejamiento de los elementos de

una muestra. Estas medidas deben acompañar a

las medidas de tendencia central, particularmente

a la media, para evitar los efectos que los datos

extremos tienen sobre ellas. La medida de dispersión más sencilla es el Rango, amplitud o recorrido, que como ya se

mencionó es la diferencia entre el dato mayor y

del menor. Varianza. Tal y como la define la probabilidad,

la varianza de una variable aleatoria es el

segundo momento de la misma con respecto a la

media. Asimismo, se interpreta de la misma

forma, como un promedio de las distancias de

cada dato hacia la media. Momentos para datos no agrupados:

mk = 1

∑n ( X i − X )k

n

i=1 Momentos para datos agrupados:

mk = 1

∑r Fi (Ti − X )k

3

n i=1

Para datos no agrupados la varianza se define

como:

∑n ( X i − X )2

w : ancho del intervalo

D1 :diferencia de las frecuencias de la clase modal y la premodal

σ 2 = i=1 n

D2 : diferencia de las frecuencias de la clase

modal y la postmodal para nuestro ejemplo, la clase modal es la

número 6. Dado lo anterior:

4

mod = 51.65 + (0.51)= 51.7

4 +18

A partir de la inspección de la muestra, el dato

que más se repite es 51.1 con siete repeticiones.

Esta fórmula puede expresarse de una forma más

sencilla a partir del desarrollo del binomio al

cuadrado:

∑n ( X i −

)2 ∑n (X i

2 −2X i

+

2 )

X X X

σ 2 =

i=1 =

i=1

n

n

∑n X i

2 − 2

∑n

X i + n

2

∑n X

i

X X 1

n

σ 2 = i=1

i =1

= ∑X i2 − 2

i=1

+

2

X X

n

n

i=1 n

3 En este caso r representa el total de clases, haciendo

una distinción con k, que es el orden del momento.

13

∑n X i

ya que

= i=1

sustituyendo

X

n

σ 2 =

1 ∑X i

2 −2

2 −

2

X X

n

Desviación media. Ciertos autores opinan que

para obtener el promedio de las distancias de

cada dato con respecto a la media debe obtenerse

el valor absoluto de la distancia entre ambos

puntos y después obtenerse su promedio. De tal

forma, la desviación media (para datos no

agrupados) se define como:

∑n X i − X

σ 2 =

1 ∑n X i2 −

2

X

n i=1

Desviación Media = i=1

n

Para datos agrupados:

Asimismo, algunos autores utilizan como

referencia a la mediana en lugar de la media.

∑n X i − med

2

1 r

2 r

2

σ = ∑Fi (Ti − X ) = ∑F 'i (Ti − X )

n i=1 i=1

Desviación Media = i=1

n

Utilizando esta última expresión, para nuestro

ejemplo la varianza es de:

σ 2 = 0.6564

Por otra parte, utilizando la fórmula para datos

no agrupados:

σ 2 = 0.6308

Desviación estándar. Es fácil de percibir, a

partir de un análisis dimensional, que la varianza

posee las unidades de la variable muestreada

elevada al cuadrado. Esta situación no permite

una rápida visualización o interpretación de la

dispersión de los datos. En virtud de lo anterior, la desviación estándar es

la raíz cuadrada de la varianza:

σ = σ 2

La desviación estándar también es conocida

como desviación típica o error estándar.

Es necesario comentar que debido a las

complejidades que implica el manejo del valor

absoluto, estos conceptos no son muy socorridos. Asimetría. Esta medida, también llamada sesgo,

tiene como finalidad mostrar hacia qué lado de le

media se ubican más datos. Corresponde al tercer

momento con respecto a la media determinar esta

situación. No obstante, en situación similar a lo

que ocurre con la varianza, el tercer momento

posee las unidades de la variable muestreada

elevada al cubo. Con el fin de volver adimensional al tercer

momento, se define al coeficiente de asimetría

de la siguiente forma:

α 3 = m3

= m3

3 3

( m2 )

(σ 2 )

2

Este coeficiente tiene como referencia al valor

cero.

Si:α3 = 0 La distribución es simétrica, es decir, existe la misma cantidad de

datos a ambos lados de la media.

14

Esto implica que debe cumplirse la

siguiente relación:

X = med = mod

Si:α3 < 0 La distribución es asimétrica negativa, es decir, existen más datos a

derecha de la media.

Esto implica que debe cumplirse la

siguiente relación:

mod < med < X

Si:α3 > 0 La distribución es asimétrica positiva, es decir, existen más datos a

izquierda de la media.

Esto implica que debe cumplirse la

siguiente relación:

X > med > mod

α3 = 0

α3 > 0

α3 < 0

Datos no agrupados: α3 = −0.28

Datos agrupados: α3 = −0.2382

Implica que se trata de una curva asimétrica

negativa. Comprobando lo anterior:

X = 51.0571 med = 51.1117

mod = 51.7423

mod = med = X

Apuntamiento. Corresponde al cuarto momento

con respecto a la media identificar a una medida que auxiliar directamente a las medidas de

dispersión. El apuntamiento o curtosis4 detalla lo

puntiagudo o aplastado de una distribución. Una distribución puntiaguda implica que los

datos están más cercanos a la media lo que a su

vez arroja una varianza pequeña. En caso

contrario, una distribución aplastada implica que

los datos se alejan de la media, lo que implica

una varianza grande. El cuarto momento con respecto a la media

posee las unidades de la variable muestreada

elevadas a la cuarta potencia. Para mejorar una

posible interpretación, se define al coeficiente de

apuntamiento o coeficiente de curtosis:

α

4

=

m4

=

m4

(m 2 )2 (σ 2 )2

El valor de referencia de este coeficiente es tres.

Algunos autores, para homologar el uso de este

coeficiente con el de simetría, disminuyen en tres

unidades el valor obtenido y así logran que el

valor de referencia sea cero.

α

4

=

m4

− 3 =

m4

− 3

(m 2 )2 (σ 2 )2

4 Kurtosis en Inglés

15

El lector deberá estar atento a esta situación, ya

que la gran mayoría de los programas de

computadoras realizan su comparación contra el

cero. La interpretación es la siguiente:

Si α4 = 0 (o tres), se trata de una

distribución mesocúrtica. Si α

4 > 0 (o tres), se trata de una

distribución Leptocúrtica (o puntiaguda).

Si α4 < 0 (o tres), se trata de una

distribución Platicúrtica (o aplastada).

Para nuestro ejemplo:

Para datos no agrupados: α4 = −0.1121

Para datos agrupados: α4 = −0.4986

Fractiles. Si una serie de datos que se colocan en

orden de magnitud, el valor medio (o la media

aritmética de los dos valores medios) que divide

al conjunto de datos en dos partes iguales es la

mediana. Por extensión, de esta idea se puede

pensar en aquellos valores que dividen a los

datos en cuatro partes iguales. Estos valores se

llaman primero, segundo y tercer cuartíl,

respectivamente; el segundo cuartíl corresponde

a la mediana de la distribución. Análogamente, los valores que dividen a la

distribución en diez partes iguales se denominan

deciles, mientras que aquellos que lo hacen en

cien partes iguales se llaman percentiles. El quinto decíl y el quincuagésimo percentil corresponden a la mediana. El cálculo de los fractiles es bajo el mismo

procedimiento utilizado para la mediana.

n ⋅ fracción − Fack −1

Fractil = Liminf + w

Fk

donde:

16

Liminf : Límite inferior de la clase en que se ubica

el fractil buscado. n : Total de datos de la distribución. fracción : Porcentaje de la muestra

buscado. Fack −1 : Frecuencia acumulada de la clase

anterior a aquella en que se ubica

el fractil buscado.

Fk : Frecuencia de la clase en la cual se ubica el fractil buscado.

w : Ancho del intervalo. El procedimiento es análogo al utilizado para

calcular la mediana. Con auxilio de la frecuencia

acumulada relativa debe ubicarse la clase en la

cual se ubica el fractil buscado. Por ejemplo, si de desea calcular el primer cuartíl

debe ubicarse la clase que incluye a la frecuencia

acumulada relativa al 0.25 o 25%; para el tercer

cuartíl corresponde al 0.75 o 75% de la

distribución; para noveno decíl ocurre a .90 o

90%. La fracción corresponde a la parte de la

distribución en la que se desea dividir, por

ejemplo, para la mediana o mitad de la

distribución la fracción fue 1

o 0.5, para el 2

1

primer cuartíl será

o 0.25 y así 4

consecutivamente. Una forma de interpretar la información que nos

entregan los fractiles consiste en ubicar los

límites que comprenden las fronteras mismas que

son los fractiles. Por ejemplo, la mediana nos ubica a la frontera

que divide en dos partes iguales a la muestra.

Pero además implica que la primer parte de la

muestra inicia en el límite inferior de la primera

clase y concluye en la mediana, así como que la

segunda parte inicia en la mediana y concluye en

el límite superior del último intervalo de clase.

Asimismo, si se restan el tercer y primer cuartíl

estaremos acotando el 50% de la distribución,

pero centrada en torno a la mediana. A esta

distancia se le conoce como distancia

intercuartílica. Análogamente, a la diferencia entre el noveno y

el primer decíl se le conoce como distancia

interdecílica y acta al 80% de la población

centrada en torno a la mediana. Para el ejemplo desarrollado, los cálculos son los

siguientes: Primer cuartíl (ubicado en la tercera clase)

Q1 = 50.12 +

(80)(.25)−11 (0.51)= 50.5025

12

Tercer cuartíl (ubicado en la sexta clase)

Q3 = 51.65 +

(80)(.75)−57 (0.51)= 51.7265

20

Distancia intercuartílica: 51.7265 – 50.5025 =

1.224 Primer decíl (ubicado en la segunda clase)

D1 = 49.61+

(80(0.1)−5) (0.51)= 49.8650

6

Noveno decíl (ubicado en la sexta clase)

D9 = 51.56 +

(80)(0.9)−57 (0.51)= 52.0325

20

Distancia interdecílica: 52.0325 – 49.8650 =

2.1675

.

17

Como conclusión de este capítulo, se muestra

una tabla resumen con las medidas descriptivas

del ejemplo que se ha desarrollado a lo largo del

mismo.

Datos Datos

no agrupados Agrupados n 80

Rango 4.0

Sturges 7.32

n 8.94

media= 51.0625 media= 51.0571 mediana= mediana= 51.1117 moda= moda= 51.7427 Varianza= 0.6308 Varianza= 0.6564 Desv. Est.= 0.7943 Desv. Est.= 0.8102 Asimetría= -0.2800 Asimetría= -0.2382 Apuntamiento= -0.1121 Apuntamiento= -0.4986 Primer cuartil= 50.4750 Primer cuartil= 50.5025 Tercer cuartil= 51.7000 Tercer cuartil= 51.7265 Primer decil= 49.9000 Primer decil= 49.8650 Noveno decil= 51.9 Noveno decil= 52.0325

Bibliografía

Taro Yamane, Estadística, Editorial Harla, México 1999.

Spiegel, Estadística Serie Schaum, Edit. Mc.

Graw Hill, México 1999.

Frontana et al, Apuntes de Probabilidad y Estadística, Facultad de Ingeniería, México

1985

Berk & Carey, Análisis de datos con Microsoft Excel, Edit. Thompson Learning,

México 2001

Canavos, Probabilidad y Estadística, Mc. Graw Hill, México 1994.

Captura y Edición: M.A. María Torres Hernández.

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