Análisis Numérico II Diferencias finitas problemas...
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DIFERENCIAS FINITAS
PROBLEMA PARABOLICOS
Análisis Numérico II
Diferencias finitas – problemas parabólicos
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DIFERENCIAS FINITAS
PROBLEMA PARABOLICOS
Análisis Numérico II
Diferencias finitas – problemas parabólicos
• Método explícito centrado
• Tipos de errores
• Consistencia de un esquema numérico
• Convergencia de la solución numérica
• Estabilidad de la solución numérica
• Problema de advección-difusión
• Problemas bidimensionales
• Método de las líneas
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Problema Base
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Método Explícito Centrado
2
2, 0 , 0
u uD x L t
t x
( , 0) ( )u x t f x
( 0, ) ( )u x t g t
( , ) ( )u x L t h t
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Discretización
1
1 1
2
2, 0 , 0
n n n n n
j j j j ju u u u uD j N n
t x
0 ( )j ju f x
0 ( )n nu g t
( )n n
Nu h t
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Método Explícito Centrado
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Cálculo
1
1 11 2 , 0 , 0n n n n
j j j ju r u r u u j N n
2
D tr
x
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Método Explícito Centrado
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Fuentes de Errores
DATOS(ENTRADA)
PROCESOPRECISION
RESULTADOS(SALIDA)
PROCESO DE CALCULO
PROCESO IDEAL
Exactos ExactosInfinitoInfinita
Con errores Con erroresInfinitoInfinita
ERRORES DE ENTRADA
ExactosFinito
ERRORES DE TRUNCAMIENTO
Con erroresInfinita
ERRORES DE REDONDEO
ExactosInfinito
FinitaCon errores
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Tipos de Errores
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Errores Numéricos
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Tipos de Errores
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Errores de Truncamiento
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Tipos de Errores
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Errores de Discretización
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Consistencia de un esquema Numérico
1
1 1
2
( , ) ( , )
( , ) 2 ( , ) ( , )
n n
j j
n n n
j j j n
j
u x t u x t
t
u x t u x t u x tD
x
2 4 22 4
2 4
, ,
( , )2 12n n
j j
n
j
x t x t
u t u xD O t x
t x
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Consistencia
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Consistencia de un esquema Numérico
00
0n
k
tx
Método explícito centrado es consistente
2 4 22 4
2 4
, ,
( , )2 12n n
j j
n
j
x t x t
u t u xD O t x
t x
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Error de Truncamiento Local
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Consistencia de un esquema Numérico
1
1( , )n
n n n n
j jj
e u x t u
n n
j je t
2 4 22 4
2 4
, ,
( , )2 12n n
j j
n
j
x t x t
u t u xe t D O t x
t x
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Error de Truncamiento Global
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Consistencia de un esquema Numérico
ˆ( , )n n n
j j jE u x t u
1
1 1
2
2n n n n n
j j j j j n
j
E E E E ED
t x
1
1 1
2
( , ) ( , )
( , ) 2 ( , ) ( , )
n n
j j
n n n
j j j n
j
u x t u x t
t
u x t u x t u x tD
x
1
1 1
2
2n n n n n
j j j j ju u u u u
Dt x
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Error de Truncamiento Global
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Consistencia de un esquema Numérico
1
1 11 2n n n n n
j j j j jE r E r E E t
1
1 11 2n n n n n
j j j j jE r E r E E t
Si r ½:
1 1 2 2 maxn n n
j k k jE r r E t
1 maxn n n
j k k jE E t
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Error de Truncamiento Global
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Consistencia de un esquema Numérico
1 maxn n n
j k k jE E t
1 1maxn n n
j k k jE E t
1 1 1maxn n n n
j k k j jE E t
1 0
0
maxn
n m
j k k j
m
E E t
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Error de Truncamiento Global
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Consistencia de un esquema Numérico
1
01 max
n m
j m n jE n t
(si r ½)
1
0
nn m
j j
m
E t
1 1
0maxn n m
j m n jE t
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No Consistencia
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Consistencia de un esquema Numérico
00
0tx
p
Esquema de DuFort-Frankel:
1 1 1 1
1 1
22
n n n n n n
j j j j j ju u u u u uD
t x
2
2 2 2 2 2
2
,
( , , ), n
j
n
j
x t
u tDp O t x p t p
t x
,si no
2 2
2 2
u u uD Dp
t x t
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Orden de Precisión
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Consistencia de un esquema Numérico
Esquema explícito centrado:
2 2 2( , ), n
j O t x t x
Esquema de DuFort-Frankel:
2( , )n
j O t x
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Orden de Precisión
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Consistencia de un esquema Numérico
Esquema explícito centrado con máxima
precisión (Douglas):
2 42
2 4
u uD
t x
2 4
2 4
4
,
( ) ( , )2 6 n
j
n
j
x t
D x uD t O t x
x
2
6
xt
D
2 4( , )n
j O t x
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Condición de Borde de Neumann
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Consistencia de un esquema Numérico
2
2, 0 , 0
u uD x L t
t x
( , 0) ( )u x t f x
( 0, ) ( )u x t g t
( , ) ( )u
x L t h tx
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Diferencias finitas – problemas parabólicos
Consistencia de un esquema Numérico
1 1 ( )2
n nnN Nu u
h tx
1
1 1
2
2, 0 , 0
n n n n n
j j j j ju u u u uD j N n
t x
Condición de Borde de Neumann
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Convergencia
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Convergencia de la Solución Numérica
00
,
( , )
nj
n n
j j
tx
x t fijos
u u x t
/
/00
( , )t t
x xtx
u u x t
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Convergencia Explícito Centrado
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Convergencia de la Solución Numérica
Si r 1/2 y es consistente convergente
Condición r 1/2: estabilidad numérica
1 1
,0maxn n m
j k m n kE t
Si r 1/2:
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Teorema de Lax
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Convergencia de la Solución Numérica
Si consistente y estable
convergente
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Manifestación Inestabilidad
Numérica
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Estabilidad de la Solución Numérica
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Condición de Estabilidad
Numérica
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Estabilidad de la Solución Numérica
0n
j
n
u
:o on n
j jSi u perturbada en u
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Método de Von Neumann
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Estabilidad de la Solución Numérica
n n n
j j ju u u
Reemplazar en ecuación en diferencias
y desarrollar a primer orden
jikxn n n ikj x
ju e e
1
1n
n
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Estabilidad de Esquema Explícito
Centrado
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Estabilidad de la Solución Numérica
1
1 2 1 cos( )n
n
ng r k x
1/ 2r
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Esquema de Richardson
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Estabilidad de la Solución Numérica
1/ 22 2 4
1,2 2 ( / 2) 1 4 ( / 2)rsen k x r sen k x
24 ( / 2) 1
1 0
n rsen k xG
1 1
1 1
2
2
2
n n n n n
j j j j ju u u u uD
t x
Incondicionalmente inestable
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Esquema de Du Fort - Frankel
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Estabilidad de la Solución Numérica
1 11 11 1
22
n n n nn nj j j jj j
u u u uu uD
t x
Incondicionalmente estable
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Esquema Implícito Ponderado
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Estabilidad de la Solución Numérica
1 1 1 1
1 1 1 1
2 2
2 2(1 )
n n n n n n n n
j j j j j j j ju u u u u u u uD
t x x
1 2 (1 ) 1 cos( )
1 2 1 cos( )
nr k x
gr k x
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Diferencias finitas – problemas parabólicos
Estabilidad de la Solución Numérica
Incondicionalmente estable si 1/2
1 2 (1 ) 1 cos( )
1 2 1 cos( )
nr k x
gr k x
L r
m k
Esquema Implícito Ponderado
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Justificación de Implícitos
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Estabilidad de la Solución Numérica
En problemas con escalas
temporales disímeles
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Ecuación de Advección-Difusión
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Problema de Advección - Difusión
2
2, 0 , 0
u u uU D x L t
t x x
Es un problema parabólico
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Esquema Explícito Centrado
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Problema de Advección - Difusión
2( , )n
j O t x
1
1 1 1 1
2
2,
2
0 , 0
n n n n n n n
j j j j j j ju u u u u u uU D
t x x
j N n
![Page 35: Análisis Numérico II Diferencias finitas problemas ...materias.fi.uba.ar/7538/material/DifFinitasParabolicos_2011.pdf · Consistencia de un esquema Numérico 0 0 0 t x p 'o 'o o](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042612/5f526b436c134458a10b86ff/html5/thumbnails/35.jpg)
35/59
Estabilidad
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Problema de Advección - Difusión
1 2 1 cos( ) sen( ) ng r k x ip k x
2
D tr
x
U tp
x
1/ 2, 2r p r
2
2
2,
2
x Dt t
D U
![Page 36: Análisis Numérico II Diferencias finitas problemas ...materias.fi.uba.ar/7538/material/DifFinitasParabolicos_2011.pdf · Consistencia de un esquema Numérico 0 0 0 t x p 'o 'o o](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042612/5f526b436c134458a10b86ff/html5/thumbnails/36.jpg)
36/59
Restricción por Estabilidad
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Problema de Advección - Difusión
2xt
D
Dx
U
![Page 37: Análisis Numérico II Diferencias finitas problemas ...materias.fi.uba.ar/7538/material/DifFinitasParabolicos_2011.pdf · Consistencia de un esquema Numérico 0 0 0 t x p 'o 'o o](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042612/5f526b436c134458a10b86ff/html5/thumbnails/37.jpg)
37/59
Upwinding
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Problema de Advección - Difusión
1
1 1 1
2
2,
0 , 0
n n n n n n n
j j j j j j ju u u u u u uU D
t x x
j N n
Si U > 0:
( , )n
j O t x
![Page 38: Análisis Numérico II Diferencias finitas problemas ...materias.fi.uba.ar/7538/material/DifFinitasParabolicos_2011.pdf · Consistencia de un esquema Numérico 0 0 0 t x p 'o 'o o](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042612/5f526b436c134458a10b86ff/html5/thumbnails/38.jpg)
38/59
Estabilidad Para Upwinding
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Problema de Advección - Difusión
2
xt
DU
x
![Page 39: Análisis Numérico II Diferencias finitas problemas ...materias.fi.uba.ar/7538/material/DifFinitasParabolicos_2011.pdf · Consistencia de un esquema Numérico 0 0 0 t x p 'o 'o o](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042612/5f526b436c134458a10b86ff/html5/thumbnails/39.jpg)
39/59
Método de Hirt
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Problema de Advección - Difusión
Ecuación verdadera para explícito centrado:
2 2
2 2
2 3 2 42 4
3 4
2
( , ) 03 12
u u u t uU D
t x x t
x u x uU D O t x
x x
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40/59
Condición de Courant
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Problema de Advección - Difusión
ecuación
hiperbólica
2 2
2 22
u u u t uU D
t x x t
2dx D
dt t
dx x
dt t
1/ 2r
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41/59
Condición de Difusión
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Problema de Advección - Difusión
2
2
U tD
2 2
22
u u U t uU D
t x x
2
2Dt
U
![Page 42: Análisis Numérico II Diferencias finitas problemas ...materias.fi.uba.ar/7538/material/DifFinitasParabolicos_2011.pdf · Consistencia de un esquema Numérico 0 0 0 t x p 'o 'o o](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042612/5f526b436c134458a10b86ff/html5/thumbnails/42.jpg)
42/59
Crank-Nicholson Centrado
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Problema de Advección - Difusión
2 2( , )n
j O t x
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
1 1 1 1
2 2
1
2 2 2
2 21
2
n n n n n n
j j j j j j
n n n n n n
j j j j j j
u u u u u uU
t x x
u u u u u uD
x x
![Page 43: Análisis Numérico II Diferencias finitas problemas ...materias.fi.uba.ar/7538/material/DifFinitasParabolicos_2011.pdf · Consistencia de un esquema Numérico 0 0 0 t x p 'o 'o o](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042612/5f526b436c134458a10b86ff/html5/thumbnails/43.jpg)
43/59
Pruebas
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Problema de Advección - Difusión
5U x
PeD
0,8U t
Crx
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44/59
0,05U t
Crx
10U x
PeD
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Problema de Advección - Difusión
Pruebas
![Page 45: Análisis Numérico II Diferencias finitas problemas ...materias.fi.uba.ar/7538/material/DifFinitasParabolicos_2011.pdf · Consistencia de un esquema Numérico 0 0 0 t x p 'o 'o o](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042612/5f526b436c134458a10b86ff/html5/thumbnails/45.jpg)
45/59
5U t
Crx
5U x
PeD
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Problema de Advección - Difusión
Pruebas
![Page 46: Análisis Numérico II Diferencias finitas problemas ...materias.fi.uba.ar/7538/material/DifFinitasParabolicos_2011.pdf · Consistencia de un esquema Numérico 0 0 0 t x p 'o 'o o](https://reader034.fdocuments.es/reader034/viewer/2022042612/5f526b436c134458a10b86ff/html5/thumbnails/46.jpg)
46/59
Performance
U xPe
D
U tCr
x
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Problema de Advección - Difusión
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47/59
Problema Base
2 2
2 2, 0 , 0 , 0
u u uD x a y b t
t x y
( , , 0) ( , )u x y t f x y
( , ) ( , ) u s t g s t sobre contorno cerrado
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Problemas Bidimensionales
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Explícito Centrado
1
1 1 1 1
2 2
2 2,
0 , 0 , 0
n n n n n n n n
ij ij i j ij i j ij ij ij
x y
u u u u u u u uD
t x y
i N j N n
0 ( , )ij i ju f x y
( , , ) n n
ij i ju g x y t sobre contorno
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Problemas Bidimensionales
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49/59
Cálculo
1
1 1 1 11 2 2 ,
0 , 0 , 0
n n n n n n
ij x y j x i j i j y ij ij
x y
u r r u r u u r u u
i N j N n
2 2, x y
D t D tr r
x y
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Problemas Bidimensionales
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50/59
Estabilidad
2,
D ty x r
x
yxik j yik i xn n
iju e e
2 21 42 2
yn xk yk x
g r sen sen
1/ 4r
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Problemas Bidimensionales
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51/59
Implícito Ponderado Centrado
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
2 2
1 1 1 1
2 2
2 2
2 2(1 )
n n n n n n n n
ij ij i j ij i j ij ij ij
n n n n n n
i j ij i j ij ij ij
u u u u u u u uD
t x y
u u u u u uD
x y
1/ 2: incondicionalmente estable
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Problemas Bidimensionales
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52/59
Cálculo
1 1 1 1 1
1 1 1 11 2 2 n n n n n n
x y ij x i j i j y ij ij ijr r u r u u r u u u
1: fuertemente implícito
Sistema algebraico acoplado
en ambas direcciones
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Problemas Bidimensionales
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53/59
Direcciones Alternadas
1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2
1 1 1 1
2 2
2 2
/ 2
n n n n n n n n
ij ij i j ij i j ij ij iju u u u u u u uD
t x y
1 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1 1 1
1 1 1 1
2 2
2 2
/ 2
n n n n n n n n
ij ij i j ij i j ij ij iju u u u u u u uD
t x y
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Problemas Bidimensionales
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54/59
Cálculo
1/ 2 1/ 2 1/ 2
1 1
1 1
1
1
n n n
x ij x i j i j
n n n
y ij y ij ij
r u r u u
r u r u u
Sistemas algebraicos
acoplados por dirección
1 1 1
1 1
1/ 2 1/ 2 1/ 2
1 1
1
1
n n n
y ij y ij ij
n n n
y ij x i j i j
r u r u u
r u r u u
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Problemas Bidimensionales
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55/59
Estabilidad
1 1 cos( ) 1 1 cos( )
1 1 cos( ) 1 1 cos( )
y xn
x y
r k y r k xg
r k x r k y
Incondicionalmente estable
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Problemas Bidimensionales
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56/59
Desdoblamiento (Localmente 1D)
1* 1* 1* 1*
1 1 1 1
2 2
2 2[ (1 ) ]
n n n n n n n n
ij ij i j ij i j i j ij i ju u u u u u u uD
t x x
2* 1* 1 1 1 2* 2* 2*
1 1 1 1
2 2
2 2[ (1 ) ]
n n n n n n n n
ij ij ij ij ij ij ij iju u u u u u u uD
t y y
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Problemas Bidimensionales
1 2*n n
ij iju u
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57/59
Estabilidad
1 1 cos( ) 1 1 cos( )n
x yg r k x r k y
Mas estable que el de paso entero
1/ 2r
0 Totalmente explícito:
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Problemas Bidimensionales
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58/59
2
2
u uD
t x
1 1
2
2j j j jdu u u uD
dt x
Discretización Espacial
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Método de las Líneas
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59/59
Nuevo Problema Diferencial
dUAU
dt
1
2
3
1
...
N
u
u
U u
u
2 1 0 ... 0
1 2 1 ... 0
0 1 2 ... 0
... ... ... ... ...
0 ... 0 1 2
A r
Sistema de ecuaciones
diferenciales ordinarias
Diferencias finitas – problemas parabólicos
Método de las Líneas