ANÁLISIS SIMPLIFICADO DE LA RESPUESTA DINÁMICA NO LINEAL DE PRESAS DE ENROCADO FRENTE A SISMOS

Ing. Civil Juan Francisco Bissio Prof. FI UNLP, Quasdam Ingeniería.

Ing. Civil Joaquín Liaudat

RESUMEN: En los últimos años se registra un incremento significativo de la intensidad de las acciones sísmicas especificadas para el análisis dinámico de grandes presas. La explicación de este fenómeno se encuentra en el perfeccionamiento de los instrumentos de medición. Esta nueva realidad, para no quitar factibilidad a un número significativo de obras, ha llevado al refinamiento de los métodos de análisis de la respuesta de las presas, considerando la no linealidad, amortiguamientos variables, etc. Como consecuencia, los cálculos se tornan muy complejos y de largo desarrollo. En el presente trabajo, resultado de un programa de Investigación realizado en la Facultad de Ingeniería de la UNLP, se describe una metodología de análisis aproximado que cuenta con refinamientos suficientes para considerar los aspectos expuestos anteriormente, manteniendo la simplicidad de implementación y brindando resultados aceptables en comparación con los obtenidos mediante métodos más refinados. Los resultados obtenidos resultan de aplicación inmediata en problemas de ingeniería de presas de enrocado tipo CFRD. Abstract: Intensity of measured seismic parameters has increased in the past years, due to an improvement in measurement devices. Under a research program in the UNLP, a preliminary design procedure was developed, in order to asses the validation or verification of CFRDs sections under strong seismic loads. The method allows an step to step update in rockfill moduli and global damping, showing a good agreement with refined analysis such as nonlinear FEM.

INTRODUCCIÓN El análisis dinámico de las presas de materiales sueltos situadas en zonas de alta sismicidad representa un aspecto fundamental del proyecto de las mismas, toda vez que se trata de cuantificar la seguridad global de la obra, junto con las vidas y bienes que se ubican en su área de influencia. El incremento en los parámetros característicos de las acciones sísmicas (por ejemplo, la PGA) ha llevado a una situación en la cual, para zonas de alta sismicidad, resulta mandatario llevar a cabo un análisis no lineal del comportamiento de la presa bajo el sismo máximo de diseño (MDE), y en ocasiones, también bajo el TBO. El análisis aproximado por antonomasia para el análisis de este tipo de presas, ha sido el método de Makdisi-Seed. Este método asume una cinemática del problema definida por la denominada “teoría de la viga de cortante”, y permite considerar la no linealidad en el módulo de cortante G del material, así como el nivel de amortiguamiento λ, en función de las distorsiones medias del cuerpo de la presa, pero tomando un juego único de parámetros (G/Go) y (λ/λo) para todo el desarrollo del sismo. Para el caso de sismo de gran intensidad, esta simplificación puede llevar a factores de amplificación menores a la unidad, al producir un “ablandamiento” de la presa un tanto excesivo, y mantenerlo constante durante la totalidad del sismo. En ocasiones, se parte el análisis de acuerdo a segmentos de acelerograma de características más o menos homogéneas, pero esto solamente introduce un parche que poco remedia el problema de fondo. Este nuevo escenario de acciones de gran intensidad, requiere del desarrollo de métodos aproximados de análisis “paso a paso” (o Time History, según su denominación habitual en inglés) que permitan introducir cambios en la rigidez y amortiguamiento en cada paso de análisis. Este trabajo propone definir una tipificación adimensional de los modos principales de vibración, considerando un modo “horizontal” con mayor participación de masa en la dirección horizontal, y otro “vertical”, con mayor participación de masa en la dirección vertical. Ambos tienen componentes tanto horizontales como verticales. Estos modos se definen a partir de valores en puntos predeterminados de la estructura, y se extrapolan al resto de la misma a través de funciones de forma parabólicas. Al mismo tiempo, se tipifican los períodos propios asociados con cada uno de estos modos, en función de la altura de la presa y la rigidez del material de la misma. Para desarrollar el análisis paso a paso considerando las variaciones en la rigidez del material y el amortiguamiento, se utilizan los modos para plantear la solución en términos de un vibrador de un grado de libertad. Los modos tipificados permiten calcular deformaciones específicas, y a partir de ellas, el ablandamiento del material y su amortiguamiento, para cada paso de tiempo.

MODOS TIPIFICADOS Utilizando el programa ADINA, se analizó el total de combinaciones a partir del siguiente conjunto de geometrías y materiales: Alturas: 50, 100 y 150 m Pendientes del espaldón AAR: 1.4H:1V en todos los casos. Pendiente del espaldón AAB: 1.4H:1V y 1.6H:1V Rigidez del material: K2=80 psf1/2 y K2=125 psf1/2 (27 kPa1/2 y 18 kPa1/2) Adicionalmente, se analizó un caso de 75m de altura, pendientes 1.4H:1V, y K2=80 psf1/2. En lo sucesivo, los diferentes modelos se identificarán a partir de su altura, pendiente AAB y rigidez, por ejemplo, 100-1.6-80 Todos los modelos de análisis son semejantes en cuanto a discretización, con 1053 nodos y 250 elementos, mayoritariamente cuadrangulares de 9 nodos y triángulos de transición con 7 nodos. En la Figura 01 se muestra el aspecto del mismo.

Figura 01 – Modelo de EF Para el caso particular de la presa 100-1.4-125, los modos 1 y 2 presentan la siguiente configuración. Los casos restantes son morfológicamente semejantes:

Figura 02 – Modo 1

Y

Z

Figura 03 - Modo 2 El análisis de los Factores de Participación Modal (FPM) muestra poca dependencia del mismo frente a las diferentes geometrías y materiales, como se aprecia en la tabla T-01. También es posible establecer que los modos 1 y 3 son los de mayor participación, en dirección horizontal y vertical respectivamente.

Presa 1 3 5 13 2 6 11 4

50-1.4-80 61% 13% 9% 3% 41% 19% 6% 5%

50-1.4-125 61% 13% 9% 3% 41% 19% 6% 4%

50-1.6-80 61% 12% 10% 4% 37% 21% 4% 5%

50-1.6-125 61% 12% 9% 3% 37% 20% 4% 5%

75-1.4-80 60% 14% 8% 3% 41% 19% 6% 4%

100-1.4-80 60% 14% 9% 3% 41% 20% 6% 4%

100-1.4-125 60% 14% 8% 3% 42% 19% 7% 4%

100-1.6-80 61% 12% 9% 4% 37% 21% 6% 5%

100-1.6-125 60% 13% 9% 4% 37% 20% 6% 5%

150-1.4-80 60% 14% 8% 3% 41% 20% 7% 4%

150-1.4-125 60% 14% 8% 3% 42% 19% 7% 4%

150-1.6-80 60% 12% 9% 4% 37% 21% 6% 5%

150-1.6-125 60% 13% 9% 3% 37% 20% 6% 5%

Max 61% 14% 10% 4% 42% 21% 7% 5%

Min 60% 12% 8% 3% 37% 19% 4% 4%

Promedio 60% 13% 9% 3% 39% 20% 6% 5%

Modos Horizontales Modos verticales

Tabla T-01 – Factores de Participación Modal También resulta de suma importancia la estimación de los períodos propios, típicamente expresados mediante la expresión:

T = CTE H / Vs � T / ( H/Vs) = CTE (1) Donde H es la altura de la presa, y Vs la celeridad de la onda de corte en el material que la compone, es decir, un parámetro definido por sus constantes elásticas. En la tabla T-02 se muestra el valor del adimensional T//H/Vs) para todos los modos estudiados y las geometrías definidas.

Presa 1 3 5 13 2 6 11 4

50-1.4-80 2.42 1.34 1.02 0.65 1.46 0.95 0.73 1.10

50-1.4-125 2.43 1.34 1.02 0.65 1.47 0.95 0.73 1.10

50-1.6-80 2.38 1.33 1.06 0.68 1.46 0.98 0.77 1.15

50-1.6-125 2.39 1.34 1.06 0.68 1.46 0.98 0.77 1.16

75-1.4-80 2.38 1.32 0.99 0.64 1.43 0.92 0.71 1.07

100-1.4-80 2.35 1.31 0.98 0.64 1.42 0.91 0.70 1.06

100-1.4-125 2.35 1.31 0.98 0.64 1.42 0.91 0.70 1.06

100-1.6-80 2.32 1.30 1.02 0.66 1.42 0.94 0.74 1.11

100-1.6-125 2.31 1.30 1.02 0.66 1.41 0.94 0.74 1.11

150-1.4-80 2.32 1.29 0.97 0.63 1.40 0.90 0.69 1.04

150-1.4-125 2.32 1.30 0.97 0.63 1.40 0.90 0.69 1.04

150-1.6-80 2.29 1.29 1.01 0.65 1.41 0.93 0.73 1.10

150-1.6-125 2.28 1.28 1.01 0.65 1.39 0.93 0.73 1.09

Max 2.43 1.34 1.06 0.68 1.47 0.98 0.77 1.16

Min 2.28 1.28 0.97 0.63 1.39 0.90 0.69 1.04

Promedio 2.35 1.31 1.01 0.65 1.43 0.93 0.73 1.09

Modos Horizontales Modos verticales

Tabla T-02 – Adimensional T/(H/Vs) Se concluye inmediatamente que es posible estimar el período propio de los modos principales en horizontal y vertical a partir de las expresiones: T1H = 2.4 H/Vs (2) T1V = 1.4 H/Vs (3) El valor de T1H concuerda bien con el dado por la teoría de la viga de cortante (2.6 en lugar de 2.4), que solamente considera desplazamientos horizontales, mientras que los modelos estudiados en este trabajo tienen componentes horizontales y verticales.

DESCRIPCIÓN DE LOS MODOS 1 y 2 EN TÉRMINO DE FUNCIONES DE INTERPOLACIÓN. A los efectos del análisis aproximado que se pretende desarrollar, es suficiente describir las formas modales de los dos primeros modos a partir de valores nodales y funciones de interpolación (o de forma). Para tal fin, se ha elegido un conjunto reducido de nodos para generar las formas modales en términos de vectores con valores nodales fijos, e interpolación mediante funciones de forma parabólicas en el resto del dominio. Utilizando coordenadas naturales (r,s), los nodos característicos y los coeficientes de la funciones de forma se muestran en la Figura 04:

Figura 04 En lo sucesivo, se denomina MH1 al modo horizontal principal (modo 1 en la tabla T-02), y MV1 al modo vertical principal (modo 2 en la tabla T-02). Los desplazamientos nodales para los dos modos principales resultan los que se muestran en la tabla T-03, a la izquierda. A partir de estos valores, se recalculan los FPM, resultando de 78% para MH1 en dirección horizontal, y de 55% para MV1 en dirección vertical. Para obtener estos valores se ha considerado una matriz de masa tipo “lumped”, con la masa total igualmente distribuida en los 7 nodos. Hipótesis más complejas no mejoraron los resultados aproximados finales, pero el método permite asumir cualquier distribución de masas. Asimismo, se calcularon los cocientes L/M para cada uno de los modos, resultando 1.49 y -1.30 para MH1 (desplazamientos horizontales) y para MV1 (desplazamientos verticales) respectivamente. Las columnas de la derecha en la T-03 muestran los desplazamientos modales multiplicados por sus respectivos L/M.

r

s cte r r2 rs r2s r 2s2 rs2 s2 sh9 1 0 -1 0 0 1 0 -1 0 1

h8 0 0.5 0.5 0 0 -0.5 -0.5 0 0 6 9 8

h7 0 0 0 0 0.5 -0.5 0 0.5 -0.5h6 0 -0.5 0.5 0 0 -0.5 0.5 0 0 3 7 4

h4 0 0 0 -0.25 -0.25 0.25 0.25 0 0h3 0 0 0 0.25 -0.25 0.25 -0.25 0 0h1 0 0 0 0 0 0 0 0.5 0.5

MH1 vs 50-1.4-80 - EJE

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

y/H

MH1

Caso 50-1.4-80

MV1 vs 50-1.4-80 - EJE

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0

y/H

MV1

Caso 50-1.4-80

MH1 MV1 MH1*(1.49) MV1*(-1.30)

U1Y 1.000 0.019 1.491 -0.025

U1Z -0.005 -1.000 -0.008 1.302

U3Y 0.000 0.000 0.000 0.000

U3Z 0.000 0.000 0.000 0.000

U4Y 0.000 0.000 0.000 0.000

U4Z 0.000 0.000 0.000 0.000

U6Y 0.329 -0.325 0.490 0.424

U6Z 0.064 -0.070 0.096 0.091

U7Y 0.000 0.000 0.000 0.000

U7Z 0.000 0.000 0.000 0.000

U8Y 0.342 0.311 0.510 -0.404

U8Z -0.073 -0.081 -0.109 0.106

U9Y 0.426 0.002 0.635 -0.002

U9Z -0.003 -0.527 -0.004 0.686

Tabla T-04 Las Figura 05 muestra la comparación entre los modos estandarizados MH1 y MV1 y uno de los casos de análisis, en el eje de la presa, y considerando s=0 en y/H=1/2 (pueden utilizarse otros valores). El error máximo es de 4% para MH1 y de 10% para MV1, valores considerados adecuados para un análisis aproximado como el que se desarrolla en este trabajo. Figura 05 – Ajuste de MH1 y MV1

( )Cmax

A1

11min

B+λ

γ+

−+λ=λ

MÉTODO APROXIMADO PARA EL ANÁLISIS NOLINEAL Durante un sismo de gran intensidad, la rigidez del material y el amortiguamiento varían con las deformaciones específicas de cortante, siguiendo leyes del tipo de las que se muestran en la Figura 06 (after Seed et al)

Figura 06 Siguiendo a varios autores (Vucetic, Dobry, Stokoe et al), las relaciones de degradación del módulo de cortante e incremento del amortiguamiento, se pueden describir mediante expresiones del tipo: (4) (5) Para evaluar la deformación a cortante γγγγ, el enfoque más simplificado consiste en obtener un valor medio para todo el cuerpo de la presa. Aplicando la metodología propuesta en este trabajo, se han calculado en 9 puntos de Gauss las deformaciones específicas asociadas con los modos estandarizados MH1 y MV1, así como también con los desplazamientos modales asociados MH1*1.49 y MV1*(-1.30). Promediando los nueve valores, se obtienen valores únicos, promedio para el cuerpo de la presa, que se muestran en la Tabla T-05.

a

r1

1maxGG

γγ+

=

Es importante destacar que el método propuesto permite calcular cualquier otro conjunto de valores de deformación, ya sea mediante promedios pesados, subdivisión del cuerpo de la presa, etc. En este caso se muestra el valor más sencillo posible (promedio simple, y valor resultante único). En la Tabla T-05 se presentan los valores de deformaciones específicas promedio de 9 PGs, promedio de las tres alturas (50-100-150) y dos pendientes (1.4 - 1.6). Se presentan tanto las deformaciones correspondientes a los ejes cartesianos YZ (εy, εz, γyz), valores calculados para desplazamientos modales (valor del autovector por L/M), y multiplicados por H en metros. Por lo tanto, para una altura dada de presa, los valores de deformaciones adimensionales se obtienen dividiendo los valores de la T-05 por la altura en metros.

Tabla T-05 Para desarrollar el análisis paso a paso aproximado, considerando las variaciones de la rigidez y el amortiguamiento en función de los desplazamientos, se asume que las formas modales no cambian significativamente durante el desarrollo del sismo, y de esa manera, todos los desplazamientos en el cuerpo de la presa quedan definidos por los de un punto, por ejemplo, el coronamiento. Los desplazamientos se obtienen a partir de una formulación explícita, y en cada paso las deformaciones promedio (T-05) permiten obtener la degradación del módulo y el amortiguamiento correspondiente. La degradación del módulo permite definir en cada paso de tiempo la frecuencia circular ω, que se asume variable en el tiempo. Para evaluar la aproximación del método en su versión más sencilla, se analizó mediante el programa ADINA el siguiente caso no lineal de una presa tipo CFRD con las siguientes características:

• H=100m • Pendiente espaldones AAR y AAB: 1.4H:1V • Material elasto-plástico Mohr-Coulomb, con φ=40°, cohesión nula, y rigidez

variable con la presión de confinamiento, con K2=125. El módulo dinámico promedio en el cuerpo de la presa resultó igual a 1145 MPa

Se analizó el modelo bajo la acción del acelerograma de componente horizontal que se muestra en la Figura 07, correspondiente a un sismo de Ms=6.5, con PGA=0.88g,

obteniéndose como parámetro característico de respuesta para la comparación, las aceleraciones en el coronamiento.

Acelerograma Basal

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0

Tiempo (seg)

uttg

/ g

Figura 07 Para el análisis aproximado, implementado en una simple hoja de cálculo, se consideró el siguiente juego de parámetros: Emáx=945 MPa, � Gmáx=727 MPa, To=0.394 seg, ωo=16 rad/seg Parámetros de degradación de G y variación del amortiguamiento (parámetros para las expresiones 4 y 5): Para G/Gmáx: a= 0.95 - γr=0.06 Para λ: A=0.45 – B=1 – C=3 – λmín=10% - λmáx=21% Durante el análisis paso a paso aproximado, se obtuvieron los siguientes valores máximos, debidos a la intensidad del movimiento basal:

• (G/Gmáx)mínimo = 0.52 • λ máx=12.62%

En la Figura 08 se muestran las historias de aceleraciones totales en el coronamiento, para el análisis nolineal mediante EF, el análisis aproximado y el lineal, mostrando el buen acuerdo entre los dos primeros

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Tiempo (seg)

Ace

lera

ció

n (

g)

ADINA APROX. LINEAL

Figura 08

En el mismo sentido, la Figura 09 presenta los espectros de piso en el coronamiento, mostrando la similitud entre el correspondiente al análisis aproximado y el no lineal mediante EF, y su diferenciación respecto al del análisis lineal (sin degradación del módulo ni variación del amortiguamiento).

Espectro de respuesta en coronamiento

0

1

2

3

4

5

6

7

0.1 1

T (seg)

Sa

(g

)

ADINA

APROX

LINEAL

Figura 09

CONCLUSIONES Se ha presentado en primer término una estandarización de los modos de vibración y los períodos propios de presas de enrocado, mostrando un buen ajuste y correlación de valores aproximados, válidos para ser utilizados en análisis aproximados. Los modos principales en horizontal y vertical han sido asimismo tipificados en términos de desplazamientos nodales y funciones de forma parabólicas, definiendo a partir de las mismas deformaciones específicas asociadas con los desplazamientos modales. La aplicación más simplificada ha permitido lograr un buen ajuste en la respuesta dinámica (medida en términos de aceleraciones totales) para un caso típico de análisis frente a un sismo de intensidad fuerte a muy fuerte. La metodología propuesta permite establecer la base para numerosas variantes en el análisis aproximado de la respuesta dinámica de presas del tipo descripto.