Análisis y Comprensión de Problemas · un conjunto de problemas resueltos y un grupo de problemas...

Análisis y Comprensión de Problemas 2013 Fundamentos, Problemas Resueltos, y Problemas Propuestos

Sonia V. Rueda Alejandro J. García UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SUR -- DEPARTAMENTO DE CIENCIAS E INGENIERÍA DE LA COMPUTACIÓN

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Programa de Nivelación

Análisis y Comprensión de Problemas

Fundamentos, Problemas Resueltos y Problemas Propuestos

Sonia V. Rueda Alejandro J. García

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS E INGENIERÍA DE LA COMPUTACIÓN UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SUR



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TABLA DE CONTENIDOS

1 Fundamentos y metodología propuesta ........................................................................................................... 6 2 El proceso de resolución de un problema ........................................................................................................ 7 3 Análisis y Comprensión de problemas ............................................................................................................ 7

3.1 Etapas en el análisis y comprensión de un enunciado ............................................................................... 8 3.2 Identificación de la incógnita .................................................................................................................... 8 3.3 Datos explícitos e implícitos ..................................................................................................................... 9 3.4 Dobles negaciones ................................................................................................................................... 10 3.5 Ejemplos de análisis de problemas .......................................................................................................... 10

3.5.1 Análisis de enunciados de problemas algebraicos ......................................................................... 11 3.5.2 Análisis del enunciado de un problema de geometría .................................................................... 13 3.5.3 Análisis del enunciado de un problema lógico .............................................................................. 15 3.5.4 Análisis del enunciado de un problema de combinatoria .............................................................. 17

3.6 Construyendo un enunciado .................................................................................................................... 18 3.6.1 Construyendo una definición ......................................................................................................... 18 3.6.2 Enunciados que indican instrucciones ........................................................................................... 19 3.6.3 Escribiendo enunciados de juegos ................................................................................................. 20

4 Construcción de la solución ........................................................................................................................... 21 4.1 Cambiar la representación ....................................................................................................................... 22 4.2 El espacio de búsqueda ............................................................................................................................ 23 4.3 Búsqueda inteligente ............................................................................................................................... 24 4.4 Elaborar una hipótesis ............................................................................................................................. 26 4.5 Razonar hacia atrás .................................................................................................................................. 32 4.6 Dividir el problema en subproblemas ...................................................................................................... 33 4.7 Reformular el problema ........................................................................................................................... 34

5 Verificación de la solución ............................................................................................................................ 34 6 Problemas propuestos .................................................................................................................................... 35 7 Soluciones, pistas o respuestas. ..................................................................................................................... 48 8 Glosario ......................................................................................................................................................... 51 9 Agradecimientos ............................................................................................................................................ 52



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Análisis y Comprensión de Problemas Fundamentos, Problemas Resueltos y Problemas Propuestos

El curso de Análisis y Comprensión de Problemas abordará de manera integral los distintos aspectos involucrados en el proceso de resolución de un problema, desde la comprensión del enunciado, hasta la construcción de diversas representaciones alternativas tendientes a alcanzar la solución. La intención del curso no es enseñar nuevos conceptos, sino retomar los contenidos curriculares desarrollados en el nivel medio y replantearlos en el contexto de situaciones motivadoras y significativas. Un problema es un desafío intelectual y esta propuesta apunta a desarrollar una actitud pro-activa y creativa frente a él.

En particular se persiguen los siguientes objetivos: • Promover el análisis de los enunciados de los problemas y lograr una comprensión

acabada de los mismos. • Desarrollar habilidades para identificar estrategias formales e informales, para la

resolución de problemas de diferentes dominios de aplicación. • Favorecer la reflexión y la discusión acerca de las distintas estrategias y formas de

razonamiento. • Lograr mayor exactitud y precisión en el lenguaje utilizado al trabajar con un problema. • Desarrollar una actitud positiva ante el error como forma de aprendizaje. • Aumentar la perseverancia y el esfuerzo por superar situaciones de bloqueo.

Presentamos a continuación las ideas fundamentales que serán abordadas en el curso, junto a un conjunto de problemas resueltos y un grupo de problemas para resolver. Los problemas resueltos serán utilizados para ejemplificar la aplicación de la metodología propuesta, mientras que los problemas propuestos tienen como objetivo permitir a los lectores ejercitar los contenidos aquí presentados. Entre los problemas propuestos se incluyen los enunciados de los exámenes del curso de nivelación del año 2002.

Los problemas seleccionados apuntan a estimular el razonamiento lógico y reforzar las estructuras de pensamiento que los alumnos han adquirido durante su formación en el nivel medio. El propósito fundamental del curso es estimular el desarrollo de habilidades que resulten útiles para la resolución de problemas de cualquier dominio de aplicación. Sin embargo muchos de los problemas están fuertemente ligados a una o más ramas de la matemática, por lo que las expectativas del curso no sólo son alentadoras en lo referente a los objetivos específicos que persigue, sino concibiéndolo como espacio articulador con el Curso de Nivelación de Matemática.



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Fundamentos y metodología propuesta

La resolución de problemas permite desarrollar actitudes, hábitos y formas de pensamiento que mejoran las capacidades básicas de un individuo para desenvolverse no sólo en el ámbito académico, sino también en la vida cotidiana. Aunque parezca obvio, es importante definir a qué nos referimos cuando hablamos de un problema, considerando que esta palabra es usada en contextos diferentes y con matices diversos.

El diccionario de la Real Academia Española da cinco acepciones diferentes para la palabra problema:

1. Cuestión que se trata de aclarar. 2. Proposición o dificultad de solución dudosa. 3. Conjunto de hechos o circunstancias que dificultan la consecución de algún fin. 4. Disgusto, preocupación. 5. Planteamiento de una situación cuya respuesta desconocida debe obtenerse a través

de métodos científicos. En los cursos de Matemática o Física, es común que se distingan los problemas de los ejercicios. En un ejercicio se busca encontrar una solución a una consigna aplicando una fórmula, un método o un algoritmo conocido. En un problema, en cambio, no resulta evidente el camino a seguir, ya que no se dispone a priori de una fórmula o método para aplicar. Además puede haber varios caminos alternativos que permitan resolver el problema. La resolución de un problema requiere aplicar y vincular conocimientos previos, probablemente de áreas diferentes, buscando nuevas relaciones. Tampoco consideraremos problema a una situación que no tiene solución.

Por ejemplo, “calcular el espacio recorrido por un móvil, que se mueve durante 18 segundos a velocidad constante de 30 km. por hora”, no es considerado un problema para un estudiante de Física Elemental, sino que representa un ejercicio en donde debe aplicar un método y una fórmula conocida. Para un niño de 4 años, tampoco se lo considerará un problema, ya que con sus conocimientos no tiene modo de llegar a la solución.

Resolver un problema requiere tiempo y esfuerzo. El proceso de resolución puede resultar una experiencia placentera y motivadora, ya que tiene algo de descubrimiento, aumenta nuestro conocimiento, aporta nuevos puntos de vista, y mejora nuestra capacidad para resolver otros problemas en el futuro.

Nuestra propuesta consiste en plantear un conjunto de situaciones que demanden algo de ingenio e intuición, pero sobretodo permitan aplicar y desarrollar habilidades para resolver problemas. El desarrollo de estas capacidades va a requerir de ciertos conocimientos, pero también del entrenamiento que brinda el resolver situaciones que requieren de esfuerzo y perseverancia. El objetivo de este curso no es proponer soluciones para una enorme cantidad de problemas, para que los alumnos las observen y las estudien. Nuestra intención es plantear algunas situaciones motivadoras y significativas, comprometiéndolos con el proceso de resolución.



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La mayoría de los problemas propuestos no tienen una aplicación directa en un área en particular, pero todos enfatizan la importancia de algún aspecto del proceso de resolución. En este curso no presentaremos acertijos o problemas de ingenio que requieran raptos de imaginación esporádicos. Cada situación presentará un desafío intelectual, pero habrá pautas que orientarán el proceso de resolución.

1 El proceso de resolución de un problema La resolución de un problema puede pensarse como un proceso de búsqueda en un espacio de soluciones potenciales. El proceso requiere recorrer tres etapas fundamentales:

a. Analizar y comprender el problema. Esta etapa parece obvia y normalmente es la que se atraviesa con mayor celeridad. Sin embargo, es fundamental y muchas veces la situación de bloqueo ante un problema se debe justamente a que no lo hemos entendido completamente.

b. Construir la solución: En esta etapa se elige y se aplica una estrategia o un conjunto de estrategias combinadas.

c. Verificar la solución: La etapa final es confrontar los resultados obtenidos con el problema planteado, verificando que la solución sea correcta.

Estas etapas no van a seguirse en forma estrictamente secuencial. Muchas veces elegiremos una estrategia, pero luego de aplicarla notaremos que no resulta adecuada o por lo menos no es suficiente para alcanzar la solución. El proceso de resolución puede provocar momentos de bloqueo en donde resulta difícil avanzar, en muchas ocasiones conviene retroceder y volver al paso anterior. En este curso abordaremos todos los pasos de este proceso pero profundizaremos fundamentalmente la primera etapa.

2 Análisis y Comprensión de problemas En un problema pueden distinguirse tres componentes: los datos, la incógnita y un conjunto de reglas o restricciones que vinculan a los datos con la incógnita. El análisis de un problema comienza por lo tanto identificando estas componentes.

Un problema se plantea por lo general mediante un enunciado. Analicemos algunas definiciones del diccionario de la Real Academia Española:

Enunciado1. enunciación.

:

2. (Gramática) Secuencia finita de palabras delimitada por pausas muy marcadas, que puede estar constituida por una o varias oraciones.

Enunciación: Acción y efecto de enunciar. Enunciar

1. Expresar breve y sencillamente una idea. :

2. (Matemática) Exponer el conjunto de datos de un problema. La última definición podría parecer la que más se aproxima a nuestras necesidades. Sin embargo, la especificación de un problema puede no ser breve ni sencilla e incluir datos que no son relevantes para su resolución. En ese sentido, la definición más adecuada es Secuencia finita de palabras delimitada por pausas muy marcadas, que puede estar constituida por una o varias oraciones.



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A continuación se incluyen las etapas que a nuestro entender deberán abordarse para poder comprender un problema. Es importante destacar que no siempre se aplicarán en el orden indicado o todas ellas. Más adelante mostraremos un conjunto de ejemplos para ejemplificar cada una de estas etapas.

2.1 Etapas en el análisis y comprensión de un enunciado

El análisis y comprensión de un problema requerirá entonces de varias etapas:

• Leer con detenimiento TODO el enunciado.

• Comprender claramente el significado de cada palabra y cada frase.

• Poner especial atención a los signos de puntuación, ya que de ellos depende el significado de cada frase.

• Identificar la incógnita.

• Identificar datos explícitos (puede haber relevantes o irrelevantes).

• Identificar datos implícitos (puede haber relevantes o irrelevantes) y hacerlos explícitos.

• Eliminar dobles negaciones o transformar negaciones en afirmaciones.

• Detectar imprecisiones o ambigüedades, y resolverlas antes de seguir avanzando.

• Hacer inferencias a partir de los datos detectados y transformarlos en explícitos.

• Construir un enunciado simple y sencillo con los datos relevantes.

• Verificar la equivalencia entre la especificación inicial y el enunciado obtenido.

Como vemos, el resultado del análisis y comprensión de un problema implicará muchas veces transformar el enunciado en otro más simple. No siempre es evidente la equivalencia entre el enunciado original y el obtenido, algún dato que se ha considerado irrelevante puede no serlo y afectar a la solución de un modo imprevisto. Ante una situación de bloqueo, puede ser útil volver al principio y considerar nuevamente la especificación inicial.

Aunque pueda resultar un trabajo excesivo, es importante que en cada problema propuesto abordemos todos estos aspectos. Con frecuencia, si uno enfrenta problemas sencillos, entonces considera innecesaria la etapa de análisis, ya que resulta fácil encontrar una solución. Sin embargo, es muy importante adquirir práctica en el análisis de un problema antes de enfrentar problemas complejos.

A continuación se profundizará en algunas de estas etapas y luego mostraremos algunos ejemplos.

2.2 Identificación de la incógnita

Todo problema tiene al menos una incógnita, de lo contrario el problema está incompleto. En la mayoría de los problemas, la incógnita es una pregunta al final del enunciado, por ejemplo:

Si un camión vacío pesa 2000 kg. y cargado pesa 4000 kg. ¿Cuánto pesa la carga que lleva?

Aquí es claro que la incógnita es la última oración, encerrada entre los símbolos de interrogación. Esto es, la incógnita es: ¿Cuánto pesa la carga del camión?. Aunque la mayoría de las veces la incógnita es muy fácil de identificar, hay veces que está más



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escondida. Para ejemplificar esto mostramos a continuación otras formas de expresar el mismo problema pero con enunciados donde la incógnita puede ser menos evidente.

Versión 2: Un camionero se pregunta cuánto pesará la carga que lleva, si su camión vacío pesa 2000 kg. y cargado pesa 4000 kg.

Versión 3:

En la versión 2 la incógnita toma la forma: “se pregunta cuánto pesará la carga que lleva”. Mientras que en la versión 3 la incógnita esta aún más escondida y toma la forma: “recuerda que debe informar el peso de la carga que lleva”.

Cuando Rogelio llega al peaje recuerda que debe informar el peso de la carga que lleva, su camión vacío pesa 2000 kg. y cargado pesa 4000 kg.

2.3 Datos explícitos e implícitos

Con frecuencia, cuando intentamos resolver un problema, tenemos la sensación de que el enunciado no nos brinda suficientes datos. La clave en muchos casos es obtener información útil a partir de ciertos datos que pueden estar “escondidos”, hablamos entonces de datos implícitos.

Un dato es explícito cuando está expresado clara y determinadamente en el problema. En cambio está implícito cuando es parte del problema aunque no se lo exprese directamente. Por ejemplo, considere el siguiente problema:

Se quiere calcular cuanta alfombra de color azul se necesita para una habitación cuadrada de un departamento en la calle 12 de octubre 1150. La habitación tiene 1 puerta de 80 cm de ancho, y una ventana en la pared opuesta de 1 metro de ancho. El ancho de la habitación es de 3 metros.

Aquí está explícito que la alfombra tiene que ser de color azul, y que la habitación es cuadrada y tiene 3 m de ancho. En la frase “la habitación es cuadrada” está implícito que la superficie de la habitación se calcula como “lado por lado”.

Consideremos ahora el siguiente problema: Tres jóvenes matrimonios salieron a bailar. Una de las chicas vestía de rojo, otra de verde, y la tercera, de azul. Sus maridos vestían también de estos mismos colores. Ya estaban las parejas en la pista cuando Carlos, el chico de rojo casado con la chica de verde, le dijo: - ¿Te has dado cuenta Ana? Ninguno de nosotros tiene pareja vestida de su mismo color.

Con esta información, ¿se podrá deducir de qué color viste el compañero de baile de la chica de rojo?

El problema indica explícitamente el chico de rojo, casado con la chica de verde..., que puede quedar expresado como:

Chica R V A Chico R

El comentario de Carlos establece una restricción adicional, que puede pasar desapercibida en una lectura apresurada: no hay una pareja tal que ambos usen el mismo color, de modo que la chica de azul necesariamente tiene que quedar ligada al chico de verde y completamos así la solución.

Chica R V A Chico A R V



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El lector habrá observado que los problemas proveen muchos datos que no son necesarios para hallar la solución. Por lo tanto, distinguiremos datos relevantes de datos irrelevantes (o no relevantes).

Un dato es relevante cuando es necesario para obtener solución del problema. Cuando un dato que figura en el enunciado no es necesario para solucionar el problema, entonces decimos que es un dato irrelevante. Por ejemplo en el problema anterior el ancho de la habitación es relevante. Sin embargo, el color de la alfombra, la dirección del edificio, y que la habitación tiene una ventana son datos irrelevantes.

La distinción de los datos relevantes debe hacerse cuidadosamente. En un problema sobreespecificado, puede haber varios conjuntos de datos relevantes alternativos. En ese caso existirá más de un camino hacia la solución.

En el siguiente ejemplo: Tres hombres tienen dos trabajos cada uno. El chofer se burla del músico por su pelo largo. El músico y el jardinero acostumbran a ir de pesca con Juan. El pintor le compró una botella de ginebra al asesor. El chofer está de novio con la hermana del pintor. Jorge debe al jardinero 1000 pesos. Javier venció a Jorge y al pintor jugando al tejo. Uno de ellos es peluquero y no hay dos que tengan el mismo trabajo. ¿Qué hace cada uno?

Podríamos preguntarnos para qué sirve saber que Jorge debe al jardinero 1000 pesos. En principio no parece una frase relevante, sin embargo, nos permite deducir un dato que está implícito, Jorge no es jardinero.

2.4 Dobles negaciones

Muchas veces una frase esta expresada de tal forma que utiliza una doble negación. Esto es, en lugar de afirmar algo, se niega la negación. Por ejemplo la frase “es falso que no me acuerdo” en realidad expresa lo mismo que afirmar “me acuerdo”, ya que al indicar “es falso que no...” es lo mismo que expresar “es verdadero que ...”.

Las dobles negaciones suelen ser confusas para entender. Por lo tanto, en estos casos conviene simplificar el enunciado del problema reemplazando la frase que tiene una doble negación por otra que exprese la afirmación. Por ejemplo: “no es cierto que lo que dijo es falso” puede ser reemplazado con “lo que dijo es verdadero”.

2.5 Ejemplos de análisis de problemas

A continuación mostraremos algunos problemas que ilustran cómo analizar un problema. Nuevamente insistimos en que nuestro objetivo no es mostrar la solución del problema, sino mostrar cómo analizar y comprender lo que dice el enunciado. Recordemos cuales son los pasos que debemos tener en cuenta para comprender el enunciado:

• Leer con detenimiento TODO el enunciado

• Comprender claramente el significado de cada palabra y cada frase.

• Interpretar cada párrafo considerando particularmente el significado que depende de los signos de puntuación.


• Identificar datos explícitos (puede haber relevantes o irrelevantes).

• Identificar datos implícitos (puede haber relevantes o irrelevantes) y hacerlos explícitos.



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• Eliminar dobles negaciones o transformar negaciones en afirmaciones.

• Detectar imprecisiones o ambigüedades, y resolverlas antes de seguir avanzando.

• Hacer inferencias a partir de los datos detectados y hacerlos explícitos.

• Construir un enunciado simple y sencillo con los datos relevantes.

• Verificar la equivalencia entre la especificación inicial y el enunciado obtenido

Como dijimos, no siempre utilizaremos todos los pasos, ni tampoco en este orden. A continuación mostramos varios enunciados de problemas y los análisis desarrollados paso por paso.

2.5.1 Análisis de enunciados de problemas algebraicos Considere el siguiente enunciado:

Un quiosquero tiene su quiosco en la esquina de Alem y Córdoba; todos los días abre a las 8 y cierra a las 22 horas. El quiosquero sabe con certeza que va a vender 350 alfajores la próxima semana y como no quiere perder ningún cliente, no puede dejar de comprar menos de esa cantidad. Antes de ir a comprar los alfajores se pregunta cuánto dinero tiene que gastar si quiere invertir la menor cantidad posible. En el supermercado, cada bolsa de 8 alfajores cuesta $3. En el mayorista, cada caja de 60 alfajores cuesta $20.

A primera vista, el problema no parece fácil de resolver; sin embargo, un análisis del enunciado nos permitirá resolverlo muy fácilmente. Usaremos para esto muchos de los pasos propuestos.


•

. Esto queda por supuesto a cargo del lector. Si su ansiedad lo llevó a leer superficialmente el enunciado del problema, nuestra sugerencia es volver a leerlo con mayor atención antes de pasar al próximo paso. Si no fue así lo invitamos a continuar con lo que sigue.

Comprender claramente el significado de cada palabra y cada frase:

•

a cargo del lector.

Interpretar cada párrafo considerando particularmente el significado que depende de los signos de puntuación:

•

también a cargo del lector.

Identificar la incógnita.

•

En este enunciado, la incógnita no se encuentra en la última oración y entre signos de interrogación, sino que está un poco más escondida. Su identificación puede obtenerse descartando primero aquellas oraciones que no expresan ninguna incógnita. Una pista importante aparece en las palabras “se pregunta cuánto”. Esto nos lleva a descubrir que en este caso la incógnita es: cuánto dinero tiene que gastar si quiere invertir la menor cantidad posible.

Identificar datos explícitos (puede haber relevantes o irrelevantes).

Tiene su quiosco en la esquina de Alem y Córdoba, (no es relevante)

Anotamos ahora todos los datos explícitos en el enunciado, e identificamos cuáles son a nuestro criterio relevantes para resolver la incógnita y cuáles no.

Abre todos los días (no es relevante)

Abre a las 8 y cierra a las 22 horas. (no es relevante)

Necesita comprar 350 alfajores

No puede comprar menos de 350, o perderá clientes (

(relevante)

relevante

En el supermercado, cada bolsa de 8 alfajores cuesta $3. (

)

relevante

En el mayorista, cada caja de 60 alfajores cuesta $20. (

)

relevante)



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• Identificar datos implícitos y hacerlos explícitos.

El quiosquero puede hacer sus compras en el supermercado o en un mayorista.

Hay algunos otros datos que no están en forma explícita en el enunciado, pero que se deducen rápidamente de él.

Debe comprar tantas bolsas o cajas para cubrir 350.

Puede comprar más de 350 si es necesario.

En el mayorista debe comprar por cajas de 60, así que siempre comprará múltiplos de 60. Esto es, no puede comprar 70 alfajores. Si quiere comprar 70 deberá comprar 2 cajas de 60 por lo tanto comprará 120 alfajores.

En el supermercado las bolsas son de 8 alfajores. Así que sólo puede comprar múltiplos de 8. Por ejemplo 24 o 72.

• Detectar imprecisiones o ambigüedades, y resolverlas antes de seguir avanzando:

•

Una posible ambigüedad es si tiene que comprar exactamente 350 alfajores. La respuesta es no, ya que tiene que comprar una cantidad que puede ser mayor.

Hacer inferencias a partir de los datos detectados y hacerlos explícitos:

¿Cuántas bolsas de supermercado necesitaría comprar para tener al menos 350 alfajores?

para esto vamos haciendo preguntas sencillas que guiarán a la solución de la incógnita.

Respuesta

¿Cuántas cajas del mayorista necesitaría comprar?

: la solución matemática es: 350 / 8 = 43,75 bolsas, pero como no puede comprar 0,75 de bolsa, entonces necesita comprar 44 bolsas.

Respuesta

¿Cuánto gastaría en el supermercado?

: ahora la solución es 350 / 60 = 5.83. Por lo tanto necesitaría comprar 6 cajas.

Respuesta

¿Cuánto gastaría en el mayorista?

: 44 x $3 = $132

Respuesta

: 6 x $20 = $120

Ahora es mucho más fácil hallar la solución: El quiosquero invierte $120.

Consideremos ahora este otro problema: Deduzca las edades de las personas que intervienen en el siguiente diálogo.

- ¿Cuál es tu edad Pedro?

- Es fácil Juan, dentro de dos años, tendré el triple que tu edad actual.

- Es cierto, y dentro de cuatro años, yo tendré la mitad de tu edad actual.

- ¿Cuál es la edad de tu mamá?

- Tiene 45.

- ¿Cuántos años sumamos entre los dos?

El problema no parece fácil de resolver, sin embargo un análisis del enunciado nos permitirá resolverlo más fácilmente. Usaremos para esto muchos de los pasos propuestos.


Esto nuevamente queda a cargo del lector.

.

• Comprender claramente el significado de cada palabra y cada frase: Es importante tener en claro el significado de la palabra “diálogo”, que implica que sólo hay dos personas conversando.



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•

Al final del enunciado hay una pregunta entre signos de interrogación: ¿Cuántos años sumamos entre los dos?, sin embargo, esta pregunta no es la incógnita del problema. La incógnita del problema es: Deduzca las edades de las personas que intervienen en el diálogo. Como el diálogo es entre Juan y Pedro, la incógnita es averiguar las edades de ellos dos. Observe que la edad de la madre de uno de ellos es un dato irrelevante.

Identificar datos explícitos (puede haber relevantes o irrelevantes). Intervienen en el diálogo Pedro y Juan (relevante)

Dentro de dos años, Pedro tendrá el triple que la edad actual de Juan. (relevante)

Dentro de cuatro años, Juan tendrá la mitad de la edad actual de Pedro. (relevante)

La edad de la mamá es 45. (no es relevante)

• Hacer inferencias a partir de los datos detectados y hacerlos explícitos:Llamemos P a al edad actual de Pedro y J a la edad actual de Juan

¿Qué edad tendrá Pedro dentro de dos años?

Respuesta¿Cómo lo podemos relacionar con la edad actual de Juan?

: P+2

Respuesta:

Con esta ecuación sola no es posible resolver el problema.

Pedro tendrá el triple que la edad de Juan. Como tendrá más, entonces se verifica que (P+2) > J y como es el triple, entonces nos queda la ecuación P + 2 = 3 . J

¿Cómo podemos relacionar la edad de Juan con la edad actual de Pedro? Respuesta

Del análisis del problema hemos arribado al siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

: Dentro de cuatro años, Juan tendrá J+4 años, y esa cantidad será la mitad que la edad actual de Pedro. Es decir, será menor, con lo cual tenemos que J+4 < P. Para tener una igualdad necesitamos multiplicar J+4 por 2. Con lo cual nos queda la ecuación 2.(J+4)=P

P + 2 = 3 . J

2. (J+4) = P

La solución de este sistema de ecuaciones nos da la respuesta al problema: Pedro tiene 28 y Juan tiene 10 años. La resolución de un sistema de ecuaciones lineales es un tema que se explicará en detalle en el Curso de Nivelación de Matemática.

2.5.2 Análisis del enunciado de un problema de geometría Considere el siguiente enunciado:

Los hermanos Ricon tenían cada uno dinero en el banco, el mayor $600, el menor la mitad que el mayor, y el tercero tanto como sus dos hermanos juntos. Con parte de su dinero compraron tres terrenos cuadrados ubicados uno al lado del otro como muestra la figura. Los terrenos tienen 10m, 8m y 6m de lado respectivamente. Ellos querían sembrar césped en la parte sombreada de la figura, y el hermano menor se encargaría de comprar las semillas. Cuando fue al vivero le preguntaron cuántos metros cuadrados tenía que sembrar. El hermano contestó: ¿tiene un lápiz y un papel?



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A primera vista, el problema no parece fácil de resolver; sin embargo, un análisis del enunciado nos permitirá hacerlo. Seguiremos para esto muchos de los pasos propuestos.


•

. Esto nuevamente queda a cargo del lector.

Comprender claramente el significado de cada palabra y cada frase:

•

Es importante tener en claro el significado de “uno al lado del otro” antes de avanzar. La figura nos muestra claramente qué significa.


•

Al final del enunciado hay una pregunta entre signos de interrogación: ¿tiene lápiz y papel?, sin embargo, esta pregunta no es la incógnita del problema. De la exploración del texto descubrimos que los hermanos quieren sembrar césped en el área sombreada y para esto necesitan saber cuántos metros cuadrados ocupa. Por lo tanto la incógnita del problema es: ¿Cuántos metros cuadrados ocupa el área sombreada?


Los hermanos Ricon tenían cada uno dinero en el banco (no es relevante)

Anotamos ahora todos los datos que aparecen explícitos en el enunciado, e identificamos cuáles son a nuestro criterio relevantes para resolver el problema y cuáles no. Observe que LA FIGURA es un dato explícito relevante para el problema. Sin la figura el problema no puede resolverse, ya que no se sabría cuál es el área sombreada.

El mayor tenía $600. (no es relevante)

El menor la mitad que el mayor. (no es relevante)

El tercero tanto como sus dos hermanos juntos. (no es relevante)

Con parte de su dinero compraron tres terrenos. (no es relevante)

Los terrenos son cuadrados. (relevante)

Los terrenos están ubicados uno al lado del otro. (relevante)

Los terrenos tienen 10 m, 8 m y 6 m de lado respectivamente. (relevante)

Querían sembrar césped en la parte sombreada de la figura. (relevante)

El hermano menor se encargaría de comprar las semillas. (no es relevante)

La figura. (relevante)

• Identificar datos implícitos y hacerlos explícitos.

Los terrenos son cuadrados, entonces el área de cada uno de ellos se obtiene multiplicando “lado por lado”

Hay algunos otros datos que no están en forma explícita en el enunciado, pero se deducen rápidamente de él.

El área sombreada se obtiene con una recta que es diagonal a la figura, pero no es diagonal de ninguno de los cuadrados.

• Hacer inferencias a partir de los datos detectados y hacerlos explícitos: para esto vamos haciendo preguntas sencillas que guiarán a la solución de la incógnita. De alguna manera transformamos el problema en varios subproblemas más simples.



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¿Cuál es el área total de los tres terrenos juntos?

Respuesta

¿Cuántos metros cuadrados tiene el área sin sombrear?

: el primero 10m x 10m = 100 m2, el segundo 8m x 8m = 64m2, y el tercero 6m x 6m = 36m2. Por lo tanto el área total es 100 m2 + 64 m2 + 36 m2 = 200 m2.

Respuesta

La respuesta al problema es ahora evidente: el área sombreada es la diferencia entre el área total (200 m2) y el área sin sombrear (120 m2), esto es, 80 m2.

: Es la mitad del área de un rectángulo de 10m de alto por 10+8+6 m de ancho. Esto es, el área sin sombrear tiene (10m x 24m) / 2 = 120 m2.

2.5.3 Análisis del enunciado de un problema lógico Considere el siguiente enunciado:

Una tarde de lluvia en vacaciones suele ser una invitación para jugar a las cartas. Marta y Guillermo tenían un mazo de cartas y entonces jugaron al truco, luego a la escoba de 15, al chinchón y también a la casita robada. Cuando los juegos que conocían se acabaron, Marta le propuso a Guillermo un nuevo juego con seis cartas sobre la mesa boca abajo, donde cada una tiene al menos tres cartas vecinas. Marta le dijo a Guillermo: “Te doy las siguientes pistas con las cuales es posible adivinar qué cartas son: Sólo hay reyes, caballos o sotas y hay tantos reyes como caballos. Hay más de una sota. Hay a lo sumo 2 reyes y no hay ningún rey vecino a otro rey. Hay al menos dos caballos y todo caballo es vecino a otro caballo. No hay ningún rey debajo de una sota. Si hay menos de 3 sotas, entonces no son vecinas entre sí.” ¿Puedes ayudar a Guillermo a ganar el juego?

• Leer TODO el enunciado.

•

A cargo del lector.


•

Al final del enunciado se encuentra una pregunta, sin embargo, si la incógnita fuera ésta, entonces la respuesta al problema podría ser “si puedo”, lo cual no parece razonable. La incógnita entonces es entonces ¿Cuáles son las cartas que están boca abajo?.

Hay dos personas Marta y Guillermo. (no es relevante)


Jugaron al truco, la escoba de 15, al chinchón y casita robada. (relevante porque permite inferir que el mazo es de cartas españolas)

Un nuevo juego con seis cartas sobre la mesa boca abajo. (relevante)

La figura. (relevante)

Sólo hay reyes, caballos o sotas. (relevante)

Hay tantos reyes como caballos. (relevante)

Hay más de una sota. (relevante)

Hay a lo sumo 2 reyes. (relevante)

No hay ningún rey vecino a otro rey. (relevante)

Hay al menos dos caballos. (relevante)

Todo caballo es vecino de otro caballo. (relevante)

No hay ningún rey debajo de una sota. (relevante)

Si hay menos de 3 sotas, entonces ninguna es vecina de otra. (relevante)



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• Utilizan cartas de la baraja española.

Identificar datos implícitos (puede haber relevantes o irrelevantes) y hacerlos explícitos.

En un mazo hay como máximo 4 cartas de cada número.

• Muchos de los datos utilizan la expresión “vecino”. Ej. “todo caballo es vecino de otro caballo”. Antes de comenzar a hacer inferencias sobre los datos, hay que tener claro que significa “vecino”. Una interpretación posible es “uno a la izquierda o derecha del otro”, pero podría ser más general y considerarse que esté a la derecha o izquierda o arriba o abajo, o las diagonales. Afortunadamente hay una frase en el enunciado que resuelve la ambigüedad: “...cada carta tiene al menos tres cartas vecinas”.

Detectar ambigüedades y resolverlas.

En la figura de la derecha hemos identificado las cartas con un número para simplificar la explicación. Como cada carta es vecina de al menos otras tres, entonces la número 1 es vecina de la 2, la 4 y la 5. Por lo tanto “vecina” considera: arriba, abajo, izquierda, derecha y las diagonales. La número 5, por ejemplo, es vecina de la todas las demás.

• Veamos primero que podemos deducir acerca de la cantidad de cartas de cada tipo:

Hacer inferencias de los datos detectados y hacerlos explícitos.

Como tenían un solo mazo de cartas, entonces no puede haber más de 4 reyes o más de 4 caballos o más de 4 sotas.

Como hay más de una sota, entonces puede haber 2, 3 o 4 sotas.

Como hay a lo sumo 2 reyes, entonces puede haber 1 o 2 reyes.

Como hay al menos dos caballos, entonces puede haber 2, 3 o 4 caballos.

Como hay tantos reyes como caballos entonces no queda otra posibilidad más que haya 2 reyes y 2 caballos.

Si hay 2 reyes y 2 caballos, y hay 6 cartas, entonces hay 2 sotas.

Por lo tanto hasta aquí hemos descubierto cuántas cartas hay de cada una. Veamos ahora qué posiciones ocupa cada una. Utilizaremos la letra R para representar un rey, la C para un caballo y la S para una sota.

Como no hay ningún rey vecino de otro rey entonces hay cuatro posibilidades:

R R R R

R R R R

Como los caballos deben quedar vecinos uno del otro, y no hay ningún rey debajo de una sota, se infiere que las sotas deben quedar debajo de los reyes.

R C C R C R C C R

R C R R R

Como hay menos de 3 sotas, entonces no están una al lado de la otra, lo cual nos deja una sola opción posible.

R C R

S C S

1 2 3

4 5 6



17

2.5.4 Análisis del enunciado de un problema de combinatoria Harry se encontraba frente a una puerta que lo conducía al tesoro. En la puerta se leía la siguiente frase “Se dispone de un cubo de piedra, un cubo de madera, un cubo de oro y un cubo de vidrio y se quieren apilar esos cubos. Se desea saber de cuántas maneras puede hacerse, considerando que el cubo de piedra no puede estar encima del cubo de vidrio, ni tampoco sobre el cubo de madera. Si el cubo de oro está sobre otro cubo, está sobre el de piedra. No es falso que el cubo de vidrio pueda estar encima de cualquiera. Es falso que el cubo de vidrio no puede estar debajo de uno de madera.” Debajo de esta frase se podía leer: “Si quiere abrir la puerta seleccione una de estas opciones:”

1 4 3 0 8 2

•

•

Leer TODO el enunciado.


•

La incógnita es: ¿De cuántas maneras posibles puedo apilar los cuatro cubos?

Harry estaba frente a una puerta.


Si dispone de un cubo de piedra, un cubo de madera, un cubo de oro y un cubo de vidrio. (relevante)

El cubo de piedra no puede estar encima del de vidrio. (relevante)

El cubo de piedra no puede estar sobre el de madera. (relevante)

El cubo de oro sólo puede estar sobre el de piedra. (relevante)

No es falso que el cubo de vidrio pueda estar encima de cualquiera. (relevante)

Es falso que el cubo de vidrio no puede estar debajo de uno de madera. (relevante)

• “No es falso que el cubo de vidrio pueda estar encima de cualquiera.” Si no es falso,

entonces es verdadero, y por lo tanto podemos afirmar que: “el cubo de vidrio puede estar encima de cualquiera”

Eliminar dobles negaciones o transformar negaciones en afirmaciones.

“Es falso que el cubo de vidrio no puede estar debajo de uno de madera.” Si es falso que no, entonces es verdadero. Por lo tanto podemos afirmar que “el cubo de vidrio puede estar debajo de uno de madera”

• ¿Cuántos cubos hay que apilar?

Hacer inferencias a partir de los datos detectados y hacerlos explícitos.

Como se dispone de un cubo de piedra, un cubo de madera, un cubo de oro y un cubo de vidrio, entonces las pilas son de cuatro cubos

¿Dónde puede ubicarse en cubo de piedra?



18

Si el cubo de piedra no puede estar encima del de vidrio, y el de piedra no puede estar sobre el de madera, entonces el de piedra sólo puede estar en el piso o sobre el de oro.

¿Dónde puede ubicarse el de oro?

El cubo de oro sólo puede estar sobre el de piedra, por lo tanto no puede estar sobre el de madera o vidrio. Esto es, está sobre el piso o sobre el de piedra.

De lo anterior, deducimos que el cubo de vidrio y el cubo de madera no pueden estar debajo del cubo de oro o el cubo de piedra.

Por lo tanto hay dos opciones para ubicar los primeros dos bloques directamente sobre el piso (P representa piedra y O representa oro):

O P

P O

¿Dónde pueden ubicarse el de vidrio y el de madera?

Al eliminar las dobles negaciones queda “el de vidrio puede estar encima de cualquiera”, y “el de vidrio puede estar debajo de uno de madera”, por lo tanto el de madera también puede estar sobre cualquiera.

Entonces es indistinta la ubicación del de vidrio con respecto al de madera.

Así, tenemos dos opciones para cada una de las opciones anteriores (V representa vidrio y M madera).

M V M V

V M V M

O O P P

P P O O

2.6 Construyendo un enunciado

En lugar de analizar un enunciado, consideraremos ahora la tarea de construir un enunciado. Esta actividad le permitirá fijar aún más los conceptos que hemos introducido. Veremos diferentes tipos de enunciados.

2.6.1 Construyendo una definición Una definición establece una equivalencia entre un nombre y una descripción. Asumiendo como válida la siguiente definición:

Un triángulo equilátero es un polígono formado por tres lados de igual longitud.

La que sigue es incompleta: Un triángulo equilátero es un polígono formado por tres lados.

En el enunciado anterior falta un elemento fundamental respecto al anterior, esto es, indicar que los lados deben ser de igual longitud. Sin esto, la definición es incorrecta.

Asumiendo conocido el concepto de rectángulo, consideremos ahora que se quiere escribir una expresión que lo caracterice con precisión:



19

Podemos comenzar con: “Un rectángulo es un polígono de cuatro lados”. Sin embargo, este enunciado no es completo, ya que las siguientes figuras se ajustan a esa descripción, y no son rectángulos:

Descubrimos entonces que es importante indicar que los lados opuestos son de igual longitud. Entonces modificamos nuestro enunciado a “Un rectángulo es un polígono de cuatro lados, en el cual los lados opuestos son de igual longitud.” Este enunciado aún es incompleto ya que un paralelogramo también se adapta a la definición:

Descubrimos entonces que es imprescindible indicar cómo deben ser los ángulos interiores. Entonces modificamos el enunciado a: “Un rectángulo es un polígono de cuatro lados, donde los lados opuestos son de igual longitud y los ángulos interiores tienen 90 grados.”

2.6.2 Enunciados que indican instrucciones Muchas veces un enunciado se utiliza para indicar instrucciones. Mostraremos a continuación algunos ejemplos.

Instrucciones impresas en una caja de mate cocido:

Para preparar un buen mate cocido:

• Coloque en la taza un saquito de Mate Cocido.

• Caliente agua fresca hasta el primer hervor y viértala en la taza.

• Deje reposar 5 minutos.

• Si lo prefiere helado, póngalo en la heladera o agréguele hielo, limón y azúcar.

Instrucciones impresas en el anverso de una tarjeta telefónica:

Para cargar el monto de la tarjeta a su cuenta prepaga:

1. Raspe suavemente para descubrir el código de seguridad de su tarjeta.

2. Marque el código de acceso y siga las instrucciones.

3. Seleccione la opción de carga y cuando el sistema lo solicite, ingrese el número de la clave de seguridad descubierta.

4. Recibirá el nuevo saldo de su cuenta y podrá realizar llamadas

Instrucciones impresas en el envase de un acondicionador de pelo:



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Modo de uso: Luego del shampoo aplicar el acondicionador sobre el cabello mojado de las orejas para abajo, a lo largo y en las puntas del cabello. Dejar actuar 2 minutos. Enjuagar con abundante agua.

Para construir este tipo de enunciados hay que tener en cuenta a quien está dirigido, y qué se quiere explicar. Por ejemplo, supongamos que se quiere explicar cómo obtener el saldo de una cuenta bancaria desde un teléfono. En este caso asumimos que está dirigido a una persona adulta que es el titular de la cuenta bancaria. Las instrucciones podrían ser:

1. Desde un teléfono por tonos llame al 0 800 222 9999

2. Al ser atendido seleccione la opción 1.

3. Ingrese su número de DNI seguido de su clave personal, y # para finalizar.

4. Seleccione la opción 2 (saldo de cuenta).

5. Si quiere escuchar nuevamente el saldo seleccione nuevamente la opción 2.

Observe que en estas instrucciones se está asumiendo que el que leerá el enunciado conoce cómo hacer una llamada telefónica y qué es un teléfono por tonos.

2.6.3 Escribiendo enunciados de juegos Los juegos son una fuente de diversión, pero muchas veces también un desafío intelectual. Para que el juego se desarrolle correctamente y en forma justa, muchas veces es necesario un enunciado que lo describa con la mayor exactitud posible. Por supuesto que para escribir el enunciado de un juego hay que saber jugarlo. Comenzaremos describiendo un juego muy sencillo donde se lanza una moneda al aire y gana el que acierta una predicción.

Cara o cruz (para 2 jugadores):

1) Se necesita una moneda que tenga una figura diferente de cada lado. Cada uno de los jugadores elige un lado de la moneda.

2) Se lanza la moneda hacia arriba tratando que gire en el aire, y que caiga sobre una superficie plana (por ejemplo la palma de la mano del que arrojó la moneda, o el piso)

3) El jugador que haya elegido previamente el lado de la moneda que quedó hacia arriba, es el ganador.

Una forma de construir el enunciado de un juego es dividirlo en partes: preparación y comienzo del juego, desarrollo, jugadas especiales, y finalización del juego. Describiremos ahora un juego de cartas muy sencillo. Observe que con el fin de describir el juego con la mayor precisión posible las instrucciones resultan bastante extensas.

La casita robada (para 2 o más jugadores):

1) Preparación y comienzo del juego: Los jugadores se ubican en ronda, en lo posible sentados alrededor de una mesa. Al comenzar, uno de los jugadores será el encargado de repartir las cartas. Para esto, mezcla bien las cartas y le pide al jugador que está a su izquierda que “corte”. Luego reparte las cartas boca abajo, en el sentido contrario a las agujas del reloj y comenzando por el jugador de su derecha. Entrega una carta a cada jugador, hasta que cada jugador tiene 3 cartas. Finalmente el jugador que reparte



21

coloca cuatro cartas boca arriba sobre la mesa, las cuales deben ser visibles y accesibles a todos los jugadores.

2) Desarrollo del juego:

3)

Cada participante jugará en turno, comenzando por quien se encuentra a la derecha del que reparte y siguiendo el mismo orden en que se repartieron las cartas. Cuando sea su turno, cada participante buscará entre las cartas que tiene en sus manos, una que coincida en número con una de las ubicadas en la mesa (por ejemplo, en la mesa hay un 5 de copas y el participante tiene un 5 de espadas). Si esto ocurre, colocará estas dos cartas boca arriba en una pila de cartas a su derecha. Si no existiera tal coincidencia entre las cartas, entonces está obligado a dejar una carta boca arriba sobre la mesa. De esta forma, cada jugador siguiendo su turno, irá levantando o dejando cartas sobre la mesa, hasta que se completen 3 rondas. Cuando esto suceda, el jugador que reparte las cartas volverá a repartir 3 cartas a cada participante y se sigue jugando como fue indicado anteriormente. Robo de la casita:

4)

Si en su turno, un jugador descubre que posee en sus manos una carta que tiene el mismo número que la que se encuentra en la parte de arriba de la pila de cartas de otro de los participantes, entonces puede “robar” las cartas que ha juntado el otro. Para esto, muestra la carta que lo habilita y pone todas las cartas de su contrincante sobre su pila y la carta que le permitió hacer esta maniobra arriba de su pila. Sólo podrá realizar esta operación una vez en cada turno.

Finalización del juego:

3 Construcción de la solución

El juego termina cuando no quedan más cartas para repartir y cada jugador no tiene cartas en la mano. Si aún quedan cartas sin dueño sobre la mesa, entonces el último jugador que levantó una carta de la mesa puede quedarse con estas cartas. El ganador del juego es el que al finalizar queda con más cartas en su poder.

Resolver un problema exige conocimiento, reflexión, razonamiento lógico y alguna dosis de ingenio y sagacidad. Es evidente que hay personas que tienen más capacidad para resolver problemas que otras de su misma edad y formación parecida. Estas personas aplican, generalmente de una manera inconsciente, toda una serie de métodos y mecanismos que suelen resultar especialmente adecuados para abordar problemas. Estas operaciones mentales se conocen como procesos heurísticos. Una heurística es una regla práctica basada en la experiencia, sobre la cual no existe garantía.

Los procesos heurísticos pueden adquirirse y una persona puede aprender estrategias que aumenten su capacidad para resolver problemas que de otra manera le hubieran resultado “difíciles”. Una estrategia es un método general, una guía que puede aplicarse para hallar la resolución de muchas clases de problemas. Existen diferentes estrategias para enfrentar la resolución de un problema. Algunas de las que vamos a explorar en el curso son:

• Hallar una representación gráfica que permita visualizar los datos del problema y sus relaciones.

• Identificar la similitud con otros problemas ya resueltos

• Reformular el problema

• Dividir el problema en varios subproblemas más simples

• Razonar hacia atrás

• Partir de un supuesto

Cuando nos encontremos bloqueados ante un problema, estas estrategias pueden resultar una ayuda valiosa para encontrar el camino hacia la solución. Las estrategias no son alternativas sino complementarias y con frecuencia aplicaremos dos o más de ellas.



22

Por supuesto una estrategia no suple la falta de conocimientos específicos, ni transforma la resolución en un proceso algorítmico. La intención de este curso es desarrollar actitudes, hábitos y formas de pensamiento que mejoren la capacidad para resolver problemas.

3.1 Cambiar la representación

En la mayoría de los problemas el enunciado contiene algunos detalles que “adornan” el problema pero no brindan información útil. Resulta útil construir una representación que permita reflejar la información relevante y descartar lo demás. Los diagramas, fórmulas, tablas y dibujos pueden llegar a ser una gran ayuda para el proceso de resolución, porque permiten visualizar claramente los datos del problema y sus relaciones. Ya hemos usado una forma de cambio de representación cuando analizábamos el enunciado de un problema:

Si Ángela habla más bajo que Rosa y Celia habla más alto que Rosa, ¿habla Ángela más alto o más bajo que Celia?

Al reemplazar los nombres de los protagonistas por letras y la relación entre el tono de voz por operadores relacionales, estamos cambiando la representación del problema a una más sucinta:

A < R y C > R entonces A < R < C Consideremos ahora el siguiente problema:

Con la participación de numerosos cantantes de distintos países se llevó a cabo el festival internacional de la canción. Trate de averiguar la nacionalidad, el premio en efectivo y el puesto que ocupó cada uno de los cinco temas finalistas: “Desde La Boca”, “Luna”, “Morena”, “Ojos Claros” y “Libertad”.

1. El tema argentino “Desde la Boca” quedó posicionado inmediatamente después que la melodía que representó a Brasil. Ambos superaron a la canción chilena.

2. El tema que ocupó el segundo puesto obtuvo $250 menos que el ganador.

3. El tema “Libertad” ocupó el cuarto lugar y obtuvo un premio de $250.

4. El chamamé paraguayo quedó en último lugar y obtuvo $100 menos que el tema del puesto anterior.

5. El máximo puesto lo obtuvo “Morena”, representante de Cuba.

6. El tema que ocupó el tercer puesto obtuvo la mitad de dinero que el primero pero el doble que el cuarto.

7. “Ojos Claros” no fue el tema con el que participó Paraguay.

El problema brinda mucha información y es difícil que logremos organizarla si no recurrimos a una representación gráfica que nos permita visualizar las relaciones entre las canciones, los puestos, los premios y las nacionalidades. La siguiente tabla puede ser usada tanto para hallar la solución como para mostrarla:

TEMA PAÍS PREMIO 1 2 3 4 5



23

De todas las pistas la primera que nos brinda información certera para volcar en la tabla es la número 3.

TEMA PAÍS PREMIO 1 2 3 4 Libertad 250 5

Podemos continuar con la pista 4 y completar la tabla como sigue:

TEMA PAÍS PREMIO 1 2 3 4 Libertad 250 5 Paraguay 150

Dejamos a cargo del lector los pasos que siguen, que requerirán fundamentalmente leer las pistas más de una vez.

3.2 El espacio de búsqueda

Considere el siguiente problema: A lo largo de una carretera hay cuatro pueblos seguidos: los Rojos viven al lado de los Verdes pero no de los Grises; los Azules no viven al lado de los Grises. ¿Quiénes son pues los vecinos de los Grises?

En un problema como este la solución tiene que cumplir con varias restricciones. En este caso las restricciones son:

1. los Rojos viven al lado de los Verdes pero no de los Grises

2. los Azules no viven al lado de los Grises

Para encontrar la solución podemos elegir una restricción, probablemente la más estricta, y escribir explícitamente todas las combinaciones que la verifican. Luego consideramos cada una de las demás restricciones y al hacerlo se descartan algunas de las combinaciones. La idea es partir de un espacio de búsqueda que considere todas las combinaciones posibles y usar las pistas para eliminar alternativas.

Si representamos con V a los verdes, con R a los rojos, con G a los grises y a los azules con A, en este ejemplo, el espacio de búsqueda estará compuesto por las 24 combinaciones posibles de ubicación de los pueblos. Esto es, R V G A, o V A G R, o V G R A etc.

Al considerar la primera restricción, existen ocho combinaciones que la satisfacen, pero como vemos las cuatro que aparecen en la segunda columna son equivalentes a las primeras.

R V G __

R V __ G

__ R V G

V R __ G

__ G V R

G __ V R

G V R __

G __ R V



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Al considerar la segunda restricción, sólo nos queda la tercera combinación:

A R V G

En muchos problemas resulta conveniente reordenar las restricciones eligiendo en primer lugar la que más restringe el espacio de búsqueda.

Es importante destacar en muchos problemas es imposible considerar todo el espacio de búsqueda. En particular, en los juegos la cantidad de combinaciones suele ser muy grande para poder representarla. Por ejemplo, en un juego tan simple como el TATETÍ, para cada una de las nueve ubicaciones posibles para la primera ficha, existen 8 maneras diferentes de ubicar la segunda.

3.3 Búsqueda inteligente

La búsqueda de la solución puede realizarse de manera inteligente, si se hacen algunas deducciones que nos permitan acercarnos a la solución. Considere el siguiente problema:

Con las 28 fichas de un juego completo de dominó se armó este tablero, en el que faltan casi todas las líneas que separan a las fichas. El juego consiste justamente en deducir cómo deben dibujarse estas líneas para que las fichas queden correctamente delimitadas. Las fichas pueden estar ubicadas de manera horizontal o vertical.

4 4 0 2 0 1 1 3 1 0 4 1 4 3 2 2 2 6 5 2 1 6 0 0 3 5 4 0 3 0 1 5 3 2 5 4 1 6 2 4 6 3 6 3 0 6 5 6 6 5 3 5 1 4 5 2

En este tipo de problemas resulta muy útil dibujar la lista de fichas de modo que a medida que las ubicamos en el tablero, las marcamos en la lista.

0 0 0 1 1 1 0 2 1 2 2 2 0 3 1 3 2 3 3 3 0 4 1 4 2 4 3 4 4 4 0 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 0 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 6

Una estrategia inteligente para este juego es reconocer en el tablero pares de valores que sólo aparecen una vez en casillas adyacentes, en forma vertical u horizontal. Estos pares conforman entonces fichas del juego que podemos dibujar en el tablero y marcar en la lista como usadas. Las fichas que correspondan a varios pares en el tablero van a quedar determinadas a partir de la colocación de otras fichas, cuando se descarten todas las posibilidades, menos una.

Para nuestro problema, los dos 4 de la primer fila conforman el único par (4,4) del tablero, de modo que dibujamos la ficha y la tachamos en la lista. Al hacerlo, queda determinada también



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la ficha (0,0) para la cual hasta el momento teníamos tres ubicaciones posibles. El tablero queda entonces:

4 4 0 2 0 1 1 3 1 0 4 1 4 3 2 2 2 6 5 2 1 6 0 0 3 5 4 0 3 0 1 5 3 2 5 4 1 6 2 4 6 3 6 3 0 6 5 6 6 5 3 5 1 4 5 2

0 0 0 1 1 1 0 2 1 2 2 2 0 3 1 3 2 3 3 3 0 4 1 4 2 4 3 4 4 4 0 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 0 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 6

Siguiendo con el mismo razonamiento podemos reconocer que sólo hay una ubicación posible para la ficha (1,1), a partir de la cual queda determinada la ficha (0,1). Dibujamos luego las fichas (3,3) y (5,5).

4 4 0 2 0 1 1 3 1 0 4 1 4 3 2 2 2 6 5 2 1 6 0 0 3 5 4 0 3 0 1 5 3 2 5 4 1 6 2 4 6 3 6 3 0 6 5 6 6 5 3 5 1 4 5 2

0 0 0 1 1 1 0 2 1 2 2 2 0 3 1 3 2 3 3 3 0 4 1 4 2 4 3 4 4 4 0 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 0 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 6

En ocasiones puede ocurrir que no exista un par que aparezca una única vez, o también puede ocurrir que no podamos visualizarlo. En estos casos podemos elaborar una conjetura o hipótesis como mostraremos a continuación.



26

3.4 Elaborar una hipótesis

Cuando no podemos realizar una deducción segura elaboramos una conjetura o hipótesis. Esta hipótesis puede ser válida o no. En el caso de que sea válida, llegamos a la solución. Si no lo es, llegamos a una contradicción y debemos retroceder hasta la hipótesis y elaborar otra. En el camino que sigue a una hipótesis podemos volver a tener que escoger una entre varias alternativas posibles, de modo que seguimos un camino de hipótesis. Cuando retrocedemos lo hacemos hasta la última hipótesis, hasta que no quedan alternativas para explorar.

Considere el siguiente problema: Los miembros del directorio de Vizcacha S.A. se reunieron en su encuentro semanal alrededor de una mesa redonda. Trataremos de constatar dónde se había sentado el presidente Guzmán y qué característica lo distingue. Para ello nos serán útiles los siguientes comentarios de algunos de los asistentes.

Camacho: Yo me senté al lado del que usa anteojos.

Drago: El canoso se sentó a mi izquierda y durante toda la reunión intentó contener la risa que le causaba el peluquín de su vecino.

Figueroa: El humo de la pipa del que estaba a mi derecha me mareaba. No recuerdo quién estaba a mi izquierda, pero a su lado se había sentado Drago.

El que tiene bigote: “Estévez se sentó junto a mi vecino de la izquierda, mientras que el del moñito estaba a mi derecha”.

El del reloj de oro: “Yo estaba sentado a la derecha de Aguirre y a mi derecha estaba Báez”

Comencemos dibujando la mesa redonda del directorio con un asiento para cada uno de los miembros, para lo cual tenemos que calcular la cantidad de personajes que intervienen en el problema.

A continuación elegimos una posición arbitraria, una de las pistas y volcamos la información en el dibujo. La primera pista sólo me habla de dos de los personajes, las otras cuatro nos brindan más información. La segunda pista la brinda Drago, que también aparece en la tercera, de modo que podemos unirlas y dibujar:



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Elegir adecuadamente las pistas que vamos a representar puede resultar muy útil para la resolución, porque descarta muchas combinaciones del espacio de búsqueda. Claramente hay tres posiciones que ya tienen asignada una cualidad y no pueden corresponder entonces a bigote. Veamos qué sucede con las otras; si ubicamos al bigote entre pipa y peluquín, Estévez no puede quedar al lado del que está a su izquierda. Si Figueroa fuera bigote, a su derecha no estaría el de moñito. De esto se deduce que hay dos ubicaciones posibles para bigote: es Drago o está a su derecha. Por lo tanto, debemos realizar una conjetura o hipótesis para poder seguir avanzando.

Elegimos una de las dos posibilidades. Suponemos que Drago es bigote y tomamos la última pista, reloj sólo puede ser Figueroa.

Pero entonces sólo queda una ubicación posible para anteojos y Camacho no queda a su lado. Nuestra suposición no fue correcta, bigote tiene que ser entonces el caballero que está entre Drago y Figueroa, el canoso tiene que ser Estévez y Figueroa usa moñito.



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Para que Camacho quede junto a anteojos, Camacho debe usar bigote y Drago anteojos. Así que Guzmán es el caballero que usa reloj y está ubicado entre Aguirre y Báez.

Consideremos ahora el siguiente problema: Ubique los números del 1 al 9 sin repetirlos, de modo que se obtengan los resultados que corresponden a las operaciones indicadas.

Podemos encarar la resolución de este problema realizando una hipótesis y avanzando a partir de ella. La cuestión es elegir una casilla o un par de casillas sobre las que haya fuertes restricciones, de modo que sólo algunos valores sean posibles y el espacio de búsqueda se reduzca significativamente.



29

Por ejemplo, podemos elegir la segunda fila considerando que uno de los números ya está ubicado. El producto de las dos primeras casillas debe ser 24, de modo que las combinaciones posibles son: (3,8), (8,3), (4,6) o (6,4). Una alternativa es elegir una de estas combinaciones como hipótesis y avanzar a partir de ella.

Otra posibilidad es buscar alguna otra fila o columna sobre la que haya menos combinaciones posibles. El resultado de la primera fila es 91 y se obtiene aplicando una multiplicación. Operando convenientemente notamos que sólo hay un producto que permite obtener ese valor: 13x7=91, de modo que 7 es, con certeza, el valor que debemos ubicar en la tercera casilla de la primera fila.

En este tipo de problemas resulta útil escribir expresamente los valores a ubicar y tacharlos a medida que lo colocamos:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Con el 7 en ubicado en su lugar, se deduce que el número de la tercer fila, tercer columna es un 3. Completamos entonces la tercera columna y tachamos el 3. Nuevamente el desafío consiste en elegir adecuadamente la fila o la columna sobre la que podemos realizar una deducción o una hipótesis.

El producto de las dos primeras casillas de la última fila debe ser 9, que claramente sólo puede obtenerse como 9x1 o 1x9. Teniendo en cuenta que sólo dos combinaciones son posibles elegimos una de ellas como hipótesis, por ejemplo la primera.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ahora, el resultado de la resta de las dos primeras casillas de la primera columna debería ser 9, pero es claro que este valor no se puede obtener a partir de la resta de dos de los números disponibles. Nuestra hipótesis no fue la correcta, de modo que retrocedemos y seleccionamos la segunda alternativa. Ya no se trata de una hipótesis porque no hay otro camino posible. Es claro que cuando hayamos resuelto varios problemas de este tipo probablemente no necesitemos escribir expresamente nuestra hipótesis y podamos contradecirla mentalmente.



30

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Volviendo a la primera fila, el resultado de la suma de las dos primeras casillas debe ser 13, de modo que las combinaciones posibles con los valores disponibles son (5,8) o (8,5). Si elegimos la primera combinación como hipótesis rápidamente completamos las casillas libres de la segunda fila.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Notemos que a medida que avanzamos en la resolución, el problema se simplifica mucho, los números disponibles son menos y las restricciones aumentan reduciendo la cantidad de combinaciones válidas. La habilidad para elegir inicialmente la fila o la columna a completar requiere de práctica, pero evidentemente buscar las casillas más restringidas es una buena estrategia.

Consideraremos ahora un nuevo problema: Ubique en el esquema los números que aparecen en la tabla de manera que se crucen coherentemente. Cada número de la tabla debe usarse exactamente vez.



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3 cifras 4 cifras 5 cifras 6 cifras 169 375 476 776 854 973

1285 2287 3378 6115 6966

7639 7968 8648 8865 9741

18151 36336 38318 39183 55933 73883 93561

371565 649811

La estrategia más simple para resolver este problema es aplicar un proceso exhaustivo en el que intentamos ubicar los números de tres dígitos en tres casillas adyacentes libres, en forma horizontal o vertical, los números de cuatro dígitos en cuatro casillas adyacentes libres y así siguiendo. Es claro que cuando los números comiencen a cruzarse van a comenzar a producirse inconsistencias y vamos a tener que probar nuevas posiciones.

Este método de prueba y error no pareciera ser razonable para este problema y necesitamos alguna estrategia no sólo algo más elaborada sino también más eficiente. En nuestro problema uno de los números ya está ubicado y su posición resulta fundamental para colocar a los demás. Las casillas que rodean al número 476 están fuertemente restringidas y estas restricciones orientan el proceso de resolución.

Es fácil deducir que el número que ubiquemos en la columna 2 debe tener un 7 en las decenas. Si hay un sólo número disponible en la lista que verifique esta condición, podemos ubicarlo con la certeza de que esa es su posición. Si hay varios en la tabla que cumplen con esta restricción, nada nos indica cuál elegir. Buscamos entonces otras casillas para completar, pero lo mismo sucede en la columna 3, ya que hay más de un valor de la tabla que puede ubicarse allí. En cualquier otra fila o columna tendremos también varias posibilidades.

En estas circunstancias, podemos usar la estrategia de elaborar una conjetura o hipótesis y avanzar a partir de ella. Es decir, elegimos alguno de los valores posibles y lo ubicamos en la grilla. Si en algún momento no podemos continuar decimos que llegamos a una contradicción. Concluimos que nuestra hipótesis no fue correcta y elaboramos otra o escogemos la única alternativa que nos queda.

Para nuestro problema en la columna 2 podemos ubicar el 375, el 776 o el 973. En la columna 3 podemos ubicar el 7639 o el 8648. Como tenemos varias posibilidades elegimos, por ejemplo, el 375 en la columna 2, pero enseguida notamos que no podemos encontrar en la tabla un número de 4 cifras que comience en 5.

Nuestra hipótesis no fue correcta y elegimos otro de los valores posibles, el 776. Nuevamente vamos a llegar a una contradicción, cualquiera sea el camino que sigamos a partir de ahora. Si completamos la fila de casillas grises para armar el número 7639, este queda descartado de la tabla y entonces no tenemos uno que comience con 66 para completar la columna de casillas grises. Si completamos la fila para formar el número 7968, no vamos a tener ningún número que comience con 96 para completar la columna señalada.



32

Ahora, sólo queda un valor de tres dígitos con un 7 en las decenas, el 973.

Continuamos entonces intentando completar en primer término las casillas para las cuales hay una única opción.

3.5 Razonar hacia atrás

La estrategia de razonar hacia atrás puede aplicarse en problemas en los cuales:

• Los datos describen una situación inicial y una situación final y la incógnita consiste en hallar un modo de pasar de una situación a otra respetando ciertas reglas.

• Los datos describen la situación final y la incógnita es la situación inicial a partir de la cual, luego de la aplicación de ciertas reglas u operaciones, se alcanza la situación conocida.

Para el primer caso proponemos un problema clásico: Disponiendo de un reloj de arena de 7 minutos, y de otro de 11 minutos, ¿Cómo podemos controlar la cocción de un huevo, que debe durar 15 minutos?

En la situación inicial disponemos de dos relojes de arena diferentes. La situación final también es conocida, la incógnita es como llegar a ella. Nuestra solución debe proponer un modo adecuado de usar los relojes.

El análisis del problema nos llega a concluir que de poco servirá comenzar a usar uno de los relojes cuando otro haya dejado caer parte de la arena, porque no tenemos modo de saber a qué porción de tiempo corresponde la arena caída. De modo que inicialmente el único movimiento razonable pareciera ser comenzar a usar ambos relojes al mismo tiempo. Cuando el reloj de 7 minutos termine, sabemos con certeza que al otro le faltarán 4 minutos para terminar, 11 menos que lo que tarda en cocinarse un huevo. Es fácil concluir cómo proceder a continuación y dejamos este último paso a cargo del lector.

Para el segundo caso consideremos el siguiente problema: El lunes Jaime le regaló a Nicolás y a Tomás tantos stickers como cada uno de ellos tenía previamente. Al día siguiente Nicolás le regaló a Jaime y a Tomás tantos stickers como



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cada uno de ellos tenía. El jueves, Tomás imita a sus amigos y le regala a Nicolás y a Jaime tantos stickers como cada uno de ellos tenía. Cuando cada uno decide pegar sus stickers en un álbum se sorprenden al notar que cada uno tiene 16 stickers. ¿Cuántos tenía inicialmente cada uno?

Antes de aplicar la estrategia propuesta es importante que hayamos comprendido el problema completamente. Analicemos la primera frase El lunes Jaime le regaló a Nicolás y a Tomás tantos stickers como cada uno de ellos tenía previamente. Esto significa que si Nicolás tenía 3 stickers y Tomás 7, Jaime le regaló 3 más a Nicolás y 7 a Tomás. Eso es todo lo que sabemos de la situación inicial.

De la situación final tenemos datos precisos y resulta útil ahora hallar una representación gráfica que describa la situación final:

Jaime Nicolás Tomás Situación final 16 16 16

Como hemos analizado el problema, antes de aplicar la estrategia, no debería ser difícil notar que si Nicolás y Jaime recibieron tantos stickers como tenían, la situación previa al jueves era:

Jaime Nicolás Tomás Situación previa al jueves 8 8 32

Siguiendo el mismo razonamiento:

Jaime Nicolás Tomás Situación previa al martes 4 28 16 Situación previa al lunes 26 14 8

La última fila de la tabla representa la situación inicial y es por lo tanto la solución del problema.

3.6 Dividir el problema en subproblemas

Una estrategia muy útil cuando la complejidad del problema resulta excesiva, es dividirlo en subproblemas más fáciles de resolver. Por ejemplo:

Milton, Stevenson y Harris han hundido una enorme cantidad de embarcaciones a lo largo de su larga trayectoria como piratas. Descubrí cuántas hundió cada uno sabiendo que:

• Entre Milton y Stevenson hundieron 810 naves.

• Entre Stevenson y Harris hundieron 890 naves.

• Entre Harris y Milton hundieron 940 naves.

El problema puede resultar difícil de resolver si intentamos analizar todos los datos al mismo tiempo. Considerando las dos primeras pistas podemos deducir que Harris tiene que haber hundido 80 naves más que Milton. Ahora usamos este valor en conjunto con la tercera pista y notamos que si Milton hubiera logrado hundir 80 naves más, Harris y Milton hubieran hundido 1020 naves y ambos hubieran hundido la misma cantidad, o sea 510 cada uno. De modo que Harris efectivamente hundió 510 naves y para calcular las de Milton restamos a



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este valor los 80 que habíamos agregado, obteniendo un total de 430 naves. Por último, retomamos la primera o la segunda pista para completar la solución.

Una forma de dividir el problema en subproblemas es plantear preguntas parciales que nos acerquen a la solución:

Pablo sale de viaje con su auto y al partir llena los 45 litros de capacidad de su tanque, sabiendo que para llegar a destino va a necesitar 12 litros más. Cuando hace dos tercios del recorrido se detiene y vuelve a llenar el tanque ¿Con cuánta nafta llega a destino?

Podemos simplificar el problema dividiéndolo en otros más sencillos cuyas soluciones puedan combinarse hasta resolver el problema global. Para este problema una primera pregunta podría ser: ¿Cuánta nafta va a consumir en total? Para plantear la segunda pregunta es importante notar que cuando recorra dos tercios del camino, habrá consumido dos tercios del total de la nafta. De modo que la próxima pregunta puede ser: ¿Cuánta nafta habrá consumido cuando vuelve a llenar el tanque? La siguiente pregunta es directa: ¿Cuánta nafta va a consumir en el tercio de camino que le falta recorrer? Y por último ¿Cuánta nafta va quedar en el tanque cuando termine el viaje?

3.7 Reformular el problema

Una forma de atacar este problema es simplificarlo de alguna manera, reformulándolo en términos de un caso conocido o más fácil de resolver. Consideremos el siguiente ejemplo:

Milton ha logrado entrar a la cueva y su asistente, el habilidoso Morgan, calcula el valor del botín.

¿Cuántos maravíes hemos obtenido? – pregunta ansioso Milton.

Todo el botín está en diamantes, monedas de oro y de plata.

Bueno, pero ¿Cuánto? – insiste Milton.

• Todo está en monedas de plata, menos 7000 maravíes.

• Todo está en monedas de oro, menos 8000 maravíes.

• Todo está en diamantes, menos 9000 maravíes.

Una forma de atacar este problema es “transformar” de alguna manera las pistas en otras que resulten más simples de resolver, por ejemplo:

Entre oro y diamantes hay 7000 maravíes.

Entre plata y diamantes hay 8000 maravíes.

Entre oro y plata hay 9000 maravíes.

Una vez transformado el problema, podemos aplicar la estrategia propuesta para resolver el problema anterior.

4 Verificación de la solución Una vez que hemos alcanzado un resultado, es fundamental confrontarlo con las reglas y restricciones del problema y verificar que efectivamente constituye una solución. Una vez más tendremos que leer la especificación original del problema y asegurarnos que todas las cuestiones planteadas se hayan resuelto consistentemente.

Esta etapa puede ser muy enriquecedora si se comparan diferentes alternativas de resolución y se reflexiona sobre las distintas estrategias aplicadas. Esta reflexión es fundamental para que



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la resolución de una situación particular permita desarrollar la capacidad general de abordar problemas. En la sección anterior habíamos dividido el siguiente problema en subproblemas:

Milton, Stevenson y Harris han hundido una enorme cantidad de embarcaciones a lo largo de su larga trayectoria como piratas. Descubrí cuántas hundió cada uno sabiendo que:

Entre Milton y Stevenson hundieron 810 naves.

Entre Stevenson y Harris hundieron 890 naves.

Entre Harris y Milton hundieron 940 naves.

Una forma diferente de encarar la resolución resulta al notar que en las pistas aparece dos veces cada uno de los personajes. De modo tal que, si sumamos los tres valores numéricos, obteniendo 2640, las naves de cada personaje habrán sido consideradas dos veces. En una segunda etapa calculamos que la cantidad de naves hundidas entre los tres tiene que ser 1320. Ahora usando la primera pista, deducimos que Harris hundió 1320-810 naves, es decir, 510. Con la segunda pista calculamos la cantidad de naves hundidas por Milton y con la última las de Stevenson. Notemos que en cada caso hallamos la cantidad de naves del personaje que no aparece en la pista.

Una tercera alternativa es plantear un sistema de ecuaciones y resolverlo algebraicamente.

5 Problemas propuestos Incluimos a continuación un conjunto de problemas para la ejercitación de los conceptos introducidos. Estos problemas fueron pensados para ser resueltos de manera independiente, por un alumno que concluye su formación en la educación media.

IMPORTANTE

• Si se encuentra bloqueado ante un problema particular, le sugerimos que recurra a las explicaciones vertidas en las primeras secciones e intente nuevamente analizando el enunciado y aplicando las estrategias propuestas.

:

• Si construye usted mismo la solución de varios de los problemas, contribuirá a desarrollar su capacidad para resolver otros nuevos. Trabajar de manera autónoma en varios de los problemas será más significativo que si otra persona le explica las soluciones de todos.

Los problemas no están ordenados por nivel de dificultad. Por lo tanto se sugiere, que si después de dedicarle un buen tiempo a un problema particular, se encuentra bloqueado aún luego de haber intentado aplicar las estrategias propuestas, continúe con el problema siguiente y vuelva a intentar resolver el que no pudo al día siguiente. Probablemente se sorprenda al resolverlo mucho más rápido de lo que esperaba.

Al final del texto encontrará la solución de los problemas marcados con ®, y algunas pistas o la respuesta de los demás problemas. ® Escriba un enunciado equivalente al que se encuentra a continuación, de no más de 6 renglones, y luego encuentre la solución al problema de los chicos. La Cinta: En la escuela número 5, los 28 alumnos del último año presentan una obra de teatro en la muestra organizada para festejar la semana de la primavera. Los chicos se distribuyeron tareas, 4 de ellos escriben el guión, 2 trabajan de director y asistente respectivamente y 16 actúan en la obra. Los demás alumnos son responsables de armar el decorado. Uno de los



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paneles se construye a partir de una figura como la que sigue. Después de mucho discutir los chicos decidieron que la longitud de BF debía ser tres veces la longitud de CB. La más dura de convencer fue Jovita, que aceptó sólo cuando los demás acordaron que el perímetro del rectángulo central fuera de 24 cm. Cansados de trabajar, a las 12 del mediodía todos estuvieron de acuerdo en pintar los triángulos, isósceles e iguales, con color rojo y que el contorno de cada uno fuera de 25 cm. Sólo falta decidir de qué color va a ser la cinta que va a bordear al hexágono y cuántos centímetros deben comprar. Escriba un enunciado equivalente al que se encuentra a continuación, de no más de 6 renglones, y luego encuentre la solución al problema de los jardineros. El jardinero: La plaza principal de Villa Bella, ubicada en pleno centro de la ciudad, es un rectángulo de 100m. de largo. La plaza está dividida en varios sectores incluyendo un pequeño anfiteatro y un área de juegos. En el anfiteatro se presentan espectáculos de artistas locales los viernes y sábados a la noche. En el parque de juegos infantiles, durante los fines de semana, se proponen actividades recreativas supervisadas por profesores de gimnasia y maestras jardineras. Un insecto voraz consumió en los últimos dos años a una gran cantidad de coníferas de la plaza y Juan Cedro, jefe de jardineros, obtuvo autorización para reemplazar las plantas estropeadas por árboles de diferentes especies. Uno de sus colaboradores, José Arizónico, propone colocar alrededor de la plaza 320 árboles: un tilo en cada esquina y, sobre los lados jacarandás. Otro de los jardineros, Mateo Ciprés, propone un diseño diferente, dividir la plaza en dos cuadrados iguales separados por una avenida central de 20 m de ancho. Luego colocar los 320 árboles en los dos cuadrados que quedan: uno en cada esquina y los demás sobre los lados, de modo que la distancia cada dos árboles consecutivos sea siempre la misma. Juan Cedro está casi convencido de que el diseño de Mateo Ciprés es el adecuado pero no acierta a calcular que distancia debería separa a cada par de árboles consecutivos. ¿Podrías ayudarlo? Escriba un enunciado equivalente al que se encuentra a continuación, de no más de 6 renglones, y luego encuentre la solución al problema de Lucía. La Feria del Libro: Lucía viajó el sábado a Buenos Aires para visitar a su hermano Pablo que acaba de irse a estudiar arquitectura. El domingo amaneció nublado de modo que suspendió su programa de ir al Tigre, y decidió ir a la feria del libro. El valor de la entrada era de $10 pero presentando su carnet de estudiante sólo tuvo que pagar $5. Como no había desayunado, en cuanto entró fue al bar y gastó $4 en un café con leche y tostadas. Después, recorrió un par de horas la exposición antes de decidirse a comprar varios libros y un diccionario. No quería gastar demasiado, de modo que a pesar de que al principio se concentró mucho en comparar la calidad de las encuadernaciones de las distintas editoriales, finalmente terminó eligiendo la que mejores precios ofrecía. En la editorial Nahuel hacían un descuento del 15% y reintegraban el precio abonado en la entrada en las compras que superan los $100. Lucía eligió varios libros que en conjunto costaban $84 y cuando escogió un diccionario el empleado le confirmó que el monto total superaba los $100. Como todavía dudaba el muchacho y le ofreció un almanaque de regalo si se decidía inmediatamente. No lo pensó más, pagó con un billete de $100 y uno de $20. En la caja le devolvieron $14,50. ¿Cuál era el precio de venta del diccionario sin el descuento? Escriba un enunciado equivalente al que se encuentra a continuación, de no más de 6 renglones, y luego encuentre la solución al problema de los vasos. El testamento: El avaro Mr. Dolar falleció el domingo pasado y tres días después se reunieron sus tres sobrinos con el viejo escribano de la familia, Dr. Mel. Cuando el Dr. Mel leyó el testamento, la sorpresa sólo fue superada por el enojo que produjo su contenido. Mr. Dolar legó casi toda su fortuna a la Organización Internacional de Protección de Tortugas Acuáticas Enanas. Ante la contundente noticia su sobrina Clarita se desmayó y cayó estrepitosamente sobre un juego de té chino. Los gemelos Paul y Ringo vociferaron un buen rato y hasta llegaron a increpar duramente al Dr. Mel. Cuando los ánimos se tranquilizaron un poco el escribano aclaró:



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- Mr. Dolar decidió a último momento dejar una valiosa balanza de plata a aquel de sus sobrinos que pudiera descubrir cuantos vasos equilibran con una botella. Se trata de una balanza de platillos, en la cual como pueden ver: • una botella y un vaso en el platillo izquierdo hacen equilibrio con una jarra en el platillo derecho. • una botella sola equilibra un vaso y un plato y • cuatro de esos platos equilibran dos jarras iguales a la primera. Clarita, la más inteligente de los tres jóvenes, dibujó una tabla en su agenda y dedujo rápidamente el enigma. ¿Podrías tratar de descubrir cuál era el formato de la tabla y con qué datos la completó para llegar a la solución? ® Entre los dos enunciados siguientes existe una variación que modifica significativamente la solución. Detecte la diferencia y encuentre la solución en cada caso: El número 6 (A): ¿Cuántas veces escribís el “6”, si escribís todos los números múltiplos de 5 que hay entre el 1000 y el 1701? El número 6 (B): ¿En cuántos números escribís el “6”, si escribís todos los números múltiplos de 5 que hay entre el 1000 y el 1701? Entre los dos enunciados siguientes existe una variación que modifica significativamente a la solución. Detecte la diferencia y encuentre la solución en cada caso: El artesano (A): Un artesano vende el par de aros a $2 y las pulseras a $3 cada una. Pero tiene una oferta especial: vende un juego de un par de aros y una pulsera a $4. El sábado el artesano vendió: 72 pulseras, algunas en los juegos y otras sueltas y 80 pares de aros, algunos en los juegos y otros sueltos. El sábado vendió 52 juegos de oferta. ¿Cuánto dinero se llevó el artesano ese día por el total de las ventas? El artesano (B): Un artesano vende el par de aros a $2 y las pulseras a $3 cada una. Pero tiene una oferta especial: vende un juego de un par de aros y una pulsera a $4. El sábado el artesano vendió: 72 pulseras, algunas en los juegos y otras sueltas y 80 pares de aros, algunos en los juegos y otros sueltos. El sábado vendió 52 pesos en juegos de oferta. ¿Cuánto dinero se llevó el artesano ese día por el total de las ventas? Entre los dos enunciados siguientes existe una variación que modifica significativamente la solución. Detecte la diferencia y encuentre la solución en cada caso: Cuadradito (A): En la esquina de un cuadrado de 60 cm. de perímetro se recorta un cuadradito de 25 cm. de perímetro.

Con dos figuras iguales se arma otra como la que sigue ¿Cuál es el perímetro de esta última figura?



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Cuadradito (B): En la esquina de un cuadrado de 60 cm. de perímetro se recorta un cuadradito de 25 cm2. de área.

Con dos figuras iguales se arma otra como la que sigue ¿Cuál es el perímetro de esta última figura?

Entre los dos enunciados siguientes existe una variación que modifica significativamente la solución. Detecte la diferencia y encuentre la solución en cada caso: Rifas (A): Los cuatro hijos de Don Ramón están vendiendo rifas para el club. Sara vendió 20 rifas más que Bruno, que a su vez vendió 10 rifas más que Amalia, que por su parte vendió el doble que Marta. Si Marta vendió 52 rifas ¿Cuántas vendieron entre sus hermanas? Rifas (B): Los cuatro hijos de Don Ramón están vendiendo rifas para el club. Sara vendió 20 rifas más que Bruno y 10 rifas más que Amalia, que por su parte vendió el doble que Marta. Si Marta vendió 52 rifas ¿Cuántas vendieron entre sus hermanas? Maestro pizzero: Don Manuel es un maestro pizzero. Elabora todas las combinaciones de pizza posibles con queso y al menos uno de los siguientes ingredientes: jamón, tomate y morrones. Si ya preparó una pizza de queso y tomate, y otra de jamón, queso y tomates. ¿Cuántas combinaciones tiene que preparar todavía? Sugerencia: al analizar el enunciado es importante responder las siguientes preguntas ¿Cómo se interpreta la expresión al menos uno? ¿Qué efecto tiene la palabra todavía en la pregunta? Hamburguesas: Catalina prepara hamburguesas untando el pan con un único aderezo: mayonesa, mostaza o ketchup y usando a lo sumo 3 de los siguientes ingredientes: tomate, huevo, lechuga, queso. ¿Cuántas variedades diferentes puede armar? Sugerencia: ¿Cómo se interpreta la expresión a lo sumo? ® Escribir enunciado: Plantee dos o tres problemas en los cuales cambiando la letra Y por una O (o viceversa) se modifique la interpretación y por lo tanto la solución.



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El siguiente problema está extraído del libro “El hombre que calculaba” escrito por Malba Tahan, un clásico dentro de los libros de entretenimientos matemáticos. El libro cuenta la historia de un viajero que, camino a Bagdad, se encuentra con Beremiz Samir, hombre extraordinariamente dotado para hacer cálculos, que nació en Khoi, una pequeña aldea de Persia (Irán) en el valle del monte Ararat. Beremiz es capaz de contar grupos de cosas de una ojeada y resolver intrincados problemas matemáticos. En cada capítulo, el hombre que calculaba plantea situaciones ingeniosas y divertidas y resuelve enigmas gracias a su poder de observación, su habilidad para el cálculo y fundamentalmente a su gran capacidad para el razonamiento lógico. Los Panes (“El hombre que calculaba” de Malba Tahan ) Tres días después de nuestro encuentro con los hermanos herederos de un lote de camellos, nos aproximábamos a una pequeña aldea- llamada Lazakka- cuando hallamos, caído en el camino, a un pobre viajero con las ropas desgarradas y al parecer gravemente herido. Acudimos en socorro del infeliz y él nos narró luego sus desventuras. Llamábase Salem Nasair, y era uno de los más ricos negociantes de Bagdad. Al regresar, pocos días antes, de Basora, con una gran caravana, fue atacado por una turba de persas, nómadas del desierto. La caravana fue saqueada, pereciendo casi todos sus componentes a manos de los beduinos. Solo se había salvado él, que era el jefe, ocultándose en la arena entre los cadáveres de sus esclavos. Al terminar el relato de sus desgracias, nos preguntó con voz angustiosa: -¿Tenéis por casualidad, musulmanes, alguna cosa para comer? ¡Estoy casi muriendo de hambre! -Tengo solamente tres panes- respondí -Yo traigo cinco- afirmó “el hombre que calculaba”. -Pues bien- sugirió sheik- juntemos esos panes y hagamos un reparto equitativo. Cuando lleguemos a Bagdad os prometo pagar con ocho monedas de oro el pan que coma. Así lo hicimos, y, al día siguiente, al caer la tarde, entramos en la célebre ciudad de Bagdad, la perla de Oriente. Al atravesar una hermosa plaza, nos enfrentamos con un gran cotejo. Al frente marchaba, el brioso alazán, el poderoso Ibrahim Maluf, uno de los visires del califa Bagdad. Al ver el visir al Sheick Salem Nasair en nuestra compañía, gritó, haciendo detener su poderosa escolta, y le preguntó: -¿Qué te ha pasado, amigo mío? ¿Por qué te veo llegar a Bagdad sucio y harapiento, en compañía de dos hombres que no conozco? El desventurado sheik narró, minuciosamente, al poderoso ministro todo lo que le ocurriera en el camino, haciendo los mayores elogios respecto a nosotros. -Paga sin pérdida de tiempo a esos forasteros- ordenó el visir. Y sacando de su bolsa ocho monedas de oro las entrego a Salem Nasair, insistiendo: -Quiero llevarte ahora mismo al palacio, pues el Comendador de los creyentes desea, con seguridad, ser informado de esta nueva afrenta que los beduinos practicaran, al matar a nuestros amigos saqueando caravanas dentro de nuestra frontera. -Voy a dejaros amigos míos- dijo Nasair-; mas antes deseo agradeceos el gran servicio que me habeís prestado. Y para cumplir la palabra. Os pagaré el pan que tan generosamente me dieron. Y dirigiéndose al “Hombre que calculaba”, le dijo: - Por tus cinco panes te daré cinco monedas. Y volviéndose hacía mi concluyó: - Y a ti, te daré tres monedas por tus tres panes. Con gran sorpresa nuestra, el calculista objetó respetuosamente: ¡Perdón, oh sheik! La división hecha de ese modo es sencilla, pero no matemáticamente exacta, si yo di 5 panes debo recibir 7 monedas y mi compañero, el “bagdalí”, que dio 3 panes, solamente debe recibir 1 moneda. Explique qué razonamiento hizo el hombre que calculaba, que lo llevó a esa conclusión. Divida el problema en subproblemas parciales, proponiendo preguntas intermedias que lo acerquen a la solución ® Estampillas:



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Diego colecciona estampillas que pone en álbumnes. Cada álbum tiene 32 páginas. En cada página pega igual número de estampillas. Tiene 3 álbumnes completos y otro con sólo 5 páginas llenas. En el álbum incompleto tiene 60 estampillas. ¿Cuántas estampillas tiene en total? Proponga preguntas que permitan alcanzar resultados intermedios que lo acerquen a la solución ® Avión: El avión salió el domingo a la noche desde Mendoza con destino a Buenos Aires. Entre los pasajeros había 30 mujeres y algunos varones. Cuando hizo escala en Córdoba subieron 26 varones y 26 mujeres y no bajó nadie. Al despegar nuevamente el número de mujeres era los 2/5 del número total de pasajeros. ¿Cuántos pasajeros había antes de la escala en Córdoba? Plantee diferentes hipótesis hasta alcanzar la solución Piratas: El primer pirata que pudo ver tierra desde el barco del temible Barbaroja fue el vigía: - Estamos a 54 kilómetros de la costa - dijo. - No, estamos a 57 kilómetros – le contestó otro desde la cubierta. - Más, a 59 kilómetros – intervino un tercero que estaba sobre un mástil. Sabemos que uno de los piratas calculó mal la distancia por 4 kilómetros, otro por 2, y otro por 1 kilómetro, aunque no se sabe a que pirata corresponde cada error. ¿A qué distancia estaban de la isla? Dibuje un diagrama que ayude a reflejar la manera en que los personajes avanzan hasta alcanzarse. Don Gusano y Don Caracol: Don Gusano quiere alcanzar a Don Caracol para contarle las últimas novedades del jardín, pero no va a ser fácil que se encuentren. Los bichitos están caminando sobre una rama en el mismo sentido, y el caracol le lleva 1 metro de ventaja. Si el gusano recorre 1 metro cada 2 horas y el caracol recorre 1 metro cada 3 horas ¿Cuánto tiempo tardarán en encontrarse? Clavos: Manuel tiene un frasco con 20 clavos iguales que pesa 270 grs. El mismo frasco con 15 de esos mismos clavos pesa 240 grs. ¿Cuánto pesa el frasco vacío? Mellizos: Mariela y Lucía son hermanas mellizas y Aníbal y Omar también son mellizos. La edad de los cuatro suma 40, y las niñas son 2 años mayores que los varones. ¿Cuál es la edad de cada uno? Empleados: Cuatro compañeros de oficina comentan acerca de cuánto le falta a cada uno para cumplir los 20 años de antigüedad en PAPEL S.A.: Entre todos llevamos 22 años trabajando en la empresa – dice Greg Ninguno lleva una cantidad par de años – agrega Lewis Olson lleva tanto tiempo como nosotros tres juntos – continúa Greg Klaus lleva más tiempo que yo pero menos que Greg – concluye Lewis. ¿Podría ayudarlos con el cálculo? ® Caballeros: Durante la Edad Media, cuatro caballeros partieron a luchar en las cruzadas cada uno en un año diferente entre 1145 y 1148. Deduzca quién partió en cada año, sabiendo que Carlos partió justo después que Eduardo, Arturo partió justo antes que Ricardo, y que cuando Eduardo inició su viaje, Arturo ya estaba a punto de volver. Escriba una expresión usando los símbolos “<” y “>” que refleje las relaciones entre los años. Carrera: Cuatro amigos corrieron una carrera. Descubra en qué orden llegaron, sabiendo que Leticia no llegó ni en primero ni en tercer lugar, Marcelo se burló de Alberto porque le sacó varios metros de ventaja y Daniela quedó dos lugares atrás de Leticia.



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Señoras: Cinco señoras meriendan sentadas en torno a una mesa redonda. La señora de García está sentada entre la señora de López y la señora de Martínez. Elena está sentada entre Catalina y la señora de Pérez. La señora de López está entre Elena y Alicia. Catalina y Doris son hermanas. Isabel está sentada con la señora de Gómez a su izquierda y la señora de Martínez a su derecha. Coloque los nombres con sus correspondientes apellidos. Dibujo en una representación gráfica que refleje la vinculación entre las ubicaciones de las señoras. Profesiones: Tres parejas compartieron una excursión durante la luna de miel. Una de las chicas es arquitecta, otra abogada y la tercera traumatóloga. Los varones tienen justamente las mismas profesiones, sin embargo ninguno de ellos comparte su profesión con su esposa. Durante el almuerzo Nicolás le comenta a su hermana:

- En cuanto volvamos te pido un turno, la rodilla volvió a molestarme. - Primero tenés que terminar el plano que me prometiste el verano pasado.

Con esta información, ¿Se podrá deducir cuál es la profesión de la esposa del traumatólogo? ¿Qué datos implícitos resultan relevantes para hallar la solución? Números consecutivos: Conocida es la enemistad que enfrenta a los números consecutivos. Para evitar discusiones, ubique a los números del 1 al 8 en los cuadraditos de la figura, de modo que no queden dos números consecutivos vecinos, ya sea en forma horizontal, vertical u oblicua. ¿Qué números tienen menos restricciones que los otros? ¿Cuáles son los que le conviene ubicar primero?

Números peleados: Escriba en cada una de las fichas grises un número del 1 al 6 de modo tal que no queden fichas con números consecutivos en fichas unidas por una línea. ¿Existe alguna similitud con el problema anterior?

Las 12 letras: Escribir tres letras A, tres B, tres C y tres D de manera que no queden dos letras iguales juntas en forma horizontal, vertical o diagonal. Dominó: Ubique las siguientes fichas:



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En el diagrama que sigue, teniendo en cuenta que las fichas grises son dobles

¿Qué fichas puede ubicar inicialmente con la certeza de que esa es su posición definitiva? Explique por qué. Del 1 al 9: En cada diagrama ubique los números del 1 al 9 sin repetirlos de modo que se obtengan los resultados que corresponden a las operaciones indicadas.

Grilla de números: Acomode en la siguiente grilla,

los números que aparecen en esta tabla:



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3 cifras 4 cifras 5 cifras 6 cifras 7 cifras

156 203 245 413 831 836

4832 6402

15844 66515 94146 97232

246591 313649 609216 832218

1391986 1999876 4211320 4665245 5663232

Planetas: Acomode los nueve planetas en el diagrama. Cada nombre debe anotarse completo en una línea. Si dos nombres van en una misma línea, escríbalos uno a continuación del otro, sin espacios.

MARTE SATURNO MERCURIO

TIERRA NEPTUNO URANO

VENUS PLUTÓN JÚPITER

Organice los nombres de los planetas en una tabla que resulte adecuada para simplificar el proceso de ubicarlos. Comience ubicando el planeta que corresponde a la única palabra vertical. ¿Puede ser TIERRA? ¿Por qué? ¿Puede ser JUPITER? ¿Por qué? Naipes: Cuatro amigos se reúnen todos los jueves a la noche a jugar a las cartas. Todos han acordado que, en cada ronda, los perdedores le entregan al ganador la sexta parte del dinero que han acumulado hasta ese momento. El jueves pasado jugaron cuatro rondas y cada uno ganó una. Palmiro ganó la última. Los cuatro terminaron con $1250. ¿Con cuánto dinero había comenzado a jugar Palmiro? Explique cómo puede calcular cuánto dinero tenía cada uno de los jugadores inmediatamente antes de comenzar la cuarta ronda. Indique cómo continúa el razonamiento retrocediendo hacia las rondas anteriores, hasta resolver la incógnita. Lápices: Fernando, Guido, Hugo e Ignacio tienen una caja de lápices cada uno. Fernando tiene un lápiz rojo, uno azul, uno verde y otro negro. Guido tiene dos lápices negros, dos azules y uno amarillo. Hugo tiene tres lápices negros y tres rojos. Ignacio tiene dos lápices verdes, dos azules, uno celeste, uno violeta y uno blanco. En la clase de plástica los chicos intercambian lápices, pero no lo hacen libremente sino aplicando siempre estas reglas en cualquier orden: • Tres de los muchachos sacan un lápiz de cada una de sus cajas y se lo dan al cuarto para que lo

agregue en la suya. • Uno de los muchachos toma tres lápices de su caja y le entrega uno a cada uno de los demás. Después de varios de estos movimientos Fernando tiene cinco lápices e Ignacio 12. ¿Cuántos lápices tienen al final cada uno de los otros dos chicos?



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Halle una representación gráfica adecuada para mostrar la situación inicial y la situación final. Carrera Cinco autos, de distintas marcas y colores, corrieron el rally. Trate de relacionar el nombre de cada piloto con la marca y el color de su auto y la posición en la que llegó.

• EL AUTO ROJO LLEGÓ JUSTO DESPUÉS QUE EL AZUL E INMEDIATAMENTE ANTES QUE EL BMW.

• EL FIAT NO ERA AMARILLO

• MARINO LLEGÓ ANTES QUE CASTRO PERO DESPUÉS QUE

REPETTO

• EL AUTO BLANCO DE REPETTO

LLEGÓ JUSTO DETRÁS DEL FORD

• EL RENAULT LLEGÓ ÚLTIMO

• PATIÑO

LLEGÓ JUSTO ANTES QUE JACKES, QUE FUE EL SEGUNDO

• CASTRO CORRIÓ EN UN AUTO CELESTE Y MARINO

EN UN HONDA

Construya una tabla en la que pueda ir volcando los datos. ¿Cuál es la primer pista que puede usar para comenzar a completar la tabla? Definiciones: escriba una definición para los siguientes conceptos a) Un triángulo isósceles. b) Un paralelogramo. c) Un número impar. Incompletas: Las siguientes definiciones son incompletas o incorrectas, indique por qué y defina el concepto apropiadamente a) Un cuadrado es una figura de cuatro lados. b) En la República Argentina, la patente de auto está formada por un conjunto de letras y números. c) Un número primo es un número que no tiene divisores. d) Un número par es todo número que siempre se puede dividir por cuatro.

Instrucciones: Escriba un enunciado con el objetivo de indicar instrucciones para: a) Realizar una llamada desde un teléfono público con monedas. b) Cepillarse correctamente los dientes. c) Extraer dinero de un cajero automático. Envido: Una tarde de domingo Pedro y Luis estaban jugando entretenidamente al truco. Juan, que no sabe jugar, los observa y ve que cada tanto alguien grita “¡Envido!” y después dice un número (por ejemplo “30”). Después de mirar un rato el partido, Juan siente curiosidad y les pregunta ¿Cómo se hace para calcular el puntaje de envido que tiene un jugador en una mano de truco? Explique por escrito las reglas que describen cómo se calcula el puntaje del envido para que Juan pueda entenderlas. Nota:

si no sabe jugar al truco, deje este problema y pase al siguiente.

Piedra, papel y tijera: José está por empezar la Universidad, y conversa con su sobrina Ivana de 10 años. Ivana le cuenta que algunos de sus compañeritos en la escuela juegan a un juego que se llama “piedra, papel o tijera”, pero que ella no sabe cómo jugar. José le dice: “¡Es fácil! Es un juego donde participan dos personas. Para jugar, las dos personas se ponen una mano detrás de la espalda al mismo tiempo y exclaman “!Piedra, papel o tijera!”. Y luego...” Ayude a José, y escriba las reglas completas de cómo se juega a piedra, papel y tijera.



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Lotería: El otro día, Pedro, Luis y otros amigos estaban jugando a la lotería muy entretenidos. Juan, que no sabe jugar, los observa y ve que después de un rato alguien grita “¡Línea!”. Y que el juego se termina cuando alguien grita “¡Cartón lleno!”. Juan siente curiosidad y les pregunta ¿Cómo se hace para jugar a la lotería? Explíquele por escrito a Juan las reglas que muestran cómo se juega a la lotería entre varias personas. Nota

: si no sabe jugar a la lotería, deje este problema y pase al siguiente.

Mago: José, un amigo nuestro que es aprendiz de mago, nos muestra un truco para sorprendernos. Nos dice: “Aquí tengo un mazo de 40 cartas españolas. Voy a ubicar las cartas sobre la mesa en forma de cruz, y voy a descubrir dónde están los cuatro reyes”. Luego toma al mazo boca abajo, y dice: “Voy a arrojar la primera carta al norte, la segunda al este, la tercera al sur, la cuarta al oeste, la quinta nuevamente al norte, y así sucesivamente”.

N O E S

Una por una, comienza a volcar las cartas sobre la mesa. Tras haber arrojado todas las cartas sobre la mesa, quedan cuatro pilas de 10 cartas cada una. Toma luego las 10 cartas ubicadas en la pila “Oeste”, y nos las entrega diciéndonos “Fijate que acá están los cuatro reyes del mazo”. Efectivamente, ¡allí estaban los cuatro reyes!. Al otro día nos enteramos de que el mazo que tenía José estaba ordenado de manera especial. Entonces...caemos en cuenta de cómo fue que nos hizo este truco. Explique claramente por qué el truco que hace José logra que todos los reyes queden ubicados en la pila “Oeste”. Los siguientes cuatro problemas corresponden al Examen Diagnóstico del año 2002. Un grupo de estudiantes de diferentes años de arqueología de la Universidad decidió hace un tiempo realizar un viaje de estudios a Egipto, para observar excavaciones profesionales. Algunos relatos cuentan que el viaje no fue muy placentero. Homero, el alumno más preguntón de la clase, cada día dejaba a sus compañeros pensando un rato con alguna pregunta que les formulaba. Transcribimos aquí parte del diario de viaje con las preguntas de Homero: Lunes 6 de Enero de 1953 Partimos a las 16 horas en un vuelo directo a El Cairo. Al llegar a Migraciones eran las 12 horas del mediodía y el calor agobiante. El oficial de migraciones, para agilizar el trámite dijo: “Cada uno entregue el pasaporte a una persona mayor”. Fue entonces cuando se supo que Ale es más joven que Bruno, Carlos es más viejo que Ale, y David es más viejo que Carlos. Al final, el profesor Jones se quedó con todos los documentos e inició los trámites de ingreso al país. Procesar cada pasaporte llevaba unos cincuenta segundos. Mientras salían del aeropuerto, Homero preguntó: ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas con certeza? a) Carlos es más viejo que Bruno b) Bruno es más viejo que Carlos c) Ale es más viejo que David d) David es más viejo que Ale

Martes 7 de Enero de 1953 Arribamos a las pirámides luego de un largo y caluroso viaje a pié. Un lugareño se apareció repentinamente en el camino y susurrando comentó que se debía pagar un arancel para entrar a la zona de las excavaciones. Un poco enojados por esta repentina noticia, comenzamos a juntar el dinero para entregarle al sospechoso lugareño. Cada uno puso 7 Libras egipcias, pero al finalizar la recaudación total, el profesor Jones se dio cuenta que faltaban 32 Libras. Mientras retornaba al grupo de estudiantes, pensaba como explicarles este problema sin generar discusiones. Para no perder más tiempo,



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resolvieron pagar todos 8 Libras. Finalmente, el profesor regresó hacia el lugareño a pagarle la nueva recaudación, pero notó que en realidad ahora sobraban 32 Libras. “No importa” – pensó el profesor – “Podemos utilizar el sobrante para comprar agua”. Mientras el lugareño se alejaba sonriente contando su dinero, el profesor Jones no podía evitar sentirse estafado. “Eso pasa por no buscar información en Internet”, le dijo a su asistente. Homero, sorprendió con una de sus preguntas ¿cuántos fuimos los que pusimos dinero?

Miercoles 8 de Enero de 1953 Durante la tarde un grupo de alumnos ingresamos en una galería subterránea, Homero tuvo miedo y se quedó afuera. Un arqueólogo observaba atentamente un dibujo que tenía la siguiente forma: Expectantes, todos nos acercamos a curiosear. “Es un viejo mosaico egipcio formado por triángulos equiláteros” –les dijo el arqueólogo Hopkins – “Lo interesante aquí es que el triángulo grande tiene 48 cm de perímetro. Y si observan bien, verán que el lado del triángulo mediano es la mitad del lado del triángulo grande y el lado del triángulo pequeño es la mitad del lado del triángulo mediano.” El profesor señaló un número tallado en la piedra “Aún no sabemos qué significa”. Inmediatamente Elena, la estudiante más inteligente de la clase afirmó “Es el perímetro del mosaico!”. El investigador, maravillado, afirmó que le había ahorrado varias horas de estudio “No será para tanto..”- dijo Elena mientras todos se retiraban caminando. Al finalizar el día Homero arremetió con sus acostumbradas preguntas ¿Cuál es el perímetro de la famosa figura que vieron hoy?

Jueves 8 de Enero de 1953 Hoy al fin pudimos visitar una de las pirámides pequeñas. Al llegar, conversamos con varios científicos que limpiaban dos paredes en las cuales se observaba claramente una serie de inscripciones y un pasillo que tenía unas 100 puertas. En la entrada al pasillo estaban tallados los dígitos 1, 2, 8, 5 y 6 y una leyenda con jeroglíficos. Elena, que entendía muy bien los jeroglíficos, leyó la inscripción inferior que decía: “La puerta para el acceso a la recámara del tesoro, es aquella que tiene todos los números de tres dígitos distintos, que se forman con los dígitos de la entrada tales que contengan al menos dos dígitos pares y que sean menores a 300”. Aparentemente, las demás puertas tenían trampas mortales. Elena sonrió y dijo: “ya se cuales son los números” Homero, ya medio cansado de no entender nada le preguntó al oído ¿me escribirías en este papel, uno abajo del otro y ordenados de menor a mayor, cuáles eran los números de la puerta? En otro pasillo estaban grabados los dígitos 0, 4, 6, 7, y 5 y los jeroglíficos afirmaban que “La recámara de la momia está en la puerta que tiene escritos todos los números de tres cifras distintas, múltiplos de 5 y menores a 500, que se forman utilizando los dígitos grabados en la entrada del pasillo”. Todos los científicos miraron a Elena repentinamente. “No puede ser tan facil” – afirmó, y se dirigió directamente a la puerta de la recámara de la momia. Homero, que huyó antes de que abrieran la puerta, durante la cena le preguntó a Elena: ¿me escribirías en este papel, ordenados de menor a mayor, cuáles eran los números de la puerta que guiaban a la momia? Los siguientes cuatro problemas corresponden al examen final del curso de nivelación del año 2002. El capitán de la nave Nahuel 3.14 relataba en un programa de televisión algunas de sus anécdotas de su viaje a Marte. La tripulación pasaba mucho tiempo ociosa y como en el viaje no podían llevar mucho peso, lo único que disponían para divertirse eran cinco dados. Después de jugar a muchos juegos conocidos decidieron inventar su propio juego al que llamaron “Pho”. Cada jugador tiraba en turno los cinco dados y sumaba un punto si conseguía una combinación de 3 dados iguales y los otros dos dados iguales, por ejemplo si sacaba tres dados con un 4 y dos dados con un 6.

4 4 4 6 6 Como resultaba bastante fácil sumar un punto de esa manera, luego modificaron el juego (al que llamaron “Phobos”) donde se agregaban las siguientes reglas a las de “Pho”: en la combinación



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ganadora no podían ser los cinco dados iguales, debía haber al menos un dado con el número 1, a lo sumo dos dados con el número 5, y a lo sumo 1 dado con el número 3. Escriba una lista con todas las combinaciones ganadoras del juego que llamaron Phobos. Durante la expedición se recolectaron 214 muestras de rocas con las siguientes características: a) Algunas muestras de roca eran de polvo. b) No encontraron muestras de silicio. c) Todas las muestras de rocas contenían hierro. d) Todas las muestras con carbono tenían azufre. e) Todas las muestras de rocas recolectadas eran rojas. f) Algunas muestras con azufre no tenían carbono. Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y qué datos justifican su respuesta. Por ejemplo “Todas las muestras de rocas eran polvo” es falso por (a). 1. Una de las muestras de roca era negra y tenía carbono. 2. No se encontraron muestras de roca que no fueran rojas. 3. Algunas de las muestras de polvo no eran rojas. 4. Todas las muestras con carbono eran rojas. 5. Algunas de las rocas contenían silicio. 6. Algunas de las rocas contenían hierro y silicio. 7. Algunas de las rocas contenían silicio o hierro. 8. Todas las rocas con azufre tenían carbono. 9. Se recolectaron a lo sumo 100 rocas con hierro. 10. Se recolectaron al menos 100 rocas. Roberto tenía una duda, quería saber la diferencia que tenían de peso Juan y Pedro cuando partieron de la tierra, entonces preguntó a sus tres compañeros: - ¿Cuál era el peso que tenían ustedes cuando partieron de la Tierra? Como nadie quería confesar su peso. Respondieron lo siguiente: - Mi peso más el de Pedro era de 137 kilos- dijo Marcos. - Mi peso estaba entre el de Pedro y Marcos y era múltiplo de 5- confesó Juan. - La suma del mío con el de Juan era 142- dijo Pedro. - Yo pesaba 5 kilos más que Marcos- dijo Juan. - El peso de Juan más el mío era 135- agregó Marcos. Responda la duda de Roberto Recuerdo que un día tuvimos que pintar parte del exterior de la nave con pintura reflectante, ya que había filtraciones de rayos ultravioletas. Teníamos que calcular la superficie a pintar. Uno de los astronautas hizo el siguiente esquema de la parte afectada. Sabíamos que eran dos cuadrados iguales en cuya superposición estaba la escotilla que era cuadrada y tenía 3600 cm2 de superficie, y la identificación de la nave (Nahuel) era un triángulo equilátero de 210 cm de perímetro y 2121 cm2 de superficie. Con esos datos pudimos calcular fácilmente la superficie que debíamos pintar y pudimos salir al exterior con la cantidad exacta de pintura para pintar todo, sin incluir la escotilla y el triángulo que identifica la nave. Calcule cuantos cm2 pintaron los astronautas



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6 Soluciones, pistas o respuestas. En esta sección mostramos como resolver los problemas marcados con ®, y las respuestas o algunas pistas para los demás. Es importante destacar que la forma de resolver los problemas mostrada no es necesariamente la única. Por lo tanto, es muy posible que usted haya llegado a la respuesta utilizando otro camino. Es particularmente valiosa la reflexión acerca de cada alternativa de resolución del problema.

® Solución al problema de “la cinta”. Nuevo enunciado: Se quiere calcular el perímetro del hexágono que se muestra en la figura, sabiendo que el perímetro de los triángulos, isósceles e iguales, ABF y CED es de 25cm cada uno. El perímetro del rectángulo BCFE es de 24 cm, y la longitud de BF es tres veces mayor a la longitud de CB. Para obtener el perímetro de la figura, como el triángulo ABF es isósceles, el lado AB es igual al lado AF, entonces su perímetro se calcula como 2.AB + CF. El perímetro del rectángulo se calcula como 2.BC + 2.CF, y se sabe además que el lado CF es tres veces mayor que BC, por lo tanto 3.BC = CF. Con esta información es posible obtener el siguiente sistema de ecuaciones. 2. AB + CF = 25 2.BC + 2 CF = 24 3.BC = CF Resolviendo este sistemas de ecuaciones se puede obtener el valor de la longitud de cada segmento y luego el perímetro de la figura que es 38cm. El jardinero: separados cada 1 m. La feria del libro: el diccionario costaba $46. El testamento: 3 vasos equilibran 1 botella ® Solución del problema “el número 6”: La diferencia es que el enunciado (A) pide ¿Cuántas veces escribís el “6”? y el (B) ¿En cuántos números escribís el “6”? Para ver más clara la diferencia, considere por ejemplo los siguientes 4 números 1265, 1330, 1660, y 1665. La respuesta para la pregunta de (A) es: escribí el “6” cinco veces. Mientras que la respuesta para (B) es escribí el 6 en tres números. Solución al problema (A): Los números múltiplos de 5 son aquellos terminados en 0 o en 5. Del 1000 al 1599 tienen un 6 y son múltiplos de 5 sólo aquellos que terminen en 60 o 65, o sea hay 2 números de cada 100. Esto es, el 6 lo escribo 12 veces. Del 1600 al 1701 escribo el 6, 22 veces. Por lo tanto, en total escribo al “6” 34 veces

.

Solución al problema (B): Del 1000 al 1599 el 6 aparece en 12 números. Del 1600 al 1701 el “6” aparece en 20 números. Por lo tanto la respuesta es: escribo al “6” en 32 números

.

El artesano (A): $324 (B): $363 Cuadradito (A): 82.5cm (B): 90cm Rifas (A): Entre Amalia y Sara suman 238 (B): Entre Amalia y Sara suman 218



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Maestro pizzero: La expresión “al menos uno” significa “uno o más”. Respuesta: tiene que preparar todavía 5 combinaciones. Hamburguesas: La expresión “a lo sumo tres” significa “como máximo tres”. Respuesta: puede preparar 14 x 3 = 42 hamburguesas distintas. No se consideran hamburguesas con solamente el aderezo o hamburguesas sin aderezos. ® Escribir enunciado: El domingo Pedro quiere ir al teatro o al cine, donde comprará helado y maní con chocolate. El helado cuesta $1, el maní con chocolate $1, mientras que la entrada al cine, al igual que la del teatro, cuesta $5. ¿Cuánto gastará? Como está planteado, irá al cine o al teatro, comprando helado y maní, por lo tanto gastará $7. Si cambiamos “al teatro o al cine” por “al teatro y al cine” entonces gastará $12. SI cambiamos “helado y maní” por “helado o maní” entonces gastará $ 6. Recuerde que le quedan plantear otros dos enunciados . (IMPORTANTE: las preguntas que se incluyen en esta solución no son necesariamente las únicas posibles) ® Estampillas: ¿Cuántas páginas tiene completas? Respuesta: 32 + 32 + 32 + 5 = 101 ¿Cuántas estampillas hay por página? Respuesta: 60 / 5 = 12 (datos del álbum incompleto) ¿Cuántas estampillas tiene en total? Respuesta: 101 x 12 = 1212 (IMPORTANTE: las preguntas que se incluyen en esta solución no son necesariamente las únicas posibles) ® Avión: ¿Cuál es el número de mujeres luego de la escala de Córdoba? ¿Cuál es el total de pasajeros si 56 mujeres representa 2/5 del total? ¿Cuál es el número de varones luego de la escala de Córdoba? ¿Cuántos varones había antes de la escala en Córdoba? ¿Cuántos pasajeros había antes de la escala en Córdoba? Respuesta: 88. (IMPORTANTE: las preguntas que se incluyen en esta solución no son necesariamente las únicas posibles) Piratas: ¿Qué significa que el error sea de 4 kilómetros? Respuesta: que puede ser más o menos 4 km. Por ejemplo, si el primero dijo que estaban a 54 km, y su error fue de 4km, entonces podrían estar a 50 km o a 58 km. ¿Puede ser el error de 4km del vigía, y de 2km el de la cubierta? Respuesta: NO, porque las posibles distancias del vigía son 50 o 58 y la del de la cubierta 55 o 59, y no coinciden ninguna. ¿Puede ser el error de 4km del vigía, y de 2km el del mástil? ... (de aquí en más continúe usted) Don Gusano y Don Caracol: Un diagrama posible, donde cada segmento representa un metro:



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0h 3h 6h 9h 12h Caracol 0h Gusano Clavos: 150g Mellizos: Anibal y Omar 9 años. Mariela y Lucia 11 años. Empleados: Les falta Greg 13, Lewis 19, Olson 9 y Klaus 17 años. ® Caballeros: Observe que en este problema la expresión “justo antes” implica el año inmediato anterior, y “justo después” implica el año inmediato siguiente. Llamaremos C al año que partió Carlos, E al año que partió Eduardo, A al año que partió Arturo y R al año que partió Ricardo, y utilizaremos el signo menor (<) para representar “partió antes”. Incógnita: averiguar el valor de C, E, R y A.

1. Carlos partió justo después que Eduardo (E < C) Datos explícitos relevantes:

2. Arturo partió justo antes que Ricardo (A < R) 3. cuando Eduardo inició su viaje Arturo ya estaba a punto de volver (A < E)

4. SI (A < E) y (E < C) entonces (A < C) Inferencias:

5. Por (2) y por (4), Arturo fue el que partió primero, esto es A = 1145. 6. De (5) y de (2) obtenemos que R = 1146. 7. De (1) y de (6) E = 1147 y C =1148. Carrera: Pista:

pase la información negativa de Leticia a información positiva

Respuesta:

El orden fue: Marcelo, Leticia, Alberto, Daniela

Señoras: Pista:

El dato sobre Isabel es el más completo, dibuje la mesa y ubique primero a Isabel, Gómez y Martínez.

Respuesta:

En el sentido contrario de las agujas del reloj: Isabel de Pérez , Doris de Martínez, Alicia de García, Catalina de López, y Elena de Gómez.

Profesiones: Respuesta: es arquitecta Naipes: Respuesta: $864 Definiciones: La solución la puede hallar en el diccionario. Incompletas:

a) Pista: dibuje figuras de cuatro lados que no sean cuadrados b) El siguiente enunciado parece estar correcto:

En la República Argentina, la patente de auto está formada por un conjunto de letras y números.



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Sin embargo, este enunciado no define lo que es una patente de un auto, ya que por ejemplo si así fuera, las siguientes serían patentes válidas:

123AB A1B2C9 12345 ABCD ABCD1234

La siguiente es una definición correcta: En la República Argentina, la patente de auto está formada por tres letras seguidas de tres dígitos. c) Pista: El número 5 es primo, y lo puedo dividir por 1. d) Pista: ¿Es el 6 un número par?

7 Glosario A continuación presentamos definiciones extraídas del diccionario, de algunas palabras que aparecen en el texto y que seguramente todos ustedes conocen. Muchas de estas palabras tienen más de una acepción, pero sólo presentamos aquella que resulta más afín con el curso. Aunque no es la intención que memoricen estos significados, es importante que se familiaricen con ellos. Las palabras no aparecen en orden alfabético, sino agrupadas por dominio semántico.

Ejercicio: 1. Actividad destinada a adquirir, desarrollar o conservar una facultad o cualidad psíquica o física. 2. Trabajo práctico que en el aprendizaje de ciertas disciplinas sirve de complemento y comprobación de la enseñanza teórica. Problema: Planteamiento de una situación cuya respuesta desconocida debe obtenerse a través de métodos científicos. Acertijo: Enigma o adivinanza que se propone como pasatiempo. Enunciado: Secuencia finita de palabras delimitada por pausas muy marcadas, que puede estar constituida por una o varias oraciones. Definición: Proposición que expone con claridad y exactitud los caracteres genéricos y diferenciales de algo material o inmaterial. Análisis: Distinción y separación de las partes de un todo hasta llegar a conocer sus principios o elementos. Comprensión: Facultad, capacidad o perspicacia para entender y penetrar las cosas. Proceso: Conjunto de las fases sucesivas de un fenómeno natural o de una operación artificial. Resolución: Acción de hallar la solución de un problema. Solución: Desenlace o término del proceso de resolución de un problema, tal que satisface las condiciones del enunciado. Incógnita: Causa o razón no conocida en un problema a resolver. Razonar: Discurrir, ordenando ideas en la mente para llegar a una Pensar: Reflexionar, examinar con cuidado algo para formar dictamen. Deducir: Inferir las consecuencias de un principio, proposición o supuesto. Inferir: Sacar una consecuencia o deducir algo de otra cosa.



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Conjetura: Juicio probable de cierta cosa que se deduce por alguna señal Hipótesis: Suposición, cierta o no, que permite sacar de ella una consecuencia. Explícito: Que expresa clara y determinadamente una cosa Implícito

: Incluido en otra cosa sin que esta lo exprese.

Los significados fueron extraídos del diccionario de la Real Academia Española.

8 Agradecimientos Queremos agradecer muy especialmente a Guillermo Simari, Carlos Chesñevar, Perla Señas, Silvia Castro, Pablo Fillottrani, Jorge Ardenghi, Diego Martínez, Tulio Marchetti, Telma Delladio, Elsa Estévez, Marcelo Falappa, Laura Cobo, Susana Kahnert y Carolina Pistonesi, quienes colaboraron de muchas maneras en la confección de este texto.

Análisis y Comprensión de Problemas · un conjunto de problemas resueltos y un grupo de problemas...

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