Análisis y Control de Sistemas Lineales · Ejemplo 6.2: Probar la estabilidad de estado usando el...

Análisis y Control de

Sistemas Lineales

Estabilidad

Contenido

◼ Estabilidad de estado

◼ Pruebas de estabilidad

◼ Routh-Hurwitz

◼ Ejemplos

◼ Estabilidad de entrada-salida

◼ Ejemplos

◼ Ejercicios

Análisis de Sistemas Lineales Pág. 1 Ing. Eduardo Interiano

6. Estabilidad

Definición: Es una propiedad de un sistema de responder a una “excitación” limitada con un “movimiento” limitado.

Existen dos tipos de estabilidad: I - Estabilidad de estado:

• La excitación es la desviación del estado de equilibrio. • La estabilidad de estado existe si el sistema retorna al estado de

equilibrio.

II - Estabilidad de entrada/salida

• La excitación es una entrada limitada en amplitud. • La estabilidad de entrada/salida (E/S) existe si la salida del sistema

es también limitada en amplitud.


SistemaEstable

SistemaInestable

Figura 6.1: Ejemplos de sistemas estables e inestables


6.1 Estabilidad de estado (u(t)=0), x0=x(0)

0xx(0) Ax(t),x.

== (1)

El sistema se encuentra en estado de equilibrio xe cuando 0x.=

eAx0 =

Si A es no singular, lo que significa que A-1 existe, premultiplicamos por A-1

ex0 = (2)

¡Los sistemas lineales poseen exactamente este único estado de equilibrio!


La norma vectorial:

Sirve para describir la distancia del estado actual x(t) del estado de equilibrio xe.

Usaremos la norma vectorial x(t) ; puede usarse cualquier norma, por ejemplo la norma vectorial euclidiana:

∑=

=n

1i(t)

2ix x(t) : norma vectorial euclidiana

Propiedades de la Norma 1) 0x0x(t) y 0x(t) =⇔=≥ 2) x(t)aax(t) =


3) yx yx +≤+ por lo tanto vale que:

0x(t) → exactamente cuando

n)(1,2,..., i 0(t)ix ∈∀→ y

∞→x(t) exactamente cuando

n)(1,2,..., i un menos alpara (t)ix ∈∞→


6.1.1 Definición de estabilidad según Lyapunov

El estado de equilibrio xe del sistema (1) se llama estable, si para cada ε>0 existe un δ>0 tal que para cualquier estado inicial que satisface la condición

δx(t) < , la “respuesta natural del sistema” o movimiento propio del sistema (1) satisface la condición

0 t εx(t) >∀< (4)

El estado de equilibrio se llama estable asintótico si es estable y

0x(t)limt

=∞→

(5)

Sistemas lineales estables

¡Un sistema lineal es estable si es estable asintóticamente!. Estabilidad y estabilidad asintótica tienen diferente significado para sistemas no lineales; pero, pueden ser usados como sinónimos para sistemas lineales.


6.1.2 Criterios de estabilidad para la estabilidad de Lyapunov

De la ecuación de movimiento tenemos para un sistema sin entrada

x(t) = φ(t)x0 ; u(t)=0

La condición de estabilidad (4) es satisfecha para un ε dado cuando la norma de la matriz φ(t) es limitada para todo t.

t máxΦΦ(t) ∀< (6)

usando 1-V tλ diag V Φ(t) ie= , podemos relacionar (6) con los valores característicos de la matriz A.

La condición (6) será satisfecha cuando todos los modos tλ ie se extinguen, esto es:

{ } (1,2,...n) i 0iλRe ∈∀< (7)

“condición necesaria y suficiente para estabilidad asintótica”


Condición necesaria y suficiente para estabilidad de Lyapunov

“El sistema (1) es exactamente estable asintóticamente cuando la condición (7) es satisfecha”

Criterios de estabilidad a partir de los coeficientes de la ecuación característica: 0)-det( =AIλ

00aλ1a1-nλ1-nanλna =++⋅⋅⋅++ (8)

Método de Hurwitz

H: Matriz de Hurwitz (nxn)

H

a a a aa a a a

a a aa a a

a a

n n n n

n n n n

n n n

n n n

n n

=

− − − −

− − −

− − −

− −

− −

1 3 5 7

2 4 6

1 3 5

2 4

1 3

000 0


• Se forman los determinantes principales Di calculando los determinantes de la matriz [i x i] superior izquierda en H.

Criterio de Hurwitz:

Todos los ceros del polinomio característico (8) tienen parte real negativa exactamente si las siguientes condiciones son satisfechas:

1) Todos los coeficientes ai son positivos (condición necesaria)

2) Los determinantes principales Di de la matriz H son positivos

Pasos:

1) La condición 1 debe ser probada primero para a) La existencia de todos los coeficientes ai b) Que todos los coeficientes ai tengan el mismo signo

2) Calcular los determinantes Di

a i ni > ∀ =0 12 3, , ,...,

D i ni > ∀ =0 12 3, , ,...,


Ejemplo 6.1: Probar la estabilidad de estado usando el criterio de Hurwitz del sistema con el polinomio característico

901187516 234 ++++ λλλλ .

D1 = 16 D2 = 1082 D3 = 104636 D4 = 9417240

Todos los Di son positivos, por lo tanto el sistema es estable

H =

16 118 0 01 75 90 00 16 118 00 1 75 90


Método de Routh

Similar al método de Hurwitz; pero, evita el cálculo de determinantes grandes.

Los coeficientes del polinomio característico se ordenan en dos filas en el arreglo de Routh como se describe a continuación: Se calculan los elementos del arreglo de Routh

Ejercicio: Escriba las ecuaciones para calcular b3 y d1.

b

a aa a

ab

a aa a

a

c

a ab b

bc

a ab b

b

n n

n n

n

n n

n n

n

n n n n

1

2

1 3

12

4

1 5

1

1

1 3

1 2

12

1 5

1 3

1

=−

=−

=−

=−

−

− −

−

−

− −

−

− − − −

λλλλ

λ

nn n

nn n

n

n

a a a aa a ab bc cd

−−

− −−

−

2 0 11

1 3 02

1 23

1 2

10

00 0


Criterio de Routh

Todos los ceros del polinomio característico tienen parte real negativa exactamente si las siguientes condiciones son satisfechas:

1) Todos los coeficientes ai son positivos

2) Todos los coeficientes de la primera columna del arreglo de Routh son positivos.

Ejemplo 6.2: Probar la estabilidad de estado usando el criterio de Routh del sistema cuyo polinomio característico es:

{ }a i ni > ∀ ∈0 12 3, , ,...,

λ λ λ λ4 3 22 3 4 1+ + + +λλλλλ

4

3

2

1

0

1 3 1 02 4 0 01 1 02 01


El número de raíces del polinomio en el SPD es igual al número de cambios de signo en la columna izquierda del arreglo de Routh avanzando de arriba hacia abajo.

♦ Cómo tratar los casos con ceros en la columna izquierda del arreglo de

Routh:

Caso 1) Para evitar la indeterminación en el cálculo del elemento c1 se sustituye el cero por un valor muy pequeño pero positivo llamado ε y Luego hacemos tender ε 0+.

Im

Re

SPI SPD


Ejemplo 6.3: Probar la estabilidad usando el criterio de Routh del sistema con el siguiente polinomio característico:

Calculamos los límites: 0ε0ε

lim =→ +

y −∞=−−

→ + εε)23(

0εlim

Hay 2 cambios de signo:

• El polinomio tiene 2 raíces en el SPD (2 polos del sistema en el SPD) • El sistema es inestable

λ λ λ λ4 3 22 2 3+ + + +

λλλ

λε

ελ

4

3

2

1

0

1 2 3 01 2 0 00 3 0

3 20

3

( )−−

ε

ε

εε

ε

εε

εε

>

=−

=

−−

−−−

0

1 23

3

3 20

3 21 1c d


Caso 2) Agregamos una raíz conocida, por ejemplo (λ+1)

Ejemplo 6.4: Calcular la estabilidad del sistema del ejemplo 6.3 agregando la raíz (λ+1).

• Hay 2 cambios de signo • Es inestable con 2 raíces del polinomio característico en el SPD

( ) ( )λ λ λ λ λ

λ λ λ λ λ

4 3 2

5 4 3 2

2 2 3 1

2 3 4 5 3

+ + + + ⋅ +

+ + + + +

λλλλλλ

5

4

3 72

2

1 276

0

1 3 5 02 4 3 01 03 3 0

03

−


Si el polinomio tiene raíces en el eje imaginario entonces ocurre la “terminación prematura”.

♦ Cómo tratar la terminación prematura del arreglo

Polinomio divisor: Cuando se presenta una fila de ceros entonces existe un polinomio divisor par (sólo potencias pares) o impar del polinomio original.

• Los coeficientes del polinomio divisor se obtienen del renglón (fila) anterior no nulo del arreglo.

• Se completa el arreglo sustituyendo el renglón de ceros por la derivada del polinomio anterior.

Ejemplo 6.5: Probar la estabilidad del sistema con el polinomio característico 635 234 ++++ λλλλ

λ4 1 5 6 0 λ3 1 3 0 0 λ2 2 6 0 λ1 0 0 λ0


El polinomio divisor es: 2λ2+6 (par) como se demuestra a continuación:

Se completa el arreglo con la derivada respecto a λ del polinomio divisor

04d

)62d(2+=

+ λλ

λ

( )12

12

1 2 6 5 3 62 2 4 3 2λ λ λ λ λ λ λ+ +

⋅ + = + + + +

2 6 0623

3

2

2

λ

λ

λ

λ

+ =

= −

= −

= ± j


λ4 1 5 6 0 λ3 1 3 0 0 λ2 2 6 0 λ1 4 0 λ0 6

• No hay cambios de signo • No tiene raíces en el SPD Pero el polinomio tiene un par de raíces sobre el eje imaginario (las del polinomio divisor), por lo que el sistema se denomina cuasiestable.


Sistemas ajustables: Son aquellos sistemas en los cuales existe una o más

variables.

Ejemplo 6.6: Para que valores de K es estable el sistema cuya función de transferencia T(λ) se muestra a continuación

Como se trata de un sistema de 2° orden

Para ser estable, el sistema debe tener todos los coeficientes positivos; por lo que para este caso, K>0 garantiza la estabilidad.

TK

( )λλ λ

=+ +

422

a a a22

1 0λ λ+ +


Ejemplo 6.7: Para que valores de K es estable el sistema cuya función de transferencia T(s) se muestra a continuación

Ejercicio 6.1: ¿Para cuáles valores de K es el sistema estable?

Solución: 0 < K < 3

( )T ss K

s K s( ) =

++ + +

22 42

( )2 02

+ >⇒ > −

KK

T s s s s s K( ) = + + + +4 3 22 4 2


Estabilidad relativa

Se aplica sólo a sistemas estables y se define como la distancia sobre el plano complejo de la raíz característica más próxima al eje imaginario.

Im

Re


Ejemplo 6.8: Probar si el sistema cuyo polinomio característico se muestra, tiene una estabilidad relativa de al menos 2.

Primero se prueba la estabilidad absoluta por el método de Routh-Hurwitz. No hay cambios de signo, por lo tanto el sistema es estable.

s s s s4 3 214 73 168 144+ + + +

sssss

4

3

2

1 82361

0

1 73 144 014 168 061 144

0144


Luego se prueba la estabilidad relativa de al menos 2 haciendo la sustitución de variable s = (σ-2) que equivale a desplazar el eje imaginario dos unidades hacia la izquierda.

Se prueba el nuevo polinomio

No hay cambios de signo, por lo tanto el polinomio original tiene todas

las raíces a la izquierda de s=-2.

( ) ( ) ( ) ( )σ σ σ σ

σ σ σ σ

− + − + − + − +

+ + + +

2 14 2 73 2 168 2 1446 79 12 4

4 3 2

4 3 2

σσσσσ

4

3

2

1 90077

0

1 79 4 06 12 0

77 40

4


6.2 Estabilidad de entrada/salida El sistema:

0x x(0)u(t);bx(t)A(t)x =⋅+⋅= u(t)dx(t)cy(t) T ⋅+⋅= (9)

para la condición x(0)=0 con una entrada u(t) limitada debe de responder con una salida y(t) limitada.

0 t máxUu(t) >∀<

0 t máxYy(t) >∀<


6.2.1 Definición de estabilidad entrada/salida (E/S) Un sistema lineal (9) se llama estable de entrada/salida si para un estado inicial igual a cero

x0 = 0, y una señal cualquiera limitada

0t máxUu(t) >∀< , la salida se mantiene limitada

0 t máxYy(t) >∀< (10)


6.2.2 Criterios de estabilidad E/S

);(*)(0)()( tutgtCty += xϕ )(tg : Respuesta al impulso

si x0 = 0

y t g t u t( ) ( ) ( )= ∗ con

)()()( tDBtCtg δϕ += (11) para entrada limitada

( ) ( )y t g t u t dt

= −∫ τ τ0

( )

( ) ( )y t u g t d

t< −∫max τ τ

0


Por lo tanto el sistema es estable si la integral existe para todo t, o sea

( )g t dτ < ∞∞

∫0 (12)

( )Si u t u= ⇒max (12) es condición necesaria para estabilidad E/S!

Condición necesaria para estabilidad E/S

“El sistema (9) es exactamente estable de E/S si su respuesta al impulso g(t) según (11), cumple la condición (12)”. La condición (12) es equivalente a:

dh tdt

dt( )

0

∞

∫ < ∞

( )g dt

τ τ0∫


Lo que significa que ante una entrada escalón, el sistema llega a un valor final.

Si en lugar de g(t) conocemos G(s)

G s g t( ) ( )

entonces podemos probar la estabilidad E/S a partir de los polos de G(s)

La condición (12) es satisfecha si todos los polos de la función de transferencia tienen parte real negativa

{ } ( )Re , , , ,P i ni < ∀ ∈0 12 3 (13)

( )( )

( )G s

K s z

s p

ii

q

ii

n=−

−

=

=

∏

∏1

1


Condición necesaria y suficiente para estabilidad E/S “El sistema (9) es exactamente estable E/S si todos los polos de G(s) satisfacen la condición (13)”. 6.3 Relación entre estabilidad de estado y estabilidad E/S ¡Esta relación está en (11) manifiesta!

)()()( tDBtCtg δϕ += (11 repetida) Si el sistema es estable según Lyapunov; entonces (t)φ , la norma de φ(t), se extingue asintóticamente. Por lo tanto )(tg también se extingue asintóticamente; por lo que la integral (12) existe. “Si el sistema es estable asintóticamente entonces también es estable de entrada – salida”.


Esta afirmación sólo puede ser invertida si todos los modos de (9) aparecen en la función de )(tg . Para estos sistemas todos los valores propios λi de A son polos de la función de transferencia; de tal forma que las condiciones (4) y (5) coinciden.

( )x t t< ∀ >ε 0 (4 repetida)

( )limt

x t→∞

= 0 (5 repetida) La estabilidad de entrada/salida se puede probar con los criterios para

estabilidad de estado; estos criterios son suficientes y bajo la condición anterior, también necesarios


Ejemplo 6.9: Sistema que no es estable asintóticamente pero es estable de entrada-salida.

[ ]

A b

c dT

=

−−

−+

=

= =

1 0 0 00 2 0 00 0 5 00 0 0 3

1100

1 0 1 0 0

no es estable de estado

[ ]y

xxxx

=

1 0 1 0

1

2

3

4


x1

x2

x3

x4

y(t)u(t)

Sistema

1

1

1

1

Variables de estadocontrolables (x1,x2)

Variables de estadoobservables (x1,x3)

El modo 4, correspondiente a la variable x4, no es estable; por lo tanto, el sistema no es estable asintóticamente; pero, este modo no es observable a la salida; por lo que el sistema es estable E/S.

Figura 6.1: Estructura del sistema del ejemplo 6.9

Ejercicio 1

◼ Pruebe la estabilidad de estado para este

sistema descrito en variables de estado

2 0 0 0 1

1 3 0 0 3( )

2 2 1 4 5

0 0 0 5 1

( ) 2 0 1 0 ( )

u t

y t t

−

− = + − − −

−

=

x x

x

Ejercicio 2

◼ Dado el sistema con la función de lazo

abierto Go(s) = G(s)H(s), encuentre los

valores de la ganancia K para los cuales el

sistema es estable en lazo cerrado

3 2( )

9 10 5O

KG s

s s s=

+ + +

Ejercicio 3

◼ Determine si este sistema es estable de

entrada-salida en lazo cerrado.

-

+ y(t)r(t)

)1(

15

+ss

)3(

1

+s

Referencias

◼ Kuo, Benjamin C.. „Sistemas de Control

Automático“, Ed. 7, Prentice Hall, 1996, México.

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