Criterio de estabilidad de Routh y diagramas de Bode

Ulises ReyesUlises RamirezNéstor Santos

Criterio de estabilidad de Routh

•Estabilidad

•Función de transferencia

•Ceros y polos

Criterio de estabilidad de Routh

•Primero se debe escribir la función de transferencia en lazo cerrado de la siguiente forma:

Los coeficientes ai y bi son constantes.

•Primer condición: m ≤ n

Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz

• 1. La ecuación característica se obtiene igualando a cero el polinomio del denominador de la función de transferencia.

• Si todos los coeficientes son positivos y ninguno de ellos es cero, ordene los coeficientes del polinomio en renglones y columnas de acuerdo con el patrón o arreglo siguiente:

Procedimiento

• Los coeficientes b1, b2, b3,... c1, c2, c3,... d1,d2,... etc. se evalúan de la manera siguiente:

• La evaluación continúa hasta que todas las restantes son cero.

• Finalmente, por cada cambio de signo en los valores de la primera columna de la matriz existe un polo con parte real positiva en la función de transferencia.

Procedimiento

• Los coeficientes b1, b2, b3,... c1, c2, c3,... d1,d2,... etc. se evalúan de la manera siguiente:

• La evaluación continúa hasta que todas las restantes son cero.

• Finalmente, por cada cambio de signo en los valores de la primera columna de la matriz existe un polo con parte real positiva en la función de transferencia.

Procedimiento

Ejemplo

Aplicación del criterio de estabilidad de Routh al análisis de un sistema de control

Diagrama de bloques de un determinado sistema

Función de transferencia en lazo cerrado

Aplicación del criterio de estabilidad de Routh al análisis de un sistema de control• La ecuación característica es por

lo tanto el arreglo de coeficientes se convierte en:

• Para la estabilidad, K debe ser positiva, y todos los coeficientes de la primera columna deben de serlo también:

por lo tanto

Respuesta a diferentes valores de K

SistemaEstable

SistemaMarginalmente

Estable

SistemaInestable

• Si el término de la primera columna de cualquier renglón es cero, pero los términos restantes no son cero, o no hay términos restantes, el término cero se sustituye con un número positivo muy pequeño “ε” y se evalúa el resto del arreglo. Por ejemplo:

El arreglo de coeficientes sería:

• Si el signo del coeficiente que está encima del cero (E) es igual al signo que está debajo de él, quiere decir que hay un par de raíces imaginarias.

Casos especiales

• Si el signo del coeficiente que está encima del cero (E) es opuesto al del que está abajo, quiere decir que hay un cambio de signo. Por ejemplo:

Casos especiales

• Si todos los coeficientes de cualquier renglón son cero significa que existen dos raíces con magnitudes iguales y signos opuestos y/o dos raíces imaginarias conjugadas

• Polinomio auxiliar con los coeficientes del último renglón

• Coeficientes de la derivada de este polinomio en el renglón siguiente

Casos especiales

• Esto indica que hay dos pares de raíces de igual magnitud y signo opuesto. Si quisiéramos obtener estas raíces se resuelve la ecuación del polinomio auxiliar P(s) = 0.

• La derivada de P(s) con respecto a s es:

• Por lo tanto el arreglo de coeficientes se convierte en:

Casos especiales

• Sirve para caracterizar la respuesta en frecuencia de un sistema

• Una ventaja del enfoque de la respuesta en frecuencia es que las pruebas de la respuesta en frecuencia son, en general, sencillas y pueden ser muy precisas con el uso de generadores de señales sinodales

• Una función de transferencia senoidal puede representarse mediante dos gráficas distintas:▫ Magnitud contra frecuencia▫ Angulo de fase (en grados) contra la frecuencia

Diagramas de Bode

•Respuesta en frecuencia•Decibel•Magnitud•Angulo de fase (grados)

Diagramas de Bode

•Los diagramas de Bode están constituidos de dos gráficas en función de la frecuencia.

Factores básicos

• 

Constante K•Ganancia •Fase

Polos y ceros en el origen

¿ tan−1(− 1𝜔0 )

Ceros y polos reales•Ganancia •Fase

¿ tan−1(−𝜔𝜔𝑜)

Ejemplo Diagrama Bode Matlab

Polos y ceros complejosDe formaMagnitud G(jw)

Fase

Factorización de una Función de Transferencia

• La idea es factorizar la G(s) en funciones cuyos diagramas de Bode ya conocemos.

• Al ser logarítmico, las multiplicaciones de estas funciones pueden ser sumadas.

Factorización de una Función de Transferencia

• La idea es factorizar la G(s) en funciones cuyos diagramas de Bode ya conocemos.

• Al ser logarítmico, las multiplicaciones de estas funciones pueden ser sumadas.

Ejemplo

Ejemplo

Reducción a sistemas de primer orden