Diagramas de BODE

Javier Quintero Orea 2

Diagrama de Bode

Diagrama de Bode


Es un diagrama logartmico. Si H (w) es la funcin de transferencia entonces

w vs.

w vs.

H (w)

(w)

diagrama de magnitud.

ngulo de fase en frecuencia.


10

Magnitud

Una funcin de transferencia se puede representar con dos

diagramas separados uno de la

magnitud en funcin de la

frecuencia (decibeles) y el otro

del ngulo de fase (grados).

La Magnitud logartmica de G( jw) es 20log G( jw) Decibel (db)

La unidad utilizada en esta representacin es el decibel,

abreviado usualmente como db.


Disponemos de las asntotas de la curva

Adems multiplicacin de Magnitudes es una suma.

log( AB) log A log B

original para bosquejar la

curva.

Se pueden representar

las caractersticas de alta

y baja frecuencia en el

mismo diagrama.


Angulo

de f

ase

ngulo de fase

Punto de Inflexin

0

-45

-90

Frecuencia w


n n

Factores Bsicos

1. Ganancia k.

2. Factores integrales y derivativos ( jw) 1

3. Factores de primer orden

(1 jwT ) 1

4. Factores cuadrticos 1 2 ( jw / w

) ( jw / w ) 2 1


Una vez familiarizado con el uso de estos diagramas logartmicos de cada factor, se pueden usar para haceruno compuesto para cualquier G( jw)H ( jw) trazandocurvas de cada factor y sumando grficamente las curvas individuales, ya que sumar logaritmos de magnitudes equivale a multiplicarlos entre s. El proceso de obtener el diagrama logartmico se puede simplificar ms aun si se usan aproximaciones asintticas a las c u r v a s d e c a d a f a c t o r .

G jw 10 jw 3

jw jw 2

jw 2 jw 2


Ganancia K

La curva para 20log k 20log k es una lnea rectahorizontal para la ganancia k en la magnitud de

20 log k db. El ngulo de fase es cero.

Si se vara la ganancia k en la funcin de transferencia se eleva o desciende la curva del

logaritmo para no afectar el ngulo de fase.

Si aumentamos el valor numrico en factor de 10, el valor en decibeles aumenta un factor de

20.


Ganancia K

Si expresamos el recproco de un nmero en decibeles 20 log k 20 log 1 k


Para tener en cuenta

c a bi

Eje imaginario

c a bi a 2 b 2 b

c = a+bi

tan b

a

tan 1 b

a

a Eje real

Factor integral y derivativo jw 1



Termino jw 1

l a m a g n i t u d l o g a r t m i c a e n d e c i b e l e s e s

20 log 1 jw

20 log w db

El ngulo de fase de -90.

1

jw

es una constante igual a


Mas conceptos

Octava: banda de frecuencias w1 a 2w1

Dcada: banda de frecuencias w1 a 10 w1

La distancia

w1 3 a

w1 30

es igual

w1 1 a

w1 10


Pendien

Grfico jw 1

El grfico 20 log w db

es una recta.

Pendiente 20db / dcada

20 te

0

-20

-40

o 6db / octava

0.1 1

10 100


Termino jw


20 log jw 20 log w db

El ngulo de fase de jw es una constante igual a 90.


Grfico jw

El grfico 20 log w db

es una recta.

40 20

Pendiente 0

(0.1,20) (1,0) (10,20) (100,40)

Pendiente 20db / dcada -20

o 6db / octava

0.1

1 10 100

Angulo de fase jw 1


Factor jw n

Para jw n

1Magnitud logartmica 20 log jwn

20 n log w db

Angulo de fase 90n

Para jw n

Magnitud logartmica 20 log jwn

20 n log w db

Angulo de fase 90n

Pendientes -20n db/dcada y 20n db/dcada

respectivamente y pasan por el punto (0 db en w =1).


Factores de primer orden 1 jwT 1



Termino 1 jwT 1


20 log 1

20 log

1 w2T 2 db1 jwT

Si w 1 T

20 log

1 w2T 2

20 log

1 0 db

recta 0 db.

Si w 1 T

20 log

1 w2T 2

20 logwT db

lnea rectacon una pendiente -20 db/dcada (o -6 db/octava).

1 Si w 20 log

T 1 1 20 log 2 db 3,01 db


Curva de logaritmo de la magnitud

1 jwT 1


Angulo de fase

El ngulo de fase de esta dado por

1 jwT

1 jwT 1

1

Punto de Inflexin

tan 1 wT 0

w 1 T

-45

(w) tan1 (0) 0

T

-90

1/ T w

(w) tan1 tan1 (1) 45

(w) 45

T w

(w) tan 1 ()

tan( (w)) 90


El error

20 log

1 0 db

20 log

1 w2T 2 db

20 logwT db

0

-1

-2

-3

1/10T 1/ 2T

1/ T 2 / T 10 / T

Note correccin mxima 3db en w = 1/T


Termino 1 jwT


20 log 1

jwT

20 log

1 w2T 2 db 20 log 1

Si

w 1 T

20 log

1 w2T 2

20 log

1

1 0 db

jwT

recta 0 db.

Si w 1 T

20 log

1 w2T 2

20 logwT db

lnea rectacon una pendiente 20 db/dcada (o 6 db/octava).

1 Si w 20 log

T 1 1 20 log 2 db 3,01 db


Curva de logaritmo de la magnitud

1 jwT


Angulo de fase 1 jwT


90

w 1 T

tan1 wT

45

0.01/ T

1/ T

10 / T

(w) tan1 (0) 0

(w) tan1 T T

1 tan (1) 45

w (w) tan1 ()tan( (w)) 90


Factor 1 jw n

w 1 T

frecuencia de corte

w 1 T

recta horizontal 0 db

w 1 T

frecuencias altas, pendiente 20ndb/dcada o 20n db/dcada

(1 jwT )1 El error es n veces el correspondiente a .(1 jwT

)1

El ngulo de fase es n veces el de en cada punto de frecuencia.


n

Factores cuadrticos

1 2 (

jw/

wn ) (

jw / w )2 1


n

Generalizacin

1 2 ( jw / w

) ( jw / wn )2 1

a) Si 1 se puede escribir como dos de primerorden con polos reales.

b) Si

0 1 producto de dos factores complejosconjugados.

Las aproximaciones asintticas no son exactas paravalores bajos de

porque la magnitud y la fase delfactor cuadrtico dependen de la frecuencia de cruce y

del factor de amortiguamiento .


n

w

2

2

Factor 1 2 ( jw / w

) ( jw / wn )2 1

la magnitud logartmica en decibeles es

2 2

1 w2 w

20 log

1

2 w

2

w

20 log

1 2 n

2

wn

j j wn

wn

2

2

w w

20 log 1 w

2

w 20 log1 0 Si n w

n

wn

db recta 0 db.

2

2 2 2

w w 20 log

w 22 2

w 20 log

w 40 log

w

Si n w 2

w 2 w

2 w db

n n n n

lnea recta con una pendiente -40 db/dcada.


Si la asntota de alta frecuencia corta a la de

baja en

w wn

40 log wn db 40 log 1 db 0db wn


Las asntotas determinadas en la diapositivaanterior son independientes de . Encercana de w wn se produce un pico deresonancia y el factor determina lamagnitud de ese pico. Hay error en la

aproximacin de asntotas y el valor del error

depende de y es grande para pequeos.


n

w

Magnitud para 1 2 ( jw / w

) ( jw / wn )2 1

db

0.1

0

0.1

w

wn

n

2

2

2 0

w n

Angulo de fase


1 2 ( jw / w

) ( jw / wn )2 1

2 w

1 w tan 1 n

w w w

1 2 j j 1 wn wn wn

-90

Si w 0 tan1

(0) 0

-180

Si w wn tan 1

2 tan

1 90

Si w

w

0 w

1 wn

w

lim wn

0 0 tan

1 0 180w w

1 0 1

2 33

Javier Quintero Orea


Ejemplo

Trace el diagrama de bode para las siguiente funcin de transferencia:

G jw 10 jw 3

jw jw 2

jw 2 jw 2


7.

Paso 1 Se pone G(jw) en forma normalizada, donde los factores

de primer orden y el factor de segundo orden estn en

lnea con 0db

10

jw 1

G( jw) 10( jw 3) 3 3

( jw)( jw 2)( jw)2 jw 2

jw

( jw) 2

jw 2( jw)1 2

2 2 1

2

jw 5 1

3

jw ( jw)2 jw

( jw)1

2 2

12


7.

2

Paso 2

Identificar los factores que componen la funcin

jw 5 1

G( jw) 3

jw ( jw)2

jw ( jw)1

2 2 1

2

Compuesta por:

( jw)1 ; 1 j w

; 1

1 1

( ) 2 ;

7.5; j

w

jw

jw 1

3 2 2


c

Paso 3

Hallar las Frecuencias de corte segn el factor

w 1 1 1

1 j 1 jw wc 3 1

1 jwT wc

T

3 3 13

1 jwT 1 j

w

2

1 jw 1

w 1

2 2 1

2


jw

jw

1 2

2

2 wc

Cuando

w wn wn wn

jw 2 jw 2

jw jw( ) 1

2 1 w 22 2 2 2 2

c

jw 2 jw

jw 2 jw

1 2 1 2

2 2 2 2 2

2 2 2

2 4

0,3536


Paso 4

Se hayan los valores aproximados de cada uno de los

factores de la funcin


Paso 5

Se grafica cada una de las funciones independientemente.

40

30

20 1

17.5

14 3

2.41

0

-3.52

-6.02

-10

4

-20

5 2

0.4 0.6 1 1.53 2 3 4


Paso 6

La funcin de transferencia G(jw) resulta de la suma de las funciones

40

30

20

17.5

14

2.41

0

-3.52

-6.02

-10

-20

G(jw)

Curva exacta

0.4 0.6 1 1.53 2 3

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