Problema 1.Objetivo:En esta practica se aprender a representar la matriz A del sistema, la matriz B de la entrada y la matriz C de la salida usando MATLAB, as como tambin se aprender a convertir una funcin de transferencia a una representacin en el espacio de estados en forma de variables de fase. Asi como graficar el estado del sistema y crear objetos LTI.

Representacin de una matriz A qu se puede introducir en una lnea, diferenciando cada rengln mediante un (;) ,o introducir cada rengln separndolos por un espacio entre ellos.

Problema 2.Representacin de un vector rengln, como la matriz de salida C; y un vector columna el cual se puede introducir de dos formas.C=[2 3 4];

Problema 3.Representacin de una variable de estado; Se especifica el valor de cada matriz como son A, B, C y D, de las cuales se cre un objeto LTI existente dentro de MATLAB. El comando LTI nos devuelve los detalles de una variable de estado dentro de los cuales se encuentran los objetos TF (funcin de transferencia) y objetos como el ZPK( cero-polo-ganancia).Problema 4.

Representacin de los vectores y matrices mediante la forma mas comn, o cannica, con el comando tf2ss(num , den), dentro de la cual se debe de separa por numerador y denominados, para que el comando identifique el sistema y de un formato.Otra de las formas de representacin es mediante la forma de variables de fase: [Ap,Bp,Cp,Dp]. Se realizan las operaciones : Ap=inv(P)*A*P; Bp=inv(P)*B; Cp=C*P; Dp=D.Donde P es una matriz formada por unos(1) en la anti-diagonal y cero(0) en los elementos restantes.Como ya fue visto el comando inv() representa la matriz inversa de una matriz cuadrada.

Para otro tipo de representacion tenemos comandos como el ss(F), Donde F es el comando LTI de una funcin de transferencia.Debido a que ss(F) no da como resultado formas familiares de las ecuaciones de estados (ni es posible convertir a formas familiares de una manera sencilla) solo nos limitaremos al uso de esa transformacin en este momento.

Problema 5.

Para el problema 5 tenemos a la funcin de transferencia representadas en numerador y denominador con el comando [num,den]=ss2tf(A,B,C,d,iu), donde iu es igual al numero de entradas para el sistema.Para un sistema LTI en el espacio de estados, Tss, la conversin se puede implementar usando Ttf = tf(Tss) para obtener como resultado la funcin de transferencia en forma factorizada. Una de las muchas formas tambin es la forma polinomial.

inclusive esta la forma factorizada de la funcin ZPK, la cual nos representa los polos , los ceros y las ganancias.Problema 6.Es posible graficar la respuesta escalon de los sistemas representados en el espacio de estados usando el comando step(T,t). Aqu T es cualquier objeto LTI y t = a:b:c es el intervalo del eje de tiempo, donde a es el tiempo inicial, b es el incremento de tiempo y c es el tiempo final. Por ejemplo, t = 0:1:10 quiere decir tiempo de 0 a 10 segundos en incrementos de 1 segundo. El campo t es opcional. Por ltimo, en este ejemplo se presenta el comando grid on, el cual superpone una retcula sobre la respuesta escaln. Ubicar el comando grid on antes al comando step(T,t).

A continuacin se presenta la grafia que es obtenida por el sistema dado en el problema 6, en el cual se utilizaron las herramientas como son: step(T,t), t = 0:1:10, grid on , y muchas otras mas que son de utilidad para poder representar el sistema mediante una grafica y porder observar el comportamiento de tales sistemas. Problema 7.Se puede usar MATLAB para convertir funciones de transferencia al espacio de estados en una forma especfica.Se declaran las matrices en conjunto con sus valores y se demuestran como numerador y denominador.Convirtamos C(s)/R(s) = 24/[(s + 2)(s + 3)(s + 4) en una representacin en paralelo en el espacio de estados. Forma en paralelo. Observe que el producto de los valores en los vectores B y C da por resultado el mismo producto que en las ecuaciones

El comando [Acc Bcc Ccc Dcc] = tf2ss(num,den) se puede usar para convertir T(s) = num/den en la forma cannica controlable con matrices y vectores Acc, Bcc, Ccc y Dcc. Entonces se puede formar el objeto en el espacio de estados LTI mediante el uso de Scc = ss(Acc,Bcc,Ccc,Dcc). Este objeto se puede convertir entonces en la forma en paralelo usando Sp = canon(Scc,type), donde type = modal da por resultado la forma en paralelo.De esta forma, el formato de la forma cannica a paralelo aparece en forma matricial.Otra opcin, que no se utiliza aqu, es type = companion, la cual da por resultado la matriz compaa derecha del sistema. Se pueden usar la conversin de matrices para convertir a otras representaciones. De esta manera, las dos soluciones son las mismas, pero las variables de estado se ordenan de manera diferente, y las ganancias se dividen entre los vectores B y C. Tambin se pueden extraer las matrices a partir del objeto LTI usando [A,B,C,D] = ssdata(S), donde S es un objeto en el espacio de estados LTI, y A, B, C, D son sus matrices y vectores asociados.

Problema 8.Al usar el comando de MATLAB [p,d]=eig(A), donde las columnas de p son los vectores caractersticos de A se pueden determinar los vectores caractersticos de la matriz del sistema y entonces proceder a diagonalizar el sistema.Los comandos que se pueden emplear para el clculo de los auto-valores son: 1- rootos(p) da las races del polinomio caracterstico. 2- eig(A) da los autovalores asociados a A. 3- eigensys(A) expresa los autovalores simblicamente. Se efectan los tres procedimientos para el clculo de los autovalores de la matriz A dada.Tambin se puede usar canon(S,modal) para diagonalizar un objeto LTI, S, representado en el espacio de estados.

Se crea el objeto en el espacio de estados LTI para el sistema original.

Problema 9.Se puede determinar la estabilidad de un sistema representando en el espacio de estados mediante el uso del comando eig(A) previamente ya visto para encontrar los valores caractersticos de la matriz de sistemas.Estabilidad en el espacio de estados.Del siguiente sistema:

Dado:dondees la ecuacin caracterstica de algn sistema.Mtodo de RouthPara que todos los polos estn en el semiplano izquierdo es necesario queA. LasB. Todos los determinantes, Dt , deben ser positivos. DondeDt se definen de las matrices formadas del siguiente arreglo:

Note que Dn+1 es cero, por tener una fila de cero, y por lo tanto el arreglo acaba con Dn.Ejemplo 1: Dada la ecuacin caracterstica ,determinar si el sistema es estable o no.

Solucin: Primero observamos que los coeficientes de la ecuacin caracterstica son todos positivos. Luego, construimos la matriz para determinar los determinantes.

Esto nos dice que el sistema es inestable.Mtodo de Routh-HurwitzSi lasse cumple, entonces el nmero de polos en el semiplano derecho es igual al nmero de cambios en signo de los coeficientes de la primera columna del siguiente arreglo:

donde y as sucesivamente.

Teorema de divisin en una fila:Los coeficientes de cualquier fila se pueden multiplicar o dividir por un nmero positivo sin alterar los cambios en signo de la primera columna.

Ejemplo 2: Determinar cuantas races tiene el siguiente polinomio en el semiplano derecho:

Solucin:Construyendo la siguiente tabla de Routh-Hurwitz podemos ver que hay dos cambios de signo. Por lo tanto, el polinomio tiene dos races en el semiplano derecho.Casos especiales:

I. Existe un cero en la primera columna de la tabla de Routh-Hurwitz y un valor diferente de cero en la misma fila.Esto implica que va haber una divisin por cero, lo cual est indefinido.

A. Formas de resolver el problema.Multiplica el polinomio por (s + 1) y utiliza el mtodo de Routh-Hurwitz sobre el polinomio resultante.Note que los cambios en signo no se afectan.Sustituir s por 1/x y resolver Routh-Hurwtiz para el nuevo polinomio en x.Esto equivale a invertir los coeficientes de;es decir.Reemplazar el cero de la primera columna por un nmero.Es infinitesimalmente positivo, y por lo tanto diferente de cero. Al menos los cambios en signo se preservan.II. Resulta una fila de ceros en la tabla de Routh-Hurwitz.A. ImplicacionesExiste una ecuacin auxiliar, A(s), que sale de los coeficientes de la fila anterior.Las races de A(s) son tambin races de, y stas ocurren en pares de singularidad simtrica con el origen.

Ejemplo 3: Hallar las raices del siguiente polinomio usando Routh-Hurwitz:

Solucin:Construyendo la siguiente tabla de Routh-Hurwitz podemos ver que existe una fila de ceros.De la fila anterior podemos sacar la siguiente ecuacin auxiliar:

DeA(s)tenemos que dos raices son

Ahora dividiendo el polinomio original porA(s)obtenemos la siguiente ecuacin:

Utilizando la frmula cuadrtica hallamos las dos raices restantes:Primeramente formamos (sI-A):

Ahora determinemos el determinante det(sI-A):

Al usar este polinomio, formamos el arreglo de Routh, como se ve en la tabla.

s31-7

s2-6 (-3)-52 (-26)

s1-47/30

s0-260

Como hay un cambio de signo en la primera columna, el sistema tiene un polo en el semiplano derecho y dos polos en el semiplano izquierdo. Por lo tanto, es inestable.

Conclusiones.Por medio de MATLAB es posible obtener una variable de estado de distintas formas y en diferentes formatos que nos permite manipular de forma mas rpida los resultados obtenidos para nuestro beneficio. Tambin Se puede usar MATLAB para convertir funciones de transferencia al espacio de estados en una forma especfica que nos permita dar solucin al problema de la manera mas rpida y sencilla, haciendo el procedimiento mas eficaz. Gracias a que existe simulink es posible graficar el comportamiento del sistema permitiendo de una forma mas explicita observar las deformaciones del sistema.Gracias al mtodo de Routh-hurwitz es posible determinar matemticamente si un sistema es estable o no, y de esta forma encontrara los errores o corregirlos para convertir un sistema inestable a uno estable que permita la solucin del problema.Observaciones.Gracias a los aportes de simulink es posible graficar de distintas maneras, ya que ofrece diferentes formas de graficar asi como un compendio que permite elegir inclusive los valores de graficacion. Es importante aclarar que en un objeto LTI es necesario representar comandos como el ss(F), Donde F es el comando LTI de una funcin de transferencia.Instituto Politcnico NacionalEscuela Superior De Ingeniera Mecnica Y Elctrica

Practica 7

Profesor: Alejandro barreraAlumno: flores perez Luis GilbertoGrupo: 4 am 3