ANÁLISIS Y SIMULACIÓN DE LA EXISTENCIA DE ONDAS...

ANÁLISIS Y SIMULACIÓN DE LA EXISTENCIA DE ONDAS SOLITARIAS COMO SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN DE KORTEWEG DE VRIES (KDV)

Gladys Cruz Y.1, Abrahan Aslla Q.1, Orlando Ortega G.1y Néstor Tasayco M.1

ResumenConsideramos el problema de valor inicial para la ecuación de Korteweg de Vries (KdV), que

describe la propagación de ondas sobre la superficie de agua en un canal de longitud finita. Primero se hace un estudio analítico de la existencia y unicidad de las soluciones, así como la buena formu-lación local del problema en los Espacios de Sobolev Hs(R) para s>3/4. Luego se elabora un esque-ma de simulación numérica para estudiar las soluciones de tipo onda solitaria para un solitón, luego para dos solitones usando el método de diferencias finitas para los términos lineales y no lineales. Además se usa comparativamente el método de la transformada rápida de Fourier para los térmi-nos lineales, analizando los efectos de conservación, dispersión y velocidad de las ondas solitarias generadas en campos continuos.Palabras claves: Ecuación KdV, propagación de ondas, simulación numérica, dispersión.

AbstractWe consider the initial-value problem for the equation of Korteweg-de Vries (KdV), this equa-

tion describes the propagation of waves on the surface of water in a channel of finite length. First, an analytical study was made of the existence and uniqueness of the solutions as well as the good local formulation of the problem in the Sobolev Spaces Hs(R) for s>3/4. Then it has developed a scheme of numerical simulation to study the solutions of wave type for a solitary soliton, then for two solitons using the method of finite differences for the terms linear and non-linear. It is also used comparatively the method of the fast Fourier Transform FFT for the linear terms, analyzing the effects of conservation, dispersion and speed of the solitary waves generated incontinuos fields.Keywords: KdV equation, propagation of waves, numerical simulation, dispersion.

Presentado: 15/10/2015Aceptado: 22/12/2015

1 Universidad Nacional Tecnológica de Lima Sur (Untels)

IntroducciónEn el presente trabajo se considera la ecua-

ción generalizada de Korteweg de Vries KdV

donde la función u=u(x,t) mide la altura de la onda en la posición x en el tiempo t para α=1, β=1 y |γ|≥1, la ecuación describe la propagación unidireccional de ondas largas de dispersión débilmente nolineales, tal como sucede cuando un fluido homogéneo discurre en un canal. La

Untelsciencia-Perú,1(1),2016, LimaISSN 2414-2751Depósito legal 0000-0000© Universidad Nacional Tecnológica de Lima Sur (Untels)

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Análisis y simulación de la existencia de Ondas Solitarias como soluciones de la Ecuación de Korteweg de Vries (KdV)

ecuación (PVI) tiene soluciones de tipo onda solitaria que describen la propagación de ondas en la superficie de agua de un canal no rugoso.

El objetivo es analizar la existencia y uni-cidad de las soluciones locales de la ecuación KdV, luego simular numéricamente tales solu-ciones como ondas solitarias presentes en flui-dos en un canal abierto, determinando su preci-sión, estabilidad y convergencia.

Para lograr este propósito, tomamos (Ca-pella-Kort A., 2003) y (Cerpa Eduardo, 2012) quienes probaron matemáticamente la existen-cia y unicidad de soluciones de la ecuación KdV, usando la técnica de la regularización pa-rabólica. (J. Colliander, 2003) utilizó el método de la fase estacionaria para estudiar el compor-tamiento asintótico de la solución de la KdV consiguiendo demostrar un decaimiento expo-nencial. (Edorgan M.B.,s.f.) probaron la exis-tencia de soluciones en los espacios de Sobolev Hs(R) para s>2.

Sobre el estudio numérico en teoría soli-tónica, (T. y Topalov, 2006) exploran el com-portamiento de solitones ópticos basado en el método de diferencias finitas para solucionar ecuaciones de onda no lineales, (C. Kenig, 1993) hacen un estudio numérico del con-trol exacto de la KdV lineal; (Martel, 2005) y (Mendoza A., 2000) elaboran un método nu-mérico para ondas dispersivas determinando la precisión, estabilidad y convergencia de tal modelo. Para los propósitos de nuestro trabajo, necesitamos para la parte analítica de la teoría distribucional y los espacios de Sobolev con-sultaremos (Munive L.,s.f.; F. y Gordon, 2006) así como otros relacionados.

1. MetodologíaEn el presente trabajo de investigación,

para analizar las soluciones de la ecuación de Korteweg de Vries KdV, se usa los trabajos de (C. Kenig, 1993; J. Colliander, 2003; Cerpa Eduardo, 2012; Zabusky, 1965; Martel, 2005; Tao, 2008; Munive L., s.f.) y otras publicacio-

nes útiles en el estudio de la existencia y uni-cidad de la solución local del problema (KdV) planteado.

Mediante el método de la transformada de Fourier, las soluciones se acotan e interpolan en los espacios L2y de Sobolev HS, también se usa los C0-semigrupos de contracción así como los métodos del análisis funcional.

Finalmente, para obtener las soluciones numéricas se emplea el método de diferencias finitas.1.1 Métodos numéricos

Se desarrolla el Método de diferencias fi-nitas que consiste en una aproximación de de-rivadas parciales por expresiones algebraicas incluyendo los valores de la variable depen-diente en un limitado número de puntos selec-cionados. Como resultado de la aproximación, la ecuación diferencial parcial que describe el problema, es reemplazada por un número fini-to de ecuaciones algebraicas, escritas en térmi-nos de los valores de la variable dependiente en puntos seleccionados. El valor de los puntos seleccionados se convierten en las incógnitas, en vez de la distribución espacial continua de la variable dependiente. El sistema de ecuaciones algebraicas debe ser resuelto y puede involucrar un número extenso de operaciones aritméticas que son ejecutadas por medio de un programa de cómputo, en este caso utilizaremos el MAT-LAB.1.2 Método de las diferencias finitas

Con fines de realizar la implementación de la simulación numérica de las soluciones de la Ecuación de Korteweg de Vries (KdV) analiza-mos dos métodos de solución numérica, el mé-todo de las diferencias finitas (Thomas, 1999; S. J. C., 1989; Capella-Kort A., 2003) y el método de la transformada de Fourier (V. L. C.,1992; N., 2000) de la ecuación KdV lineal.

Para obtener las expresiones en diferencias finitas de las derivadas de una función real f, utilizamos el desarrollo en serie de Taylor de f(x+δx), y f(x-δx), alrededor del punto x.

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G. CRUZ, A. ASLLA, O. ORTEGA Y N. TASAYCO

considerando la aproximación al primer orden de las Ecs. (1.1) y (1.2), obtenemos que las pri-meras derivadas de f se pueden expresar como: Diferencias progresivas: fx

+(x)=

diferencias regresivas: fx-(x)=

y diferencias centradas: fx(x)=

La expresión en diferencias finitas de la segun-da derivada de f se expresa como:

f(x+δx)-f(x)δx

f(x)-f(x-δx)δx

f(x+δx)-f(x-δx)2δx

,

La aproximación en diferencias regresivas de f_xxx se considera como:

Y la aproximación en diferencias centradas de f_xxx es dado por:

1.3 Método de la Transformada Rápida deFourier y la transformada discreta de Fourier

Con fines de implementar un programa computación que simule numéricamente la so-lución (2.18) utilizamos Matlab, debido a que contiene a la transformada rápida de Fourier (FFT) implementada de manera eficiente, que permite calcular numéricamente la transfor-mada de Fourier para un conjunto discreto de puntos. En dicho sentido requerimos estable-cer en principio el dominio espacial para u(x,t)como el conjunto de puntos discretosdado por: xn=x0+n∆x, 0 ≤ n ≤ N-1 donde N es el número de puntos x en el dominio de u(x,t).

Asimismo, establecemos que la discretiza-ción en el dominio de la frecuencia k es dado por:

donde ∆k=2π/(N∆x).Sean x0,…, xN-1 números complejos. La trans-formada discreta de Fourier (DFT) se define como:

En general, dichos algoritmos dependen de la factorización de N. Dado que la transformada discreta de Fourier inversa es análoga a la trans-formada discreta de Fourier, con distinto signo en el exponente y un factor 1/N, cualquier algo-ritmo FFT puede ser fácilmente adaptado para el cálculo de la transformada inversa.

Un algoritmo que es mucho más eficiente en cuanto al tiempo de cómputo para grandes arreglos de entrada cuya longitud es una poten-cia entera de dos, recibe el nombre de Trans-formada de Fourier Rápida (FFT), y dicho al-goritmo fue popularizado por Cooley y Tukey en 1965.

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Si denotamos por y = Ø' entonces se tiene que y' = ∂V ∂Ø

Ahora veamos el plano de fase del de las curvas solución del sistema (2.12) que consta de las curvas de nivel de la energía:

1.3.1. AlgoritmoSe establece el dominio espacial y tempo-

ral, número de particiones espacial y temporal. Luego las condiciones iniciales u0. En seguida la matriz A. Se construye desde n+1=1hasta n=N y F(u), luego se resuelve el sistema no li-neal utilizando el método de Newton multiva-riable, finalmente se Almacenan las soluciones u y se presentan los resultados gráficos.

2. Resultados y discusiones2.1. Existencia de Soluciones de la KdVLa Ecuación de Korteweg de Vries (KdV)

Un primer resultado usando el principio de contracción fue debido a (C. Kenig, 1993) quienes obtuvieron la buena formulación local en Hs para s > 3/4. (Bourgain, s.f.) extendió este resultado en L2 desarrollando el espacio Xs,b. Luego, desarrollando estimados bilineales en el espacio Xs,b(C. Kenig, 1993) probaron la buena formulación local en el espacio Hs para s < -3/4 y (J. Colliander, 2003) probaron que la solución uniforme y continua de la (KdV) cae en los es-pacios Hs para s < -3/4 en los cuales también probaron Kenig, Ponce y Vega para un proble-ma de valor complejo.

El problema de valor inicial (PVI) para la ecuación (KdV) tiene soluciones especiales de onda viajera, conocidas como Solitones en rea-lidad tales soluciones nos proveen mucho ímpe-tu histórico para el estudio de tal ecuación.

Explícitamente, se genera una traslación espacial de estas soluciones que pueden ser es-critas en la forma u=Ø(x-ct) para c > 0, la cual abordaremos en lasiguiente sección.2.2. Primera Vista de la solución de la KdV: Solitón

Se considera el problema de valor inicial (PVI) de la ecuación KdV para los parámetros α = 1, β = 0 y γ = 6 la ecuación (PVI) de la cual se obtiene una onda solitaria.

La ecuación KdV exhibe soluciones espe-ciales de onda viajera, conocidas como solito-nes. Existen en la literatura muchos estudios, al-gunos de los cuales son (Zabusky, 1965; Martel, 2005; Tao, 2008; Munive L., s.f.).

Sea Ø una función positiva y c>0 una cons-tante, luego consideremos una solución para la ecuación KdV (PVI) de la forma:

u(x,t) = Ø(x-ct)

tal que satisface la ecuación (PVI). Resolvien-do la ecuación cØ'-cØ'''-6ØØ'=0, se obtiene una función potencial cúbica de la forma:

Denotemos a x-ct por s de modo que resol-viendo la ecuación (2.15) se tiene:

La conservación de energía nos dice que E(Ø,Ø')=D, si Ø es una solución de Ø''=-dV(Ø), luego cada solución de (2.12) cae en una única curva de nivel.

Despejando Ø' de (2.6) se tiene que:

Figura 1: Potencia V(Ø)


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2.3. El problema lineal de la KdVEl problema lineal de la KdV con valor inicial

Para el estudio del problema de valor inicial de la parte lineal de la KdV, seguimos la meto-dología de (Saut J.C., 1976; Mendoza A., 2000) y muchos otros.

Planteamos el problema lineal de la ecua-ción KdV (PVI):

Haciendo D=0 y buscamos soluciones que junto con sus derivadas se anulen en el infinito y z2=c-2Ø, entonces dØ=-zdz, luego la integral es:

donde K es una constante de integración. Si tomamos la condición inicial de esta órbita en s=0, Ø(0)=c/2, Ø' (0)=0, entonces K=0 y como Ø ≥ 0, la expresión del valor absoluto es ne-gativo, a la vez multiplicando al numerador y denominador por se tiene que elevando al cua-drado y resolviendo la ecuación cuadrática en Ø, se obtiene:

La cual produce la solución:

Eligiendo c=1 y t=0, se observa en la Figu-ra 2 la siguiente onda.

Variando las condiciones en la ecuación (2.10) para c=1 y t=1, se obtiene las ondas de tipo Solitón, como se puede apreciar en las Fi-guras 3 y 4:

Figura 2: Onda inicial.

Figura 3: Onda solitaria.

Figura 4: Onda solitaria.


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En particular, también consideramos el si-guiente modelo para la KdV lineal y resolve-mos Q=1 y β=0

∂tu+∂x3 u=0, -∞<x<∞

(2.16)

sujeto a la condición inicial u(x,0)=φ(x) toman-do la transforma de Fourier tal que:

Escribimos de la forma:

Donde A=-α∂x3u-β∂xu tiene una única solu-

ción continua en Hs (R).La solución de la ecuación (2.11) es:

u(t)=e-At φ

Así S(t)=e-At es un semigrupo de contrac-ción generado por –A

Proposición 2.1. –A es el generador de un semi-grupo de contracción en Hs(R).Prueba 2.1. Por el teorema de Lummer-Phillips tenemos que –A es un generador de un semigru-po decontracción en Hs(R).Teorema 2.1. Si φXHs(R) con s>1, el proble-ma de valor inicial (2.11) tiene única solución u XC([0; T]; Hs) con ∂tuXC([0; T]; Hs) dada por:

u(t)=e-At φ(2.13)

en donde W(t)={e-At}t≥0 es el semigrupo de con-tracción generado por el operador -A definido en (2.12), siendo:

(2.14)

El problema (PVIL) para Q=β=1 toma la siguiente forma:

(2.15)

luego la transformada de Fourier de la solución del problema de valor inicial (PVIL) toma la forma:

y tomando la transformada inversa de Fourier se obtiene que:

(2.17)por tanto:

(2.18)

Mediante los métodos de Kenig-Ponce-Ve-ga sobre R se tiene los estimados ║W(t)φ║Hs =║φ║Hs y para αX[0,1/2] satisfa-ce ║DQW(t)║Hs ≤ |t| -(Q+1)/3 y para cualquier θX[0,1],QX[0,1/2] satisface

║DQθ/2 W(t)φ║Hs ≤ ║φ║ L2

(2.23)

2.4. Modelo para la KdV lineal Resolvemos el problema:

ut+uxxx+ux=0,(x, t)X[0, L]x[0, T] (2.19) u(0,t)=u(L,t)=0, t X [0, T] (2.20) ux (L,t)=0,tX[0,T] (2.21) u(x,0)=φ(x),xX[0,L] (2.22)

Reescribimos la ecuación (2.19) utilizando las diferencias regresivas para ux y (1.4) para uxxx

,


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XT={uXC([0,T]; Hs): u(0, x)=φ, sup║u(t)║_Hs≤2║φ║Hs}, tϵ[0, T]

Usando la regularización parabólica, Bona y Erdogan probaron que la solución en el tiem-po [0; T] queda acotada por:

║u(T)║Hs≤2║φ║Hs

esta acotación se prueba usando un operador de contracción que involucra al término regu-larizante, de donde se prueba la existencia de la solución u. Por las leyes de conservación de energía vale la acotación:

║u(t)║Hs≤║φ║Hs

para s entero.También la unicidad de la solución u se

prueba mediante la desigualdad de Gronwal en el tiempo [0, T] en el espacio L2, suponiendo que v es otra solución de la KdV con su condi-ción inicial φ0de la siguiente manera:

║u-v║Ls ≤║φ0-φ0║Ls

Para probar la buena formulación local, asumimos que u es una solución clásica para la ecuación KdV si

uXC([-T, T]; H2)∩C1 ([-T, T]; Hs-3

y cualquier solución u satisface la ecuación KdV para cada x y t. Comencemos obteniendo los siguientes estimados de energía:

Si u es una solución suave o lisa de la KdV, entonces existe T0 = T0(║φ║Hs) tal que sobre el intervalo de tiempo [0, T0], se obtienen los si-guientes estimados de energía ║u║Hs≤║φ║Hs

para s >3/2 se obtiene que:

integrando en el intervalo de tiempo se obtiene que:

(2.24)

haciendo j → j+1 tenemos:

con i=1, N-1, de modo que L=Nδx, y las condi-ciones de frontera u0, j=uN, j=uN-1, j=0.

En la figura 8, se ha generado la onda soli-taria para la parte lineal de la ecuación KdV con Q=β=1 con el término dispersivo, y se observa que cuando se propaga la onda, esta conserva su energía dejando colas que disminuyen gradual-mente hacia el lado izquierdo.

2.5. Existencia y Unicidad local de las soluciones de la KdV

Ahora consideremos el problema (PVI), para Q=β=γ=1 . En este sentido, suponemos que el agua en el canal es un conjunto en mo-vimiento por una onda generada en el extremo final del canal. Si la frecuencia y amplitud de las ondas hacen oscilaciones, éstas son apropia-damente restringidas, ellas generarán pequeñas amplitudes de ondas largas que se propagan en la parte baja del canal, y así se producirán mo-vimientos que corresponden más o menos a la ecuación de Korteweg de Vries.

La buena formulación del problema ha sido estudiado por (Bona J. L., 2009; Edorgan M.B., s.f.) y muchos otros, obteniendo resultados para la condición inicial φ en la clase Hs para s>3/4.

Para probar la existencia y unicidad de las soluciones, consideremos el espacio:

Figura 5: Onda dispersiva lineal.


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así como el estimado de Kato esto nos indica que todos los términos de la ecuación KdV y sus derivadas interpola-das en los espacios LP quedan acotadas por la condición inicial φ cuyo cuadrado es finito inte-grable.

Luego para cualquier s > 3/4 se obtiene que:

También por la desigualdad de Holder se prueba que el término no lineal de la KdV que-da acotado por:

La buena formulación local de la KdV se prueba en el espacio H2(R) para s > 3/4. Para esto consideramos un espacio de Banach X do-tado de la norma del máximo de las acotaciones de los estimados para cada uno de los términos de la KdV y consideramos:

Finalmente, se prueba que:

De esta manera se prueba la buena formula-ción local de la KdV. En forma similar también se prueba la dependencia continua de las solu-ciones respecto de la condición inicial.2.6. Solución numérica de la KdV no lineal

De acuerdo al proyecto nuestro interés se centra en analizar la ecuación KdV paraQ=1 y β=1

∂t u+∂xu+γu∂xu+∂x3u=0 (2.25)

donde z=Q+iβ con βXR se obtiene que y por el estimado de Strichartz

Considerando T0=ínf║u║Hs≥2║φ║Hs en [0,T0] se tiene que

También este resultado se puede obtener mediante la desigualdad de Gronwall.

donde C es una constante absoluta. De acuerdo con (Edorgan M.B., s.f.) la ventaja de esta des-igualdad es que el tiempo que es válido depende solo del índice (bajo) de la noma del espacio de Sobolev de la condición inicial (H2 es suficiente por la desigualdad de energía.

Ahora consideremos el semigrupo W(t) de operadores lineales generados por el operador lineal A obtenidos en el estudio de la parte li-neal del problema.

Se estima un decaimiento dispersivo para θX[0,1] y QX[0,1/2]

lo cual implica que:

Considerando la familia de operadores ana-líticos complejos:

Además en forma particular se obtienen las cotas:


y se prueba que:

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De manera similar al tratamiento de la ecuación KdV lineal, utilizamos las transforma-das de Fourier definida por:

La Ec. (2.34) se resuelve numéricamente utilizando el método de Euler, conjuntamente con la ecuación lineal (2.29) considerando δt el tamaño de paso en el tiempo.

2.7. Esquema del programa computacional-HPara la implementación numérica de la ecua-ción (2.34), se realiza en Matlab, utilizando la transformada rápida de Fourier (FFT), incluida en Matlab. Las partes principales que contiene el programa son:

1. Datos iniciales: condición inicial, domi-nio espacial, dominio temporal, número de particiones en el espacio y el tiempo.

2. Discretización del dominio espacial xX[0,L] y el dominio de la frecuencia k de acuerdo a:

xn=nδx, 0 ≤ n ≤ N-1 y

3. Solución iterativa en el tiempo la ecua-ción (2.34) conjuntamente con la ecua-ción (2.29) utilizando el método de Eu-ler.

4. Se realiza las representaciones gráficas de la evolución del solitón en el tiempo.

2.7.1. Esquema numérico de la propagación de un solitón.

Investigamos el efecto que causa la varia-ción de los parámetros en la generación de un solitón dado por la condición inicial.

con A=14 y teniendo en cuenta que -L ≤ x ≤L, L=10, T=0, N=500 y M=400. se observa que en las figuras 5, 6 y 7 para α=1, β=1 y γ=6, la onda se propaga a una velocidad constante y sin pér-dida de energía.

y la transformada inversa de Fourier es definida por:

En principio reescribimos la ecuación (2.25) como:

Aplicando la transformada de Fourier a la ecuación (2.28) se tiene:

La parte lineal de la ecuación (2.29) es:

la solución de (2.30) es:

Para resolver (2.29) multiplicamos por el factor integrante ei(k-k3 )t

Si definimos:

de la Ec. (2.32) obtenemos:

reemplazando en la Ec. (2.33) obtenemos:

Con tenemos


donde δk=2�/(Nδx)

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Figura 6: Solitón 1






2.7.2. Simulación numérica de la propagación de 02 solitones.

Se ha simulado la propagación de dos so-litones de acuerdo a la ecuación no lineal (2.25) con γ=6. Los solitones se describen por la con-dición inicial.

con A=14, B=7y teniendo en cuenta que -L ≤ x≤ L, L=10, T=0, N=500 y M=400.

Veamos la variación de los resultados en las figuras 9, 10 y 11, la propagación de las ondas solitarias para α=1, β=1 y γ=6 se puede obser-var que el término disipativo no produce pérdi-da de energía, es decir mantienen su amplitud y velocidad. Estas se han generado con la condi-ción inicial dada en la figura 9.


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donde es dado por (1.4), ahora si consideramos que tenemos:

usando las derivadas regresivas en el tiempo te-nemos:

evaluando (Au)j,n+1, de acuerdo a (1.4) y las di-ferencias centradas tenemos:

donde a0=-(1/(2δx)+1/(δx)3), a1=3/(δx)3, a2=1/(2δx)-1/(δx)3 y a3=1/(δx)3. Utilizando ahora las condiciones de frontera u0=0 y uM=uM-1=0 escri-bimos matricialmente A(1) como:

Haciendo j→j+1, tal que j=1,…, M-1





Sin embargo, en las figuras 12 y 13 se ob-serva que para α=1, β=1 y γ=5 el término di-sipativo producepequeñas pérdidas de energía disminuyendo su velocidad de propagación.

2.8. Usando diferencias finitasConsiderando la expresión en diferencias fi-

nitas, la ecuación (2.25) tiene la forma semidis-creta.

Finalmente, para α=1, β=1 y γ=7 e repre-sentan en las figuras 14 y 15 un medio más den-so que en los casos anteriores, en consecuencia la onda solitaria tiene una velocidad mayor que cuando γ=7.


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Expresando ahora (2.40) en forma matricial

(I+δtA)un+1-un+δtF(u)n+1=0 (2.43)

La ecuación no lineal (2.43) se resuelve apro-ximadamente utilizando el método de Newton multidimensional o el método del punto fijo.

En la Figura 16 se observa que las ondas solitarias presentan más disipación, por lo que la segunda onda no logra pasar a la primera. Además se puede deducir que a mayor gamma γ>7 la velocidad de propagación de la onda es mayor, lo cual indica que el medio tiene mayor densidad.

3. ConclusionesLa existencia y unicidad de la solución lineal

y la buena formulación local del problema de valor inicial

(PVI) y del problema con valor de frontera quedan acotadas en los espacios H2(R) y L2(R), concordando con (T. y Topalov, 2006), y (Guo, 2009) que además de la buena formulación rea-lizaron estudios de estabilidad y regularidad de


tales soluciones en los espacios H-1, así como (Buckmaster T., 2012) quienes prueban la exis-tencia de soluciones débiles y la regularidad de tales soluciones en Hs para s ≥ -1.

Los experimentos numéricos se realizan con la ayuda del método de las diferencias finitas con un número finito de iteraciones, además el método se valida usando otro método como es el de la Transformada rápida de Fourier FFT, ambos dan como resultado la generación de ondas de tipo onda solitaria o solitones con un comportamiento similar dependiendo del me-dio en el cual se propagan.

Las propiedades de las ondas solitarias de-penden del medio en el cual se propagan, que en nuestro caso están representadas en el término γ. La disipación depende de la viscosidad del medio.

En el caso electromagnético, la propiedad del medio que permite la propagación de ondas solitarias es el índice de refracción, el cual pue-de ser función del espacio y del campo electro-magnético.

En las comunicaciones ópticas un solitón óptico es un pulso óptico que se propaga sin cambiar su forma, a través de una fibra óptica monomodo en la llamada región de dispersión anómala. Las características no lineales y dis-persivas como es el índice de refracción de las fibras ópticas les permite transmitir solitones de manera eficiente.

Se observa que las ondas solitaria se gene-ran de manera óptima para γ=6 que representa la propiedad del medio, se aprecia que a pesar de una colisión o choque de una onda solitaria con otra, ésta no se deforma, es decir, se mantie-ne conservando sus propiedades de energía las cuales se propagan por largas distancias preser-vando su forma (solitón fundamental) o siguen un patrón de evolución periódico y no se alteran en colisiones con otros solitones. Gracias a esto, es posible transmitir información a ultra-largas distancias con muy altas tasas de transmisión.

Se puede deducir que para γ ≥ 7 el índice de refracción es mayor en la parte más intensa


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del pulso que se propaga; esto provoca que las frecuencias más bajas viajen más rápidamente que las frecuencias más altas y se conoce como efecto SPM: (self-phase modulation).

ReferenciasBona J. L., Z. B.-Y., Sun S.M. (2009). A nonho-

mogeous problem for the korteweg de vries equation posed on a bounded domain ii. Comm. Partial Differential Equation, 28 , 2558 - 2596.

Bourgain, J. (s.f.). Fourier transform restriction phenomena for certain lattice subsets and applications to nonlinear evolution equa-tions i, ii. Geom. Funct. Anal., 3:07-156 .

Buckmaster T., K. H. (2012). The korteweg - de vries equation al h1 regularity. arXiv: 1112.4657v2 [math.AP].

C., S. J. (1989). Finite difference schemes and partial differential equations. Second Edit., SIAM.

C., V. L. (1992). Computational frameworks for the fast fourier transform. SIAM.

Capella-Kort A., S. J. (2003). Estudio numérico del control exacto desde el contorno de la ecuación kortewweg-de vries lineal. Rev. Int. Mat. Num. Dis. Ing., 19 (2), 145-158.

Cerpa Eduardo, Y. Z. B., Rivas Ivonne. (2012). Boundary controllability of the korteweg de vries equation on a bounded domain. arXi-v:1209.3543v1[math.AP].

C. Kenig, L. V., G. Ponce. (1993). Well-posed-ness and scattering results for the genera-lized korteweg-de vries equation via the contraction principle. Communications on Pure and Applied Mathematics, 46 (4), 527-620.

Edorgan M.B., T. N. (s.f.). The initial value pro-blem for kdv. Descargado de http://www.math.uiuc.edu/~tzirakis/kdv_lectures.pdf

F., M. L., y Gordon, J. P. (2006). Solitons in optical fibers: Fundamentals and applica-tions. ElsevierInc.

Guo, Z. (2009). Global well-posedness of kor-teweg-de vries equation in h3=4. J. Math.

Pures Appl., 9 (6), 583-597.J. Colliander, G. S. H. T. T. T., M. Keel. (2003).

Sharp global well-posedness for kdv and modified kdv onr and t, j. Amer. Math. Soc., 16 (3), 705-749.

Martel, Y. (2005). Asymptotic n-soliton-like so-lutions of the subcritical and critical gene-ralizedkorteweg-de vries equations. Amer. J. Math.(127), 1103-1140.

Mendoza A., M. J. (2000). Existencia y unici-dad local para la ecuación de korteweg- de vries. Reporte de Investigación PUCP (10, Serie B). Munive L., I. H. (s.f.). Simetrías ocultas de la ecuaciónkdv.

N., B. R. (2000). The fourier transform and its applications. McGrawHill.

Saut J.C., T. R. (1976). Remarks on the kor-teweg -de vries equation. Israel Jour. of Math., 24 (1), 78-87.

T., K., y Topalov, P. (2006). Global well- posed-ness of kdv in h1. Duke Math. J., 135 (2), 327-360.

Tao, T. (2008). Why are solitons stable. arXiv: 0802.2408v2 [math.AP].

Thomas, J. (1999). Numerical partial differen-tial equations: Finite difference methods (texts in appliedmathematics). Springer.

Zabusky, M. D., N. J. Kruskal. (1965). Interac-tion of solitonsin a collisionless plasma and the recurrence.


ANÁLISIS Y SIMULACIÓN DE LA EXISTENCIA DE ONDAS...

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