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ANTECEDENTES HISTORICOS

Es posible agrupar, en un primer periodo que denominaremos “origenes” , a losacontecimientos y a las personas que sentaron las bases conceptuales del campo delas vibraciones. Este periodo va desde la antigüedad hasta el Renacimiento, esto es,aproximadamente desde el año 3 !.". hasta el #$ de nuestra era .%uedenreconocerse en este periodo como l&neas principales'

(a m)sica y los instrumentos musicales.

(a aparici*n de los conceptos b+sicos de metodolog&a cient&ica.

(os principios b+sicos de vibraciones como son' movimiento, recuencia

natural, resonancia, energ&a, aislamiento, medici*n.

(os primeros medidores de vibraci*n ueron introducidos en los años #-$. Ellosmed&an el nivel general o nivel de banda ancha de vibraci*n en maquinaria, o bienen mils mil/simos de pulgada0 pico a pico de despla1amiento vibratorio o enpulgadas por segundo %%2 0 de velocidad vibratoria. n poco m+s tarde, los filtrosanálogos ueron agregados para poder hacer la dierencia entre los componentes derecuencia dierente y de esta manera producir una especie de espectro de vibraci*n.(os años #-4 vieron la llegada de la computadora personal y el procesador de lasseñales digitales que lleva al anali1ador 5R6 y eso posibilit* el c+lculo de un espectrode recuencias muy r+pido. , desde una señal de vibraci*n grabada. (os primerosanali1adores eran muy voluminosos y pesaban hasta 3$ 7ilogramos. , y eso les haciam+s adecuados como instrumentos de laboratorio que como unidades port+tiles parauso en la industria.

(os años #-8 vieron la explotaci*n del microprocesador en un )nico chip de silic*n. y/ste ue seguido muy rapidamente por el verdadero anali1ador de señales digitalesportatil. , activado por baterias. Es un aparato que 9unto con un programa decomputadora almacena los datos y mane9a los aspectos l*gicos de la recopilaci*n dedatos, que revolucion* la aplicaci*n del an+lisis de vibraci*n en el diagn*stico demaquinaria.

na ve1 establecido el marco te*rico, el actor determinante de la consolidaci*n delenoque ingenieril en las vibraciones ue el desarrollo de la maquinaria de altavelocidad, que se desarroll* por la presi*n e9ercida por la industriali1aci*n.Esta etapacomprendida desde aproximadamente #8$ a #-$ la denominaremos de“aplicaciones” .

En este din+mico periodo se desarrollan los conceptos y aplicaciones ingenierilesrequeridas por maquinaria como' locomotoras, autos y aviones, que comprende desdelas m+quinas de vapor hasta la turbina .%or supuesto que lo antes mencionado implicael desarrollo de m/todos de an+lisis y diseño modernos, y tambi/n la publicaci*n delos libros, de texto y consulta, que permitieron la diusi*n de esta +rea delconocimiento.

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VIBRACION

2e denomina vibracin a la propagaci*n de ondas el+sticasproduciendo deormaciones y tensiones sobre un medio continuo o posici*n deequilibrio0.

En su orma m+s sencilla, una vibraci*n se puede considerar como un movimientorepetitivo alrededor de una posici*n de equilibrio. (a posici*n de :equilibrio: es a laque llegar+ cuando la uer1a que act)a sobre /l sea cero. Este tipo de movimiento noinvolucra necesariamente deormaciones internas del cuerpo entero, a dierencia deuna vibraci*n.

 !dem+s las vibraciones al ser de movimientos peri*dicos o cuasiperi*dicos0 de mayor recuencia que las oscilaciones suelen generar ondas sonoras lo cual constituye unproceso disipativo que consume energ&a. !dem+s las vibraciones puedenocasionar atiga de materiales, por e9emplo.

%ara pequeñas amplitudes de oscilaci*n el movimiento puede aproximarsera1onablemente por un movimiento arm*nico comple9o, con ecuaci*n de movimiento'

;onde'

, son respectivamente las matrices de masa, amortiguamiento y rigide1 del

sistema., es un pseudovector de coordenadas generali1adas que representa el

movimiento de un con9unto de puntos relevantes del sistema.

, representa el con9unto de uer1as excitatrices que generan la vibraci*n.

E!ECTOS DE "A VIBRACION

(a vibraci*n es la causa de generaci*n de todo tipo de ondas. 5oda uer1a que seaplique sobre un ob9eto genera perturbaci*n. El estudio del ruido, la vibraci*n y laseveridad en un sistema se denomina <=>. Estos estudios van orientados a medir y

modiicar los par+metros que le dan nombre y que se dan en veh&culos de motor, deorma m+s detallada, en coches y camiones.

OSCI"ADOR AR#ONICO

2e dice que un sistema cualquiera, mec+nico, el/ctrico, neum+tico, etc., es

un oscila$or armnico si, cuando se de9a en libertad uera de su posici*n

de equilibrio, vuelve hacia ella describiendo oscilaciones sinusoidales, o sinusoidales

amortiguadas en torno a dicha posici*n estable.

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(a masa colgada del resorte orma un oscilador arm*nico.

El e9emplo es el de una masa colgada a un resorte. "uando se ale9a la masa de su

posici*n de reposo, el resorte e9erce sobre la masa una uer1a que es proporcional al

desequilibrio distancia a la posici*n de reposo0 y que est+ dirigida hacia la posici*n deequilibrio. 2i se suelta la masa, la uer1a del resorte acelera la masa hacia la posici*n

de equilibrio. ! medida que la masa se acerca a la posici*n de equilibrio y que

aumenta su velocidad,   la energ&a potencial  el+stica del resorte se transorma

en energ&a cin/tica de la masa. "uando la masa llega a su posici*n de equilibrio, la

uer1a ser+ cero, pero como la masa est+ en movimiento, continuar+ y pasar+ del otro

lado. (a uer1a se invierte y comien1a a renar la masa. (a energ&a cin/tica de la masa

va transorm+ndose ahora en energ&a potencial del resorte hasta que la masa se para.

Entonces este proceso vuelve a producirse en direcci*n opuesta completando una

oscilaci*n.

2i toda la energ&a cin/tica se transormase en energ&a potencial y viceversa, la

oscilaci*n seguir&a eternamente con la misma amplitud. En la realidad, siempre hay

una parte de la energ&a que se transorma en otra orma, debido a la viscosidad del

aire o porque el resorte no es perectamente el+stico. !s& pues, la amplitud del

movimiento disminuir+ m+s o menos lentamente con el paso del tiempo. 2e empe1ar+

tratando el caso ideal, en el cual no hay p/rdidas. 2e anali1ar+ el

caso unidimensional de un )nico oscilador para la situaci*n con varios osciladores,

v/ase movimiento arm*nico comple9o0.

CASOS

Oscila$or armnico sin p%r$i$as

2e denominar+ a la distancia entre la posici*n de equilibrio y la masa, a la que se le

dominara . 2e supondr+ que la uer1a del resorte es estrictamente proporcional al

desequilibrio' ley de >oo7e0. es la uer1a y la  constante el+stica del

resorte. El signo negativo indica que cuando es positiva la uer1a est+ dirigida hacia

las negativas.

(a segunda ley de <e?ton nos dice'

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rempla1ando la uer1a obtenemos'

(a soluci*n de esta ecuaci*n dierencial ordinaria es inmediata' las

)nicas unciones reales no comple9as0 cuya segunda derivada es la misma unci*n

con el signo invertido son seno y coseno. (as dos unciones corresponden al mismo

movimiento. Escogemos arbitrariamente :coseno:. (a soluci*n se escribe'

•  es la elongaci*n o dierencia respecto al estado de equilibrio, sus unidades

son las de .

•  es la amplitud, m+xima dierencia respecto a la posici*n de equilibrio.

•  es la pulsaci*n o recuencia angular0 y larecuencia.

•  es el tiempo.

•  es la ase inicial para 0.

Es +cil comprobar que el valor de es'

El per&odo de oscilaci*n es'

"omo ya hemos dicho, durante un cuarto de una oscilaci*n la energ&a potencial se

transorma en energ&a cin/tica. ;urante otro cuarto, la energ&a cin/tica se transorma

en energ&a potencial. En la igura de la derecha se ha tra1ado la posici*n en unci*n

del tiempo curva de arriba0, la velocidad en unci*n del tiempo en medio0 y las

energ&as potenciales y cin/ticas aba9o0.

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Oscila$or armnico amortig&a$o

@scilador arm*nico con amortiguador. (a uer1a viscosa es proporcional a la

velocidad.

 !ñadiendo p/rdidas de energ&a, se consigue modelar una situaci*n m+s pr*xima a la

realidad. !s&, n*tese que la oscilaci*n descrita en el apartado anterior se prolongar&a

indeinidamente en el tiempo la sinusoide que describe la posici*n no converge a cero

en ning)n momento0. na situaci*n m+s veros&mil se corresponde con la presencia de

una uer1a adicional que rena el movimiento. Esa uer1a puede ser constante pero

siempre con signo tal que rene el movimiento0. Es el caso de ro1amientos secos' la

uer1a no depende ni de la velocidad ni de la posici*n. @tra situaci*n que se produce

en la realidad es que la uer1a sea proporcional a la velocidad elevada a una potencia,

entera o no. !s& sucede cuando la uer1a que rena proviene de la viscosidad o de lasp/rdidas aerodin+micas. 2e tratar+ )nicamente el caso m+s simple, es decir, cuando

la uer1a sea proporcional a la velocidad. En este caso la uer1a ser+'

;onde es un coeiciente que mide el amortiguamiento debido a la viscosidad. 2i es

pequeño, el sistema est+ poco amortiguado. <*tese el signo negativo que indica,

como antes, que si la velocidad es positiva, la uer1a tiene la direcci*n opuesta a la

velocidad. "on este t/rmino complementario la ecuaci*n dierencial del sistema es'

2e trata de una ecuaci*n dierencial ordinaria, lineal, de segundo orden  contiene

derivadas segundas0 y homog/nea no hay t/rmino independiente de 0. 5iene tres

tipos de soluciones seg)n el valor de '

• 2i el sistema est+ sobreamortiguado amortiguamiento uerte o

supercr&tico0

• 2i el sistema tiene amortiguamiento cr&tico.

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• 2i el sistema oscila con amplitud decreciente amortiguamiento d/bil

o subcr&tico0

Oscilador sobreamortiguado

%osici*n en unci*n del tiempo de un oscilador arm*nico amortiguado.

curva a1ul' amortiguamiento cr&tico.

curva ro9a' amortiguamiento doble que el cr&tico.

curva verde' amortiguamiento igual a -A del amortiguamiento cr&tico.

En este caso el sistema no es realmente un oscilador, ya que no oscila. (a soluci*n es

de la orma'

donde los coeicientes de las exponenciales son menores que cero y reales por lo que

no hay oscilaci*n0'

y

 y dependen de las condiciones iniciales es decir, de la situaci*n del sistema

para 0. (a posici*n no es oscilante y tiende hacia la posici*n de equilibrio de

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manera asint*tica. (as dos exponenciales decrecientes de las soluciones tienen

constantes de tiempo dierentes. na es pequeña y corresponde a la r+pida

cancelaci*n del eecto de la velocidad inicial. (a segunda es m+s grande y

describe la lenta tendencia hacia la posici*n de equilibrio.

Oscilador con amortiguamiento crítico

Este caso es el l&mite entre un sistema oscilante y uno no oscilante. @curre cuando

(a soluci*n )nica es'

como antes, y son constantes que dependen de las condiciones iniciales.

siendo !# la posici*n inicial y !B (a velocidad inicial0

El amortiguamiento cr&tico corresponde a la tendencia m+s r+pida hacia la situaci*n de

equilibrio cuando no sobrepasa esa posici*n. 2i se disminuye un poco el

amortiguamiento el sistema se acerca m+s r+pidamente a la posici*n de equilibrio,

pero sobrepasando la posici*n oscila en torno a ese punto tomando valores positivos

y negativos0.

Oscilador con amortiguamiento débil 

@scilaciones amortiguadas. (a amplitud de la sinusoide est+ controlada por la

exponencial.

En este caso, que es m+s interesante, tenemos un oscilador que oscila alrededor de la

posici*n de equilibrio con amplitud decreciente. 2ucede cuando'

(a soluci*n es'

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como antes, y son constantes que dependen de las condiciones iniciales. (a

pulsaci*n es'

(a pulsaci*n del sistema amortiguado es un poco menor que la pulsaci*n del sistema

no amortiguado porque la uer1a que lo amortigua, rena la masa y la retarda.

(a oscilaci*n del sistema est+ descrita por una sinusoide de

recuencia cuya amplitud est+ multiplicada por una exponencial

decreciente cuya constante de tiempo es .

6actor de calidad C

En un sistema poco amortiguado es interesante de deinir el factor $e

cali$a$ Q uality factor  en ingl/s0 o simplemente ' como'

esta cantidad es igual a veces el inverso de las p/rdidas relativas de energ&a por 

per&odo. !s&, un sistema que pierde #A de energ&a a cada ciclo, tendr+ un ' de DB8.

+s interesante, ' es tambi/n veces el n)mero de oscilaciones que el sistema hace

mientras su amplitud se divide por un actor . 2i se puede aceptar una aproximaci*n

m+s grosera, ' es 3 veces el n)mero de oscilaciones que un sistema hace mientras

su amplitud cae a #F3 de la amplitud inicial.

"omo e9emplos, el C de un veh&culo con los amortiguadores en buen estado es un

poco m+s grande que #. El C de una cuerda de guitarra es de varios miles. El C de los

cristales de cuar1o utili1ados en electr*nica como reerencia de recuencia es el ordende # mill*n. na copa de vidrio ordinario tiene un C mucho m+s pequeño que una

copa de vidrio de plomo cristal0.

Oscilaciones for(a$as

%odemos iniciar el movimiento un oscilador arm*nico despla1+ndolo de su posici*n de

equilibrio y abandon+ndolo a su oscilaci*n libre ver p+rraos precedentes0.

 !lternativamente, podemos aplicarle una uer1a cuya intensidad var&e de manera

sinusoidal con el tiempo. En esta situaci*n, la ecuaci*n dierencial lineal esinhomog/nea. (a soluci*n a este tipo de ecuaci*n est+ ormada por dos t/rminos' la

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soluci*n general del sistema homog/neo m+s una soluci*n particular del caso

inhomog/neo.B %or tanto, la soluci*n est+ ormada por dos partes, una parte transitoria

que se anula pasado cierto tiempo0, similar a las que vimos en los p+rraos

precedentes, m+s una parte estacionaria. (a soluci*n de la parte transitoria es la

misma la que ya hemos visto ecuaci*n homog/nea0. (as )nicas dierencias son las

condiciones iniciales y inales, que no son id/nticas. =amos a interesarnos a lasoluci*n estacionaria. En la ecuaci*n dierencial del sistema hay que añadir la uer1a

sinusoidal'

%ara resolver esta ecuaci*n es m+s interesante utili1ar el mismo m/todo que en

electricidad y electr*nica. %ara ello, se añade a la uer1a real una uer1a imaginaria

. "omo en electr*nica, se utili1a en lugar de i. !hora la ecuaci*n a

resolver es'

%ero por supuesto, como en electricidad, s*lo la parte real de ) ser+ de inter/s. (a

soluci*n es inmediata'

2i se deriva esta expresi*n y se sustituye en la ecuaci*n dierencial, se encuentra el

valor de !'

%ero ! puede escribirse como y la soluci*n de comple9a es'

El valor de real es la parte real de la expresi*n precedente'

donde es el m*dulo de y su argumento'

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"omo en electricidad, el +ngulo da el desase del movimiento con respecto a la

uer1a externa. 2i es positivo, el movimiento est+ en avance de ase y si esnegativo el movimiento est+ en retardo de ase. En este caso el desase ser+ siempre

negativo.

Resp&esta en frec&encia

(a amplitud de las oscilaciones or1adas depender+, por supuesto, de la amplitud de la

uer1a externa. %ero para una misma amplitud de la uer1a, la amplitud de la oscilaci*n

depender+ tambi/n de la recuencia. =eamos como varia la amplitud con .

tili1ando la deinici*n de recuencia propia del sistema sin amortiguamiento ni uer1a

externa0'

Respuesta en recuencia de un oscilador arm*nico. ! la recuencia de resonancia, la

amplitud es C veces m+s grande que a muy ba9a recuencia.

se puede escribir'

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2i adem+s se utili1a la deinici*n de , se obtiene'

En el dibu9o de derecha se ha representado la amplitud de la oscilaci*n or1ada en

unci*n de la recuencia para varios valores del actor de calidad C. ! muy ba9a

recuencia la amplitud es la misma que si la uer1a uese est+tica , y el sistema

oscilar+ entre las posiciones y . "uando la recuencia aumenta, la amplitud

tambi/n, alcan1ando un m+ximo cuando la recuencia de excitaci*n es igual a larecuencia propia del sistema. ! esa recuencia propia tambi/n se le llama frec&encia

$e resonancia. 5ambi/n se dice que un sistema excitado a una recuencia pr*xima a

la recuencia de resonancia :resuena: o :entra en resonancia:. ! la recuencia de

resonancia, la amplitud de las oscilaciones ser+ ' veces m+s grande que la que se

obtiene en ba9a recuencia.

El ancho del pico de resonancia a media altura, es decir cuando la amplitud es igual a

la mitad del m+ximo, es igual a la recuencia de resonancia dividida por '. Ese ancho

tambi/n se llama ban$a pasante.

Oscila$or for(a$o ) caos

El oscilador arm*nico no perturbado en una dimensi*n es un e9emplo de sistema

integrable, con comportamiento regular. 2in embargo, el oscilador arm*nico

perturbado puede presentar un comportamiento ca*tico  caracteri1ado por un atractor 

extraño. %or e9emplo en el caso de una perturbaci*n de tipo la ecuaci*n de

movimiento es'

Este sistema es no integrable y el movimiento tiende r+pidamente hacia el llamado

atractor de ;uing.