Universidad Industrial de SantanderFacultad de Ciencias

Escuela de MatematicasCalculo II - 20253

Coordinador Calculo IntegralProf. Arnoldo Teheran Herrera1

Seminario - ProfesoresSeptiembre de 2019

Nota: El objetivo es abordar algunos ejercicios y problemas que evidencien la potencialidad de las tecnicas yresultados indicados en clase, con la intencion de hacerlo notar en nuestros estudiantes. Los ejercicios y problemas puedenser del LIBRO Texto u otros que nos planteemos. Todas las observaciones son Bienvenidas.

1. (Antiderivadas)

a) Si F (x) es una antiderivada de f(x), use la deficion de antiderivada general para obtener que:ˆF ′(x) dx = F (x) + C y

d

dx

ˆf(x) dx = f(x).

Ademas para a 6= 0,ˆf(ax) dx =

1

aF (ax)+C1,

ˆf(x+b) dx = F (x+b)+C2 y

ˆf(ax+b) dx =

1

aF (ax+b)+C3.

b) Desarrolle cada uno de los siguientes ıtem:

i) Si f(x) = |x| y F esta dada por

F (x) =

{− 1

2x2, si x < 0,

12x

2, si x ≥ 0.

¿Es F una antiderivada de f , donde lo es? Justifique su respuesta.

ii) Sean f(x) = 1 para todo x ∈ (−1, 1) y g(x) dada por

g(x) =

{−1, si − 1 < x ≤ 0,

1, si 0 < x < 10.

Entonces f ′(x) = 0 para todo x ∈ (−1, 1) y g(x) = 0 siempre que g′ exista en (−1, 1). ¿Escierto que f(x) = g(x) +K, K ∈ R? Justifique su respuesta

c) Considere la integral indefinida

´1

x3 − 1dx:

i) Verifique que1

x3 − 1=

1

3

1

(x− 1)− 1

3

x+ 1

x2 + x+ 1.

ii) Use i) para calcular

´1

x3 − 1dx.

d) Determine en cada caso la antiderivada mas general:ˆ3 tan(θ)− 4 cos2(θ)

cos(θ)dθ y

ˆ(2 cot2(θ)− 3 tan2(θ)) dθ.

2. (Antiderivadas & Cambio de Variable)

Si a, b;α, β ∈ R, determine en cada caso la antiderivada mas general:

1A great discovery solves a great problem but there is a grain of discovery in the solution of any problem.Your problem may be modest; but if it challenges your curiosity and brings into play your inventive faculties,and if you solve it by your own means, you may experience the tension and enjoy the triumph of discovery.

George Polya.

— Tomado de Calculus 6th Edition; James Stewart; Thomson Brooks/Cole —

(i)

´sin(x)− cos(x)

sin(x) + cos(x)dx. 2

(ii)

´1

(a+ b) + (a− b)x2dx.

(iii)

´1

sin(ax) cos(ax)dz.

(iv)

´3√

1 + ln(x)

xdx.

(v)

´3√

1 + 4√x√

xdx.

(vi)

´3√

1 + 4√x√

x.

vii)

´eαx√a− beαx dx

viii)

´dx

2x + 3.3

ix)

´3αxex dx.

x)

´4α−βx dx.

xi)

´1√

ex − 1dx.

xii)

´√ex − 1 dx.

xiii)

´1

x(4− ln2(x))dx.

xiv)

´sin(x) cos(x)√

2− sin4(x)dx.4

xv)

´earctan(x) + x ln(1 + x2) + 1

1 + x2dx.

3. (Mas Sustituciones) [Integrandos con expresiones ax2 + bx+ c, a 6= 0]

a) Integrales del tipo

´1

ax2 + bx+ cdx:

Considere el tipo de integrales

´1

ax2 + bx+ cdx, donde a, b, c ∈ R:

i) Obtenga que

ax2+bx+c = a

[(x+

b

2a

)2

+

(c

a− b2

4a2

)] Concluya︷︸︸︷=

a

[(x+

b

2a

)2

+K2

], si

c

a>

b2

4a2,

a

[(x+

b

2a

)2

−K2

], si

c

a<

b2

4a2.

ii) Concluya usando un cambio variable adecuado queˆ1

ax2 + bx+ cdx =

1

a

ˆ1

u2 ±K2du

y obtenga las posibles respuestas para la integral inicial.

iii) Use lo anterior para obtenerˆ1

3x2 − 2x+ 4dx =

1√11

tan−1(

3x− 1√11

)+C;

ˆ1

2x2 − 5x+ 7dx =

2√31

arctan

(4x− 5√

31

)+C.

b) Integrales del tipo

´Ax+B

ax2 + bx+ cdx:

Considere el tipo de integrales

´Ax+B

ax2 + bx+ cdx, donde a 6= 0, b, c;A 6= 0, B ∈ R y note que si

u = ax2 + bx+ c, entonces du = (2ax+ b) dx:

i) Establezca que

I =

ˆAx+B

ax2 + bx+ cdx =

ˆ A2a (2ax+ b) +

(B − Ab

2a

)ax2 + bx+ c

dx.

ii) Escriba la integral I anterior como la suma de dos integrales, I = I1 + I2. Use el cambio de

variable evidente y el ıtem 3(a) para obtener la antiderivada mas general de

´Ax+B

ax2 + bx+ cdx.

iii) Use el ıtem anterior para obtener

ˆ7x+ 1

6x2 + x− 1dx =

ˆ 712 (12x+ 1) +

(1− 7

12

)6x2 + x− 1

dx =7

12ln |6x2+x−1|+ 5

12

ˆ1

6x2 + x− 1dx+C.

Ahora bien, verifique los siguientes hechos y uselos para obtener la antiderivada en rojo:

6x2+x−1 = 6

[(x+

1

12

)2

−(

5

12

)2]

y1

w2 − k2=

1

(w − k)(w + k)=

1

2k

(1

w − k− 1

w + k

).

2¿d

dxln(f(x))?

3 1

a + b=

1

b

(1−

a

a + b

)o tome u = 2x + 3 y use la idea del ıtem b)i).

4Tome w = sin2(x).

c) Realice un tratamiento similar con integrales del tipoˆdx√

ax2 + bx+ cy

ˆAx+B√ax2 + bx+ c

dx.

Use su razonamiento para obtener:

i) ˆx+ 3√

x2 + 2x+ 2dx =

1

2

ˆ2x+ 2√

x2 + 2x+ 2dx+ 2

ˆ1√

(x + 1)2 + 1dx5 + C.

ii)

ˆ1√

2− 3x− 4x2dx =

ˆ1√(√

414

)2−[2(x+ 3

8

)]2 dx6 =1

2sin−1

(8x + 3√

41

)+ C.

d) ¿Que hacer en el caso de tener integrando f(x) =Ax+B

(ax2 + bx+ c)k, k ∈ N?

e) Realice la sustitucion inversa1

mx+ n= t en integrales del tipo

ˆdx

(mx+ n)√ax2 + bx+ c

.

Establezca que:ˆ1

x√x2 + x− 1

dx = − sin−1(

2− x√5x

)+C;

ˆ1

(x− 1)√x2 − 2

dx = − sin−1(

2− x(1− x)

√2

)x >√

2.

4. (Notacion Sigma∑

)

a) Escriba los siguientes numeros usando la Notacion Sigma∑

:

i) 0, 11111111 ii) 0, 3737373737 iii) 0, 153153 . . . 153153︸ ︷︷ ︸n veces

¿Podemos hacer algo similar con expresiones periodicas infinitas?

b) Evalue cada una de las sumas:

i)

n∑k=−3

(2k − 2k−1

)

ii)

106∑k=1

[1

k− 1

k + 1

]iii)

n∑j=−2j 6=0,1

2

j(j − 1)

iv)

n∑k=1

[(3−k − 3k)2)− (3k−1 − 3−k+1)2

]c) (Ejercicio guiado) Establezca cada una de las siguientes afirmaciones:

i)

n∑k=1

[(k + 1)2k2

]= n2 + 2n.

ii) Use la igualdad (k + 1)2 − k2 = 2k + 1 para obtener que:

n∑k=1

[(k + 1)2k2

]= n+ 2

n∑k=1

k.

iii) Use los ıtem a) y b) para deducir la expresion compacta de

n∑k=1

k.

¿Es valido este procedimiento para la suma de los “primeros” n cuadrados, n cubos, ... etc?

d) Determine la expresion reducida de las siguientes sumas:

5¿d

dxln(x +

√x2 + a2)?

6¿d

dxarcsin

(xa

)?

i)

n∑j=1

4j + 3

n2

ii)

n∑i=1

4i2(i− 1)

n4

iii)

102∑i=1i 6=0,2

2

i(i− 2)

iv)

2019∑m=0

(1 +m)

e) Use la Notacion Sigma para escribir las siguientes expresiones:

i)

[5

(1

8

)+ 3

]+

[5

(2

8

)+ 3

]+

[5

(3

8

)+ 3

]· · ·[5

(211 − 31

8

)+ 3

]ii)

[1−

(2

n− 1

)2](

2

n

)+

[1−

(2 · 2n− 1

)2](

2

n

)+ · · ·

[1−

(2n

n− 1

)2](

2

n

)

iii)

(1

n

)√1−

(0

n

)2

+

(1

n

)√1−

(1

n

)2

+ · · ·(

1

n

)√1−

(n− 1

n

)2

f ) Considere las siguientes expresiones:

i) lımn→∞

n∑k=1

√4− 4k2

n22

n. ii) lım

n→∞

n∑k=1

√a2 − a2k2

n2a

n. iii) lım

n→∞

n∑k=1

√a2 −

(−a+ k

2a

n

)22a

n.

Dibuje la region cuya area A esta dada por cada una de las expresiones anteriores. Reescriba cadauna de las expresiones como una Integral Definida. Determine el valor del area A en cada caso.

g) Valiendose de las Integrales Definidas, hallar el valor de los siguientes lımites:

i) lımn→+∞

1p + 2p + 3p + · · ·+ np

np+1, p > 0

ii) lımn→ +∞

(1

n2+

2

n2+

3

n2+ · · ·+ n− 1

n2

)iii) lım

n→ +∞

(1

n+ 1+

1

n+ 2+

1

n+ 3+ · · ·+ 1

n+ n

)iv) lım

n→+∞

n∑k=1

(1 +

3k

n

)33

n

h) Determine el valor de cada una de las siguientes Integrales Definidas interpretandolas como lamedida del area de una region plana R, es decir, use una formula geometrica. Cuando sea elcaso, suponga a > 0 y r > 0:

i)

´5π2

π2

sin(x) dx.

ii)

´π

−πcos(x) dx.

iii)

´4

−2|x|dx.

iv)

´a

−a

√a2 − x2 dx.

v)

´5

0(|x+ 3| − 5) dx.

vi)

´0

−5(3 + |x+ 4|) dx.

vii)

´2

0

√2x− x2 dx.

viii)

´5

−1

√5 + 4x− x2 dx.

ix)

´7

−1(|x− 2| − 3) dx.

x)

´ ´ 1−1(1− |x|) dx.

xi)

´ ´ a−a(a− |x|) dx.

xii)

´ ´ a−a r dx.