Lección 4.1 - Antiderivadas y La Integral...
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Lección 3.1
Antiderivadas y La Integral Indefinida
02/03/2016 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 20
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Actividades 3.1
• Referencia del Texto: Sección 4.1 Antiderivadas y la Integral
Indefinida, Ver ejemplos 1 al 9
• Ejercicios de Práctica: Impares 1 – 41
• Asignación 4.1: Sección 4.1 Antiderivadas y la Integral
Indefinida, 18, 22, 28, 40
• Referencias del Web:
Khan Academy - Integrales Definidas e Indefinidas – Antiderivadas
e Integrales Indefinidas, Integrales indefinidas de x elevada a una
potencia, Antiderivadas de 𝑥−1; Antiderivadas Trigonométricas y
Exponenciales Básicas.
Paul’s Online Note – Indefinite Integrals
Visual Calc - Antiderivatives / Indefinite Integrals; Tutorial sobre
antiderivadas y el integral indefinido. Table of Elementary Indefinite
Integrals. Ejercicios de práctica (Drill) usa Java.
eMathLab – Indefinite Integrals
Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/03/2016 2 de 20
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Antiderivada
• Una función F es la antiderivada de f sobre un
intervalo I si F’(x) = f(x) para todo x en I.
• Ejemplo:
• es una antiderivada de
• Otras son:
• En general, si F es una función antiderivada de f
sobre un intervalo I, cualquier otra antiderivada de f
será de la forma F(x) + c donde c es una constante.
Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/03/2016
5)( 2 xxxF
12)( xxf
1)( 2
1 xxxF xxxF 2
2 )( xxxF 2
3 )(
3 de 20
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Integral indefinida
• La integral indefinida de f(x) se define como el
conjunto de todas las antiderivadas F de f(x).
donde c es una constante.
• Ejemplos:
Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/03/2016
cxFdxxf )()(
dxx 12 xx 2c
dxx cos xsin c
dxx3
4
4x c
4 de 20
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Ejemplo 1
1. Determine las antiderivadas de f(x) = sin x
• Como
2. Determine
• Como
Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/03/2016
cxdxx cos sinxxdx
dsin)(cos
cxdxx tan sec2xx
dx
d 2sec)(tan
dxx sin
dxx sec2
5 de 20
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Otras antiderivadas ..
• Recuerde:
Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/03/2016
dxxecx tans cx sec
dxxx cotcsc cx csc
dxe xcex
cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝑐
𝑐𝑠𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 = − cot 𝑥 + 𝑐
6 de 20
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Reglas básicas de antiderivadas
Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/03/2016
ckxdxk
xndx xn1
n 1 c , n 1
dx 5 cx 5
dxx 3c
x
4
4
Ejemplos:
dx cx
Ejemplos:
dxx 21
cx
2
3
23
cx
3
2 23
cxx
3
2
dx cx
7 de 20
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Reglas básicas de antiderivadas …
• Ejemplos:
Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/03/2016
dxfcdxcf (x) (x)
dx5cosx dxx cos5 cx sin5
dxx26 cx
36
3
dxx26 cx 32
dxx33- dxx 3 3
1
cx
13
13
13
1
cx
3
43
3
4
cx
4
93 4
cxx
4
9 3
8 de 20
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Reglas básicas de antiderivadas …
• Ejemplos:
Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/03/2016
dxgdxfdxf (x) (x) g(x)](x)[
dxxx 122
dxxdxdxx 122
3
3x
22
2x x
cxxx 23
31
c
dx
x
21
cx
x
2
12
2
1
dxxdx 2
1
2 1
cxx 4
dxxdx 2
1
2 1
321 cccc
9 de 20
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Ejercicio #1
1.
2.
Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/03/2016
dxxx 121 53
dxx 4 3
dxxdxxdx 53 12
cxxx 64 24
1
dxx 43
cx
4
7
47
cxx
7
4 4 3
cx
7
4 4
7
10 de 20
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Ejercicio #2
Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/03/2016
dxx cos
dxx sin
dxx sec2cx tan
dxxx tan sec cx sec
dxxx cot csc cx csc
dxx csc2cx cot
cx sin
cx cos
dxe xcex
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Ejemplo 2
• Encuentre la antiderivada de
• Solución:
Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/03/2016
x
xxxxf
52sin4)(
x
x
x
xxxf
2152
sin4)( 2142sin4
xxx
dxxxx 2sin4 214
dxxdxxdxx
2142 sin4
dxxdxxdxx
2142 sin4
cxx
x 21
5 21
52cos4
cxxx 25
2cos4 5
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Ejercicio #3
Encuentre
Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/03/2016
dxxex sec73 2
dxxdxex sec73 2
cxex tan73
dxx
x
23
dx
xx
x 23
dxxx 2
1
2
1
23
dxxdxx 2 3 2
1
2
1
cxx
2
12
2
33
2
1
2
3
cxxx 42
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Ecuaciones Diferenciales
Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/03/2016
𝑦 = 3𝑥2 − 1 𝑑𝑥 = 𝑥3 − 𝑥 + 𝑐Observe que si:
La gráficas que las ecuaciones 𝒚 = 𝒙𝟑 − 𝒙 + 𝒄 generan diferentes traslaciones
verticales de las gráficas de 𝐲 = 𝒙𝟑 − 𝒙 .
𝑑
𝑑𝑥𝑥3 − 𝑥 + 𝑐 𝑑𝑥 = 𝑥3 − 𝑥 + 𝑐Ésta ecuación se expresa como:
En general, esto expresa: 𝑭′(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑭(𝒙) + 𝒄
Una ecuación diferencial es una que contiene la derivada de una función.
Una solución de una ecuación diferencial es una función cuya derivada de la
función. 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 3𝑥2 − 1Ejemplo: Resuelva
𝑑𝑦
𝑑𝑥𝑑𝑥 = 3𝑥2 − 1 𝑑𝑥 = 𝑥3 − 𝑥 + 𝑐y =
Si se desea determina una solución en específco, se necesita al menos un
punto de su gráfica.
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Ejemplo 3
• Encuentre f si 𝑓′ 𝑥 = 5 − 2𝑥 + 𝑥2 si 𝑓(1) = 3
• Solución: f es una antiderivada de f’(x)
• si f(1) = 3, entonces
Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/03/2016
dxxxf 225 dxxxdxdx 225
x52
22x
3
3x
cxxx 32
3
15
c
3)1(3
1)1()1(5)1( 32 cf
33
115 c
3
4c
3
4
3
15)( 32 xxxxf
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Ejemplo 4
• Una bola es lanzada desde el topo de un edificio de 80 𝑝𝑖𝑒𝑠 de alto a
una velocidad de 64 𝑝𝑖𝑒𝑠𝑒𝑔 . Encuentre la función que describa la
altura s del objeto en el tiempo t. ¿Cuándo la bola llegará al piso?
• Solución:
Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/03/2016
80 𝑝𝑖𝑒𝑠
= 64 𝑝/𝑠
Observe que 𝑠(0) = 80 , 𝑠′ 0 = 𝑣0 = 64
Además, por la acelaración de la gravedad
es −32 𝑝/𝑠. 𝑠"(𝑡) = −32
𝑠′ 𝑡 = 𝑠"(𝑡) 𝑑𝑡 = −32 𝑑𝑡 = −32𝑡 + 𝑐
Como 𝑠′ 0 = 64 64 = −32(0) + 𝑐
64 = 𝑐
De modo que 𝑠′ 𝑡 = −32𝑡 + 64
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Ejemplo 4 …
1. Encuentre la función que describa la altura s del objeto en el tiempo t.
2. ¿Cuándo la bola llegará al piso?
Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/03/2016
80 𝑝𝑖𝑒𝑠
= 64 𝑝/𝑠
= (−32𝑡 + 64 ) 𝑑𝑡
= −16𝑡2𝑡 + 64𝑡 + 𝑐
Como 𝑠 0 = 80
… Similarmete 𝑠(𝑡) = 𝑠′ 𝑡 𝑑𝑡
80 = −16𝑡2(0) + 64(0) + 𝑐
80 = 𝑐
De modo que la función que describe la altura
del obeto es 𝒔 𝒕 = −𝟏𝟔𝒕𝟐 + 𝟔𝟒𝒕 + 𝟖𝟎
Llegará al piso cuando 𝑠 𝑡 = 0
Resolviendo por 0 = −16𝑡2𝑡 + 64𝑡 + 80
0 = 𝑡2 − 4𝑡 − 5 = (𝑡 − 5)(𝑡 + 1)
La bola tocará el piso cuando 𝒕 = 𝟓 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒐𝒔
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Fórmulas de Integración de funciones
trigonométicas
• Recuerde:
Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/03/2016
tan 𝑥 𝑑𝑥 = − ln cos 𝑥 + 𝑐
cot 𝑥 𝑑𝑥 = ln sin 𝑥 + 𝑐
sin 𝑥 𝑑𝑥 = −cos 𝑥 + 𝑐
cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝑐
sec 𝑥 𝑑𝑥 = ln sec 𝑥 + tan 𝑥 + 𝑐
csc 𝑥 𝑑𝑢 = −ln 𝑐sc 𝑥 + 𝑐𝑜t 𝑥 + 𝑐
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Resumen de Fórmulas de Integración
Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/03/2016
dxx sec2cx tan
dxx csc2cx cot
dxe x ce x
dxx cos
dxx sin
dxxx tan sec cx sec
dxxx cot csc cx csc
cx sin
cx cos
tan 𝑥 𝑑𝑥 = − ln cos 𝑥 + 𝑐
cot 𝑥 𝑑𝑥 = ln sin 𝑥 + 𝑐
sec 𝑥 𝑑𝑥 = ln sec 𝑥 + tan 𝑥 + 𝑐
csc 𝑥 𝑑𝑥 = −ln 𝑐sc 𝑥 + 𝑐𝑜t 𝑥 + 𝑐
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Ejercicios del Texto
Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/03/2016 20 de 20