MATERIA: LÓGICA 1

PROYECTO: ANTOLOGÍA DE LA INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA

GRADO: 2 SEMESTRE

GRUPO: “C”

INTEGRANTES:

CHE MAY MIGUEL ADRIÁN. BLE IZQUIERDO GABRIEL. PEREZ DE LA CRUZ GUADALUPE ARTURO. RODRÍGUEZ MARTÍNEZ JOSÉ. BALAN GUEVARA BENJAMIN. VELÁZQUEZ SANTIAGO OTONIEL.

FECHA DE ENTREGA: 29 DE MAYO DEL 2014.

1

ESCUELA PREPARATORIA “MANUEL JESUS GARCIA PINTO”

Bloque I: Operaciones con números reales

1.1 Conjuntos

Un conjunto es una agrupación, clase o colección de objetos denominados elementos del conjunto (aunque cualquier definición dada esconde implícitamente paradojas lógicas o contradicciones). Por objeto entenderemos no sólo entes físicos, como mesas, sillas, etc., sino también entes abstractos, como son números, letras, etc. La relación de pertenencia entre los elementos y los conjuntos siempre es perfectamente discernible, en otras palabras, si un objeto pertenece a un conjunto o no, siempre puede calificarse como verdadero o falso.

1.1.1Representación de los conjuntos en sus diferentes formas

Diagrama de Venn y entre llaves.

Es habitual representar los conjuntos en forma gráfica mediante los Diagramas de Venn.

En estos diagramas el conjunto se representa mediante una superficie limitada por una línea. En su interior se colocan los elementos del conjunto. Cada porción del plano limitada se nombra con una letra mayúscula.

El conjunto A está formado por los elementos 1, 2, 3.

El conjunto B está formado por los elementos  a, b, c, d.

Existe, además, otra forma de representarlos que es entre llaves.

En estos ejemplos se escribe:

A = {1, 2, 3}

B = {a, b, c, d}

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Otro ejemplo:

Por diagrama Entre llaves

S = {a, e, i, o, u}

Se escribe una coma para separar los elementos.

1.1.2 Unión

La unión de los conjuntos A y B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota la unión de A y B por A B y se llama unión de A y B.

En consecuencia,

Entonces se puede expresar por comprensión este conjunto así:

Una interpretación gráfica de la unión de A y B es la siguiente:

En la gráfica la región rayada corresponde a la unión de A y B. Se presentan los conjuntos dentro de un rectángulo que representa el conjunto referencial del cual se seleccionan los conjuntos A y B. 

3

1.1.3 Intersección

La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto de los elementos que son comunes a A y a B, esto es, aquellos que pertenecen a A y que también pertenecen a B. Se denota la intersección de A y B por A · B y se lee "A intersección B".

En consecuencia,

El conjunto A· B está dado por:

Gráficamente, una representación de A· B es:  

La región rayada corresponde a A*B. Cuando A y B no tienen elementos comunes, se dice que son disjuntos. 

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1.1.4 Complemento

El complemento de un conjunto A es el conjunto de todos los elementos que no pertenecen a A, es decir, el conjunto de todos los elementos que están en el Universal y no están en A. El complemento de A se denota por A' o Ac.

En consecuencia,

Gráficamente, su representación está dada por:

 

1.1.5 Diferencia

Definición de diferencia de conjuntos

La diferencia de conjuntos es la operación binaria, en la cual dos conjuntos cualesquiera, a y b, especifican cuales elementos de uno de los conjuntos no están en el otro formando un nuevo conjunto llamado diferencia.

Será posible establecer dos conjuntos diferencia, cuando se operan dos conjuntos cualesquiera

Simbología de la diferencia de conjuntos

El símbolo de la diferencia es: (-) La diferencia del conjunto A y el conjunto B, se representa como: A-B La diferencia del conjunto B y el conjunto A, se representa como: B-A Ambas operaciones arrojan resultados distintos, cuando ambos conjuntos no

son iguales: A-B , B-A

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Realización de la diferencia de conjuntos en forma extensiva

1. Sean dos conjuntos A y B.

2. Sea A definido así: A = {j, u, g, o, d, e}

3. Sea B definido así: B = {m, a, n, g, o}

4. La primera diferencia posible se representa así A-B = {j, u, d, e}

5. La segunda diferencia posible se representa así B-A = {m, a, n}

Tabla de símbolos

Símbolo Significado

⇒ A ⇒ B significa: si A es verdadero entonces B es verdadero también; si A es falso entonces nada se dice sobre B.

→ → puede significar lo mismo que ⇒, o puede ser usado para denotar funciones, como se indica más abajo.

⇔ A ⇔ B significa: A es verdadera si B es verdadera y A es falsa si B es falsa.

∧ La proposición A ∧ B es verdadera si A y B son ambas verdaderas; de otra manera es falsa.

∨ La proposición A ∨ B es verdadera si A o B (o ambas) son verdaderas; si ambas son falsas, la proposición es falsa.

> Es mayor que

< Es menor que

≥ Es mayor o igual a

≤ Es menor o igual a

| | |x| significa: la distancia en la línea real (o en el plano complejo) entre x y cero.

∈ Pertenece a

∉ No pertenece a

A’ Complemento

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Diferencia simétrica

X! Factorial de x

// Es paralelo a

≠ Diferente a

|x| Valor absoluto de x

∞ infinito

⋃ Union

||x|| ||x|| es la norma del elemento x de un espacio vectorial normado

f:x→y F: x → y significa: la función f mapea el conjunto X al conjunto Y.

Considérese la función f: Z → N definida por f(x) = x²

π significa: la razón de la circunferencia de un círculo a su diámetro.

Para todo elemento

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1.2 Desigualdades

1.2.1 Propiedades de las desigualdades

1)Si a los dos términos de una desigualdad se les suma o se les resta una misma cantidad, el signo de la desigualdad no varía. Dada la desigualdad a > b, se puede escribir:

 

En una desigualdad un término cualquiera puede pasar de un miembro al otro cambiándole el signo.

En la desigualdad a > b + c se puede pasar c al primer término con signo negativo quedando a – c > b, porque equivale a restar c a los dos miembros.

En la desigualdad a – b > c, se puede pasar b con signo positivo al segundo término y quedando a > b + c, porque equivale a sumar b a los dos miembros.

Compruébalo para los valores de a = 5; b = 3 y c = 2.

2)  Si los dos miembros de la desigualdad se multiplican o se dividen por una misma cantidad positiva, el signo de la desigualdad no varía. Dada la desigualdad a > b y siendo c una cantidad positiva, se puede escribir.

 ac  > bc   y     a/c > b/c

Es posible suprimir denominadores en una desigualdad sin que varíe el signo de la desigualdad, porque ello equivale a multiplicar todos los términos de la desigualdad, o sea sus dos miembros, por el m.c.m. de los denominadores. Compruébalo para los valores de a= 5; b = 3 y c = 2

  3) Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad negativa, el signo de la desigualdad varia. Si la desigualdad  a >  b se

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multiplican ambos términos por   – c , se tiene que  - ac < - bc.

 Si se divide por  - c, o sea multiplicado por  - 1/c, se tiene  - a/c < - b/c

4) Si se cambia el orden de los términos, la desigualdad cambia de signo.       Si  a > b  es evidente que  b < a.

1.2.2 Desigualdades lineales

Una inecuación es una desigualdad en la que aparece una incógnita. Si el grado de la inecuación es uno, se dice que la inecuación es lineal. Resolver una inecuación es encontrar los valores de la incógnita para los cuales se cumple la desigualdad. La solución de una inecuación es, por lo general, un intervalo o una unión de intervalos de números reales. El método para resolver una inecuación es similar al utilizado para resolver ecuaciones, pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades. Es conveniente ilustrar la solución de una inecuación con una gráfica. Si la solución incluye algún extremo del intervalo, en la gráfica representamos dicho extremo con un círculo en negrita; en cambio, si la solución no incluye el extremo, lo representamos mediante un círculo blanco (transparente)

Ejemplo a resolver:

1.2.3 Desigualdades cuadráticas

Definición

Sean a, b, c constantes reales tales que, Sea x una variable real. Llamaremos

inecuación cuadrática a toda inecuación en la cual uno de sus miembros es una

expresión de la forma   y el otro miembro es cero

Son inecuaciones cuadráticas: 

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a) c)

b) d)

Al resolver este tipo de inecuaciones se pueden presentar dos casos.

Caso1: 

en el cual la expresión  es factorizable. Para resolver estas

inecuaciones se debe factorizar la expresión, para posteriormente

aplicar el procedimiento usado para resolver las inecuaciones de los ejemplos anteriores (por medio de una ``tabla de signos"). Recuerde que si la expresión  

es factorizable entonces se cumple que: 

Ejemplo:

   

Para la expresión   se tiene:

 

Se puede factorizar y además:  

10

 

 

Así: 

 

Por lo tanto el conjunto solución de   es: 

  O sea: 

1.2.4 Desigualdades racionales

1°Las inecuaciones racionales se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente que el denominador no puede ser cero.

2º Hallamos las raíces del numerador y del denominador.

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3º Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas.

4ºTomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

5º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la fracción polinómica.

Ejemplo:

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Pasamos el 2 al primer miembro y ponemos a común denominador.

Hallamos las raíces del numerador y del denominador.

Evaluamos el signo:

1.2.5 Desigualdades con valor absoluto

Definimos el valor absoluto de un número real (x), que representamos por  , mediante

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También observamos que   representa la distancia del origen al punto,(x) y de forma

mas general que   representa la distancia entre (x1) y (x2)

Las propiedades siguientes del valor absoluto nos indican que este se comporta muy bien con respecto a la multiplicación y la división, pero no así con respecto a la adición y la sustracción.

Propiedades del valor absoluto. Si (x) y (y) son números reales arbitrarios entonces

1.

2.

3.

4. (desigualdad triangular)

5. y

6. La interpretación geométrica de   nos proporciona una justificación de las

siguientes dos propiedades

Sea. Entonces

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7.  es equivalente a 

8.  es equivalente a   o  

Gráficamente tenemos

Otra propiedad del valor absoluto, muy utilizada en la solución de desigualdades, es la siguiente

9. es equivalente a 

En las propiedades (6) a (8) el símbolo   puede remplazarse por 

Ejemplo

Resolvamos la desigualdad.

Utilizando la propiedad (6), tenemos la siguiente cadena de desigualdades equivalentes:

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Por lo tanto, la solución de la desigualdad es el intervalo.

1.3 Análisis y grafica de una ecuación a partir de:

1.3.1 Su simetría

Sea  dos tipos de funciones son destacables según su simetría:

 I)  Si    la función es simétrica (simetría respecto al eje X).

II)  Si    la función es anti simétrica (simetría respecto al eje X).

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En una función simétrica la gráfica de los cuadrantes I y IV se reflejan especularmente en los cuadrantes II y III, haciendo el eje OY las veces de espejo.

En una función anti simétrica la gráfica del cuadrante I y IV se refleja como por un espejo en el cuadrante II y III (haciendo de "espejo" el eje Y), y a continuación esa imagen especular se refleja horizontalmente como por las aguas de un lago (haciendo de "lago" el eje X).

 Ejemplo de funciones simétricas:  Ejemplo de función antisimétrica:   

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1.3.2 Sus intersecciones con los ejes coordenados

Intersecciones con los ejes:

a) Con el eje X se sustituye  y se resuelve la ecuación para X.

b) Con el eje Y se sustituye  y se resuelve la ecuación para Y.

Ejemplo:

a) Se sustituye  y se despeja X:

El punto de intersección con el eje X es (1,0)

b) Se sustituye X =0 y se despeja Y:

El punto de intersección con el eje Y es (0,1)

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1.3.3 Sus extensiones o campo de variación

Extensión con respecto al eje x.

Se despeja la variable y:

Para x= 2, la variable y no está definida, por consiguiente, la extensión en x es:

También se puede escribir

Extensión con respecto al eje y.

Se despeja la variable x:

Para y= 2 La variable x no está definida en consecuencia, la extensión en y es:

Es decir la curva se extiende en el eje y desde (-2 a 2)

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1.3.4 Sus asíntotas

Son las rectas tales que si un punto se aleja del origen, la distancia de este punto a dicha recta va decreciendo, de tal forma que tiende a cero.

Ejemplo:

a) Asíntotas horizontales.

Se obtienen al despejar la variable X y resolver la ecuación que resulta al igualar con cero el denominador.

b) Asíntotas verticales.

Se obtienen al despejar la variable Y y resolver la ecuación que resulta al igualar con cero el denominador.

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1.3.5 Su grafica

Son las rectas tales que si un punto se aleja del origen, la distancia de este punto a dicha recta va decreciendo, de tal forma que tiende a cero.

Ejemplo: Se tabula la variable Y en función de la variable X, donde X toma valores en el intervalo.

Se grafican las asíntotas  , posteriormente los puntos:

Tabulación

Se hace una tabulación obtenida al despejar a Y para los valores de X que estén en el intervalo.

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X -3 -2 -1 0 1 3 4 5 6 7

Y 1.6 1.5 1.3 1 0 4 3 2.6 2.5 2.4

X -3 -2 -1 0 1 2 3

Y O +-1.49 +-1.88 +-2 +-1.88 +-1.49 o

2.1 ELEMENTOS DE UNA FUNCION

Una función es una relación que existe entre los elementos de dos conjuntos, es decir, cuando dos variables están relacionadas, se establece que el valor de una de ellas queda determinado si se le asigna un valor a la otra.

2.1.1 Dominio

Es el conjunto de todos los valores admitibles que puede tomar la variable independiente “x”. El dominio de una función está ligado a la definición de función. Una función es una relación que asigna a cada elemento de un conjunto X uno y sólo un elemento de un conjunto Y. Al conjunto X se le llama dominio de la función y a sus elementos se les denomina también valores de entrada. La variable "x" es considerada la variable independiente y en el sistema coordenado se suele graficar en el eje horizontal. El dominio es el conjunto de todos los números reales, puesto que cualquier número real X puede usarse como valor de entrada.

Lo que sale (el rango) depende de lo que pones (el dominio), pero tú defines el dominio. De hecho el dominio es una parte esencial de la función. Un dominio diferente da una función diferente. El dominio de es el conjunto de existencia de la misma, es decir, los elementos para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar.

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2.1.2 Contradominio

Son el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente “y”. También es conocido como codominio, recorrido o rango. Es el conjunto de valores que puede tomar la variable "y". Por ejemplo si tomamos la función y = x², conforme a lo que dijimos antes y dado que "x" puede tomar cualquier valor, decimos que el dominio de la función son todos los números reales. Por su parte, como todo número (positivo o negativo) elevado al cuadrado siempre arroja un resultado positivo, entonces decimos que el contradominio, codominio, imagen, rango, alcance, recorrido de la función son todos los reales positivos incluido el cero.

2.1.3 Rango

El conjunto Y recibe el nombre Rango de la función y son los valores de salida. La variable "y" es la variable dependiente (depende de "x") y se grafica en el eje vertical, se le considera el valor de la función. Es el conjunto formado por las imágenes. Son los valores que toma la función "Y" (variable dependiente), por eso se denomina “f(x)”, su valor depende del valor que le demos a "X". Gráficamente lo miramos en el eje vertical

(ordenadas), leyendo de abajo a arriba. El Rango de una función es el conjunto formado por las imágenes f(x) de los valores de “X” que pertenecen al Dominio de dicha función. La manera más efectiva para determinar el Rango consiste en graficar la función y ver los valores que toma “Y” de abajo hacia arriba.

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2.2 CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES

2.2.1 Algebraicas y trascendentes

Funciones algebraica

En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Las funciones algebraicas son aquellas cuya regla de correspondencia es una expresión algebraica. La regla de correspondencia nos indica el criterio con el cual se eligen las parejas de elementos del dominio y contradominio. Expresión algebraica es un conjunto de cantidades numéricas y literales relacionadas entre sí por los signos de las operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división, raíz).

Funciones trascendente

La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría. Una función trascendente es una función que no satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes sean a su vez polinomios; esto contrasta con las funciones, las cuales satisfacen dicha ecuación. En otras palabras, una función trascendente es una función que trasciende al álgebra en el sentido que no puede ser expresada en términos de una secuencia finita de operaciones algebraicas de suma, resta y extracción de raíces. Una función de una variable es trascendente si es independiente en un sentido algebraico de dicha variable.

2.2.2 Implícitas y explícitas

Funciones explícita

En las funciones explícitas se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

f(x) = 5x – 2

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La fórmula explícita para funciones L son un conjunto de ecuaciones que relacionan sumas sobre ceros complejos o no triviales de una función L con sumas sobre potencias de primos. Tales fórmulas explícitas también han sido aplicadas a otras ramas de de la matemática como pueden ser cuestiones sobre los límites de discriminantes del campo de los números algebraicos.

Funciones implícita

En las funciones implícitas no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.

Derivada implícita

Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas de derivación y teniendo presente que:

X'=1.

En general y'≠1.

Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.

El teorema de la función implícita nos asegura bajo ciertas condiciones y con carácter local (como se vio en el ejemplo de la ecuación de la circunferencia) la existencia de dicha función aunque no se pueda hallar explícitamente.

Las limitaciones del teorema están en que es de carácter local, es decir, nos permite garantizar que cerca de un punto que verifique , existe una única

función tal que y esto para cada que esté cerca de:

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2.2.3 Par e impar

Función Par

Una función f: R! R es par si se verifica que

“X " R vale f (-x) = f(x)

Si f: R! R es una función par, entonces su gráfico es lateralmente simétrico respecto del eje vertical. “Simetría axial respecto de un eje o recta” (el dominio tiene que ser un conjunto simétrico respecto al origen)

Se dice que una función es par si f(x) = f (-x)

Ejemplo: La función y = x2 es par pues se obtienen los mismos valores de Y independientemente del signo de x.

La función f(x)=x2 es par ya que f (-x) = (-x)2 =x2

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Función Impar

Una función f: R! R es impar si se verifica que

“X " R vale f (-x) = -f(x)

Si f: R! R es una función impar, entonces su gráfico es simétrico respecto del origen de coordenadas. “Simetría central respecto de un punto”. (El dominio tiene que ser un conjunto simétrico respecto al origen)

En el caso de que f(x) = -f (-x) se dice que la función es impar. Muchas funciones reales no son pares ni impares.

Ejemplo: La función y(x)=x es impar ya que: f (-x) = -x pero como f(x) = x entonces: f (-x) = - f(x).

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2.2.4 Continuas y discontinuas

Continua

Una función es continua si su gráfica es una línea seguida, no interrumpida.

Si existe, y también existe el valor de, siendo igual a, entonces es continua en.

Es decir, se dice que una función es continua en sí:

Entonces se puede decir que una función f (X) es continua en (o sobre) un intervalo (o bien) si es continua en cada punto del intervalo en cuestión.

Continuidad se deduce que la gráfica de una función que es continua en un intervalo, es una línea ininterrumpida(es decir, una que se puede trazar sin levantar la pluma o lápiz del papel) sobre el espacio de ese intervalo, o también se hace posible trazar una curva con sólo situar unos pocos puntos y dibujar una línea con trazo ininterrumpido pasando por ellos, se justificará en el caso de varias clases de curvas.

Ejemplos; aplicación de la definición de continuidad Ejemplo 1: Demostrar que f(x) = 5 es continua en 7.

Solución: debemos verificar que las tres condiciones se cumplan.

Primera, f (7) = 5, de modo que f está definida en x = 7.

Segunda, por tanto, f tiene límite cuando X —> 7

Tercera por tanto f es continua en 7 (Véase la fig. 9.25)

Ejemplo 2: Demostrar que g(x) = x2 — 3 es continua en — 4.

Solución: la función g está definida en x = — 4; g (—4) = 13. También:

Por tanto, g es continua en — 4. (Véase la fig. 9.26)

Decimos también que una función es continua en un intervalo si es continua en cada punto de ese intervalo. En esta situación, la gráfica de la función es conexa sobre el intervalo por ejemplo, f(x) = x2 es continua en el intervalo [2,5], porque para cualquier función polinomial.

Esto significa que una función polinomial es continua en todo punto.

Decimos que las funciones polinomiales son continuas en todas partes, o de manera más sencilla, que son continuas.

Ejemplo: las funciones son polinomiales. Por tanto son continuas. Por ejemplo, son continuas en 3

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Ejemplo

Un mayorista distribuye un producto que se vende por libra (o fracción de libra), cobra $2 por libra si se ordenan 10 o menos libras. Si se ordenan más de 10 libras, el mayorista cobra $20 más $1,40 por cada libra que exceda de las 10. Por tanto, si se compran x libras por un costo total de C(x) dólares, entonces C(x) = 2x Si 0 ≤ x ≤ 10; y C(x) = 20 + 1.4 (x - 10) se 10 < x; esto es

La grafica de C se muestra en la figura 4.

Para esta función, C (10) = 20 y

Por tanto, existe y es igual a C (10). En consecuencia C es continua en 10.

Propiedades

Dadas las funciones f y g continuas en x = a, se verifica que:

La función (f + g) (x) = f(x) + g(x) es continua en x = a.

La función (f - g) (x) = f(x) - g(x) es continua en x = a.

La función (f × g) (x) = f(x) × g(x) es continua en x = a.

La función (f / g) (x) = f(x) / g(x) es continua en x = a, siempre que g(a) ≠ 0.

Discontinua

Una función es discontinua cuando, una función f definida en un intervalo abierto que contenga aɑ es discontinua en ɑ si:

F no tiene límite cuando x —> ɑ

Cuando x —> ɑ, f tiene un límite diferente de f (ɑ)

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Si f no está definida en ɑ, no es continua allí. Sin embargo, si f no está definida en ɑ pero si está definida para todos los valores cercanos, entonces no solo no es continua en ɑ, es discontinua allí.

Ejemplo 3

Para la siguiente función, encontrar todos los puntos de discontinuidad

Solución: esta función racional tiene de denominador, que es 0 cuando x = -4 o x = 2. Así solo es discontinua en -4 y 2

2.2.5 Crecientes y decrecientes

Creciente

Una función es creciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x1 y x2, con la condición x1 £ x2, se verifica que

f( x1 ) < f( x2 ).

Se dice estrictamente creciente si de x1 < x2 se deduce que f(x1) < f(x2).

Una función f se dice que es creciente si al considerar dos puntos de su gráfica, (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) con

x1 <

x2

Se tiene que

f(x1) <

F(x2).

Prevalece la relación <

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Una función es creciente en un punto a si existe un intervalo abierto

F(x) £ f(a) si x pertenece a (a - e, a) y

F(x) ³ f(a) si x pertenece a (a, a + e).

 

 

 

Decreciente

Una función f se dice que es decreciente si al considerar dos puntos de su gráfica, (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) con

x1 < x2 Se tiene que f(x1) > F(x2).

Cambia la relación de < a >

 

Una función es decreciente en un intervalo [a,b] si para cualesquiera puntos del intervalo, x1 y x2, que cumplan x1 £ x2, entonces f(x1 ) ³ f(x2).

Siempre que de x1 < x2 se deduzca f(x1)> f(x2), la función se dice estrictamente decreciente.

 Análogamente, una función es decreciente en un punto a si existe un intervalo abierto (a - e, a + e) en el que

 

f(x) ³ f(a) si x pertenece a (a - e, a) y

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f(x) £ f(a) si x pertenece a (a, a + e).

 

 La definición de función estrictamente creciente o decreciente en un punto se obtiene sin más que sustituir el símbolo " por < y el " por el >.

Es preciso diferenciar el significado de función creciente o decreciente en un intervalo del de función creciente o decreciente en un punto.

2.2.6 Inyectiva, Sobreyectiva y Biyectiva

Inyectiva

Una función es inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un único elemento del dominio. En otras palabras, de todos los pares (x,y) pertenecientes a la función, las y no se repiten.

Para determinar si una función es inyectiva, graficamos la función por medio de una tabla de pares ordenados. Luego trazamos líneas horizontales para determinar si las y (las ordenadas) se repiten o no.

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Sobreyectiva

Sea f una función de A en B , f es una función epiyectiva (también llamada sobreyectiva) , si y sólo si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A , bajo f .

A elementos diferentes en un conjunto de partida le corresponden elementos iguales en un conjunto de llegada. Es decir, si todo elemento R es imagen de algún elemento X del dominio.

Ejemplo:

A = { a , e , i , o , u }

B = { 1 , 3 , 5 , 7 }

f = { ( a , 1 ) , ( e , 7 ) , ( i , 3 ) , ( o , 5 ) , ( u , 7 ) }

Simbólicamente:

f: A B es biyectiva Û f es inyectiva y f es sobreyectiva

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Biyectiva

Sea f una función de A en B, f es una función biyectiva, si y sólo si f es sobreyectiva e inyectiva a la vez.

Si cada elemento de B es imagen de un solo elemento de A, diremos que la función es Inyectiva. En cambio, la función es Sobreyectiva cuando todo elemento de B es imagen de, al menos, un elemento de A. Cuando se cumplen simultáneamente las dos condiciones tenemos una función biyectiva.

Ejemplo:

A = {a,e,i,o,u}

B = {1,3,5,7,9}

f = { ( a , 5 ) , ( e , 1 ) , ( i , 9 ) , ( o , 3 ) , ( u , 7 ) }

Teorema:

Si f es biyectiva, entonces su inversa f - 1 es también una función y además biyectiva.

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2.3 características y graficas de las funciones algebraicas

2.3.1 función constante

La función constante es aquella en la que para cualquier valor de la variable independiente (x), la variable dependiente (f(x)) no cambia, es decir, permanece constante.

Sea . El dominio de esta función es el conjunto de todos los reales, y el contra dominio es únicamente el real c.

Una función constante f(x) = c :

tiene el mismo valor de y = f(x) para cualquier valor de x, tiene como gráfica una línea horizontal, nunca cruza el eje x, excepto cuando f(x) = 0, cruza una sola vez el eje y en el punto (0, c),

es aquella en que el exponente máximode la x es cero

Su gráfica es una recta Paralela (o coincidente) al eje X.

Ejemplo

La función f(x)=3 se puede representar en forma tabular para algunos valores de x:

x f(x)

35

-1 3

0 3

1 3

3

1.5 3

3

La grafica de esta función para los valores de x entre -3 y 3 es:

36

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-3 -2 -1 0 1 2 3

Bloque: 2 ¿Cómo inicia mi pensamiento formal? to)

2.3.2 función idéntica

Su función básica es F(x)=X Su nombre proviene del hecho, que el valor del dominio (X), será el mismo o idéntico valor que el contra dominio (Y) con esta condición es una función única.

Función Continua Dominio del (-) infinito hasta más infinito. Es de primer grado ( Línea Recta ) Tiene pendiente, 1 creciente Su alguno de inclinación es de 45 grados Debe pasar por el origen A la vez es Biyectiva, Inyectiva

Bloque: 1 ¿Cómo se forma mi pensamiento?

2.3.3 Función lineal

Una variable es un símbolo al que se le puede asignar un conjunto de valores.En general se representan las variables con las últimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z.Una constante es un símbolo al que se le puede asignar un solo valor.En general se representan las constantes con las primeras letras del alfabeto: a, b, c.Llamaremos función lineal a una ecuación del tipoy = mx +bLa función lineal gráficamente es una recta,donde m es lapendiente de la misma es decir la que da la inclinación de la rectay b es la ordenada al origen que es el punto de intersección de larecta con el eje y. Gráficamente la recta

3- y= - = x+3 2

2Donde la pendiente es m = - 3

Lo que significa que la pendiente se define como la tangente trigonométrica del ángulo que forma la recta con el semieje positivo del eje xy para calcularla es:m= tg. a =x

2.3.4 función cuadrática

38

Bloque: 1 ¿Cómo se forma mi pensamiento?

La forma general de una función cuadrática es; donde a, b y c son números reales.

Ejemplos:

a= 4, b= 12, c= 9 f(x)=4x2+12x+9

a= 2, b= 5, c= -3 f(x)=2x2+5x-3x

a= 1, b= 0, c= 25 f(x)=x2+25

La gráfica de una función cuadrática es una parábola; ésta representa el conjunto solución de la función.

La función cuadrática básica es:

Su gráfica es la siguiente

f(x)= x2

39

Bloque: 1 ¿Cómo se forma mi pensamiento?

Características graficas de una función cuadrática:

Dada en la forma estándar

Dominio-los números reales

f x= ax2+ bx+ c

Concavidad:El valor de a nos indica el tipo de concavidad de la parábola:

Si a>0. Es cóncava hacia arriba Si a<0, es cóncava hacia abajo

a>0 a<0

Vértice.

El vértice es el punto mínimo en una parábola cóncava hacia arriba y es el punto máximo en una parábola cóncava hacia abajo.

La coordenada del vértice es dada por:

-b -bX= y= f( )

2ª 2a

Simetría.

40

x y 2 4 1 1 0 0 -1 1 -2 4

Bloque: 1 ¿Cómo se forma mi pensamiento?

La parábola es simétrica con respecto a la línea vertical que pasa por su vértice y cuya ecuación es dada por -b

X=

2a

Intercepto en x.

La parábola puede tener hasta un máximo de dos intercepto en x.

Intercepto en y

La parábola tiene un intercepto en y y laCoordenada de ese punto es (0, c).Para;

f (x)= ax2+ bx+ c f (0) =c

2.3.5 Función cubica

Una función cuadrática es aquella que tiene la forma, o puede ser llevada a la forma:

y = f x = ax +bx + c

41

Bloque: 1 ¿Cómo se forma mi pensamiento?

2 ( ), con 0 a ≠ , a, b,c∈IR

Propiedades de una función cuadrática

1. El gráfico de una función cuadrática es una parábola.

2. La gráfica de y = f x = ax +bx +c

2 (intercepta al eje) Y en el punto (0,c)

La gráfica de y = f x = ax +bx +c

2 (intercepta al eje) X cuando 0 4 2 ∆ = b − ac ≥ , y

En tal caso, las abscisas de los puntos de intersección son las raíces de la ecuación

0. 2

ax +bx +c =

3. Su gráfica es una parábola cuyo vértice es el punto

4. La recta vertical

x

2 = − es una recta eje de simetría de su gráfico.

5. Si a>0 la parábola se abre hacia arriba, y si a<0 se abre hacia abajo.

2.3.6 función polinomial

Una función es polinomial si se puede escribir de la forma:

42

Bloque: 1 ¿Cómo se forma mi pensamiento?

y = an xn + an-1 xn-1 + _ _ _ + a2 x2 + a1 x + a0

Donde los coeficientes an, an-1, etc., son números reales y los exponentes n, n 1, etc., son números enteros no negativos.

El coeficiente an es el coeficiente principal y n es el grado de la función.Las siguientes son funciones polinominales:

Ejemplo 1:

En la siguiente tabla se muestran algunas funciones indicando el coeficiente principal y su grado.Función polinomial Grado Coef. Principaly = mx + b 1 m 1 m

y =x2 + 2x+ 2 1/2

2y = x3 + x2 - x + 5 3 1

y = (5 x + 3)11 11 11 requiere desarrollo

Requiere desarrollo

Un concepto importante que nos va a ayudar a describir más fácilmente los elementos de una función.

43

Bloque: 1 ¿Cómo se forma mi pensamiento?

Bloque III: Graficas de las funciones transcendentes

3.1 Trigonométricas.

Las funciones trigonométricas son las funciones establecidas con el fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos. Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos.

Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.

44

Bloque: 1 ¿Cómo se forma mi pensamiento?

Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones.

Función Abreviatura Equivalencias (en radianes)

Seno sin (sen)

Coseno cos

Tangente tan

Cotangente ctg (cot)

Secante sec

Cosecante csc (cosec)

45

Bloque: 1 ¿Cómo se forma mi pensamiento?

3.1.1 Seno

La función seno se define a partir del concepto de seno, considerando que el ángulo siempre debe expresarse en radianes. Para representar dicha función, tan sólo deben trasladarse los valores del seno obtenidos a partir de la circunferencia unitaria a la gráfica de la función, tal como puede hacerse en esta aplicación desplazando el punto que representa el valor de x (es decir, el valor del ángulo α) a derecha e izquierda.

Podemos observar varias características de la función seno:

Su dominio contiene a todos los reales. En cambio, su imagen es el intervalo ya que

el seno de un ángulo siempre se encuentra entre estos valores.

Esta función se repite exactamente igual cada ; es decir, los valores de la función en el

intervalo del dominio son suficientes para conocer la función en cualquier punto. Se

dice, en este caso, que la función es periódica, de período 2π.

La función se anula en los valores x iguales a , siendo k un número entero.

La función alcanza sus extremos máximos, es decir, los valores mayores de la y, cuando el seno del ángulo es 1, es decir, cuando la x es π2+2kπ, siendo k un número entero cualquiera. Sus extremos mínimos, es decir, los valores menores de la y (cuando el seno es -1), se

encuentran cuando la x es   , siendo k cualquier número entero.

3.1.1.1 Características: amplitud, periodo, frecuencia y fase

46

Bloque: 1 ¿Cómo se forma mi pensamiento?

Periodo

Es el menor conjunto de valores de x que corresponden a un ciclo completo de valores de la función; en este sentido toda función de una variable que repite sus valores en un ciclo completo es una función periódica, seno o no sinusoidal.

En las gráficas de las funciones seno, coseno, secante, cosecante el período es 2, mientras que

para la tangente y cotangente el período es .

Amplitud

Es el máximo alejamiento en el valor absoluto de la curva medida desde el eje x.

Desde un punto de vista más técnico, la amplitud de la sinusoide es la norma del supremo de la sinusoide.

Frecuencia

Es una magnitud que mide el número de repeticiones por unidad de tiempo de cualquier fenómeno o suceso periódico. Para calcular la frecuencia de un suceso, se contabilizan un número de ocurrencias de este teniendo en cuenta un intervalo temporal, luego estas repeticiones se dividen por el tiempo transcurrido.

Este parámetro modifica el grado de repetición. Si la función se repite más rápidamente. Si

la función se repite más lentamente.

FaceEl desfase entre dos ondas es la diferencia entre sus dos fases. Habitualmente, esta diferencia de fases, se mide en un mismo instante para las dos ondas, pero no siempre en un mismo lugar del

espacio. Este parámetro determina el desplazamiento horizontal de la función. Un signo en la

fase, implica que la función se adelante (o sea, se corre a la izquierda) y un signo en la fase

implica que la función se atrase (o sea, se corre a la derecha).

3.1.2 Coseno.

47

Bloque: 1 ¿Cómo se forma mi pensamiento?

En trigonometría el coseno (abreviado cos) de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente a dicho ángulo y la hipotenusa:

Este número no depende del triángulo rectángulo escogido y, por lo tanto, está bien construido y

define una función del ángulo

Otro modo de obtener el coseno de un ángulo consiste en representar éste sobre la circunferencia goniometría, es decir, la circunferencia unitaria centrada en el origen. En este caso el valor del coseno coincide con la abscisa del punto de intersección del ángulo con la circunferencia. Esta construcción es la que permite obtener el valor del coseno para ángulos no agudos.

3.1.2.1 Características: amplitud. Periodo, frecuencia y fase

A es la amplitud (la altura de cada máximo arriba de la línea base).

C es el desplazamiento vertical (la altura le la línea base).

P es el periodo o longitud de onda (el longitud de casa ciclo).

48

Bloque: 1 ¿Cómo se forma mi pensamiento?

ω es la frecuencia angular, y se expresa por

α es el desplazamiento de faso.

Amplitud

La amplitud de   representa la mitad de la distancia entre los valores máximo y mínimo

de la función.

Amplitud =

Periodo

Digamos que b es un número real positivo. El período de   está dado por

49

Cometario

Las funciones trigonométricas son funciones establecidas a todos los números reales y complejos, es asociado a un triángulo y sus lados junto con sus ángulos que es lo más importante para poder tener una buena información. La función trigonométrica se da mayor mente en un triángulo rectángulo en ello se desplaza seno y coseno donde nos dan su amplitud, frecuencia, periodo, fase que son sus características principales se encuentra mayor mente más subtemas que son muy importantes para entender el tema.

Bloque: 1 ¿Cómo se forma mi pensamiento?

3.2 Logarítmicas.

Una función se llama logarítmica cuando es de la forma y donde la base a es un

número real y positivo pero distinto de 1, puesto que el resultado sería 0.

Base mayor que la unidad (a > 1)

Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logarítmicas. Como la notación f -1

se utiliza para denotar una función inversa, entonces se utiliza otra notación para este tipo de inversas. Si f(x) = bx, en lugar de usar la notación f (x), se escribe log (x) para la inversa de la función con base b. Leemos la notación log(x) como el “logaritmo de x con base b”, y llamamos a la expresión log (x) un logaritmo.

El logaritmo de un número y es el exponente al cual hay que elevar la base b para obtener a y.

Esto es, si y b es diferente de cero, entonces si y sólo si .

 Nota: La notación se lee “el logaritmo de y en la base b es

Propiedades de las funciones logarítmicas:

Si b, M y N son números reales positivos, b es diferente de uno, y p y x son números reales, entonces:

50

Bloque: 1 ¿Cómo se forma mi pensamiento?

5)

3.3 Exponenciales.

La función exponencial, es conocida formalmente como la función real ex, donde es el número de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota

equivalentemente como o expo (x), donde es la base de los logaritmos naturales y

corresponde a la función inversa del logaritmo natural. En términos mucho más generales, una

función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma

Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece en el exponente.

Para resolver una ecuación exponencial vamos a tener en cuenta:

1.

2.

Propiedades

Dominio: .

Recorrido: .

51

Cometario

En esta función se utiliza en lo inversa y se va cambiando a otra notación del mismo que sea inversa. En esta función logarítmica se basa a algunas propiedades que son muy importantes pero en ellas se encuentran los números reales positivo. Logarítmicas se

expresa en forma y

Bloque: 1 ¿Cómo se forma mi pensamiento?

Es continua. Los puntos (0, 1) y (1, a) pertenecen a la gráfica.

Es inyectiva (ninguna imagen tiene más de un original).

Creciente si a >1. Decreciente si a < 1.

Las curvas son simétricas respecto del eje OY.

3.4 Aplicaciones de las funciones en diferentes contextos.

Trigonometría

Sabiendo que sen 0,86 α = calcula las demás razones trigonométricas directas e inversas

Solución:

52

Cometario

La función exponencial, es conocida como la función real de las matemáticas en algebra, este tema es muy interesante en el conjunto de los números reales y su derivada es la misma función.

Es la única función que es igual a su derivada, son simples extensiones de las fórmulas para definirlas en los números reales. En si este tema es muy interesante para el uso de las matemáticas y a pesar de ser un tema muy pesado, es un tema de gran uso en la vida cotidiana.

Bloque: 1 ¿Cómo se forma mi pensamiento?

Las razones trigonométricas directas son el seno, el coseno y la tangente, y las inversas la cosecante, la secante y la cotangente. Vamos a relacionar todas ellas con el seno, que es el dato que nos dan.

Algorítmicas

3.- Calcula el valor de x que haga cierta cada una de estas igualdades:

a) log1/2 32 = x   b) 9x+27 = 4.3x+1

RESPUESTA: a) x=-5  b) x = 2 y x = 1

4.- Resolver la ecuación: 2x+2.128 = 4x-1

RESPUESTA: x = 11

5.- Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

2x+y =16

9x = 3y-1

RESPUESTA: x = 1; y = 3

6.- Resuelve la siguiente ecuación:

4x-1- 3.2x+1+32 = 0

RESPUESTA: x = 4 y x = 3

7.- Resolver la ecuación: 2 · log(5x - 4) - log 4 = log (x + 4)

RESPUESTA: x = 44/25

8.- Sabiendo que log 2 = 0,3010 y que log 3 = 0,4771. Calcula:

a) log 36

b) log (9/4)

c) log 5

RESPUESTA: a) 1,56  b) 0,3  c) 0,699

Variable dependiente

53

Cometario

Uno de los conceptos más importantes en las matemáticas es el de función, ya que se puede aplicar en numerosas situaciones de la vida cotidiana y determinar las relaciones que existen entre magnitudes tanto en matemáticas, física, economía, etc... Y poder calcular el valor de una de ellas en función de otras de las que dependen.

Bloque: 1 ¿Cómo se forma mi pensamiento?

Bibliografía

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