Introducción a la Optimización matemática

Antonio H. Escobar ZuluagaAntonio H. Escobar Zuluaga

Universidad Tecnológica de Pereira - ColombiaUniversidad Tecnológica de Pereira - Colombia

20142014

Optimización:

• La optimización es un proceso espontáneo que se encuentra presente en todas partes y que hace parte integral del día a día de nuestras vidas.

• Es el arte de seleccionar la mejor alternativa entre un conjunto de opciones válidas.

• En las ciencias aplicadas es la búsqueda de los valores de un conjunto de variables limitadas que maximizan o minimizan un objetivo.

Que es optimizar en las ciencias y la ingeniería?

• Se están utilizando eficientemente recursos que son escasos o limitados o no renovables?

• Puede obtenerse una operación más económica?

• Se están utilizando eficientemente recursos que son costosos?

Los procesos de optimización intentan responder los siguientes interrogantes:

• Puede obtenerse un diseño más económico?

Porque Optimizar?

• Porque existen recursos en las organizaciones que no están siendo aprovechados adecuadamente.

• Porque no se alcanzan los resultados deseados con los recursos disponibles.

• Porque se requiere aumentar la competividad a costos eficientes de inversión, operación y mantenimiento.

• Porque se tienen recursos ineficientes o que no se necesitan y que frenan el desarrollo.

• Porque existe una exigencia creciente de sistemas y procedimientos más eficientes.

El desarrollo de la optimización en las distintas disciplinas está asociado a:

• Nivel de conocimiento científico acumulado en los grupos de investigación que la estudian.

• Nivel de tecnología que los miembros del grupo dominan.

• Capacidad de incorporar nuevas ideas (innovación).

• Nivel y calidad de los desarrollos realizados.

• Variabilidad de los aspectos que se pueden resolver.

• Adecuada valoración de resultados.

• Flujo de ideas entre los miembros del grupo.

• Cantidad y calidad de los recursos mal aprovechados.

• Calidad de los insumos.

• Estrategias utilizadas.

• Desarrollo de la infraestructura tecnológica que se usa.

El desarrollo de la optimización en las distintas disciplinas está asociado a:

• Técnicas de modelamiento matemático que permitan representar y simular adecuadamente el sistema que se optimiza.

• Sistemas de cómputo que realicen los cálculos de manera eficiente.

• Técnicas de solución de los modelos resultantes (métodos de optimización).

La optimización requiere de:

• El desarrollo de nuevas técnicas de modelamiento y de optimización, y el desarrollo de nuevos sistemas de cómputo es el motor que impulsa la investigación en nuevos modelos que incluyan:

Más aspectos del problema.

Más interrelaciones con los sistemas externos que afectan su comportamiento.

La optimización genera nuevas exigencias:

Abarca un conjunto de métodos científicos que apoyan la toma de decisiones y que permiten determinar la mejor forma de diseñar y operar un sistema bajo condiciones que exigen el uso de recursos escasos o costosos.

Provee un conjunto de algoritmos que pueden ser implementados en sistemas de cómputo y que se constituyen en herramientas efectivas para resolver problemas con soluciones alternativas y tomar decisiones.

Se aplica en todas las disciplinas.

Investigación de Operaciones:

Definición de optimización:

Se optimiza:

Se minimiza:

Se maximiza:

Áreas de aplicación:

Mínimos y máximos globales y locales, puntos de inflexión:

Multimodalidad:

Mínimos y máximos globales y locales, puntos de inflexión:

Problema multidimensional

• Función Objetivo: Medida de la efectividad buscada expresada en función de las variables de decisión. Es lo que se minimiza o se maximiza.

• Variables de decisión: Decisiones Cuantificables sobre las que se ejerce control. Por ejemplo: calibre del conductor.

• Restricciones: Factores que limitan los valores que pueden asumir las variables de decisión. Por ejemplo: corriente máxima del conductor.

• Parámetros: Datos o recursos que asumen valores constantes y que forman los coeficientes de las variables. Por ejemplo: reactancia del conductor por unidad de longitud.

Componentes de un problema de optimización:

Que es el modelado?

• Los procesos y sistemas en ingeniería son generalmente complicados y deben ser simplificados mediante idealizaciones y aproximaciones para poder resolver el problema planteado.

• El proceso de simplificación del problema, para que pueda ser representado en términos de un sistema de ecuaciones (para el análisis, diseño y optimización) es lo que se conoce como modelado.

Modelo matemático:

• El modelo matemático representa el desempeño y comportamiento de un sistema dado en términos de ecuaciones matemáticas, ofreciendo resultados cuantitativos.

• Los modelos matemáticos pueden estar basados en el entendimiento físico de un sistema ó pueden construirse a partir de datos (e.g., ajuste de curvas a datos experimentales).

• Las ecuaciones que gobiernan el sistema pueden ser algebraicas, ecuaciones diferenciales ordinarias y/o parciales, ecuaciones integrales ó combinación de varias de ellas.

Mundo Real

Mundo Real

Mundo Real

Mundo Real

Min t j h CTt(GTjth)

sujeto a:

GDzth - uTN(z) LDuzth = 0

GDzth + GHAzth + DEFzth = DEMzth

ENuth - jL1(u) GTEjuth

- vL2(u) LLvuth = 0

Min t j h CTt(GTjth)

sujeto a:

GDzth - uTN(z) LDuzth = 0

GDzth + GHAzth + DEFzth = DEMzth

ENuth - jL1(u) GTEjuth

- vL2(u) LLvuth = 0

Mundo Virtual

Min t j h CTt(GTjth)

sujeto a:

GDzth - uTN(z) LDuzth = 0

GDzth + GHAzth + DEFzth = DEMzth

ENuth - jL1(u) GTEjuth

- vL2(u) LLvuth = 0

Min t j h CTt(GTjth)

sujeto a:

GDzth - uTN(z) LDuzth = 0

GDzth + GHAzth + DEFzth = DEMzth

ENuth - jL1(u) GTEjuth

- vL2(u) LLvuth = 0

PIB 5.2%

Costo de combustibles

Hidrología

Inflación = 10%

Devaluación 12%

Costo de

transporte

Min t j h CTt(GTjth)

sujeto a:

GDzth - uTN(z) LDuzth = 0

GDzth + GHAzth + DEFzth = DEMzth

ENuth - jL1(u) GTEjuth

- vL2(u) LLvuth = 0

Min t j h CTt(GTjth)

sujeto a:

GDzth - uTN(z) LDuzth = 0

GDzth + GHAzth + DEFzth = DEMzth

ENuth - jL1(u) GTEjuth

- vL2(u) LLvuth = 0

Mundo Virtual

Costo de oportunidad

Representación matemática de un problema de optimización:

Clasificación de los problemas de Optimización

Clasificación de los problemas:

Clasificación de los problemas:

Clasificación de los problemas:

Clasificación de los problemas:

Clasificación de los problemas:

Proceso de optimización:

Problema de la Vida real

Modelo

Matemático de

la parte que

deseo controlar

Solución

Matemática

Técnicas demodelamiento

Técnicas desolución

Realimentación o ajustes para la implementación

El modelo puede no existir

SIMULACIONSIMULACION

IDENTIFICACION IDENTIFICACION

Evaluacióndel

Funcionamientodel

Sistema

Información

OPTIMIZACIONOPTIMIZACION

Funciones de Respuesta

Parámetros

Caracterización

Planes de InversiónPolíticas Estratégicas

Planes OperativosDiseños

SIMULACIONSIMULACION

Verificaciónde la

Bondadde las

Decisiones

Definición de Objetivos y adición de

metas

Modelo de operación

Modelo de optimización

Encadenamiento de modelos:

Características de los algoritmos de optimización:

Cualidades deseables en todo algoritmo de optimización:

Dificultades de la optimización:

Complejidad Descriptiva: cantidad de información que debe suministrarse para tener una descripción adecuada del sistema.

Complejidad Generativa: cantidad de instrucciones que se deben dar para construir el sistema bajo estudio.

Complejidad Computacional: cantidad de tiempo y esfuerzo implicado en la solución del problema. Generalmente asociada con el tamaño del problema (variables y restricciones).

Complejidad Organizacional: variedad de formas de ordenamiento de los componentes del sistema.

Complejidad Operativa: variedad de modos de operación de los componentes del sistema y del propio sistema.

Dificultades de la optimización:

Supuestos del modelamiento:

Independencia entre variables: La contribución de una variable de decisión a la función objetivo, o al uso de recursos, es independiente de los valores que se asignen a otras variables de decisión.

Certeza o determinismo: Se asume que no hay aleatoriedad en los coeficientes que definen a las variables de decisión del problema. No existe realimentación en la cadena: información → decisión → información → decisión → …

Enfoques respecto a las metodologías de solución:

Respecto a los objetivos

Respecto a los datos

Respecto a lacomplejidad

Multiobjetivo

Mono-objetivo

Exacta Metaheurística

Con incertidumbre

Sin incertidumbre