Una anualidad es una serie de pagos periódicos iguales. Puede consistir en el pago o depósito de una suma de dinero a la cual se le reconoce una tasa de interés por periodo.

Las anualidades o rentas constituyen una sucesión o serie de depósitos o de pagos periódicos, generalmente iguales, con sus respectivos intereses por periodo, y se las puede expresar gráficamente, como se observa en el ejemplo siguiente donde aparecen 6 periodos y sus correspondientes 6 pagos o depósitos (R).

ANUALIDADES

CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES O RENTAS

• Antes de esbozar una clasificación de las rentas, es necesario definir algunos conceptos:

PERIODO DE PAGO O PERIODO DE LA ANUALIDAD: Tiempo que se fija entre dos pagos o depósitos sucesivos puede ser continuo diario, semanal , quincenal, mensual, bimestral, trimestral, cuatrimestral, semestral, anual, etc.

TIEMPO O PLAZO DE UNA ANUALIDAD: Intervalo de tiempo que transcurre entre el comienzo del primer periodo de pagos o depósitos y el final del último.

TASA DE UNA ANUALIDAD: Tipo de interés que se fija para el pago o depósitos de las rentas o anualidades, puede ser nominal o efectiva.

RENTA: Valor del pago o depósito periódico.

• RENTA ANUAL: Suma de los pagos o depósitos efectuados en un año.

• RENTAS PERPETUAS: Serie de pagos que han de efectuarse indefinidamente.

TIPOS DE ANUALIDADES SEGÚN EL TIEMPO

ANUALIDADES EVENTUALES O CONTINGENTES: Aquellas en las que el comienzo y el fin de la serie de pagos o depósitos son imprevistos y dependen de algunos acontecimientos externos, tales como, los seguros de vida, de accidentes, incendios, robo, etc.

ANUALIDADES CIERTAS: Aquellas en las que sus fechas inicial y terminal se conocen por estar establecidas en forma concreta, como son las cuotas de préstamos hipotecarios o quirografarios, pago de intereses de bonos, etc.

TIPOS DE ANUALIDADES SEGÚN LA FORMA DE PAGO

ANUALIDADES ORDINARIAS O VENCIDAS: Son aquellas en las que el depósito, pago o renta y la liquidación de intereses se realizan al final de cada periodo. Ejemplo: pago de cuotas mensuales por deudas a plazo.

ANUALIDADES ANTICIPADAS: Son aquellas en las que el depósito, el pago y la liquidación de los intereses se hacen al principio de cada periodo; pago de cuotas por adelantado.

ANUALIDADES DIFERIDAS: Son aquellas cuyo plazo comienza después de transcurrido determinado intervalo del tiempo por préstamos con periodos de gracia.

ANUALIDADES SIMPLE: Son aquellas cuyo periodo de pago o depósito de pago o depósito coincide con el periodo de capitalización. Por ejemplo, sin la capitalización es semestral, los pagos o depósitos serán semestrales.

ANUALIDADES GENERALES: Son aquellas cuyos periodos de pago o de depósito y de capitalización no coinciden. Por ejemplo, cuando se hace una serie de depósitos trimestrales y la capitalización de los intereses es semestral.Para resolver este tipo de anualidad se utiliza la ecuación de equivalencia

1 + i =

• Las anualidades ciertas y las eventuales pueden ser vencidas o anticipadas y estas a su vez pueden ser diferidas perpetuas y perpetuas diferidas

ANUALIDADES CIERTAS ANUALIDADES EVENTUALES

VENCIDAS ANTICIPADAS VENCIDAS ANTICIPADAS

DIFERIDAS DIFERIDAS DIFERIDAS DIFERIDAS

PERPETUAS PERPETUAS PERPETUAS PERPETUAS

PERPETUAS DIFERIDAS

PERPETUAS DIFERIDAS

PERPETUAS DIFERIDAS

PERPETUAS DIFERIDAS

ANUALIDADES VENCIDAS

Del conjunto de anualidades que se acaban de detallar, se explicarán las más comunes, que son las anualidades cierta vencidas simples, es decir aquellas que vencen al final de cada periodo y cuyo periodo de pago o de depósito coincide con el de capitalización.

“El valor de una anualidad calculada a su terminación es el monto de ella. El valor de la anualidad calculado a su comienzo es su valor actual o presente”

Sea una anualidad o renta de $10000 al final de cada 6 meses durante 3 años, al 12% anual capitalizable semestralmente (anualidad vencida):

MONTO DE UNA ANUALIDAD

Para calcular el monto (S) de la anualidad, se toma como fecha focal el final del año 3.

Entonces n= 6 i= = 0.06

Cada renta ganará intereses durante los periodos que falten hasta el término de la anualidad, o hasta el último depósito o renta. Por lo tanto se pueden sumar:

S= 10000+ 10000+ 10000+ 10000+ 10000(1.06)+ 10000

Se puede sacar el factor común 100000

S= 10000(+ + + + (1.06)+1 )

Al ordenar en forma ascendente

S= 10000(+ + + )

• Resulta una progresión geométrica cuya razón es (1.06)

S=

a= 1

r=1.06

n= 6

Entonces

S= 10000 ( ) = 10000(6.975318)

S= $69753, 18538

R=$10000

i= 0.06

S= monto

n= 6

• El valor actual de la misma anualidad puede calcularse tomando como fecha focal el inicio de la anualidad. Cada renta se calculará con el valor actual que le corresponde, relacionada con el inicio de la anualidad y con la respectiva tasa de interés. Para la demostración, se utilizará un ejemplo similar al anterior, pero en este caso se trata de una serie de pagos semestrales de $10000 durante 3 años con una tasa de interés del 12% anual, capitalizable semestralmente.

A=10000(+ + 10000 +10000

Al hallar el factor común

A= 10000( (+ + +)

VALOR ACTUAL DE UNA ANUALIDAD

Resulta una progresión geométrica cuya razón

Entonces

• A= 10000 ()

• A= 10000 ( )

• A= 10000 ()

• A= 10000 (4.917324) = $49173.24

S=

• A= R ()

Los símbolos utilizados en las fórmulas de monto y de valor de las anualidades son:

R = El pago periodo o renta

i = Tasa de interés por periodo de capitalización

j = Tasa nominal anual

n = Número de periodos de pago

S = Monto de una anualidad o suma de todas sus rentas

A = Valor actual de una anualidad o suma de los valores actuales de las rentas

Tanto S como A pueden calcularse directamente mediante calculadoras electrónicas, por logaritmos o utilizando las tablas de valores por tasa de interés (i) y por periodo de pago (n)

• EJEMPLO

Hallaremos el monto y el valor actual de una anualidad de $10000 cada trimestre durante 5 años y 6 meses al 12% capitalizable trimestralmente (anualidad vencida simple)

n = ( (5) (4) + 2) = 22 rentas

i = = 0.03 trimestral R= $10000 S=? A=?

Para calcular el monto se aplica la fórmula

S= R ()

Se toma como fecha focal el término de la anualidad y se aplica la fórmula indicada

• S= 10000 ()

• S= 10000 ()

• S= 10000 (30.536780)

• S= $305367.80 Monto de la anualidad

(Los intereses crecen en función del tiempo y se acumulan al capital).

Para calcular el valor actual, se toma como fecha focal el inicio de la anualidad y se aplica la fórmula

• A= R ()

• A= 10000 ()

• A= 10000 ()

• A= $159369.17 VALOR ACTUAL DE LA ANUALIDAD

LA DEUDA DECRECE Y LOS INTERESES TAMBIÉN, PERO AL INICIO SON ALTOS

• Como puede observarse, el valor del monto (S) y el valor actual (A) difieren notablemente, por concepto y por forma de cálculo, a pesar de que los datos del ejemplo son los mismos.

• En la formación del monto, los intereses crecen y se acumulan al capital; mientras que en el valor actual, los intereses se aplican al saldo en cada periodo y la deuda decrece en función del tiempo.

• El pago periódico o renta de una determinada cantidad, sea deuda o fondo por acumularse como es el caso de las cuotas periódicas para cancelar una deuda, o el valor que debe depositarse en una cuenta para constituir un capital, puede calcularse sobre la base de las dos fórmulas anteriores: la del monto (S) y la del valor actual (A) .

Cálculo de la renta (R) a partir del monto (S)

Se despeja R en la fórmula:

R =

CÁLCULO DE LA RENTA O PAGO PERIODICO

• Para el cálculo de R deben conocerse las otras variables: S, n, i. Esta fórmula permite calcular el valor del depósito o renta periódica para constituir un fondo de valor futuro

Cálculo de la renta (R) a partir del valor actual (A)

Se toma la fórmula y se despeja R

R=

Para el cálculo de R deben conocerse las otras variables : A, n, i. Esta fórmula permite calcular el valor de la cuota o pago periódico con el cual se paga o amortiza una deuda.

Los valores de dichas rentas pueden encontrarse en las tablas de fondos de valor futuro y de amortización, respectivamente, en función de n pagos y la tasa de interés i, por periodo de pago.

EJEMPLOCalcularemos entonces el valor del depósito mensual que debe tener una empresa en una institución financiera que paga 14.4% anual capitalizable mensualmente, a fin de obtener $6400 en 6 años. Así como los intereses que ganará.

R=? S=$6400 i= = 0.012 n= (6) (12) = 72

• R=

• R=

• R=

• R=$56.45

• I= S – n (R)

• INTERESES: 6400 – 56.45(72)= $2335.50

EJEMPLO

Calcular el valor de la cuota bimestral que debe pagar una empresa que tiene una deuda de $40000 a 8 años de plazo, con una tasa de interés del 6% anual capitalizable bimestralmente.

R= ? i= m= n =

R=

R= = 1053.35 Cada Bimestre

Intereses= I = n (R) –A

I= 48 (1053.35) – 40000 = 10560.96

En general, para la acumulación de capitales o fondos se utiliza la suma de una anualidad; es decir, la fórmula del monto(S). Para el pago de una deuda se utiliza la fórmula del valor actual (A).

Las anualidades o rentas, como son series de depósitos o pagos, pueden efectuarse en diferentes periodos, y en la capitalización de sus intereses aplicar la capitalización continua, cuya base es el número “e”

Para solucionar este tipo de problemas debemos aplicar la ecuación de equivalencia

(1+i) = (1 + i e =

Cuando se trate de relacionar una tasa con diferentes tipos de capitalización con la capitalización continua:

Para Monto : = (1 +

Para valor actual: = (1 +

ANUALIDADES CON CAPITALIZACIÓN CONTINUA

• En donde se encuentra la tasa j o la tasa anual con diferentes tipos de capitalizaciones, utilizando logaritmos o exponentes y radicales.

• Con la aplicación de la capitalización continua, el Monto de una anualidad o serie de depósitos será mayor que con otro tipo de capitalización de los intereses; y como consecuencia los depósitos menores.

• A su vez, con la aplicación de la capitalización continua, el valor actual de una Anualidad o serie de pagos dará como resultado un préstamo mayor y cuotas menores que con otro tipo de capitalización de los intereses.

EJEMPLOCalcular el Monto de una serie de depósitos de $300 cada mes durante 15 años, si se considera una tasa de interés del 6% anual con capitalización continua.

j= 0.06 t = 15años

m=(15)(12) = 180 depósitos R= 300 e= 2.71828182846

Primero se utiliza la ecuación de equivalencia:

= (1 +

¿A que tasa de anual con capitalización mensual es equivalente una tasa del 6 % anual con capitalización continua ?

• (1 + = (1 +

Se saca la raíz 12 de los dos miembros de la ecuación:

1 + 1 + 1.005

j= 0.06015 tasa mensual: 0.06015/ 12 = 0.0050125

S= 300 = 87357,2422

Este resultado se puede comparar con una tasa del 6% anual con capitalización mensual:

S= 300 = 87245,6137

El primer resultado es mayor que el segundo con $111.6285