Distribucin exponencialLa distribucin exponencial es el equivalente continuo de la distribucin geomtrica discreta. Esta ley de distribucin describe procesos en los que: Nos interesa saber el tiempo hasta que ocurre determinado evento, sabiendo que, el tiempo que pueda ocurrir desde cualquier instante dado t, hasta que ello ocurra en un instante tf, no depende del tiempo transcurrido anteriormente en el que no ha pasado nada. Ejemplos de este tipo de distribuciones son:

El tiempo que tarda una partcula radiactiva en desintegrarse. El conocimiento de la ley que sigue este evento se utiliza en Ciencia para, por ejemplo, la datacin de fsiles o cualquier materia orgnica mediante la tcnica del carbono 14, C14; El tiempo que puede transcurrir en un servicio de urgencias, para la llegada de un paciente; En un proceso de Poisson donde se repite sucesivamente un experimento a intervalos de tiempo iguales, el tiempo que transcurre entre la ocurrencia de dos sucesos consecutivos sigue un modelo probabilstico exponencial. Por ejemplo, el tiempo que transcurre entre que sufrimos dos veces una herida importante. , es tal que su

Concretando, si una v.a. continua X distribuida a lo largo de funcin de densidad es

se dice que sigue una distribucin exponencial de parmetro

,

.

Figura: Funcin de densidad, f, de una

.

Un clculo inmediato nos dice que si x>0,

luego la funcin de distribucin es:

Figura: Funcin de distribucin, F, de

, calculada como el rea que deja por debajo de s la funcin de densidad.

Para calcular el valor esperado y la varianza de la distribucin exponencial, obtenemos en primer lugar la funcin caracterstica para despus, derivando por primera vez

y derivando por segunda vez, Entonces la varianza vale

APLICACIONESEjemplo 1 Se sabe que el tiempo de espera una persona que llama a un centro de atencin al pblico para ser atendido por un asesor es una variable aleatoria exponencial con = 5 minutos. Encuentre la probabilidad de que una persona que llame al azar en un momento dado tenga que esperar: f(x) = F(x)= a. A lo sumo 5 minutos.

P(X < 5) = F(5) = 1- e-1 = 1 -0.3679 = 0.6321=63.21%

b. Al menos 10 minutos.

P(X > 10) = 1- F(10) = 1 [1-e-2] = e-2 = 0.1353=13.53%c. Entre 3 y 10 minutos.

P(3 < X < 10) = F(10) F(3) = [1-e-2] - [1-e-0.6] = e-0.6 - e-2 = 0.4135=41.35%Ejemplo 2

Se sabe que el kilometraje, en miles de kilmetros, que un autobs recorre antes de que se someta a una reparacin del motor sigue una distribucin exponencial con = 80. a. Si se tiene una flota de 300 autobuses, cuntos se esperara que se sometieran a reparacin antes de los 60, 000 Km? R/ 158 b. Cul es la probabilidad de que un autobs recorra ms de 100,000 Km. antes de someter el motor a reparacin? R/ 28.65%

Ejemplo 3 La Internet Magazine supervisa a los proveedores de servicios de internet y proporciona estadsticas de su desempeo. El tiempo promedio para descargar una pgina Web para PSI gratuitos es aproximadamente 20 segundos para pginas web europeas. Suponiendo que el tiempo para descargar una pagina web sigue una distribucin exponencial. a. Cual es la probabilidad de que tome menos de 10 segundos en descargar una pagina. b. Cual es la probabilidad que tome ms de 30 segundos en descargar una pagina. c. Cual es la probabilidad que tome entre 10 y 30 segundos. Ejemplo 4 El tiempo entre llegadas de vehculos a una interseccin particular sigue una distribucin de probabilidad exponencial con una media de 12 segundos. a. Dibuje esta distribucin de probabilidad exponencial. b. Cual es la probabilidad de que el tiempo entre la llegada de vehculos sea de 12 segundos. c. Cual es la probabilidad de que el tiempo sea de 6 segundos o menos. Ejemplo 5 El periodo de vida en aos de un interruptor elctrico tiene una distribucin exponencial con un promedio de falla de =2 aos cual es la probabilidad de que al menos ocho de 10 de tales interruptores, que funcionan independientemente, fallen despus del tercer ao? Si el promedio de fallos es 2 aos sabemos que E(X)=1/ Por lo tanto 2=1/ y =1/2=0.5 las frmulas de la exponencial es f(x) = *exp(-*x) P(X3) = 1-P(X10)= 1 P(t