Aplicación de Las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Orden Superior Para El Modelamiento Del...

8/18/2019 Aplicación de Las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Orden Superior Para El Modelamiento Del Principio de Arq…

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CAPITULO I

GENERALIDADES

!" T#t$%o

Aplicacin de las ecuaciones di!erenciales ordinarias de orden superior para el

"odela"iento del principio de Ar#u$"edes %!lotacin&.

&" Introd$cc#'n

El presente in!or"e es reali+ado con el !in de anali+ar la aplicacin de ecuaciones

di!erenciales de segundo orden, para ello reali+a"os el experi"ento de la !lotacin de una

boya. Dicho experi"ento tiene sus !unda"entos en el principio de Ar#u$"edes #ue establece:-#ue un cuerpo al ser su"ergido en un !luido, se "antiene a !lote por una !uer+a igual al peso

del !luido. Este principio, ta"bin conocido co"o la ley de hidrost/tica, se aplica a los

cuerpos, tanto en !lotacin, co"o su"ergidos0 y a todos los !luidos.1

os propone"os a3eriguar c"o 3ar$a la altura de la porcin de un cilindro %probeta&

#ue sobresale enci"a del agua en !uncin del tie"po. 4ara ello utili+a"os el pa#uete

in!or"/tico Tracker, #ue per"ite anali+ar el "o3i"iento peridico, #ue describe un punto

dibu5ado en nuestra probeta. Con di3ersos ensayos, logra"os establecer el "odelo

"ate"/tico #ue rige nuestro experi"ento.


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(" Pro)%e*a

6os alu"nos del tercer se"estre de ingenier$a "ecatrnica no saben c"o reali+ar

la co"probacin del principio de Ar#u$"edes "ediante la aplicacin de las ecuaciones

di!erenciales de orden superior.

+" O),et#-o Genera%

Aplicar los conoci"ientos tericos obtenidos basados en la "odelacin de

!en"enos !$sicos para poder entender el principio de Ar#u$"edes %!lotacin&.

." O),et#-os es/ec01#cos

• Construir una "a#ueta representati3a y practicar 3arios ensayos para recoger

datos.

• 7sar los datos obtenidos en los ensayos para la "odelacin del !en"eno

!$sico y as$ encontrar la ecuacin di!erencial ordinaria de orden superior.

• Anali+ar el resultado obtenido "ediante progra"as in!or"/ticos y ta"bin

"ediante co"parati3as a los ensayos reali+ados anterior"ente.

2" 3$st#1#cac#'n de% /ro)%e*a

6os estudiantes de ingenier$a "ecatrnica desconocen la parte pr/ctica acerca de las

ecuaciones di!erenciales de orden superior as$ ta"bin co"o desconocen la aplicacin

de estas ecuaciones en el !en"eno !$sico lla"ado !lotacin principio de

Ar#u$"edes.

4" 5#/'tes#s

Es necesaria la reali+acin de proyectos experi"entales para conocer sobre la

aplicacin de las ED8 de orden superior, ya #ue "ediante esto se 3eri!icar/ la

e!ecti3idad de los "odelos "ate"/ticos.


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6" A%cance

ED8 de orden superior, integracin, deri3acin, !$sica.


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CAPITULO II

MARCO TEORICO

&"! Antecedentes

%BA9ETT, 2)')& En el siglo III A.C. se cuenta #ue el rey ern de ;iracusa

le hab$a entregado a un platero una cierta cantidad de oro para con ella le hiciera una

corona. Cuando estu3o ter"inada, se dec$a #ue el platero hab$a sustituido una parte del

oro por una cantidad e#ui3alente de plata, de3aluando con ello la corona y enga


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&"& PRINCIPIO DE AR8U9MEDES

El principio de Ar#u$"edes dice #ue, estando un cuerpo su"ergido en un !luido, se

"antiene a !lote por una !uer+a igual al peso del !luido. Este principio, ta"bin conocido

co"o la ley de hidrost/tica, se aplica a los cuerpos, tanto en !lotacin, co"o su"ergidos0 y a

todos los !luidos.

F#g$ra N7 &" Ar#u$"edes

%I6;8, 2)''& Ar#u$"edes ta"bin hace posible la deter"inacin de la densidad

de un ob5eto de !or"a irregular, de "anera #ue su 3olu"en no se "ide directa"ente. ;i el

ob5eto se pesa pri"ero en el aire y luego en el en agua, entonces0 la di!erencia de estos pesos

igualar/ el peso del 3olu"en del agua ca"biado de sitio, #ue es igual al 3olu"en del ob5eto.

As$ la densidad del ob5eto puede deter"inarse pronta"ente, di3idendo el peso entre el

3olu"en.

El principio de Ar#u$"edes se puede de"ostrar al estudiar las !uer+as #ue un !luido

e5erce sobre un ob5eto suspendido. Considrese un disco de /rea A y altura el cual est/

co"pleta"ente su"ergido en un !luido. 9ecurdese #ue la presin a cual#uier pro!undidad h

en un !luido est/ dada por:

4 pg h

En donde p es la densidad de "asa del !luido y g la aceleracin de la gra3edad. ;i se

desea representar la presin absoluta dentro del !luido, se debe su"ar la presin externa

e5ercida por la at"s!era. 6a presin total hacia aba5o 4' en la cara superior del disco, es, por tanto


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4' 4a pg h' hacia aba5o

;i se desarrolla !r"ula se llega a:

E=mg= ρf g V

Donde E es el e"pu5e,

1 es la densidad del !luido,

V el 3olu"en de !luido despla+ado 4or algFn cuerpo su"ergido

parcial o total"ente en el "is"o.

g la aceleracin de la gra3edad y

* la "asa.

De este "odo, el e"pu5e depende de la densidad del !luido, del 3olu"en del cuerpo y

de la gra3edad existente en ese lugar. El e"pu5e %en condiciones nor"ales y descritas de

"odo si"pli!icado& actFa 3ertical"ente hacia arriba y est/ aplicado en el centro de gra3edaddel !luido desalo5ado por el cuerpo0 este punto recibe el no"bre de centro de carena.

&"( PRINCIPIO DE FLOTACI;N

%9onald, 2)''& En la !igura 3e"os es#ue"/tica"ente una boya cil$ndrica, #ue

supondre"os ho"ognea, !lotando en agua, de "anera #ue sola"ente cierta distancia de

ella aso"a por sobre la super!icie del l$#uido.


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F#g$ra N< (" Cilindro su"ergido en agua en x %)&

;uponga"os #ue se presiona la boya hasta #ue su cara superior #ueda exacta"ente al

ni3el del l$#uido y luego se la suelta. os propone"os a3eriguar c"o 3ar$a la altura de la

porcin de boya #ue sobresale enci"a del agua en !uncin del tie"po.

4ara encontrar un "odelo #ue per"ita describir la 3ariacin de la altura 3a"os a

despreciar los e!ectos de ro+a"iento. %Gent, EdHard, Arthur, 2))J&. 8bser3e"os #ue la

boya se despla+a en la direccin 3ertical y #ue en cada instante %despus de #ue cesa la

presin sobre ella& actFan la !uer+a de e"pu5e de "agnitud, Ke, y la !uer+a peso de "agnitud,

4. 6la"e"os x%t& a la altura de la porcin de boya #ue sobresale enci"a del agua en el

instante t.

F#g$ra N< +" Cilindro su"ergido en agua en x%t&

Considerando co"o sentido positi3o el 3ertical hacia arriba y aplicando la segunda ley

de eHton se obtiene #ue:

} (t)

F e− P=mx¿ =!>

Dnde: * es la "asa de la boya.

%9ichard Labriel, 2))& El principio de Ar#u$"edes dice #ue un cuerpo total o

parcial"ente su"ergido en un !luido est/tico ser/ e"pu5ado con una !uer+a 3ertical

ascendente igual al peso del 3olu"en de !luido despla+ado por dicho cuerpo. Entonces:


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F e= ρaA(h− x (t )) g =&>

Dnde: A es el /rea de la base de la boya. h es la altura de la boya.

a es la densidad del agua y

g es la aceleracin de la gra3edad.

El peso de la boya se expresa co"o h)Ag donde ) es la densidad de la boya.

9ee"pla+ando =&> en =!>, se obtiene:

} (t)

ρaA (h− x (t ) ) g−hρbAg=hρb A x¿ =(>


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CAPITULO III

DESARROLLO

("!" MATERIALES

Ta)%a !" Materiales

MATERIALES CANTIDAD CARACTER9STICAS GR?FICO

@a%de ';e utili+a para captar el

agua.

Ag$a '6$#uido #ue per"ite

reali+ar el experi"ento.

T$)o de ensao 'Cuerpo #ue se asu"e

co"o boya.

Ce%$%ar ';ir3e para grabar el

!en"eno !$sico.


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("&" DIAGRAMA DEL SISTEMA

F#g$ra !: Diagra"a del siste"a

("( CONSTANTES ONTENIDAS

Existen datos constantes #ue se obtienen "ediante el c/lculo de condiciones en el e#uilibrio

del siste"a en un tie"po t igual a cero, los cuales !ueron:

x%)&',J c"

h2) c"

"N)g

F#g$ra ." E#uilibrio del siste"a.


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("+ TA@LA DE DATOS

Ensayo ' Ensayo 2 Ensayo O

Palor

Medio

t QsR y Q"R y Q"R y Q"R S"Q"R

) ),))2 ),))O ),))2 ),))2

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2,*O' ),)) ),)) ),)) ),))

Ta)%a &: Datos obtenidos en la pr/ctica


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(". RESOLUCI;N DE LA E"D"O

Teniendo en cuenta las ecuaciones antes descritas en el Cap$tulo II y las condiciones

ya presentadas en el inciso O.O:

ote"os #ue en la Kig J, en la posicin de e#uilibrio, F e= P , lo #ue i"plica #ue:

37

40hρaAg=hρbAg

;i"pli!icando esta Flti"a expresin obtene"os #ue:

ρa=40

37 ρb

9ee"pla+ando en la ecuacin =(> y si"pli!icando se llega a:

} + {40g} over {37 h} x- {3} over {37} g=0

x¿

} +g left ({40} over {37 h} x - {3} over {37} right ) =0

x¿

Esta ED86 es de orden 2 y no ho"ognea.

aciendo la sustitucin: z (t )=40

37h x−

3

37 obtene"os la ED86 ho"ognea:

} +gz=0

37 h

40 z

¿

Co"o ya he"os 3isto su solucin general es:

z (t )=c1 cos(√ 40 g37 h t )+c2 sen(√ 40 g37 h t )

S as$,


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x (t )=37h

40 c1 cos(√ 40 g37 h t )+37h40 c2 sen(√ 40 g37 h t )+3h40

6as condiciones iniciales, x (0 )=0 y x' (0 )=0 nos per"iten obtener la expresin para la

altura de la boya #ue sobresale del ni3el del agua en cada instante t,

x (t )=−3h

40cos(√ 40g37h t )+3h40

En particular, para la boya de 2) cent$"etros de altura, tene"os:

x ( t )= −3

200cos( 14√ 37037 t )+ 3200

("(" CB%c$%os

("("!" Ca%c$%o de Datos te'r#cos

x (t )=−3

200cos ( 14√ 37037 t )+ 3200

Con los respecti3os tie"pos obtene"os los siguientes resultados:

t QsR x%t& Q"R t QsR x%t& Q"R

) ) ',U ),)2JN

),' ),))ON ',J ),)'*2

),2 ),)'OO ',* ),))J

),O ),)2O* ', ),)))O

),U ),)2* ',N ),))2'

),J ),)2N2 ', ),)')U

),* ),)2)' 2 ),)2''

), ),))U 2,' ),)2N

),N ),))'* 2,2 ),)2O

), ),)))J 2,O ),)22

' ),))*N 2,U ),)'22


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14

',' ),)'O 2,J ),))O'

',2 ),)2** 2,* ),))))

',O ),)O)) 2,*O' ),)))

Ta)%a &: Datos te'r#cos o)ten#dos

CAPITULO IV

SIMULACI;N

+"!" Ingreso de% *ode%o Mate*Bt#co en Mode%%$s"

F#g$ra 2" Modelo "ate"/tico

+"&" C$r-as S#*$%adas

Cur3a de !lotacin de un slido


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F#g$ra 4" Cur3a generada en la si"ulacin


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+"&" TA@LA DE RESULTADOS

Ta)%a +" 9esultados obtenidos de la ecuacin di!erencial.


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CAPITULO V

ANALISIS DE RESULTADOS

."! ERROR PORCENTUAL

E= DatoTeorico− Dato Práctico

V T ∗100

Dato experi"ental Dato Teorico Error porcetual

t QsR V"Q"R x%t& Q"R W

) ),))2 ) )

),' ),)'O ),))U 2,2J

),2 ),)2O ),)'O ),

),O ),)2 ),)2U ),'O

),U ),)2U ),)O ),2)

),J ),)'J ),)2N ),U*

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2,U ),))N ),)'2 ),OO

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2,*O' ),)) ),))' *,))


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."& GR?FICAS

F#g$ra 4" Lra!ica de la Cur3a Terica y pr/ctica

."( INTERPRETACI;N

Lui/ndonos tanto en los errores porcentuales y las gr/!icas obtenidas respecti3a"ente

pode"os obser3ar #ue existen ligeras di!erencias haciendo #ue el "odelo no sea adapte a las

condiciones reales del siste"a, llegando as$ a la a!ir"acin #ue nuestro "odelo es Ftil para

condiciones ideales.


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CAPITULO VI

2"! CONCLUSIONES

• 9eali+a"os una "a#ueta con !ines experi"entales en la cual pudi"os obtener

datos de di!erentes ensayos para poder usarlos en los c/lculos.

• Con los datos obtenidos en los ensayos y con el uso de "todos de resolucin

de las Edo de orden superior se pudo hallar el "odelo "ate"/tico del

!en"eno de !lotacin.

• 6uego del an/lisis del "odelo hallado y "ediante el uso del so!tHare "odellux

3eri!ica"os #ue este "odelo se cu"ple en periodos "uy cortos de tie"po y

sola"ente en el inicio, debido a esto asu"i"os #ue el "odelo es ideal.

2"& RECOMENDACIONES

• 4ara e3itar errores porcentuales ele3ados se reco"ienda el uso de so!tHare

para la to"a respecti3a de datos, tal co"o es el progra"a Tracker.

• 4ara una "e5or apreciacin del !en"eno se reco"ienda #ue en la

construccin de una "a#ueta se trate de usar recipientes transparentes y no de

colores intensos.• 4ara la resolucin de E.D.8 de segundo orden es de "ucha utilidad resol3erlo

por coe!iciente indeter"inado.

@I@LIOGRAF9A


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BA9ETT, 9. A. %2)')&. -Enciclopedia Te"/tica Ilustrada1. En 9. A. BA9ETT,

“Enciclopedia Temática Ilustrada”. Estocol"o, ;uecia: Editorial 6A Garton AB.

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en la frontera. Mexico: 4EA9;8 .

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I6;8, Y. D. %2)''&. Física. Ciudad de Mxico, Mxico: Editorial Mc LraH il.


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ANEOS

Aneo !" GrB1#ca de% ensao !

Aneo &" GrB1#ca de% ensao &


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Aneo (" GrB1#ca de% ensao (

Aneo +" C$er/o de Pr$e)a


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Aneo ." Med#c#'n de %a /os#c#'n de e$#%#)r#o

Aneo 2" To*a de datos =ca/t$ra de -#deo de% 1en'*eno 10s#co>

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