Problemas de CónicasLas Parábolas

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Hallar la ecuación de la parábola de vértice el punto (3, 2) y foco (5, 2)

Hallar la ecuación de la parábola de foco el punto ( 6, −2) y directriz la recta x−2=0

Hallar la ecuación de la parábola de eje paralelo al de coordenada x, y que pase por los puntos (−2, 1), (1, 2), (−1, 3)Determine para la siguiente parábola, las coordenadas del vértice, las coordenadas del foco, la longitud del latus rectum y la ecuación de la directriz. y2 −4y + 6x −16= 0

1Hallar la ecuación de la parábola de vértice el punto (3, 2) y foco (5, 2)

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Solución: Datos del Problema: Vértice V(3,2); Foco F(5,2).

Identificando el tipo de parábola: Si observamos el vértice y el foco sus coordenadas, se ve que la abscisa varia de 3 a 5 (o viceversa) y permanece constante la ordenada, es decir, «y=2», esto nos indica que esta parábola es horizontal y abre hacia la derecha, por lo que está ecuación tiene la forma: ; El vértice de está parábola es ; luego k=2 y h=3.

El foco de la parábola horizontal que abre hacia la derecha tiene por coordenadas la fórmula siguiente: .

luego tenemos que ,

La Directriz tiene sentido contrario al foco, es decir , luego tenemos que la directriz es:

La ecuación de dicha parábola es:

Para realizar la gráfica debemos tener en cuenta:a) Simetría de la ecuación: Por ser la ecuación de una parábola

horizontal su simetría es con el eje «X», y no presenta simetría con el eje «Y» ni con el origen de coordenadas.

b) Su Dominio y Rango: Su Dominio son xR+ / x [3,+); su Rango es todo R, es decir (- , + )c) Puntos de cortes con los ejes coordenados: Si hacemos x=0, obtenemos la ecuación: donde a=1; b=-4 y c=28, empleando la fórmula , desarrollando y operando se tiene:

(no hay solución real), como vimos en la parte b) su solución esta en el intervalo [3,+)c) Realizar una tabla de valores:

Y -3 -2 -1 0 1 2 3X 49/8 5 33/8 7/2 33/8 5 49/8

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La gráfica de la ecuación de la parábola obtenida es:

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Solución: Datos del Problema: Foco F(6,-2) y Directriz: x-2=0

Identificando el tipo de parábola: Si observamos la recta directriz, corta en la abscisa x=2, que es una recta paralela al eje «y» por lo que, la parábola es horizontal y sus ramales abren hacia la derecha de esta recta, porque el foco se encuentra a la derecha de la directriz, por tanto, la parábola es horizontal y abre hacia la derecha, por lo que está ecuación tiene la forma canónica:

Como el foco se encuentra en F(6,-2), el eje principal de la parábola es paralelo al eje «x» de coordenadas, y pasa por por y=-2, entonces el punto de corte de la directriz con el eje principal es el punto A(2,-2). Recordemos que el vértice esta en el eje principal de la parábola y el punto medio entre A(2, -2) y el foco F(6,-2) es la coordenada del vértice, es decir:

y

El vértice de está parábola es . Las coordenadas del foco de la parábola horizontal que abre hacia la derecha tiene por la fórmula:

luego tenemos que .

Hallar la ecuación de la parábola de foco el punto ( 6, −2) y directriz la recta x−2=0

La ecuación de dicha parábola es: Para realizar la gráfica debemos tener en cuenta:a) Simetría de la ecuación: Por ser la ecuación de una parábola

horizontal su simetría es con el eje «X», y no presenta simetría con el eje «Y» ni con el origen de coordenadas.

b) Su Dominio y Rango: Su Dominio son xR+ / x [4,+); su Rango es todo R, es decir (- , + )c) Puntos de cortes con los ejes coordenados: Si hacemos x=0, obtenemos la ecuación: donde a=1; b=4 y c=32, empleando la fórmula , desarrollando y operando se tiene: (no hay solución real), como vimos en la parte b) su solución esta en el intervalo [4,+)

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La gráfica de la ecuación de la parábola obtenida es:

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c) Realizar una tabla de valores:Y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4X 17/

257/8

4 41/8

9/2 33/8

4 33/8

9/2

Hallar la ecuación de la parábola de eje principal paralelo al eje de coordenada «x», y que pase por los puntos (−2, 1), (1, 2), (−1, 3)

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Solución. Datos del problema: Eje Principal (VF) Eje «x», por tanto, es una parábola horizontal, cuya ecuación general es: Los puntos siguientes pertenecen a la ecuación, es decir: A(-2,1); B(1,2) y C(-1,3). Sustituyendo estos puntos en (*) obtenemos:Para A(-2,1): (1)Para B(1,2): (2) Para C(-1,3): (3) Luego tenemos el sistema formado por tres (3) ecuaciones, es decir:

Hacemos a) 2+3 b) 1+2(2) obtenemos las ecuaciones siguientes:a) 5E+2F=-13 y b) 5E+3F=-9. Restando a) y b) obtenemos: -F=-4; F=4 (4).

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Sustituyendo (4) en (2 y 3) obtenemos:

Sumando (a) de (b) obtenemos: Sustituyendo este valor en (a) ó en (b) tenemos:. Luego obtenemos los valores siguiente: y 4. Sustituyendo estos valores en (*) obtenemos: La ecuación de la parábola es: ó

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La ecuación de la parábola tiene la ecuación siguiente:Canónica: () ó General: Para realizar la gráfica debemos tener en cuenta:a) Simetría de la ecuación: Por ser la ecuación de una parábola

horizontal su simetría es con el eje «X», y no presenta simetría con el eje «Y» ni con el origen de coordenadas.

b) Su Dominio y Rango: Su Dominio son xR+ / x (-,]; su Rango es todo R, es decir (- , + )c) Puntos de cortes con los ejes coordenados: Si hacemos x=0, obtenemos la ecuación: Si hacemos y=0, obtenemos la ecuación x=-10También tenemos los elementos siguientes:El Vértice es: , El foco es: Directriz

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El gráfico de la parábola es:

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4 Determine para la siguiente parábola, las coordenadas del vértice, las coordenadas del foco, la longitud del latus rectum y la ecuación de la directriz. y2 −4y + 6x −16= 0Solución: Datos del problema: el vértice V(h,k), el foco , Lado Recto

LR=4p y la Directriz . Desarrollando y operando la ecuación dada tenemos: , que tiene la forma canónica de una ecuación de la parábola horizontal que abre a la izquierda, es decir:; ; ; y la directriz D:x=h+p, entonces tenemos: El vértice es: El foco es: La directriz es: El lado recto es: Para realizar la gráfica debemos tener en cuenta:1) Simetría de la ecuación: Por ser la ecuación de una parábola

horizontal su simetría es con el eje «X», y no presenta simetría con el eje «Y» ni con el origen de coordenadas.

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2) Su Dominio y Rango: Su Dominio son xR+ / x ; su Rango es todo R, es decir (- , + )3) Puntos de cortes con los ejes coordenados: Si hacemos x=0, obtenemos la ecuación: ; si x=0 se obtiene la ecuación: donde ; y , empleando la fórmula , desarrollando y operando se tiene: Los puntos son: P1(0,2+) y P2(0,2-)

c) Realizar una tabla de valores:

x -10,00 -9,00 -8,00 -7,00 -6,00 -5,00 -4,00 -3,33 -3,00 -2,00 -1,00 0,00 1,00 2,00 3,00 3,33y1 -6,94 -6,60 -6,25 -5,87 -5,48 -5,07 -4,63 -4,32 -4,16 -3,66 -3,10 -2,47 -1,74 -0,83 0,59 2,00y2 10,94 10,60 10,25 9,87 9,48 9,07 8,63 8,32 8,16 7,66 7,10 6,47 5,74 4,83 3,41 2,00

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La gráfica de la ecuación de la parábola y sus elementos principales:

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