Universidad Autnoma de San Luis Potos

Ingeniera en Informtica

Materia: Clculo C

Profesor: Emma Luz

Nombre del Alumno: Isabel Cristina Flores Gonzlez

Tarea: Aplicaciones

Semestre: 3

Grupo: 2708

Horario: 18:00-19:00

San Luis Potos, S.L.P. a 15 de septiembre de 2014Divergencia del gradienteAproximacin lineal de una funcinEl gradiente de unafuncindefinida deRnRcaracteriza la mejoraproximacin linealde la funcin en un punto particularenRn. Se expresa as:dondees el gradiente evaluado enAplicaciones en fsicaLainterpretacin fsica del gradientees la siguiente: mide la rapidez de variacin de una magnitud fsica al desplazarse una cierta distancia. Un gradiente alto significa que de un punto a otro cercano la magnitud puede presentar variaciones importantes (aqu se entiende por gradiente alto o grande uno tal que su mdulo es grande). Un gradiente de una magnitud pequeo o nulo implica que dicha magnitud apenas vara de un punto a otro.Elgradiente de una magnitud fsicaposee innumerables aplicaciones en fsica, especialmente enelectromagnetismoymecnica de fluidos. En particular, existen muchos campos vectoriales que puede escribirse como el gradiente de unpotencialescalar.Uno de ellos es el campo electrosttico, que deriva delpotencial elctrico:

Todo campo que pueda escribirse como el gradiente de un campo escalar, se denominapotencial,conservativooirrotacional. As, una fuerza conservativa deriva de la energa potencial como:

Los gradientes tambin aparecen en los procesos de difusin que verifican laley de Ficko laley de Fourierpara la temperatura. As, por ejemplo, el flujo de calor en un material es directamente proporcional al gradiente de temperaturas

siendolaconductividad trmica.

Campo solenoidalUncampo solenoidal(tambin llamado campoincompresibleo dedivergencia nula) en un dominioes uncampo vectorialvcuyadivergenciaes cero en todos los puntos de:

Esta condicin se satisface siempre y cuandovest derivado de unpotencial vectorial,A, esto es:

En efecto, sivviene dado de la forma anterior entonces se cumple automticamente que:

La afirmacincontrarrecprocatambin es cierta pues, gracias a un teorema dePoincar, sives solenoidal en algn punto entonces localmente el campo es expresable como el rotacionalde un campo vectorial.Este concepto se puede definir de forma equivalente utilizando elteorema de la divergencia. En concreto, un campo solenoidalves aquel que verifica que, para cualquier superficie de control cerrada, el flujo neto total a travs dees igual a cero:

dondees el vector normal exterior a.

Ejemplos de la fsica Una de lasecuaciones de Maxwellimplica que elcampo magnticoBes solenoidal; El campo develocidadesde unflujo incompresiblees solenoidal. Dada una barra oprisma mecnicosometido atorsinel campo de tensiones tangenciales de una seccin transversal asociadas a la torsin es solenoidal, concurvas integrales cerradas.Divergencia del RotacionalPara el campo vectorial calcule su divergencia y su rotacional, empleando en cada caso, coordenadas cartesianas, cilndricas y esfricas. Cules son irrotacionales y cules solenoidales?La divergencia, calculada en cartesianas, del vector de posicin, es

Para este mismo campo, en cilndricas, sustituyendo la expresin dedada enotro problema

y, en esfricas,

RotacionalPara el rotacional de este mismo campo, empleando coordenadas cartesianas

en cilndricas

y en esfricas

Naturalmente los resultados son los mismos independientemente del sistema empleado para calcularlos.

Vector irrotacionalElrotacionalorotores unoperador vectorialque muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotacin alrededor de un punto.Matemticamente, esta idea se expresa como el lmite de lacirculacindel campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto:

Aqu,es el rea de la superficie apoyada en la curva, que se reduce a un punto. El resultado de este lmite no es el rotacional completo (que es un vector), sino solo su componente segn la direccin normal ay orientada segn la regla de la mano derecha. Para obtener el rotacional completo debern calcularse tres lmites, considerando tres curvas situadas enplanosperpendiculares.Aunque el que el rotacional de un campo alrededor de un punto sea distinto de cero no implica que las lneas de campo giren alrededor de ese punto y lo encierren. Por ejemplo, el campo de velocidades de unfluidoque circula por una tubera (conocido como perfil dePoiseuille) posee un rotacional no nulo en todas partes, salvo en el eje central, pese a que la corriente fluye en lnea recta:

La idea es que si colocamos una rueda de paletas infinitamente pequea en el interior del campo vectorial, esta rueda girar, aunque el campo tenga siempre la misma direccin, debido a la diferente magnitud del campo a un lado y a otro de la rueda.