Aplicaciones de Derivadas e Integrales - Blumenfarb

8/18/2019 Aplicaciones de Derivadas e Integrales - Blumenfarb

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APLICACIONES DE DERIVADAS E

1. Definir derivada de una funcilo anterior? Dar ejemplos mat

La derivada de una función y=f(x) enmide la pendiente de la recta tange

Aplicación geométrica:

El valor numérico de la derivada serfunciones:Si f'(x) > 0 para todo x ϵ al intervalo (Si f'(x) < 0 para todo x ϵ al intervalo (Y el valor numérico de la segunda d

Si f''(x) > 0 para todo x ϵ al intervaloSi f''(x) < 0 para todo x ϵ al intervalo

Ej: Siendo f(x)= 2x4 -8x -3

f'(x)= 8x³ -8 →f'(x)= 8x³ x= 1→

→f''(x)= 24

(-∞,1) →f'(0)= 8.0³ -8= -8 →como es

(1,∞) →f'(2)= 8.2³ -8= 56 →como es

Aplicación física:

La 1er derivada se utiliza para hallarSupongamos que un automóvil se mDetermine la velocidad cuando la acS(t)= -t³+9t²+tS'(t)= -3t²+18t+1 →t=?S''(t)= -6t+18 →S''(t)= -6t+18= 0

t= 3

INTEGRALES

n en un punto. Cuáles son las interpretacemático y físico. Enunciar algún problema d

un punto x0 de su dominio, indicada por y=f te a la curva que representa la función en e

un elemento esencial para estudiar el creci

a,b), entonces f(x) es creciente en (a,b)a,b), entonces f(x) es decreciente en (a,b)rivada determina puntos de inflexión y conc

a,b), entonces f(x) es cóncava en (a,b) ᴗ a,b), entonces f(x) es convexa en (a,b) ᴖ

-8= 0 punto crítico (1, -9)

² →f''(1)= 24.1² →como es f''(1) > 0 es

< 0 es decreciente en (-∞,1)

> 0 es creciente en (1,∞)

la velocidad instantánea y la 2da para la acueve de acuerdo con la siguiente expresiónleración es =0

→S'(3)= -3.3²+18.3+1S'(3)= 28m/s

iones geométrica y física dee índole numérica.

x0), es un número real quepunto x0.

miento y el decrecimiento de

vidad de funciones:

un mínimo

leración instantánea.S(t)= -t³+9t²+t


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2. Definir función creciente y decreciente en un intervalo. Definir máximos y mínimos (extremoslocales) relativos de una función. ¿Cómo se determinan los intervalos de crecimiento y decrecimientode una función? Enunciar los dos criterios (necesario y suficiente) que permiten evaluar elcrecimiento de una función en un punto. Ilustrar con un ejemplo numérico.

Función creciente:Cuando la función y= f(x) en un intervalo (a,b) si para todo par de puntos x1, x2, siendo x1 0 la función seria creciente y no podría tener máximo o mínimo en ese punto.Si f'(x0) < 0 la función seria decreciente y no podría tener máximo o mínimo en ese punto.Entonces la única alternativa es que f'(x0)= 0 para que en ese punto haya un máximo o un mínimo. Estacondición es necesaria pero no suficiente, ya que puede ocurrir q en un punto se verifique dicha condición sin

que tenga allí la función un extremo local.


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Criterio de la segunda derivada(condición suficiente)Si la segunda derivada de una función no se anula en un punto x 0 que anula la derivada primera: f'(x0)= 0,resulta:Si f''(x0) > 0, la f (x) hay un mínimo local en x 0.Si f''(x0) < 0, la f (x) hay un máximo local en x 0.

Ej Problemas de optimización:Se pide calcular la superficie mínima a cubrir con baldosas para un borde perimetral de una piscinarectangular de 18m², teniendo en cuenta que dicho borde tiene 1m de ancho en los lados largos y de2m en los lados cortos.

Área borde= (x+4m) . (y+2m) - Área piscina

Área piscina= 18m² = x . yy= 18m²/x

Área borde= (x+4) . (18/x +2)A = 2x + 72/x + 26

•Derivar para hallar máximos y mínimos:

A' = 2 - 72/x² →A' = 2 - 72/x²= 0

x = ± 6 →se considera el valor positivo porquelas distancias no son negativas •Comprobar con la 2da derivada si es un mínimo:

A'' = 72/x³ → x= 6A'' = 1/3 →como es positivo es un mínimo

•Despejar:

y= 18m²/6my= 3m

Área borde= (6m+4m) . (3m+2m) - 18m²Área borde= 32m²


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3. Integrales aplicadas a la fí cálculo integral. Enuncie la LEnunciar algún ejemplo senci

Trabajo de una fuerzaEl trabajo efectuado por una fuerConstante: T = F.s, donde 's' es lNo constante: para calcular el tradefinida. Sea F(x) la fuerza que hhasta otro punto 'b' sobre el eje x,Subdividiendo el intervalo [a,b] ena lo largo de un pequeño interval

n

T= lím ∑F(xi).Δx=n→∞ i=1

De acuerdo con la ley de Hooke,proporcional a la longitud de laF(x)= - k . x donde la constante kEn ese caso, el trabajo realizadopunto 'b' (o se comprimió en el mi

T= ∫ab

kx. dx

= k ∫ab

x. dx

= k x² /2│ ab

= k/2 (b²-a²)

T= ∫24 10.x.dx= 10. x² /2

│24

= 10/2 (4²-2²)T= 60 gcm

∫ab F(x).dx

ica. Enuncie el concepto de trabajo de uny de Hooke y explique su utilidad. Dé un e

llo para cada una de ellas y resolverlo.

a dirigida F, que mueve un objeto sobredistancia a la que se ha dezplazado elajo efectuado por dicha fuerza se realizce desplazar un objeto situado en un pdonde a ≤ x ≤ b.n pares, se puede calcular el trabajo efΔx, sumar luego todos estos trabajos y

la fuerza requerida F para estirar o co deformación (estiramiento o compresió

es la constante del resorte y se mide enor la fuerza, si el resorte se estiró desd

smo intervalo) será:

x=fuerzak=constante

a fuerza como aplicación delemplo numérico y resuélvalo.

un eje 'x', puede ser:bjeto.por medio de una integral

nto 'x' desde un punto 'a'

ctuado al mover el objetopasar al límite.

primir un resorte es

n) 'x' del resorte, esto esg/cm en el sistema CGS.un cierto punto hasta un


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4. Defina momentos de 1º y dutiliza para calcular el centro

Se suponen ubicados sobre una rectconocidas respecto de un origen O.

El momento de 1er orden o momelas abscisas x 1, x 2 , … x n , por las masque se miden en gcm.

n

M(1)

= m1x1 + m2x2 …+mnxn = ∑ mixii=1

Para el momento de 2do orden o productos de las masas por los cuad

n

M(2)

= m1x1² + m2x2² …+mnxn² = ∑ mi

i=1

Desplazando el eje de coordenadascentro de masas del sistema de mestático se anule, y siendo xG su abs

MG(1) = m1(x1-xG) + m2(x2-xG) …+mn(x

m1x1 + m2x2 …

n

xG = ∑ mixii=1 = M(1)

n M ∑ mii=1

El centro de gravedad es un punto fimomento estático sería igual al mom

• Ejemplo de puntos alineEn un punto de abscisas

n

M(1)

= ∑ mixi = 7gr. 1cm +i=1

n

M(2) = ∑ mixi² = 7gr.(1²cm)i=1

n xG = ∑ mixi

i=1 = M(1) = -2gc n M 15 ∑ mi

i=1

2º orden para un sistema de puntos en unde gravedad del mismo.

a un conjunto de puntos materiales con mas

to estático, respecto del origen O, a la suas correspondientes. Siendo el resultado va

omento de inercia, respecto del origen O,rados de las distancias al origen. Siendo el r

i²

a un nuevo punto G sobre la recta, baricentsas mi distribuidas en los puntos de absciscisa:

n-xG) = 0mnxn = xG (m1 + m2 …+mn)

Si M es la m

ticio tal que, si en él se concentrara la masento estático del sistema.

dos ; (-3); 5; (-4) cm se han colocado masas de

5gr. (-3)cm + 2gr. 5cm + 1gr. (-4)cm = -2gc

+ 5gr.(-3²cm) +2gr.(5²gcm) +1gr.(-4²cm) = 1

= -0.13cm

plano. Explique cómo los

as m 1, m 2 , … m n de abscisas

atoria de los productos delores positivos y negativos,

la sumatoria de losesultado valores positivos.

ro, centro de gravedad o

s xi, tal que el momento

sa total →M= m1 + m2 …+mn

total del sistema, su

7; 5; 2; 1 gr.

18gcm²


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• Ejemplo de puntos no alineados

n

Mx(1) = ∑ ∆m.y →masa multiplicada la distancia al eje y! i=1

= 2g.3cm +5g.(-2)cm +2g.2cm +4g.5cm +1g.(-2)cm= 18gcm n

My(1) = ∑ ∆m.x →masa multiplicada la distancia al eje x! i=1

= 2g.(-4)cm +5g.(-3)cm +2g.3cm +4g.6cm +1g.7cm= 14gcm

n

Mx(2) = ∑ ∆m.y ² →masa multiplicada la distancia al eje y al cuadradoi=1

= 2g.(3cm)² +5g.(-2cm)² +2g.(2cm)² +4g.(5cm)² +1g.(-2cm)²= 150gcmn

My(2) = ∑ ∆m.x ² →masa multiplicada la distancia al eje x al cuadradoi=1

= 2g.(-4cm)² +5g.(-3cm)² +2g.(3cm)² +4g.(6cm)² +1g.(7cm)²= 288gcm

n

xG = ∑ ∆mixi i=1 = Mx(1) = 18gcm = 1.3cmn M 14g∑ mi i=1

n yG = ∑ ∆miyi

i=1 = My(1) = 14gcm = 1cm

n M 14g∑ mi i=1

G= (xG, yG)= (1.3; 1)

_ __________

M= ∑mi= 14g


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• SuperficieSea una figura plana limitada por el arco de la curva AB representando por la función y= f(x), lasordenadas x=a, x=b y el eje de las x; se supone que dicha figura es homogénea: posee una

densidad superficial δ constante.

Mx(1)= δ ∫abx.y.dx

My(1)= δ ∫aby².dxmasa total M= δ.A

A= ∫ab y.dx xG= 1/A ∫abx.y.dxyG= 1/2A ∫aby².dx

Si la figura tiene 1 eje de simetría, el baricentro deberá estar forzosamente en él, y si posee dosejes de simetría, se hallará en la intersección de ambos.

Ej:

f(x)= x-1 entre [0;1] Área= ∫01 x-1.dx= 1/2 x² -x│0

1

xG= ∫01 x.[f(x)].dx yG= ∫01 [x-1]².dx = (1/2-1) - 0= -1/2(-1/2) -1

= ∫01 x²- x.dx = ∫01 x²- 2.1.x + 1².dx(-1/2) -1

= 1/3x³ -1/2x²│01

=1/3x³ -x² +x│01

(-1/2) -1= 1/3 - 0 = -1/3 - 0

= 1/3 = -1/3

G= (1/3; -1/3)


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• VolumenCon una integral definida, se puede determinar el baricentro de un cuerpo de revolución, elcual estará ubicado sobre el eje de rotación.Sea un sólido por la rotación de la curva y= f(x) alrededor del eje de las x. Sobre el eje x(y=0; z=0)la única coordenada que habrá que evaluar será xG

xG= π∫abx.y².dx →V= π∫aby².dx V


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• Ejemplo de una \"L\" (momento de inercia y baricentro).¿De una superficie plana rectangular respecto de un eje paralelo a su base?


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RESUMEN: momentos estático y de inercia, y baricentro

M(1) M(2) BARICENTRO

Puntosalineados

n

M(1) = ∑ mixii=1

n

M(1) = ∑ mixi²i=1

n xG = ∑ mixi

i=1 = M(1) n M

∑ mii=1

PuntosNO

alineados

n

Mx(1) = ∑ ∆m.y i=1

n

Mx(1) = ∑ ∆m.y² i=1

n xG = ∑ ∆mixi

i=1 = Mx(1) n M

∑ mi i=1

n

My(1) = ∑ ∆m.x i=1

n

My(1) = ∑ ∆m.x² i=1

n yG = ∑ ∆miyi

i=1 = My(1) n M

∑ mi i=1

Superficie

(entre f(x) y ejes)

Mx(1)= δ ∫abx.y.dx

My(1)= δ ∫aby².dx

masa total M= δ.A

xG= 1/A ∫abx.y.dxyG= 1/2A ∫aby².dx

A= ∫ab y.dxSuperficie

(entre G(x) y F(x))║

Volumen

(de revolución sobre uneje, o sea q las otras 2

coordenadas =0)

xG=π∫abx.y².dxV

→V= π∫aby².dx

PlacaPlana

(Teorema de Steiner)

Mx( ) = b x h³12

Mx(2) = ∑Mx de cada rectángulo

xG= ∑áreai x yGi =áreaT

My( ) = b³ x h

12M (2) = ∑M de cada rectángulo yG= ∑áreai x xGi =

áreaT Mx,y

(2) = MG² + M . d²


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5. Aplicaciones geométricas de las integrales fórmulas y ejemplos.

Área entre f(x) y ejesLa integral definida de una función entre un intervalo [a,b] representa el área limitada por la gráfica dela función y el eje de coordenada.

Área entre f(x)El área entre funciones se obtiene de la resta de la integral de la función superior y de la inferior.

Volumen de solido de revoluciónEl volumen de un cuerpo generado al girar una o más f(x) alrededor de un eje y limitado por un

intervalo [a,b] se obtiene calculando el área de dicha función elevada al cuadrado y multiplicada porπ.

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