Editorial SM

Integrales indefinidas. Teoremas 2º Bachillerato

Esquema

Primitiva de una función

La función G(x) es una primitiva de la función f(x) en un intervalo I si G'(x) = f(x) para todo x del intervalo I.

Ejemplo: la función F(x) = x4

4 es una primitiva de f(x) ya que F '(x) = x3.

También la función G(x) = x4

4 + 2 es una primitiva de f . Ambas en

cualquier intervalo de la recta real.

Integral indefinida

Se llama integral indefinida de una función f(x) en un intervalo I al conjunto de to-das las primitivas de la función f en el intervalo I. Se escribe ⌡⌠ f(x) dx, y se lee «in-tegral de f(x)»

Ejemplo: la integral indefinida de f(x) = ex es G(x) = ex + C, donde C es una cons-

tante. Se expresa de la siguiente manera: ⌡⌠ ex dx = ex + C

Si G(x) es una primitiva de f(x) en un intervalo I, todas las primitivas de f(x) son de la forma G(x) + C, donde C es una constante arbitraria que puede ser cualquier número real.

Las primitivas se diferencian en una constante

Integrando↓ ↑ Derivando

Propiedades de la integral indefinida

I ⌡⌠ k f(x) dx = k ⌡⌠ f(x) dx con k ∈ R Las constantes pueden salir y entrar fuera del signo de la integral indefinida. II ⌡⌠ [ f(x) ± g(x)] dx = ⌡⌠ f(x) dx ±⌡⌠ g(x) dx La integral indefinida de una suma (resta) de dos funciones es la suma (resta) de las inte-grales indefinidas.

Propiedades de la integral indefinida

Propiedades de la derivada

I (kf )' (x) = k f '(x) con k ∈ R La derivada de una constante por una función es el producto de la constante por la derivada de la función. II (f ± g) ' (x) = f ' (x) ± g ' (x) La derivada de una suma (resta) de dos funciones es la suma (resta) de las deri-vadas de cada una de ellas.

Integrales inmediatas

Integrales inmediatas: una tabla de derivadas leída al revés proporciona primitivas e integrales indefinidas.

1.- ⌡⌠ xa dx =

xa+1

a+1 + C, si a ≠-1, a ∈ R

2.- ⌡⎮⌠

1x dx = ln x + C

3.- ⌡⌠ ex dx = ex + C

4.- ∫ax = ln

xaa + C, si a>0, a ≠1

5.- ⌡⌠ sen x dx = – cos x + C

6.- ⌡⌠ cos x dx = sen x + C

7.- ( )2

11

dx arcsen x Cx

= +−

∫

8.- ( )2

1 arctg1

dx x Cx

= ++∫

Integrales inmediatas para funciones compuestas

• ⌡ ⎮ ⎮ ⌠

x r dx = x r+1

r + 1 + C, para cualquier constante r ≠ – 1

⌡⎮⎮⌠

f '(x) [f(x)]r dx = [f(x)]r+1

r + 1 + C para r ≠ -1

12 ⌡⎮⌠ 2 cos 2x sen3 2x dx =

12

sen4 2x4 =

18 sen4 2x + C

Tipo general

• ⌡⎮⎮⌠

cos 2x sen3 2x dx =

Ejemplo:

• ⌡⎮⎮⌠

1x dx = ln | x | + C

Integrales inmediatas para funciones compuestas

Tipo general

Ejemplo:

∫ dxxfxf)()(' = ln |f(x)| + C

• ⌡⎮⎮⌠

tg 3x dx = – 1

3 ⌡⎮⌠ – 3 sen 3x

cos 3x dx = – 13 ln |cos 3x | + C

Integrales inmediatas para funciones compuestas

• ⌡⎮⎮⌠

ax dx =

ax

ln a + C, para cualquier a > 0

• Para a = e se obtiene ⌡⎮⎮⌠

ex dx = ex + C

Tipo general

Ejemplo:

⌡⎮⎮⌠

f '(x) af(x) dx = af(x)

ln a + C, para a > 0

• ⌡⎮⎮⌠

x2 ex3 dx =

13

⌡⎮⎮⌠

3x2 ex3 dx =

13 ex3

+ C

Integrales inmediatas para funciones compuestas

• ⌡⎮⎮⌠

sen x dx = – cos x + C

Tipo general

Ejemplo:

⌡⎮⎮⌠

f '(x) sen f(x) dx = – cos f(x) + C

• ⌡⎮⎮⌠

e3x sen (e3x + 5) dx = 13

⌡⎮⎮⌠

3 e3x sen (e3x + 5) dx = – 13 cos (e3x + 5) + C

Integrales inmediatas para funciones compuestas

• ⌡⎮⎮⌠

cos x dx = sen x + C

Tipo general

Ejemplo:

⌡⎮⎮⌠

f '(x) cos f(x) dx = sen f(x) + C

• ⌡⎮⎮⌠

e7x cos (e7x + 5) dx =17

⌡⎮⎮⌠

7 e7x cos (e7x + 5) dx = 17 sen (e7x + 5) + C

Integrales inmediatas para funciones compuestas

• 2

1 arcsen( )1

dx x Cx

= +−∫

Tipo general

Ejemplo:

⌡⎮⌠ g '(x)

1 - [g(x)]2 dx = arcsen g(x) + C

• ⌡⎮⌠ e3x

1 – e6x dx =

⌡⎮⌠ e3x

1 – (e3x)2 dx =

13 ⌡⎮⌠ 3e3x

1 – (e3x)2 dx =

13 arcsen e3x + C

Integrales inmediatas para funciones compuestas

• ⌡⎮⌠

1

1 + x2 dx = arctg x + C

( )2f ( ) arctg( )

1 f ( )x dx x Cx

ʹ= +

+∫

Tipo general

• ⌡⎮⌠ 11 + 2x2 dx =

Ejemplo:

⌡⎮⌠ 11 + ( 2x)2 dx = 1

2 ⌡⎮⌠

21 + ( 2x)2 dx =

( )1 arctg 2x2

C+

Integración por partes

Si f y g son dos funciones derivables con derivadas continuas se tiene:

⌡⎮⌠

f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) – ⌡⎮

⌠

g(x)f '(x) dx

Es muy frecuente expresar esta fórmula con la siguiente notación abreviada que se obtiene poniendo: u = f(x), dv = g '(x)dx, v = g(x) y du = f ' (x) dx:

⌡⎮⌠

u dv = uv – ⌡⎮

⌠

v du

Consejos 1. Llamar gʹ a una función de la que sea cómodo obtener g.

2. Si es cómodo obtener g sea cual fuere la elección que hagamos para gʹ, llamar entonces gʹ a aquella que haga que ∫ f ʹg se más cómoda que ∫ f g ʹ .

Integración por partes: Ejemplos

= x2 ex – 2[xex – ⌡⎮⎮⌠

ex dx ] = ex (x2 – 2x + 2) + C

• ⌡⎮⎮⌠

x2 ex dx = x2 ex – ⌡⎮

⎮⌠

ex 2x dx = x2 ex – 2 ⌡⎮

⎮⌠

x ex dx =

u = x2 ⇒ du = 2x dx dv = ex . dx ⇒ v = ex

u = x ⇒ du = dx

dv = ex . dx ⇒ v = ex

u = sen (L x) ⇒ du = cos(L x) . (1/x) . dx dv = dx ⇒ v = x

= x . sen(ln x) – x cos(ln x) –⌡⎮⎮⌠

sen(ln x) . dx

Despejando la integral buscada queda:

u = cos (L x) ⇒ du = – sen(L x) . (1/x) . dx dv = dx ⇒ v = x

x . sen (ln x) – ⌡⎮⎮⌠

cos (ln x) . dx =• ⌡⎮

⎮⌠

sen(ln x) . dx =

⌡⎮⎮⌠

sen(ln x) . dx = 1

2x [sen(ln x) – cos(ln x)] + C

Integración por sustitución o cambio de variable

Si F es una primitiva de f, y g es derivable se tiene:

(F o g)'(x) =F(g(x))’= F '[g(x)] g'(x) = f[g(x)] g'(x)

Por lo que la integral del elemento final es: ⌡⎮⌠ f[g(x)]g'(x) dx = F[g(x)] + C

Si se escribe u = g(x), entonces du = g' (x) dx. Con esta sustitución se tiene

⌡⎮⎮⌠

f(u) du = F(u) + C

Integración por sustitución: Ejemplos I

• ⌡⎮⌠ 1 x ln x dx

Cambio ln x = u ⇒ dx / x = du

= dxLnxx

∫/1

= ⌡⎮⎮⌠

1 u du = ln | u | + C

deshacer el cambio

= ln | ln x | + C

Para calcular una integral por cambio de variable: •  Buscar una transformación u = g(x) que reduzca su cálculo al de una integral

inmediata.

•  Cuando se realiza el cambio debe transformarse también la diferencial mediante.

du = g'(x) dx •  Después de calcular la integral inmediata debe deshacerse el cambio

poniendo g(x) de nuevo en lugar de u para obtener el resultado final.

Integración por sustitución: Ejemplos II

deshacer el cambio

• ⌡⎮⎮⌠

x3 x4 + 2 dx =

Cambio x4 + 2 = u ⇒ 4x3 . dx = du ⇒ x3 dx = du/4

∫ 4

duu

• ⌡⎮⎮⌠

sen3 2x . cos 2x dx =12

⌡⎮⎮⌠

t3 . dt =

Cambio sen 2x = t ⇒ 2 cos 2x . dx = dt ⇒ cos 2x dx = dt/2

= 1

8 sen4 2x + C12

t4 4 + C

deshacer el cambio

Integración de funciones racionales

Pretendemos obtener ⌡⎮⌠

P(x)Q(x) dx en donde P(x) y Q(x) son polinomios tales que

grad[P(x)] = m y grad[Q(x)] = n

Caso 1: m ≥ n. Veremos que este caso se puede convertir al Caso 2.

P(x) Q(x)

C(x) R(x) con grad[R(x)] < grad[Q(x)]

⇔ P(x) = C(x) . Q(x) + R(x) ⇔ P(x)Q(x) = C(x) +

R(x)Q(x)

Por tanto: ⌡⎮⌠

P(x)Q(x) dx = ⌡⎮

⎮⌠

C(x) .dx + ⌡

⎮⌠

R(x)Q(x) dx

En donde la primera integral es inmediata y la segunda corresponde al

Caso 2

Caso 2: m < n. Entonces la integral se hace por descomposición en fracciones simples.

Como m ≥ n, es posible la división entera entre P(x) y Q(x)

Descomposición en fracciones simples I

Pretendemos obtener ⌡⎮⌠

P(x)Q(x) dx en donde P(x) y Q(x) son polinomios tales que

grad[P(x)] = m < grad[Q(x)] = n

•  Supongamos que es posible factorizar el polinomio Q(x). Ello equivale a resolver la ecuación Q(x) = 0.

•  Supongamos que la ecuación Q(x) = 0 tiene: • Soluciones reales sencillas (por ejemplo x1). • Soluciones reales múltiples (por ejemplo x2 con orden de multiplicidad 2). • Soluciones complejas sencillas (por ejemplo tiene dos soluciones, que

son necesariamente conjugadas). • El caso soluciones complejas múltiples no se estudia.

Por ej. Si tiene una raíz simple una doble y dos complejas conjugadas, entonces dicho polinomio se factoriza de la siguiente manera:

Q(x) = ao(x – x1) . (x – x2)2 . (x2 + bx + c) tal que ao es el coeficiente del término de mayor grado.

⌡⎮⌠

P(x)Q(x) dx =

1ao

⌡⎮⌠

P(x)(x – x1)

. (x – x2)2 . (x2 + bx + c) dx =

Paso 1. Factorización del polinomio Q(x)

Descomposición en fracciones simples II

Paso 2. Descomponer el integrando en fracciones simples

P(x) (x – x1)

. (x – x2)2 . (x2 + bx + c) =

A x – x1

+B

(x – x2)2 +

Cx – x2

+ Mx + N

x2 + bx + c

Paso 3. Cálculo de los coeficientes indeterminados

Proceso de cálculo:

•  Eliminar denominadores en la igualdad anterior, para obtener una identidad polinómica.

•  Dar valores numéricos cualesquiera, tantos como coeficientes indeterminados (en el ejemplo 5: x1, x2 y 3 valores más).

•  Resolver el sistema.

Descomposición en fracciones simples: ejemplo

Descomponer en fracciones simples: x2 + x + 1

x5 – x4 – x + 1

Paso 1. Factorización del polinomio denominador

Por Ruffini obtenemos: x5 – x4 – x + 1 = (x + 1) . (x – 1)2 . (x2 + 1)

Paso 2. Descomponer en fracciones simples

x2 + x + 1x5 – x4 – x + 1 =

Ax + 1 +

B(x – 1)2 +

Cx – 1 +

Mx + Nx2 + 1

Paso 3. Cálculo de los coeficientes indeterminados

x2 + x + 1= A(x–1)2(x2+1) + B(x+1)(x2 +1) + C(x–1)(x+1)(x2 +1) + (Mx+N) (x+1)(x–1)2

⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫x=1 → B=3/4

x=–1 →A=1/8x=0 →– C + N = 1/8x=2 → 5C+2M+N = –13/8x=–2 → 5C+6M–3N = 3/8

Y de aquí: A = 1/8; B = 3/4; N = –1/4; C = –3/8; M = 1/4

Integrales racionales con denominador de grado 2

Estudio de la integral ⌡⎮⌠ Mx + Nax2 + bx + c

dx Sea D el discriminante del denominador: D = b2 – 4ac

Si la derivada del denominador es el numerador salvo una constante, la integral podrá ser resuelta como inmediata tipo neperiano.

En caso contrario: •  Si D ≥ 0 ⇒ la integral se obtiene por descomposición en fracciones simples. •  Si D < 0 ⇒ la integral es tipo neperiano + arco tangente.

Pasos para su obtención:

M ≠ 0 Paso 1: se busca la derivada del denominador en el numerador. Paso 2: como consecuencia se puede descomponer la integral en suma de otras

dos: la primera es inmediata (neperiano) y la segunda es tipo arco tangente. M = 0 (Cálculo de la integral tipo arco tangente).

Paso3: se convierte el denominador en un número (k) más un binomio al cuadrado (cosa que es posible por ser D < 0). Si previamente se multiplica por 4a se evitan los números fraccionarios.

Paso 4: se convierte el denominador en la unidad más una función al cuadrado (sacando factor común k en el denominador), ajustamos con constantes, e integramos como inmediata tipo arco tangente

Integración de funciones trigonométricas: fórmulas

Fórmulas trigonométricas fundamentales

sen2px + cos2px = 1 Fórmula fundamental de la trigonometría.

sen 2px = 2 sen px . cos px cos 2px = cos2px – sen2px

Seno y coseno del ángulo doble.

cos2px = 1 + cos 2px

2

sen2px = 1 – cos 2px

2

Fórmulas de reducción de grado.

sen a . cos b = 12 sen (a + b) +

12 sen (a – b)

cos a . cos b = 12 cos (a + b) +

12 cos (a – b)

sen a . sen b = – 12 cos (a + b) +

12 cos (a – b)

Fórmulas de conversión de productos de senos y

cosenos en suma.

sen (– px) = – sen px cos (– px) = cos px

Seno y coseno del ángulo opuesto.

1 + tg2 px = sec2 px; 1 + ctg2 px = csc2 px

Integración de funciones trigonométricas: métodos

Forma Condiciones Método

n par Reducir el grado del integrando por medio de las fórmulas de reducción de grado (3), según convenga. (I)

⌡⎮⌠ senn px dx

⌡⎮⌠ cosn px dx

n impar

Sacar un factor (seno o coseno) de la potencia sustituyendo en el resto de la potencia la rela-ción 1. Al desarrollar la potencia se obtienen integrales inmediatas tipo potencial.

m y n pares

Reducir el grado del integrando aplicando las fórmulas 3.

(II)⌡⎮⌠ senn px . cosn px dx

m ó n impares

De la potencia de exponente impar se saca un factor, sustituyendo en el resto de la potencia la relación 1. Al desarrollar la potencia se obtie-nen integrales inmediatas tipo potencial.

Caso particular à Si m = n Aplicar la relación (2a) para obtener:

⌡⎮⌠ senn px . cosn px dx =

12n

⌡⎮⌠ senn 2px dx

que es del tipo (I).

Forma Condiciones Método (III)

⌡⎮⌠ sen px.cos qx.dx

⌡⎮⌠ sen px.sen qx.dx

⌡⎮⌠ cos px.cos qx..dx

p y q números reales cuales-

quiera

Convertir los productos en sumas mediante la relaciones 4 según convenga.

Integración de funciones trigonométricas: métodos II

Integración de funciones trigonométricas: ejemplos I

= ⌡⎮⌠

sen3x.dx +

⌡⎮⌠

cos43x sen 3x.dx –2

⌡⎮⌠

cos23x sen 3x.dx =

= – 1 3 cos 3x -

2 9 cos 3 3x +

1 15 cos 5 3x+C

Tipo I. Exponente impar

= 14 x +

14 ⌡⎮⌠

1 + cos

4x3

2 dx – 34 sen

2x3 = 3x

8 – 34 sen

2x3 +

332 sen

4x3 + C

Tipo I. Exponente par

• ⌡⎮⌠

sen5 3x.dx = ⌡

⎮⌠

(sen23x)2 sen 3x.dx = ⌡

⎮⌠

(1–cos23x)2 sen 3x.dx =

• ⌡⎮⎮⌠

sen4 x

3 dx = 14 ⌡⎮⌠

⎝⎜⎛

⎠⎟⎞

1 + cos2 2x3 – 2 cos

2x3 dx =⌡

⎮⌠

⎝⎜⎜⎛

⎠⎟⎟⎞

sen2 x3

2 dx =⌡

⎮⌠

⎝⎜⎛

⎠⎟⎞

1 – cos2x3

2

2

dx =

= 14 ⌡⎮⌠

1.dx + 14

⌡⎮⎮⌠

cos2 2x

3 dx – 2 14

⌡⎮⎮⌠

cos

2x3 dx =

Integración de funciones trigonométricas: ejemplos II

Tipo II. Al menos un exponente impar

• ⌡⎮⎮⌠

cos4 5x.sen3 5xdx =⌡⎮

⎮⌠

cos4 5x . sen25x .sen 5x . dx =

⌡⎮⎮⌠

cos4 5x . (1 – cos25x).sen 5x.dx =

= ⌡⎮⎮⌠

cos45x.sen 5x.dx – ⌡⎮

⎮⌠

cos65x.sen 5x.dx =

= – 125 cos5 5x +

135 cos7 5x + C

= 18 ⌡⎮⌠

1 – cos 12x

2 dx – 148

sen36x3 =

= 18 ⌡⎮

⎮⌠

sen26x dx –

18 ⌡⎮

⎮⌠

sen26x .cos 6x.dx =

= x

16 – 1

144 sen3 6x – 1

192 sen 12x + C

Tipo II. Todos los exponentes pares

• ⌡⎮⎮⌠

sen43x .cos2 3x.dx = ⌡⎮

⎮⌠

(sen23x)2 .cos2 3x.dx = ⌡

⎮⌠

⎝⎜⎛

⎠⎟⎞1 – cos 6x

22

1 + cos 6x2 dx =

= 18 ⌡⎮

⎮⌠

(1 – cos 6x)(1 – cos26x) dx =

( 1 – cos 6x) ( 1 – cos 6x) ( 1 + cos 6x) ( 1 – cos 6x) ( 1 – cos2 6x)

sen2 6x

Integración de funciones trigonométricas: ejemplos III

Tipo III: Producto de funciones con distinto argumento

• ⌡⎮⎮⌠

sen 3x.cos 5x.dx = 1

2 ⌡⎮⎮⌠

sen 8x .dx +

12 ⌡⎮

⎮⌠

sen( – 2x) .dx =

= – 116 cos 8x +

14 cos( – 2x) + C == –

116 cos 8x +

14 cos 2x + C

Para resolverlas hay que utilizar las fórmulas de trasformación de sumas en productos

Cálculo de áreas

•  En multitud de problemas que se presentan en Ciencia y Tecnología es preciso calcular el área encerrada por varias curvas.

•  Este problema pasa por encontrar el área limitada por una curva y = f(x), el eje OX y las abcisas x = a, x = b.

Área (Trapecio rectilíneo) =

= f(a) + f(b)

2 . (b – a)

Área (Trapecio curvilíneo) ≈ ≈

f(a) + f(b)2 . (b – a) Error