Aplicaciones de La Derivada

176

La Derivada6

LA DERIVADA

6A muchos de los anlisis econmicos conciernenlas medidas de cambios. La aplicacin de clculo alas relaciones econmicas permite una medida pre-cisa de los ritmos de cambios en las variables eco-nmicas. Por medio del entendimiento de los ritmosde cambio es posible aplicar reglas de decisionespara optimizar los diversos fenmenoseconmicos,entre otras: maximizacin de gananciasy minimizacin de costos.La derivada de una funcin en un punto dado repre-senta la razn de cambio de la funcin en ese punto.La derivada puede interpretarse geomtricamentecomo la pendiente de la recta tangente a la curva dela funcin que se est derivando.

M.C

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Nudo

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era.

Jos Miguel CubillosEsap

177

Matemtica I

PLAN DEL CAPTULO

1. DIFERENCIACIN

2. REGLAS DE DERIVACIN

3. APLICACIONES DE MXIMOS Y MNIMOS

4. PRCTICA DE APLICACIN

5. RESPUESTAS

6. PROBLEMAS RESUELTOS

OBJETIVOS GENERALES

Repasar el concepto de derivada y los mtodos dederivacin de funciones aplicables al campo de laadministracin pblica.

Aplicar la derivada a problemas econmicos demaximizacin de utilidades, produccin e ingresos yminimizacin de costos y desutilidades.

Jos Miguel CubillosMate1

178

La Derivada61. DIFERENCIACIN

Cinco conceptos bsicos en clculo proveen la base para el anlisis de problemas de optimizacin econ-mica: lmites, reglas de derivacin, derivadas parciales, derivadas mltiples y reglas de mxima y mnima.

1.1 Derivada como un lmite

La derivada nos indica la forma como cambia otra funcin. Matemticamente se calcula como un lmiteespecial que se presenta en la explicacin siguiente. No siempre se calculan las derivadas a travs del lmitede su definicin, por lo que se ha llegado a unas reglas nemotcnicas que abrevian el proceso de derivaciny se conocen como reglas de derivacin.

Historia. El concepto de derivada fue desarrollado por Leibniz y Newton. Leibniz fue el primero en publicarla teora, pero parece ser que Newton tena papeles escritos (sin publicar) anteriores a Leibniz. Debido a larivalidad entre Alemania e Inglaterra, esto produjo grandes disputas entre los cientficos proclives a uno yotro pais. Newton lleg al concepto de derivada estudiando las tangentes y Leibniz estudiando la velocidadde un mvil.

Explicacin de la nocin de derivada

En la figura 1, la magnitud del cambio en la funcin Y= (x) depende del cambiode x en x0 y x0 + Dx. Ese cambio de x es Dx, lo que causa que (x) cambie en lamagnitud de (x0 + Dx) - (x0) Dy.

Por razones que pronto parecern obvias, el economista est interesado en queDx sea un punto. Pero si Dx es un punto, eso implicara que Dx=0, y no se esperaque cero cambio en x cause un cambio en y diferente a cero. Este dilema seresuelve por medio de la aplicacin del concepto de lmites. En la figura 1 el puntode inters est en la pendiente de la curva que es el cambio en el rango de lafuncin con respecto a la magnitud del cambio en el dominio de la funcin, o

xxfxXf

xy

+=

)()(

Si se presume que el cambio en el dominio es muy pequeo o aproximado a cero, el cociente anterior se podra modificar as

dxdyxf

xxfxxflim

xYlimxlimf

Xxx==

+==

)(')()()(

000

lo que indica que mientras Dx se aproxima a cero, el lmite de la funcin (x) es

dxdy

, una derivada. Y=(x) es una funcin primaria y dxdy

es una funcin que se

179

Matemtica I

deriva de ella. El cociente dxdy

es una funcin comn-

mente llamada primera derivada y se escribe '(x).

Una derivada es el lmite del cociente dxdy

y por lo tanto

debe ser una medida del ritmo de cambio, o, dicho msespecficamente, un ritmo de cambio instantneo. Mien-tras x 0, y al valor que es la pendiente de lacurva en la figura 1.

El dilema expuesto por la medida de dxdy

cuando x es

Figura 1. Incremento de una funcin.

un punto discreto, x = 0 es evitado considerando soloalgunos cambios infinitesimales en x que induce a algu-nos cambios en y. Por lo tanto es comn hablar de cam-bios relativos en y cuando x se aproxima a cero. Si xse acerca o alcanza a cero, y y es algun nmero arbi-

trario, la racin dxdy

se aproximara al infinito.

Como esto sera un problema para medir la pendiente dela funcin de la curva en algn punto, esto se resolveramejor considerando solo casos en donde x se aproxi-me pero no alcance cero. Estos casos conllevan a lmi-tes de funciones que pueden ser derivadas usando cier-tas reglas especiales.

180

La Derivada62. REGLAS DE DERIVACIN

El procedimiento para derivar consiste en determinar primero en que casos la funcin total que va a serderivada es una suma o una diferencia de funciones; un producto o un cociente de funciones; una funcinlogartmica, exponencial, o una funcin trigonomtrica (las cuales no se estudian en este mdulo por suescasa aplicabilidad a las ciencias econmicas y administrativas); una potencia de una funcin; una funcincompuesta o alguna combinacin de estas. Luego utilizando la regla apropiada para la funcin total y lasreglas apropiadas para las diferentes partes de la funcin.

2.1 Regla de funcin exponencial

Para la funcin nxy = , 1= nnxdx

dy. Vase el ejemplo 1.

a) Regla constante. Si la regla anterior es aplicada a la funcin

y = a, entonces 0=dxdy

.

La primera derivada de esta funcin es cero porque y = atambin se puede escribir y = ax0. Como x0 = 1, y = a*1.Entonces, la primera derivada de y = ax0 es 0ax0-1, o cero.

b) Funcin de exponente generalizado. Para la funcin y =

y = axn , 1= nnaxdxdy

.

2.2 Regla de Suma - Diferencia

La derivada de la suma o de la diferencia de dos o ms funcioneses la suma o la diferencia de sus derivadas individuales,

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )xhxgxf

dxxhxgxfd ''' = .

Vase el ejemplo 2.

2.3 Regla de producto

La derivada del producto de dos funciones es igual al productode la primera funcin por la derivada de la segunda funcin, msel producto de la derivada de la primera funcin por la segundafuncin,

Vase ejemplo 3.

EJEMPLO 1DERIVADA DE LA EXPONEN-

CIAL

a. Si y = x2,

b. Si y = 15 + 5x - 4x2 + 0.5x3,

dxdy

=5 - 8x + 1.5x2

c. Si y = 2x3, 26xdxdy = .

EJEMPLO 2 DERIVADA DE UNA SUMA

Si Y = 24x2 , 48x =dxdy

. Pero si

y = (x) = 6x2 y Y = g(x) = 18x2,entonces

'(x) = 12x y g'(x) = 36x

y '(x) + g'(x) = 48x.

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxfdx

xgxfd += ''

181

Matemtica I

2.4 Regla del cociente

La derivada del cociente de dos funciones, (x)/g(x) es el pro-ducto del denominador por la derivada del numerador, me-nos el producto del numerador por la derivada del denomi-nador, todo esto dividido por el cuadrado del denominador,

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]2

''xg

xfxgxgxfdx

xgxfd =Vase ejemplo 4.

2.5 Regla de funcin de cadena

Si y = (x), y x= h(z), la derivada de y con respecto a z, esigual a la derivada de y con respecto a x, por la derivada x conrelacin a Z, llamada tambin derivada interna

dzdx

dxdy

dzdy = . Vase ejemplo 5.

EJEMPLO 5REGLA DE CADENA

Si y = 10 - 2x2 y x = -2 + z2,

( ) ( ) xzzxdzdy 824 ==

Si ambas funciones son lineales como y = 10 - 2x, y x= -2 + z, la derivada de y con relacin a z es una cons-tante:

( ) ( ) 212 ==dzdy

Si , asuma que y = z4x, z = 2x2 - 3x +7

Entonces dzdx

dxdy

dzdy = ( )[ ]( )347324 32 + xxx

Nota. Como estrategia nemotcnica, para la finalidadde este curso, consideraremos simplemente que la re-gla de la cadena consiste en no olvidar nunca aplicar laderivada interna, cuando estamos derivando una fun-cin compuesta. En especial en las derivadas de tipoexponencial y logaritmico suelen aparecer derivadas in-ternas anidadas dentro de otra derivada interna!!!.

EJEMPLO 4DERIVADA DE UN COCIENTE

Si 232xxy = , 4

2

4

22

96

9126

xx

xxx

dxdy ==

Si la derivada es encontrada por me-dio de la regla del producto,

( )( ) 122 3232 == xxxxy ,y( )( )( ) ( ) ( ) 1222 326312 += xxxx

dxdy

= ( ) ( )2222

222

2

3612

32

312

xxx

xxx +=+

= 242

32

96

xxx =

EJEMPLO 3DERIVADA DE UN PRODUCTO

Si y = (x+2) (2x2 - 4) sea (x) = (x+2)y g(x) = (2x2 - 4),

entonces = ( ) ( )( )42142 2 ++= xxxdxdy= (4x2 + 8x) + (2x2 - 4)

= 6x2 + 8x - 4

Este resultado puede ser verificadoobteniendo la derivada del productode (x) y g(x):

Y = (x+2)(2x2 - 4)

= 2x3 + 4x2 - 4x - 8

y 4 -8x 6x 2 +=dxdy

182

La Derivada62.6 Regla de funcin inversa

Si la funcin y = (x) es montona, (x) tendr una funcin

inversa x= -1(y). Sin embargo, -1 no es lo mismo que f1

.

Una funcin est aumentando montonamente si altos valo-

res sucesivos de x producen sucesivamente altos valores de(y). Si altos valores de x estn sucesivamente produciendo pe-queos valores de y, entonces la funcin est disminuyendomontonamente. Entonces la derivada de y con relacin a x es

dxdy

, y si la funcin es montona, x = -1(y) y dx

dydydx 1= . Vase

ejemplo 6.

EJEMPLO 6 REGLA DE FUNCIN INVERSA APLICADO A LA ELASTICIDAD DE LA DEMANDA

Elasticidad de la demanda. Hay algunos bienes cuya demanda es muy sensible al precio, pequeasvariaciones en su precio provocan grandes variaciones en la cantidad demandada. Se dice de ellos quetienen demanda elstica. Los bienes que, por el contrario, son poco sensibles al precio son los dedemanda inelstica o rgida. En stos pueden producirse grandes variaciones en los precios sin que losconsumidores varen las cantidades que demandan. El caso intermedio se llama de elasticidad unitaria.

La elasticidad de la demanda se mide calculando el porcentaje en que vara la cantidad demandada de unbien cuando su precio vara en un uno por ciento. Si el resultado de la operacin es mayor que uno, lademanda de ese bien es elstica; si el resultado est entre cero y uno, su demanda es inelstica.Supongamosque la funcin de demanda es presentada en una grfica y es definida p = 10 - 2q. La primera derivada es

2=dqdp

, pero para el economista es de mayor inters la derivada inversa. Por qu? Recordemos que la

elasticidad de la demanda es igual al % de cambio en la cantidad demandada dividido por el % de cambio

en el precio, o sea, dpdq

qp

EpEq

pdpqdq

x

x ==2

1, que puede ser simplificado as dp

dqqp

EpEq = . As que la

funcin de demanda anterior tambin puede ser escrita como q= 5 - 0.5p y 5.0=dpdq

, la cual es la

inversa de 2=dqdp

. Por lo tanto, un punto particular en la curva de demanda (p0, q0) tiene un punto de

elasticidad de demanda de ( )5.0=o

o

o

o

qp

EpEq

.

183

Matemtica I

2.7 Regla de Funcin Logartmica

Los logaritmos son una herramienta importante para analizarlos ritmos exponenciales de crecimiento. Una funcin comoy = ax es lo mismo que loga y = x. Ya que manejar logaritmosbase a puede parecer poco manejable, frecuentemente es msconveniente usar logaritmos naturales (ln), o logaritmos basee, en donde e es el nmero irracional 2.71828 y ln 1 = 0.Entonces, y = ex o ln y = x ln (e), y ln y = x ya que ln (e) = 1.S y= ln x, x = ey, la derivada de la funcin logartmica y =

(x) = ln x es x1 .Vase ejemplo 7.

2.8 Regla de Funcin Exponencial

Si uay = , donde u=(x) entonces dxduaa

dxdy u ln= . Para el

caso especial en que a=e, entonces y = eu, dxdue

dxdy u= .

Vase ejemplo 8.

EJEMPLO 7FUNCIN LOGARTMICA

Un ejemplo comn de una funcin dedemanda con elasticidad a travs detodo es la hiprbola rectangular q = a/p, en donde a es una constante positi-va. La derivada de esta funcin expresael ritmo de cambio en q con relacin aun cambio de unidad en p, como tam-bin la elasticidad de precio de la de-manda.

La derivada puede ser encontrada endos reglas distintas:

Primero, la funcin puede ser expuestacomo una funcin de potencia:

1= apq y, 21 = apdqdp

y

2pa

dqdp = .

Segundo. La funcin 1= apq puedeser expuesta en logaritmos como

papaq lnlnlnln =

= ;derivando a ambos lados tenemos:

dqpd

dqad

dqqd )(ln)(ln)(ln =

pdpdq

q101 =

reemplazando el valor de q:

pdpdq

ap 1= 2p

adpdq =

la cual es el ritmo instantneo de cam-bio proporcional en la funcin o la elas-ticidad del precio de la demanda.

EJEMPLO 8DERIVADA DE LA FUNCIN EXPONENCIAL

a. y = ex, xe

dxdy = . si y=5e3x ==>

b. y = e5x+3, )35()35( 55 ++ == xx ee

dxdy

.

Recuerde que La funcin exponencial es la recprocade la funcin logaritmo natural.

Los logaritmos fueron ideados como una herramientapara facilitar el uso de las potencias y las races.El loga-ritmo de un nmero en una base dada, es el exponentede aquella base que produce como potencia a dichonmero. El logaritmo en base 2 de 64 es 5; Log2 64=5por que si elevo 25=64

El logaritmo neperiano es lo mismo que el logaritmonatural, se llama neperiano en honor a su descubridorJohn Neper y es el logaritmo de un nmero en base

e= 2,71828182==> LogeX=Ln X

xx eedxdy 33 1535 ==

184

La Derivada6

EJEMPLO 9DEPENDENCIA DE CAPITAL Y

MANO DE OBRA

La cantidad de un producto bsico deman-dado (q) es una funcin de precio (p) y va-rios "tergiversadores" de demanda, incluyen-do el precio de un producto estrechamenterelacionado (PCRG) y de ingreso descartable(Y). Esta funcin puede ser declarada for-malmente como

DYCpBpAq CRG +++= , en dondeq es una funcin de tres variable indepen-dientes. En el anlisis comparativo - estticofrecuentemente es necesario analizar el rit-mo de cambio de una variable independien-te (q) con respecto al cambio en una variableindependiente (tal como p) mientras que to-das las otras variables se mantienen constan-tes. Este tipo particular del cociente de dife-rencia es una derivada parcial.

La derivacin parcial es una funcin con va-riables independientes n (n > 2) trata n-1 deesas variables como constantes. Los trmi-nos que incluyen esas constantes son rete-nidas en la derivacin si son multiplicativaspero no si son aditivas.

En la funcin de demanda de arriba la deri-vada de q con respecto a p es ahora unaderivada parcial, denotada como: , porquetodas las otras variable independientes o"constantes" n-1 aparecen slo como trmi-nos aditivos.

En la funcin de produccin:

GKLELDLCkBkAq +++++= 22 ,en donde q es producto, K es capital y L esmano de obra

GLCkBdkdq ++= 2 , y

GKELDdLdq ++= 2 .

El trmino, GLK, es comnmente descritocomo trmino de interaccin. Describe la de-pendencia mutual de capital y mano de obraen la determinacin del producto. Debera seraparente que el producto fsico marginal parauno de los insumos depende en el nivel deuso del otro insumo.

2.9 Derivadas Parciales

Cuando una magnitud A es funcin de diversas variables (x, y,z, ...), es decir: A = (x, y, z, ...)se entiende como derivada parcial de A respecto de una varia-ble a la expresin obtenida al derivar dicha funcin respectode la variable considerada, suponiendo constantes las dems.Dada la funcin A = 3x3y + 2x2y2 - 7y la derivada parcial deA respecto de x es:

mientras que con respecto de y es:

El mundo econmico est compuesto principalmente de rela-ciones en donde una variable es una funcin de otras varia-bles, y es necesario analizar la variacin de una variable res-pecto de otra, ignorando a las demas. El considerar constantea las dems variables se conoce como ceteris paribus. Va-se el ejemplo 9.

2.10 Derivadas mltiples

Toda la discusin anterior sobre derivadas fue restringida a las"primeras" derivadas o al ritmo simple de cambio en una fun-cin. Las derivadas mltiples permiten la interpretacin de lasformas de las funciones sin un total apoyo en las tcnicasgrficas y adems permiten el desarrollo de criterio para deter-minar los puntos extremos de una funcin. Por lo tanto, laaplicacin de las derivadas mltiples permite al economistaresolver numerosos problemas de optimizacin, tales comoencontrar: (1) el punto de producto mximo con respecto auno o ms productos; (2) el punto de utilidad mxima conrespecto al nivel de produccin; y (3) el nivel de produccin endonde el costo promedio de produccin es minimizado.

La segunda derivada de una funcin simplemente mide elritmo de crecimiento de un ritmo de cambio de la funcin.

La primera derivada indica que la inclinacin de esta funcines positiva para todos los valores positivos de X y la segunda

212 49 yxxxA y +=

743 23 += yxxyA

185

Matemtica I

derivada indica que la inclinacin de la funcin incrementa al incre-mentar los valores positivos de X. Por lo tanto, la funcin incre-menta a un ritmo de incremento sobre todos los valores de X.

2.11 Reglas de Mxima y Mnima

Para poder encontrar los extremos relativos de una funcin, esnecesario evaluar las primeras y segundas derivadas en los vecin-darios del dominio de la funcin en donde la funcin es caracte-rizada por cumbres y hondonadas. La importancia prctica deesta afirmacin puede ser ms fcilmente comprendida al anali-zar una funcin clsica de produccin de tres etapas.

La regla para encontrar el mnimo es la misma que para encontrarel mximo, excepto que la segunda derivada sera positiva cuandola funcin est al mnimo.

186

La Derivada63. APLICACIONES DE MAXIMOS Y MINIMOS

En la prctica surgen muchas situaciones en que deseamos maximizar o minimizar cierta cantidad. A vecesse piensa que la cantidad de un producto se puede incrementar indefinidamente con la nica restriccin desu costo, sin embargo el aumentar la produccin no siempre implica aumentos en el ingreso. La Ley deRetornos Decrecientes es representada a partir de un punto de inflexin en donde incrementos adicionalesen X conducen a incrementos en TPP a un ritmo decreciente en lugar de crecientes.

Un eclogo cultiva peces en un lago. Entrems peces introduzca, habr ms competen-cia por el alimento disponible y el pez ganarapeso en forma ms lenta, De hecho, se sabepor experimentos previos que cuando hay npeces por unidad de rea del lago, la cantidadpromedio en peso que cada pez gana duranteuna temporada est dada por w = 600 - 30ngramos. Qu valor de n conduce a la produc-cin total mxima en el peso de los peces?

Solucin

La ganancia en peso de cada pez es de w=600 - 30 n. Puesto que hay n peces por unidadde rea, la produccin total por unidad de rea,P, es igual a NW. Por consiguiente.

P= n(600-30n) 230600 nn =La grfica de p contra n aparece en la figura 2.p es cero cuando n es cero dado que en esemomento no hay peces. A medida que n au-menta, p se incrementa hasta un valor mxi-mo, luego decrece hasta cero otra vez cuandon = 20. Si n sigue creciendo p decrece porquepara valores grandes de n los peces ganaranmuy poco peso y algunos de ellos morirn, demodo que la produccin total ser pequea.

Con el objeto de encontrar el valor de n para pmxima, derivamos y hacemos igual a cero laderivada dp / dn.

ndndP 60600=

y dp/dn = 0 cuando 600 - 60 n = 0, esto es, ladensidad de 10 peces por unidad de rea es laque garantiza un peso total mximo de la pro-duccin de peces por periodo de tiempo. Elvalor mximo de p es

000.3)10(30)10(600 2 ==P , es decir 3.000gramos por unidad. Es obvio que a partir de lagrfica de p como una funcin de n que elvalor n = 10 corresponde al mximo de p. Sinembargo podemos verificarlo usando la reglade la segunda derivada.

6022

=dnPd

La segunda derivada es negativa (de hechopara todos los valores de n) por lo que el valorcrtico n= 10 corresponde al mximo de p.

EJEMPLO 10CONSERVACIN PTIMA

Figura 2. Modelo de conservacin optima.

187

Matemtica I

EJEMPLO 11

Este ejemplo es de naturaleza pura-mente matemtica. Determine dosnmeros cuya suma sea 16 de talforma que su producto sea tan gran-de como sea posible.

Solucin

Sean los dos nmeros X Y, de modoque X + Y = 16. Si P= xy denota suproducto, entonces necesitamos de-terminar los valores de X y Y que pro-duzcan que p sea mximo. No po-demos derivar p de inmediato, pues-to que es una funcin de dos varia-bles, X y Y. Sin embargo, estas dosvariables no son independientes sinoque estn relacionadas por la condi-cin X + Y = 16. Debemos usar estacondicin a fin de eliminar una delas variables de P, dejando a p comofuncin de una sola variable. Tene-mos que Y = 16 - X y as

216)16( xxxxyP ===Debemos encontrar el valor de x quehaga a p mximo.

xdxdP 216=

As que, dp/dx=0 cuando 16 - 2x =0, esto es, s x = 8. La segunda deri-vada

,00/ 22

188

La Derivada6Paso 4. Exprese la cantidad por maximizar o minimizar entrminos de las otras variables. Con objeto de hacer esto, seutilizan las relaciones obtenidas en el paso 3 a fin de eliminartodas excepto una de las variables.

Recurriendo de nuevo al ejemplo 10, tenamos que p = nw y w= 600 - 3n, de modo que, eliminado w, se obtiene p en trmi-nos de n; P= n(600 - 3n). En el ejemplo 11, tenemos que p =xy y x + y = 16, por lo que eliminando y, obtenemos p =x(16 - x).

Paso 5. Una vez que se ha expresado la cantidad requeridacomo una funcin de una variable, determine sus puntos cr-

EJEMPLO 12COSTO MNIMO

En una obra con aporte principal de la comunidad, seha de construir un tanque para almacenamiento de aguapara una escuela pblica, con una base cuadrada hori-zontal y lados rectangulares verticales. No tendr tapa.El tanque debe tener una capacidad de 4 metros cbi-cos de agua. El material con que se construir el tan-que tiene un costo de $10 por metro cuadrado. Qudimensiones del tanque minimizan el costo del mate-rial?

Solucin

Paso 1. Las variables en el problema son las dimensio-nes del tanque y el costo de los materiales de construc-cin. El costo depende del rea total de la base y de loslados los cuales determinan la cantidad de material usa-do en la construccin. Denotemos con x la longitud deun lado de la base y con y la altura del tanque. ( vasela figura 3). La cantidad que debe minimizarse es el cos-to total de materiales, que denotamos con C.

Paso 2. C es igual al rea del tanque multiplicada por$10, que es el costo por unidad de rea. La base es uncuadrado con lado x, de modo que tiene un rea igual ax2. Cada lado es un rectngulo con dimensiones x y y, ytiene un rea xy. El rea total de la base ms los cuatro

lados es por tanto .42 xyx + En consecuencia, escribi-mos:

( ).42 xyxC += 10

Figura 3.

Paso 3. Observe que la cantidad porminimizar est expresada como unafuncin de dos variables, de modoque necesitamos una relacin entrex y y a fin de eliminar una de stas.Esta relacin se obtiene del requeri-miento establecido en el problemade que el volumen del tanque tiene4 metros cbicos. El volumen esigual al rea de la base por la altura,

esto es, yx2 , y as tenemos la con-

dicin 42 =yxPaso 4. Por el paso 3,

2/4 xy = , y as [ ] [ ]xxxxxC /1610)/4(410 222 +=+=Paso 5. Podemos derivar la ultimaexpresin y determinar los puntos cr-ticos de C.

0)162(10 2 == xxdxdC

;

de donde: 0)8( 2 = xx

As, 0/8 2 = xx , y por tanto 83 =x ;es decir, x= 2.

La base del tanque debera tener enconsecuencia un lado de 2 metrosde longitud. La altura del tanque esahora dada por

.122 )2/(4/4 === xy Es fcil verificar que

0/ 22 >dxCd cuando x = 2, de modoque este valor de x representa un m-nimo local de C.

189

Matemtica I

ticos e investigue si son mximos o mnimoslocales.3.2 Maximizacin de Utilidades

Una de las aplicaciones ms importantes de lateora de mximos y mnimos se da en las ope-raciones de empresas comerciales. Esto ocu-rre por una razn simple, es decir que una em-presa selecciona su estrategia y nivel deoperacin en tal forma que maximice su utili-dad. As, pues si la administracin de la em-presa sabe como depende la utilidad de algu-na variable que puede ajustarse, elegirn elvalor de tal variable de modo que produzca lamxima utilidad posible.

Consideremos el caso en que la variable a ajus-tar es el nivel de produccin, q (el nmero deunidades del producto de la empresa elabora-das por semana o por mes). Si cada unidad sevende a un precio p, el ingreso es R(q) = pq. Elcosto de producir q artculos depende de q, yse denota por C(q), la funcin de costo. Sesigue que la utilidad es una funcin de x dadaporU(q) = R(q) - C(q) =pq - C(q).

Deseamos elegir el valor de q que haga a pmxima.

En primer trmino abordemos el caso de unapequea empresa que vende su producto enun mercado de libre competencia. En esta si-tuacin, el volumen de ventas q de esta em-presa particular no afectara el precio del mer-cado para el artculo en cuestin. Podemossuponer que el precio p es constante, inde-pendiente de q, determinado por fuerzas eco-nmicas fuera de control de nuestra pequeaempresa. Los ejemplos 13 y 14 ilustran pro-blemas de esta clase.

EJEMPLO 13MAXIMIZACIN DE UTILIDADES

Una pequea empresa manufacturera puede vendertodos los artculos que produce a un precio de $ 6 cadauno. El costo de producir q artculos a la semana (en

dlares) es 362 10003.06000.1)( qqqqC ++=Que valor de q debemos seleccionar con objeto demaximizar las utilidades?

Solucin. El ingreso producido por la venta de q art-culos a $6 cada uno es R(q) = 6q dlares. Por consi-guiente, la utilidad por semana es

A fin de encontrar el valor mximo de U, buscamos lospuntos crticos en la forma usual y luego investigamossu naturaleza. Derivando obtenemos

26 )103(006.0)(' qqqU =y haciendo U'(q)=0, encontramos que q=0 o q= 2.000.Podemos aplicar a cada uno de estos valores el criteriode la segunda derivada,identificando segn concavidad:

006.0)000.2)(106(006.0)000.2(''006.00)106(006.0)0(''

)106(006.0)(''

6

6

6

====

=

UU

qqU

de modo que U''(0)= 0.006>0 y U''(2.000)=-0.006

190

La Derivada6

EJEMPLO 14DECISIONES SOBRE FIJACIN DE PRECIOS

En una cooperativa multiactiva, creada dentro del programa municipal de apoyo a las PYMEs el costo deproducir q artculos por semana esEn el caso del artculo en cuestin, el precio en que q artculos pueden venderse por semana est dadapor la ecuacin de demandaP = 12 - 0,0015q.Determine el precio y el volumen de ventas en que la utilidad es mxima.

Solucin

El ingreso por semana esR(q) = pq = (12 - 0.0015 q)q.Luego, la utilidad esta dada porU(q) = R(q) - C (q)

0)103(003.06)('.100015.06000.1

)10003.06000.1()0015.012(

26

.362

3622

qqqUqqqU

qqqqqU

Con objeto de encontrar el valor mximo de U(q), hacemos U'(q) =0.Cambiando signos, dividiendo entre 3 y multiplicando por 106 la ecuacin completa, obtenemos

.0102000.1 62 qq Podemos factorizar el lado izquierdo como 0)000.1)(000.2( qqy as las soluciones son q= 2.000 q= - 1.000. (Estas soluciones pudieron obtenerse tambin pormedio de la formula cuadrtica.)

La raz negativa no tiene importancia practica desde el punto de vista econmico, de modo que slo senecesita considerar x= 2.000. Con objeto de verificar que est en realidad representa un mximo localde la funcin de utilidad, podemos comprobar que U'' (2.000)

191

Matemtica I

EJEMPLO 15PUBLICIDAD Y GANANCIAS

La Electrificadora de Cundinamarca obtiene una utilidad de $5 por cada kilovatio que vende. Si gasta Adlares por semana en publicidad estimulando el uso de electrodomsticos, el nmero de kilovatiosque vende por semana est dado por

)1(000.2 kAeq = , en donde K = 0.001. Determine el valor de A que maximiza la utilidad neta.Solucin

La utilidad neta por la venta de q kilovatios es de 5q dlares, y de sta restamos el costo de lapublicidad. Esto nos deja una utilidad neta

U= 5q - A

.)1(000.10 AeU kA = Derivamos a fin de encontrar el valor mximo de P.

1101)(000.10 == kAka ekedAdU

dado que K = 0.001. Haciendo esto igual a cero, obtenemos

110 =KAe o bien 10=KAey tomando logaritmos naturales, resulta que

kA = 1n 10 = 2.30

con tres cifras significativas. En consecuencia

300.2001.030.230.2 ===

kA

La cantidad optima que debe gastarse en publicidad es en consecuencia de $2.300 por semana.

La utilidad mxima se encuentra sustituyendo este valor A en la ecuacin de utilidad U. Dado que

101=KAe , se sigue que la utilidad semanal mxima es dlaresUmax 700.6300.2)1(000.10 101 ==

3.3 Optimizacin del gasto en publicidad

En un mercado de libre competencia en que muchas empre-sas elaboran productos similares a casi el mismo precio, elvolumen de ventas puede incrementarse mediante la publici-dad. Sin embargo, si se gasta demasiado dinero en publici-dad, el gasto exceder la ganancia en el ingreso por el incre-mento de las ventas. De nuevo el criterio que debe usarsepara decidir cuanto emplear en publicidad es que la gananciadebera ser mxima. Vase el ejemplo 15.

192

La Derivada6

EJEMPLO 16MXIMA UTILIDAD E IMPUESTO SOBRE

LA RENTA

Las funciones de costo y de demanda de una Empresa Industrial y Comercialdel Estado EICE son:

C (q) = 5q y p= 25 - 2q, respectivamente.

a) Encuentre el nivel de produccin que maximizar las utilidades de la EICE.Cul es la mxima utilidad?

b) Si se impone impuesto de t por cada unidad y la EICE lo carga en su costo,encuentre el nivel de produccin que maximiza las utilidades de la empresa.

Cul es la mxima utilidad?

C) Determine la tasa de impuesto por unidad t que debe imponerse para obte-ner un mximo impuesto sobre la renta.

Solucin

Tenemos :Ingreso = Precio x Cantidad

2225)225( qqqqpqR a) Si p denota la funcin de utilidad entonces

22 2205225 qqqqqCRU q

dqdU 420

Para encontrar la utilidad mxima, dU/dq = 0, o 20 -4q = 0 o q = 5. Tam-bin, dp/dq = -4 < 0. As que las utilidades son mximas en el nivel deproduccin de q= 5 unidades. p max = 25 - 2 (5) = 15.

b) Si se impone un impuesto t por cada unidad, la nueva funcin de costo ser

tqqCN 5y las ganancias estaran dadas por

.2)20()5(225 22 qqttqqqqCRU N Derivando la utilidad tenemos

qtdqdU 420 , la igualamos a cero para obtener el punto mximo.

tq 204 , de donde tq 25,05 . Su reto ahora ser resolver el literal C.

193

Matemtica I

3.3 Aplicaciones a los ingresos

Las siguientes aplicaciones se centran en la maximizacin delos ingresos. Recuerde que el dinero que entra a una organi-zacin por la venta de productos o la prestacin de serviciosrecibe el nombre de ingreso. Y la manera ms fundamental decalcular el ingreso total conseguido con la venta de un pro-ducto o servicio es

Ingreso total R(q) = (precio p)(cantidad vendida q) = pq

En esta relacin se supone que el precio de venta es igualpara todas las unidades vendidas.

0100)5(100'' fypfPor consiguiente, un mximo relativo ocurre en cuando p =5.

El valor mximo de R se calcula sustituyendo p= 5 en f, o sea

(5) = -1.250 + 2.500 = 1.250

As pues, se espera que el ingreso total anual semaximice en $1.250 (miles), es decir, $ 1,25 millo-nes cuando la empresa cobre $ 5 por unidad. Lafigura 6.4 muestra una grfica de la funcin deingreso.

La demanda estimada del producto dentro deun proyecto de desarrollo vara segn el pre-cio que le fije al producto. La compaa ha des-cubierto que el ingreso total anual R (expresa-do en miles de dlares) es una funcin del pre-cio p (en dlares). En concreto,

Determine el precio que debera cobrarse conobjeto de maximizar el ingreso total.

Cul es el valor mximo del ingreso total anual?

Solucin

En el captulo 4 se dijo que la funcin de ingresoes cuadrtica y que su grfica es una parbolacncava hacia abajo. En consecuencia el valormximo de R ocurrir en el vrtice. La primeraderivada de la funcin de ingreso es

Si se hace igual a 0,

-100p + 500 =0

-100p = -500

o un valor critico ocurre cuando p= 5

Existe un punto crtico en la grfica de f, y sepresenta cuando p = 5. Aunque sabemos que unmximo relativo ocurre cuando p = 5, verifique-mos formalmente esto por medio de la pruebade la segunda derivada:

Figura 4. Funcin cuadrtica del ingreso

EJEMPLO 17

500100)( ppf

. R=(p)=-50p2+500p

194

La Derivada6

EJEMPLO 18ADMINISTRACIN DEL TRANSPORTE PBLICO

La empresa Metro de Medelln ha aprobado la estructurade tarifas que rige el sistemas de automviles pblicos dela ciudad. Se abandon la estructura de tarifas por zonaen la cual la tarifa depende del nmero de zonas por lascuales cruza el pasajero. El nuevo sistema tiene tarifasfijas: el pasajero puede viajar por el mismo precio entredos puntos de la ciudad.

Las autoridades de trnsito han contratado una encues-ta a ciudadanos con el Centro Nacional de Consultora afin de determinar en nmero de personas que utilizaranel sistema metro si la tarifa fija admitiera diferentes impor-tes. Basndose en los resultados de la encuesta, los ana-listas de sistemas han determinado una funcin aproxi-mada de la demanda, la cual expresa el nmero diario depasajeros en funcin de la tarifa. En concreto, la funcinde demanda es

q = 10.000 - 125 p

donde q representa el nmero de pasajeros por da y p latarifa en centavos de dolar.

a) Determine la tarifa que se cobrara con objeto demaximizar el ingreso diario por la tarifa de los au-tobuses.

b) Cul es el ingreso mximo esperado?

Cuntos pasajeros por da se esperaban conesta tarifa?

Solucin

a) El primer paso es determinar una funcin que ex-prese el ingreso diario segn la tarifa p. Se escogep como variable independiente porque se queradeterminar la tarifa que producira el ingreso mxi-mo total. Por otra parte, la tarifa es una variable dedecisin, aquella cuyo valor puede fijar la admi-nistracin de las autoridades de trnsito.

La expresin general del ingreso total, es como se sealantes,

R = pq

Pero en esta forma R se expresa en funcin de dos varia-bles: p y q. En este momento no podemos tratar de laoptimizacin de funciones con ms de una variable in-dependiente. Sin embargo, la funcin de demanda esta-blece una relacin entre las variables p y q que permitentransformar dicha funcin en una en que R se expresaen funcin de la variable independiente p. El miembroderecho de la funcin de demanda es una expresin for-mulada en trminos de p que equivale a q. Si con estaexpresin se sustituye q en la funcin de ingreso, se ob-tiene

R= ( p )

R= p (10.000 - 125 p)

o bien

La primera derivada es

ppf 250000.10)( Si la derivada se hace igual a 0,

10. 000 - 250 p = 0

10. 000 = 250 p

y un valor crtico ocurre cuando 40= p

La segunda derivada se obtiene y evala cuando p = 40para determinar la naturaleza del punto crtico:

'' (p) = -250

'' (40) = -250 < 0

As pues, ocurre un mximo relativo para cuando p =40. La interpretacin de este resultado es que el ingresodiario se maximizar cuando se cobre una tarifa fija de $0.40 (40 centavos de dlar)

b)

= 400.000 - 200.000 =200.000

Dado que la tarifa se expresa en centavos, el mximo in-greso diario esperado ser de 200.000 centavos o sea$2.000.

El nmero de pasajeros que se espera diariamente conesta tarifa se calcula sustituyendo la tarifa en la funcinde demanda, es decir,

q = 10.000 - 125 (40)

q = 10.000 - 5.000

5.000 pasajeros por da

La figura 5. contiene una grfica de la funcin de ingresodiario.

Figura 5. Grfica de la funcin cuadrtica del ingreso

195

Matemtica I

3.4 Aplicaciones a los costos

Los costos representan salidas de efectivo para laorganizacin. La mayor parte de las empresas bus-can el modo de reducirlas al mnimo. En la presenteseccin se dan aplicaciones que se refieren a la mi-nimizacin de alguna medida de costo.

Un problema comn de las organizaciones esdeterminar que cantidad de un artculo deberconservarse en almacn. Para los minoristas,el problema se relaciona a veces con el nme-ro de unidades de cada producto que ha demantenerse en inventario. Para los producto-res consiste en decidir que cantidad de mate-ria prima debe estar disponible. Este problemase identifica con un rea o especialidad deno-minada control o administracin de inventa-rio. Por lo que respecta a la pregunta de cun-to inventario ha de conservarse se debe teneren cuenta el hecho de tener demasiado pocoo mucho inventario puede acarrear costos.

Un minorista de bicicletas motorizadas ha ana-lizado los datos referentes a los costos habien-do determinado una funcin de costo que ex-presa el costo anual de comprar, poseer y man-tener el inventario en funcin del tamao (n-mero de unidades) de cada pedido de bicicle-tas que coloca. He aqu la funcin de costo:

000.75015860.4)( qq

qfC

donde C es el costo anual del inventario, ex-presado en dlares y q, denota el nmero debicicletas ordenadas cada vez que el minoristarepone la oferta.

a) Determine el tamao de pedido que mini-mice el costo anual del inventario.

b) Cul se espera que sea el costo mnimoanual del inventario?

Solucin

a) la primera derivada es

15860.4)( 2 qqf ,si ' se hace igual a0,

015860.4 2 qcuando

15860.4 2 qLa multiplicacin de ambos miembros por q ysu divisin entre - 15 producen

2

15860.4 q , de donde

y un valor crtico existe en 18=q

La naturaleza del punto critico se compruebaal obtener ":

3720.9)(" qqf 39720q

Al evaluar el valor crtico se obtiene

3)18(720.9)18(" f

=1.667>0

Los costos anuales del inventario se minimiza-rn cuando se pidan 18 bicicletas cada vez queel minorista reponga las existencias.

b) Los costos anuales mnimos del inventariose determinan calculando f(18), o sea

000.750)18(1518860.4)18( f

=270+270+750.000=$750.540

Ejemplo 19Administracin de Inventario

Figura 6. Grfica de la funcin de costo de inventario.

196

La Derivada6

Figura 7. Grfica de la funcin del costo promedio.

EJEMPLO 20MINIMIZACIN DEL COSTO PROMEDIO POR UNIDAD

El costo total de la produccin de q unidadesde cierto producto se describe por medio de lafuncin

22.0500.1000.100 qqc ++=donde C es el costo total expresado en dla-res. Determine cuntas unidades q deberan fa-bricarse a fin de minimizar el costo promediopor unidad.

Solucin

El costo promedio por unidad se calcula divi-diendo el costo total entre el nmero de unida-des producidas. Por ejemplo, si el costo totalde la fabricacin de 10 unidades de un produc-to es de $ 275, el costo promedio por unidadser 275/10 = $ 27.50. As pues, la funcin querepresenta el costo promedio por unidad en esteejemplo es

qqq

cqfC 2,0500.1000.100)( ++===

La primera derivada de la funcin del costo pro-medio es

Si ' se hace igual a 0,

200.1002.0

q= , o bien

2.0000.1002 =q =500.000

Al obtener la raz cuadrada de ambos miem-

bros, se tiene un valor crtico de

q= 707,11 (unidades)

La naturaleza del punto crtico se determinapor medio de la prueba de la segunda deri-vada:

3000.200)('' = qqf

3000.200

q=

= 0.00056>0

Por tanto, un mnimo relativo ocurre para cuando q = 707.11. Este costo promediomnimo por unidad es

)11.707(2.0500.111.707

000.100)11.707( ++=f = 141.42 + 1.500 + 141.42= $1782.84

La figura 7. es una grfica de la funcin decosto promedio.

EJERCICIO 1

En el ejemplo 20, cul es el costo total de fabricacin en este nivel de produccin? Cules sonlas dos formas en que puede calcularse esta cita?

(Respuesta: $1.260, 663,90)

2.0000.100)(' 2 += qqf

197

Matemtica I

Una importante compaa que vende cosmticos y productos de belleza y que se especializa en la ventadomiciliaria (casa por casa) descubri que la respuesta de las ventas a la asignacin de ms representan-tes se ajusta a la ley de los rendimientos decrecientes. En un distrito regional de ventas, la compaa haaveriguado que la utilidad anual P, expresada en cientos de dlares, es una funcin del nmero derepresentantes x asignados a ese distrito. Especficamente, la funcin que relaciona esas dos variables esla siguiente:

EJEMPLO 21 ASIGNACIN DE LA FUERZA DE VENTAS

Figura 8. Grfica de la funcin de utilidad.

500.1375.15.12)( 2 +== xxxfp

a) Qu nmero de representantes producirla utilidad mxima en el distrito?

b) Cul es la utilidad mxima esperada?

Solucin

a) La derivada de la funcin de utilidad es

'(x) = - 25x + 1.375

Si ' se hace igual a 0,

-25x = - 1.375

o bien, ocurre un valor crtico cuando x = 55

Al comprobar la naturaleza del punto crticose obtiene

''(x) = -25 y ''(55) = -25

198

La Derivada6

Un fabricante ha ideado un nuevo diseo delos paneles solares para las zonas de Colom-bia con difcil acceso. Segn los estudios demercadotecnia que se han realizado, la deman-da anual de los paneles depender del precioal que se venden. La funcin de su demandaha sido estimada as:

q = 100.000 - 200p

donde q es el nmero de paneles demanda-dos al ao y p representa el precio en dlares .Los estudios de ingeniera indican que el cos-to total de la produccin de q paneles est re-presentado muy bien por la funcin

2003.0100000.150 qqC ++=Formule la funcin de utilidad U = (q) queexprese la utilidad anual U en funcin del n-mero de unidades q que se producen y ven-den.

Solucin

Se nos ha pedido desarrollar una funcin queexprese la utilidad U en trminos de q. A dife-rencia del ejemplo 21, hay que construir la fun-cin de utilidad. Tenemos la ecuacin de lafuncin del costo total formulado en trminosde q; por tanto, ese componente de la funcinde utilidad ya est disponible. No obstante, se

necesita formular una funcin del ingreso totalexpresada en trminos de q.

Una vez ms debe recordarse la estructura b-sica para calcular el ingreso total:

R = pq

Como queremos que R se exprese en trmi-nos de q, necesitamos reemplazar p en la ecua-cin por una expresin equivalente que puedederivarse de la funcin de demanda. Al despe-jar p en la ecuacin de demanda, se obtiene

200p = 100.000 - q

o bien, p = 500 - 0.005q

Puede sustituirse el miembro derecho de estaecuacin en la ecuacin R= p-q para producirla funcin de ingreso R = (500 - 0.005q)q=

2005.0500 qq Ahora que las funciones de ingreso y de costohan sido expresadas en trminos de q, es po-sible definir la funcin de utilidad como

U= (q) = R - C

)003.0100000.150(005.0500 22 qqqq ++=22 003.0100000.150005.0500 qqqq

o bien 000.150400008.0 2 += qqU

EJEMPLO 22ENERGA SOLAR

EJERCICIO 3

En el ejemplo 22, determine 1) el nmero de unidades q que deberan producirse para maximizarla utilidad anual; 2) el precio que tendra que cobrarse por cada panel para generar una demandaigual a la respuesta de la parte 1), y 3) la mxima utilidad anual.

199

Matemtica I

En el ejemplo 22 suponga que la capacidadde produccin anual del fabricante es de 20.000unidades. Resuelva de nuevo el ejemplo 22 conesta restriccin adicional.

Solucin

Con la restriccin adicional, el dominio de lafuncin se define como. Recuerde que se de-ben comparar los valores de (q) en los pun-tos finales del dominio con los de f(q*) para

cualquier valor q* donde 000.200 * q .El nico punto crtico en la funcin de utilida-des ocurre en q = 25.000, que se encuentrafuera del dominio. Por ello, la utilidad sermaximizada en uno de los puntos finales. Alevaluar (q) en ellos se obtiene

Figura 9. Dominio restringido de la funcin de utilidad.

(0) = 150.000 y

( ) )000.20(008,0000.20 2 +=f000.150)000.20(400 +

= 3.200.000 + 8.000.000 - 150.000 = 4.650.000

La utilidad s maximiza en un valor de $4.650.000 cuando q = 20.000 o cuando el fa-bricante opera a toda su capacidad.

El precio que debera fijarse se calcula sustitu-yendo q = 20.000 en la ecuacin P=500 -0.005q, o sea

P= 500 - 0.005 (20.000) = 500 - 100 = $ 400

La figura 9. contiene una grfica de la funcinde utilidad.

EJEMPLO 23DOMINIO RESTRINGIDO

200

La Derivada6

La funcin lineal de ingreso R = 10q, representa una situacindonde cada unidad se vende a $10. El ingreso marginal logra-do con la venta de una unidad ms es de $10 en cualquiernivel de produccin q.

En el ejemplo 22 una funcin de demanda para los panelessolamente se expres as:

q = 100.000 - 200 p

A partir de esta funcin de demanda se formul la funcin nolineal de ingreso total

21 005.0500)( qqqfR

El ingreso marginal en este ejemplo no es constante. Esto semostr al calcular el ingreso total para distintos niveles de pro-duccin. La tabla contiene estos clculos para algunos valo-res de q. La tercera columna representa el ingreso marginalasociado al paso de un nivel de produccin a otro. Nteseque, si bien las diferencias son ligeras, los valores del ingresomarginal estn cambiando en cada nivel de produccin.

Para una funcin del ingreso total R(q), la derivada R'(q) re-presenta la tasa instantnea de cambio en el ingreso total conun cambio del nmero de unidades vendidas. R tambin re-presenta una expresin general de la pendiente de la grficade la funcin del ingreso total. En el anlisis marginal, la deri-vada se emplea para representar el ingreso marginal, es decir,MR = R'(q)

La derivada, ofrece una aproximacin a los cambios reales

EJEMPLO 24

que se dan en el valor de una funcin. Por consiguiente, Rpuede emplearse para aproximar el ingreso marginal obteni-do con la venta de la siguiente unidad. Si se calcula el ingresomarginal R' para la funcin del ingreso cuya ecuacin esR=500q-o.oo5q2, se obtiene

R'(q) = 500 - 0.010q

Para aproximar el ingreso marginal logrado con la venta de lacentsima primera unidad se evala R cuando q = 100, o sea

R'(q) = (100) = 500 - 0.010 (100)

= 500 - 1 = 499

Y sta es una aproximacin muy cercana al valor real ($498.995) del ingreso marginal que aparece en la tabla.

Nivel de Costo total1(q) Costo marginalproduccin q C=1(q)-1(q-1)

100 $49.950.00

101 $50.448,995 $498,995

102 $50.947,98 $498,985

103 $51.446,955 $498.975

Clculo del ingreso marginal

3.5 Aproximacin marginal a lamaximizacin de utilidades

Otro mtodo para calcular el punto de maxi-mizacin de utilidades es el anlisis marginal.Este mtodo que goza de gran aceptacinentre los economistas, examina los efectos in-crementales en la rentabilidad. Si una firma estproduciendo determinado nmero de unida-des al ao, el anlisis marginal se ocupa delefecto que se refleja en la utilidad si se produ-ce y se vende una unidad ms.

3.6 Condiciones para usar la aproximacin marginal

Para que este mtodo pueda aplicarse a lamaximizacin de utilidades, es preciso que secumplan las siguientes condiciones:

l Deber ser posible identificar por separa-do las funciones de ingreso total y de costototal.

ll. Las funciones de ingreso y costo habrnde formularse en trminos del nivel de pro-duccin o del nmero de unidades pro-ducidas y vendidas.

3.7 Ingreso marginal

Uno de los dos conceptos ms importantesdel anlisis marginal es el del ingreso marginal.El ingreso marginal es el ingreso adicional quese consigue al vender una unidad ms de unproducto o servicio. Si cada unidad de un pro-ducto se vende al mismo precio, el ingresomarginal ser siempre igual al precio. Vaseejemplo 24.

201

Matemtica I

EJEMPLO 25COSTO MARGINAL

Un ejemplo de ello es la funcin de costo:

C=150.000+3.5q

donde el costo variable por unidad es $3.50.

Una funcin no lineal de costo caracteriza por costos marginales variables. Esto se ejemplifica en la funcin de costo

22 003.0100000.150)( qqqfC ++==

que se utiliz en el ejemplo 22. Puede mostrarse que los costos marginales realmente fluctan en distintos niveles deproduccin si se calculan los valores de esos costos para algunos valores de q. Este clculo se da en la tabla siguiente.

En una funcin de costo total c, la derivada C'(q) representa la tasa instantnea de cambio del costo total suponiendo que

Nivel de Costo total2(q) Costo marginalproduccin q C=2(q)-2(q-1)

100 $160.030,00

101 $160.030,603 $100.603

102 $160.231,212 $100.609

103 $160.331,827 $100.615

Clculo del costo marginal

3.8 Costo marginal

El otro concepto central del anlisis marginal lo constituyeel costo marginal. El costo marginal es el costo adicionalen que se incurre al producir y vender una unidad ms deun producto o servicio. Las funciones lineales del costosuponen que el costo variable por unidad sea constante;en ellas el costo marginal es el mismo en cualquier nivel deproduccin. Vase ejemplo 25.

haya un cambio en el nmero de unidades producidas. C'(q) representa adems una expresin general para la pendien-te de la grfica de la funcin del costo total. En el anlisis marginal, la derivada se usa para representar el costo marginal,esto es

MC = C'(q)

Como en el caso de R', C' puede emplearse para aproximar el costo marginal asociado a la produccin de la siguienteunidad. La derivada de la funcin de costo es

C' (q) = 100 + 0.006q

Para aproximar el costo marginal debido a la produccin de la centsima primera unidad, se evala C en q = 100, osea

C' (100) = 100 + 0.006 (100)

= $ 100.60

Si se compara este valor con el verdadero ($100.603) en la tabla, se advierten que ambos estn muy cercanos entre s.

202

La Derivada63.9 Anlisis de la utilidad marginal

Este anlisis se ocupa del efecto que se operaen las utilidades si se produce y vende una uni-dad adicional. Mientras el ingreso adicional con-seguido con la venta de la siguiente unidad seamayor que el costo de producirla y venderla,habr una utilidad neta con su produccin yventa, aumentando tambin la utilidad total.Pero si es menor que el costo de producir yvender la unidad adicional, habr una prdidaneta en esa unidad y disminuir la utilidad total.

Regla prctica

A continuacin se da una regla prctica parasaber si Debe o no producirse una unidadadicional?

I Si MR > MC, se producir la siguiente uni-dad.

II Si MR < MC, no se producir la siguienteunidad.

En muchas situaciones de produccin, el in-greso marginal rebasa al costo marginal en ni-veles ms bajos de produccin. A medida queaumenta el nivel de produccin (cantidad pro-ducida), disminuye la cantidad en que el ingre-so marginal excede al costo marginal. Con eltiempo se llega a un nivel en que MR = MC.Ms all de este punto MR < MC, y la utilidadtotal empieza a disminuir al incrementarse laproduccin. As pues, desde un punto de vis-ta terico, si puede identificarse el punto dondela ltima unidad producida y vendida MR =MC, la utilidad total ser maximizada. Este ni-vel de produccin que maximiza la utilidadpuede identificarse por medio de la siguientecondicin:

EJEMPLO 26APROXIMACIN MARGINAL

Resolver de nuevo el ejemplo 22 por medio de laaproximacin marginal.

Solucin

En el ejemplo 22

2005.0500 qqR =2003.0100000.150 qqC ++=

Las funciones de ingreso y costo son distintas y am-bas se expresan en trminos del nivel de produccinq, las dos condiciones para efectuar el anlisis mar-ginal quedan satisfechas. Ya se ha determinado que

R'(q) = 500 - 0.01q

y C'(q) = 100+ 0.006 q

Por tanto, R' (q) = C' (q)

Cuando 500 - 0.01q = 100 + 0.006 q

-0.016q = -400

q= 25.000

Puesto que R" (q) = -0.01 y C" (q)= 0.006

R" (q*) < C"(q*)

o, - 0.01

203

Matemtica I

3.10 Criterio de maximizacin de las utilidades

Se producir hasta alcanzar el nivel de produccin enque el costo marginal es igual al ingreso marginal, MR= MCExpresado en trminos de las derivadas, el criterioanterior recomienda producir hasta el punto dondeR (q) = C' (q)Esta ecuacin es un resultado natural de la diferen-ciacin de la ecuacin de utilidad U (q ) = R (q) - C (q)y de hacer la derivada igual a 0:U' (q) = R' (q) C' (q) y U' (q) = 0cuando R' (q) - C' (q) = 0 o bien R' (q) = C' (q)Adems en esta situacin la razn de cambio del costomarginal excede a la razn de cambio del ingreso mar-ginal, es decir R(q)

204

La Derivada65. Por otra parte, en el intervalo 0 < q 25.000, la pendiente de la fun-cin de ingreso es positiva pero es menospositiva para la funcin de costo. As pues,MR < MC y disminuye para cada utilidadadicional por unidad, lo cual ocasiona unaprdida ms all del punto D.

3.12 Gerencia de recursos fsicos: Losinventarios

Para cada pedido de materias primas, un fa-bricante debe pagar unos gastos de envo paracubrir manejo y transporte. Al llegar las mate-rias primas, estan deben almacenarse hastacuando se necesiten, lo cual genera costosde almacenamiento. Si cada pedido es peque-o, los costos de envo seran altos porquese necesitaran muchos pedidos. Ahora, to-das las unidades requeridas podran fabricar-se al inicio del ao en una sola serie de pro-duccin buscando economas de produccinmasiva, esto minimizara el costo de produc-cin. Sin embargo, significara que grandescantidades de artculos tendran que mante-nerse almacenados hasta que tuvieran quevenderse y los costos de almacenamiento po-dran ser altos y aun exceder las ventajas delos bajos costos de produccin. Vase ejem-plo 29.

EJEMPLO 28

La figura 11 muestra una grfica de la funcin lineal deingreso y de la funcin no lineal de costo. A la izquierdade q* la pendiente de la funcin de ingreso excede la dela funcin de costo, lo cual indica que MR> MC. En q*las pendientes de ambas funciones son iguales. Y la dis-tancia vertical que las separa es mayor que q* que encualesquiera otro valor de q entre los puntos A y B. Es-tos dos son los puntos de equilibrio.

Teniendo en cuenta el criterio de la segunda derivada, enR(q)

205

Matemtica I

EJEMPLO 29 COSTO DE INVENTARIOS

Figura 12. Costo de inventarios

Al evaluar un programa de generacin de ini-ciativas empresariales, la Secretara de Desa-rrollo Municipal encontr que un pequeo fabri-cante produca 50.000 unidades de cierto artcu-lo durante un ao y tena un costo de $400 porpreparar la planta manufacturera en cada serie deproduccin, fabricar cada artculo costaba $4 ymantenerlo almacenado tena un costo de 40 cen-tavos por ao. Suponga que en cada serie deproduccin se produce el mismo nmero de art-culos, denotemos este nmero por x. Supongatambin que despus de producir un lote, las xunidades se almacenan y se venden en una tasauniforme de modo que las unidades almacena-das se agotan cuando ya est lista la prxima se-rie de produccin. As, el nmero de unidades al-macenadas como una funcin del tiempo se ilus-tra en la figura 12. En cada serie de produccin,el nmero salta de 0 a x, luego decrece progresi-vamente a una tasa constante hasta cero. Al al-canzar el cero, el prximo lote se produce y elnmero almacenado es de nuevo igual a x.

A partir de la figura 12 es claro que el nmeropromedio de unidades almacenadas es x/2.Puesto que cuesta $0,40 almacenar cada ar-tculo por ao, los costos de almacenamien-to en el ao sern de (0,4)(x/2) dlares o x/5dlares (usamos dlares para no perder la pro-porcin de los precios en el tiempo).

Dado que los 50.000 artculos necesarios seproducen en lotes de tamao x, el nmero deseries de produccin por ao debe ser 50.000/x. Por consiguiente el costo de preparar la plan-ta para estas series de (400)(50.000/x) = (2x107/x) dlares. El costo de producir 50.000 artculosa $4 cada uno es $200.000. En consecuencia,los costos totales de fabricacin y almacenamien-to a lo largo de un ao (en dlares) estn dadospor

.5

000.2001027 x

xC

Deseamos encontrar el valor de x que haga a Cmnimo. Derivando resulta:

.51102

2

7

xx

dxdC

Haciendo esta derivada igual a cero, obtenemos

el resultado siguiente.

8722

7

10)5)(102(51102 xx

xx

000.10104 x(La raz negativa no tiene importancia prctica)Ms an advertimos que

37

2

2 104xx

dxCd es positiva cuando x= 10.000. De

modo que este valor de x representa un mni-mo local de C.

Por lo tanto, el costo mnimo se obtiene ha-ciendo 50.000/10.000= 5 series de produccinpor ao, cada una de ellas con una produc-cin de 10.000 unidades.

Este tipo de modelo de costo de inventariostambin se aplica a negocios tales como bo-degas o mercados de venta al menudeo quemantienen existencias de artculos que han devenderse al pblico o a otras empresas. La pre-gunta es que tan grande debe ser cada vez lacantidad de algn artculo que se ordena condestino a ser realmacenado. Si se ordena unacantidad muy grande, la empresa se enfrenta-r con sustanciales costos de almacenamien-to, si bien no tendr la desventaja de reorde-nar por un buen tiempo.

206

La Derivada63.12 Elasticidad de la Demanda.

Es normal que la demanda de consumo de un pro-ducto este relacionada con su precio. En la mayorparte de los casos, la demanda disminuye a medidaque el precio aumenta. La sensibilidad de la deman-da frente a los cambios en el precio, vara de unproducto a otro. Para algunos productos y servicioscomo gasolina, jabn, sal y peajes, los cambios pe-queos experimentados en el precio pueden tenerun pequeo efecto sobre la demanda. Para otrosproductos como tiquetes de avin o prstamos paravivienda , los cambios porcentuales pequeos expe-rimentados en el precio pueden tener efectos nota-bles en la demanda, en especial cuando tienen bie-nes sustitutos.La elasticidad es el cambio porcentual de la deman-da, generado por un incremento del uno por ciento(1%) en el precio. Si q denota la demanda y p elprecio, la elasticidad de la demanda representadapor la letra griega (eta), est dada por la frmula:

Supngase que la demanda q y el precio de ciertoartculo se relacionan mediante la ecuacin lineal

Si necesitamos calcular la elasticidad de la demandacuando el precio es 100 y cuando es 50, entoncesdebemos proceder primero aexpresar la elasticidade la demanda como una funcin de p:

Cuando p=100, la elasticidad de la demanda es:

Es decir, que cuando el precio es p=100, un incre-mento del 1% en el precio generar una disminu-cin del 5% en la demanda. Ahora, cuando el precioes p=50, la elasticidad de la demanda es:

)1200(2240 = pparapq

pp

pp

qp

dpdq

qp

==== 12022402)2(

5100120

100 ==

71.050120

50 ==

Es decir, cuando el precio es p=50, un incremen-to del 1% en el precio generar una disminucindel 0.71% en la demanda, aproximadamente.Podemos ver entonces que para el precio dep=100 tenemos una demnda elstica respectoal precio, mientras que para un precio de p=50 lademanda nos resulta inelastica respecto al pre-cio, es decir que los cambios en el precio no ge-neran aumentos significativos en las cantidadesdemandadas.En general, la elasticidad de la demanda es nega-tiva, puesto que la demanda disminuye a medidaque el precio se incrementa. Sin embargo, pode-mos encontrar casos raros en los cuales aumen-tos en el precio generen aumentos en la deman-da, tal es el caso de los ttulos valores comoacciones y moneda extranjera, los cuales cuandotienen alzas sostenidas de precio generan con-fianza en los inversionistas y estos responden au-mentando la demanda. Tambien suele ocurrir conalgunos artculos de lujo que dan algun estatussocioeconmico a quien los posee, y la vanidadentonces hace que se tienda a comprarlos si es-tan mas caros.Veamos ahora cul es el precio cuando la elastici-dad es igual a -1:

En este precio, un incremento del 1% en el preciogenera una disminucin de lademanda de el mis-mo porcentaje, es decir 1%. En tal caso se diceque la demanda es de elasticidad unitaria respec-to al precio. En conclusin, el comportamientode la demanda respecto al precio sera:

601202

120120

1

====

pp

ppp

p

unitariaesdemandalaSi

inelsticaesdemandalaSi

elsticaesdemandalaSi

,1

,1

,1

=

dpdq

qp =

207

Matemtica I3.13 La Funcin de Produccin Cobb-Douglas

Otra especificacin de funcin de produccin am-pliamente usada en empresas agrcolas fue prime-ro estimada por dos eruditos de Illinois. El seorCobb (matemtico) y el seor Douglass (economis-ta) decidieron estimar una funcin de produccinpara la economa de los Estados Unidos. Ellos te-nan la hiptesis de que el ingreso nacional (Y) erauna funcin de capital (K) y Mano de Obra (L). En-tonces, en general, su teora podra ser expresadacomo: Y = (K, L). Sin embargo, la teora tena otrasdos partes. Primero, ellos tenan la teora de que lafuncin de produccin era no lineal. Adems, elloscrean que la contribucin marginal de capital de-penda de la cantidad de mano de obra empleada einversamente, que la contribucin de mano de obraera dependiente de la cantidad de capital emplea-do.Para capturar esta relacin entre en ingreso nacio-nal (Y) y las cantidades de capital y mano de obra,ellos especificaron su funcin como:

Y a Kb 1 Lb2

en donde Y = ingreso nacional de Estados UnidosK = cantidad de capital empleado en dlares enlos Estados UnidosL = cantidad de mano de obra empleado en aos -hombre en los Estados Unidosa, b1, b2 = parmetros de la funcin

Note que la funcin de produccin es multiplicati-va en lugar de aditiva. Es decir no es lineal. Tam-bin, si examinamos las funciones derivadas de estafuncin de produccin, encontraremos que la pro-ductividad marginal de capital (K) depende en lacantidad de mano de obra y viceversa. Para haceresto, tome dos derivadas parciales, una con res-pecto a mano de obra y la otra respecto a capital.Vase ejemplo 30.

EJEMPLO 30

La funcin de ingreso nacional para la economade cierto pas es:

La productividad marginal de capital MPPK es,

y la productividad marginal de mano de obra MPPLes:

Entonces las funciones de productividad margi-nal en este caso dependen de ambas variables in-dependientes (insumos). Tiene esto sentido des-de el punto de vista prctico? Podemos ver decerca esto con el uso de una tabla que muestredistintos niveles de insumos K y L. Examinemos lafuncin de productividad marginal de capital MPPK.

4.05.010 LKY

5.0

4.04.05.0 55

KLLKMPP

KY

K

6.0

5.06.05.0 44

LKLK

LY

K MPPK (L=10) MPPK (L=20)

1 12.6 16.62 8.9 11.73 7.3 9.64 6.3 8.35 5.6 7.4

En la tabla vemos que la productividad marginalde capital MPPK depende de la cantidad de capi-tal y la cantidad de mano de obra. Por ejemplopara K=3, MPPK es 7.3 si la mano de obra es 10,pero es 9.6 si la mano es obra es 20. Tambienpara cualquier otro nivel de mano de obra. Com-plete Usted la tabla anterior con tres columnasms para valores de mano de obra de L=30,L=40 y L=50, al igual que agregando tres filaspara valores de K de 6, 7 y 8. Revise el resultado yverifique si se sigue cumpliendo lo observado.Existen ejemplos de empresas de servicios p-blicos en donde el nivel de productividad margi-nal dependa del nivel de otros factores?

208

La Derivada6 3.14 Propensin marginal al consumo y al ahorro

Una funcin que juega un papel importante en el anlisis eco-nmico es la funcin de consumo. La funcin de consumo

)(YfC = , expresa una relacin entre el ingreso nacionaltotal Y y el consumo nacional total C. Usualmente, tanto Ycomo C se expresan en miles de millones e Y se restringe acierto intervalo. La propensin marginal al consumo se defi-ne como la razn de cambio del consumo con respecto alingreso; y es la derivada de C con respecto a Y

Propensin marginal al consumo: PMC =

Si suponemos que la diferencia entre el ingreso nacional Y yel consumo C, es el ahorro S, entonces

CYS =Al diferenciar ambos miembros de la ecuacin con respectoa Y obtenemos

Definimos dYdS

como la propensin marginal al ahorro PMS.

As, la propensin marginal al ahorro indica qu tan rpidocambia el ahorro nacional con respecto a cambios en el in-greso nacional: propensin marginal al ahorro = 1 - propensinmarginal al consumo:PMS = 1 - PMC y tambien PMC = 1 - PMSLa propenson marginal al ahorro significativa implica un pro-ceso de acumulacin de capital, el cual se debe equilibrarcon un valor de la propensin marginal al consumo que per-mita un movimiento dinmico sde la economa. Es bueno omalo tener una propensin marginal al ahorro muy cercana auno? Y respecto de la propensin marginal al consumo?Recordemos de un lado que el consumo dinamiza la econo-ma: la falta de consumo gener la crisis de 1929; pero vea-mos tambien que los paises con bonanzas econmicas, quedespus de estas quedan en situacin deplorable por no ha-ber invertido (ahorrado). En el Documento 1, se evidenciala importancia de estos conceptos en el anlisis econmico ysocial.

La ciencia econmica convencional de altadifusin y peso en Amrica Latina, ha hipo-tetizado que la desigualdad constituye unrasgo caracterstico de los procesos de mo-dernizacin y crecimiento, y en algunas desus versiones, que los impulsa y favorece,al posibilitar la acumulacin de ahorro quese transformar en inversin. As mismo,ha sugerido que las desigualdades, funcio-nales para el desarrollo, tenderan luego acorregirse. Para Kaldor (1978) es impres-cindible para el crecimiento una acumulacinimportante previa de ahorro. Si el ingreso seconcentra en un segmento limitado de la po-blacin con alta propensin a consumir, queseran los ricos, ello favorecer esta acumu-lacin y el crecimiento. Kaldor supone quelas utilidades son una fuente importante degeneracin de ahorro y los salarios, en cam-bio, una fuente muy limitada. Kuznets (1970)indica que habra una tendencia secular, enlas sociedades desarrolladas, a que la po-blacin emigre del sector agrcola caracteri-zado por baja desigualdad y bajos ingresospromedios, hacia el sector industrial dondeel ingreso promedio es ms alto, pero tam-bin la desigualdad. En los estadios inicia-les del desarrollo ascenderan, por tanto, elingreso y la desigualdad. En estadios pos-teriores seguira ascendiendo el crecimiento,pero se reducir la desigualdad 0148.

Kliksberg Bernando. Desigualdad y Desa-rrollo en America Latina: El Debate Poster-gado, Centro de Documentacin en polti-cas sociales, Conferencia pronunciada en

el marco de Buenos Aires Sin Fronteras,Un espacio para el dilogo. 26-27 de abril

de 1999.

Doc. 1Cambio de rumbos en el anlisis

de la inequidad

dYdC

dYdCY

dYd

dYdS == 1)(

dYdC

209

Matemtica I

1. Ingresos. Una compaa ha descubiertoque el ingreso total es una funcin del pre-cio fijado a su producto. En concreto, lafuncin del ingreso total es

, donde p esel precio en dlares.

a) Determine el precio p que produce el mxi-mo ingreso total.

b) Cul es el valor mximo del ingreso total?

2. Ingresos. La funcin de demanda del pro-ducto de una firma es q = 300.000 - 75 p

donde q representa el nmero de unidadesdemandadas y p indica su precio en dla-res.

a) Determine el precio que deber cobrarsepara maximizar el ingreso total.

b) Cul es el valor mximo del ingreso total?

c) Cuntas unidades se espera que se deman-den?

3. Utilidad mxima. La utilidad anual de unacompaa depende del nmero de unida-des producidas. Especficamente, la funcinque describe la relacin existente entre la

utilidad U (expresada en dlares) y el n-mero de unidades producidas q es

000.000.25000.612.0 2 += qqUa) Determine el nmero de unidades q que

producirn la utilidad mxima.


4. Administracin de playas. Una comuni-dad, situada en una zona vacacional, esttratando de escoger una tarifa de estacio-namiento que fijar a la playa del pueblo.En la zona hay otras playas, y todas ellascompiten por atraer a los baistas. El muni-cipio ha optado por la siguiente funcin queexpresa el nmero promedio de automvi-les por da q en trminos de la tarifa de es-tacionamiento p expresada en centavos.

q= 10.000 - 20p

a) Determine la tarifa que debera cargarsepara maximizar los ingresos diarios de laplaya.

b) Cul se espera que sea el mximo ingresodiario de la playa.

c) Cuntos automviles se esperan en un dapromedio?

PRCTICA DE APLICACIN

GLOSARIO

Draper Jean E., Klingman Jane S., Matemticaspara la Administracin y la Economa.Editorial Harla. Mxico, 1976.

Barnet A. Raymond. Matemticas para Admi-nistracin y Ciencias Sociales. 2 Edicin.Nueva Editorial Interamericana S.A.,Mxico, 1983.

Budnick Frank S., Matemticas Aplicadas parala Administracin Economa y CienciasSociales. 3 Edicin. Editorial Mc GrawHill. Mxico, 1990.

Emery E. David. Principios de Economa: Microeco-noma. Traducido por Harcourt BraceJovanovich. Bogot, 1989.

BIBLIOGRAFA

Ingreso marginal. Es el ingreso adicional quese consigue al vender una unidad msde un producto o servicio.

Costo Marginal. Es el gasto adicional en quese incurre por producir y poner en elmercado una unidad adicional de unproducto o servicio.

Utilidad Marginal. Es la utilidad adicionalque se recibe por producir y poner enel mercado una unidad adicional deun producto o servicio.

pppfR 960.120)( 2 +==

210

La Derivada6

5. Administracin de los impuestos de im-portacin. El gobierno estadounidense estestudiando la estructura de los impuestosde importacin para los televisores de colortrados de otros pases. El gobierno est tra-tando de determinar el impuesto que impon-dr a cada aparato. Sabe bien que en la de-manda de los televisores importados reper-cutir ese impuesto. Estima que la deman-da D, medida en cientos de televisores, guar-da relacin con el impuesto de importacint, medido en centavos, de acuerdo con lafuncin

D = 80.000 - 20 t

a) Determine el impuesto de importacin queproduce los mximos ingresos fiscales en laimportacin de televisores.

b) Cul es el ingreso mximo?

c) Cul ser la demanda de los televisores im-portados de color con este impuesto?

6. Costo de Inventario. Un fabricante ha cal-culado una funcin de costo que expresa elcosto anual de la compra, posesin y man-tenimiento del inventario de sus materiasprimas en trminos del tamao de cada pe-dido. He aqu la funcin de costo:

000.15010000.625 ++= qq

C , donde q es

el tamao de cada pedido (en toneladas) yC anual del inventario.

a) Determine el tamao de pedido q que mini-mice el costo anual de inventario.

b) Cules se esperan que sean los mnimoscostos de inventario?

7. Costos mnimos. En el ejercicio 6 supongaque la cantidad mxima de materias primasque puede aceptarse en un embarque cual-quiera es de 225 toneladas.

a) Con esta restriccin, determine el tamaode pedido q que minimice el costo anualdel inventario.

b) Cul son los mnimos costos anuales deinventarios?

c) Qu relacin tienen estos resultados conlos del ejercicio 4?

8. Costo de Inventario. Un gran distribuidorde balones de baloncesto est prosperan-do mucho porque en su pas ese deportese ha ido convirtiendo en uno de los favori-tos del pueblo. Uno de los principales pro-blemas del distribuidor es mantener el rit-mo de la demanda de los balones. Los com-pra peridicamente a un fabricante de art-culos deportivos. El costo anual de la com-pra, posesin y mantenimiento del inventa-rio de los balones se describe por mediode la funcin.

000.2005000.000.20 ++= qq

C

donde q es el tamao de pedido (en doce-nas de balones) y C indica el costo anualde inventario.

a) Determine el tamao de pedido q que mi-nimice el costo anual de inventario.

b) Cules se espera que sean los costos m-nimos de inventario?

9. Costos mnimos. El distribuidor del ejerci-cio 8 cuenta con instalaciones de almace-namiento para recibir un mximo de 1.500docenas de balones en cada embarque.

a) Determine el tamao de pedido q que mi-nimice los costos anuales de inventario.

b) Cules son los costos mnimos de inven-tario?

c) Qu relacin guardan estos resultados conla obtenidos en el ejercicio 8?

10.Mnimo costo promedio. El costo total deproducir q unidades de cierto producto sedescribe por medio de la funcin

201.0300000.000.4 qqC ++= , donde Ces el costo total expresado en dlares.


211

Matemtica I

a) Cuntas unidades debern producirse a finde minimizar el costo promedio por unidad?

b) Cul es el mnimo costo promedio por uni-dad?

c) Cual es el costo total en este nivel de pro-duccin?

11.Minimizar costos. El costo total de fabricarq unidades de cierto producto se describecon la funcin

donde C es el costo expresado en dlares.

a) Determine cuantas unidades q deberan pro-ducirse con objeto de minimizar el costopromedio por unidad.

b) Cul es el mnimo costo promedio por uni-dad?

c) Cul es el costo total en ese nivel de pro-duccin?

12.Minimizar costos. Resuelva nuevamente elejercicio 11 si la capacidad mxima de pro-duccin es de 1.000 unidades.

13.Servicios Pblicos. Una compaa de tele-visin por cable ha averiguado que su ren-tabilidad depende de la tarifa mensual quecobra a sus clientes. Especficamente, la re-lacin que describe la utilidad anual p (endlares) en funcin de la tarifa mensual derenta R (en dlares) es la siguiente:

000.000.5000.500.2000.50 2 += rrPa) Determine la tarifa de renta mensual que de

por resultado la utilidad mxima.


14.Servicios Pblicos. En el ejercicio 13 su-ponga que la comisin local de serviciospblicos ha impuesto a la compaa la obli-gacin de no cobrar una tarifa mayor a $20. a) cul tarifa produce la utilidad mxi-ma a la compaa?

b) Cul es el efecto que la decisin de la co-misin tiene en la rentabilidad de la empre-sa?

15. Maximizar utilidades. Una compaa es-tima que la demanda anual de su productoflucta con su precio. La funcin de deman-da es

q= 180.000 - 250 p

donde q es el nmero de unidades deman-dadas y p el precio en dlares. El costototal de producir q unidades se estima conla funcin

2001.0300000.350 qqC ++=a) Determine cuantas unidades q deberan

producirse con objeto de maximizar la utili-dad anual.

b) Qu precio debera fijarse?

c) Cul se espera que sea la mxima utilidadanual?

16.Aproximacin marginal. Resuelva el ejer-cicio anterior, usando la aproximacin mar-ginal para maximizar las utilidades.

17.Maximizar utilidades. Si en el ejercicio 15la capacidad anual es de 40.000 unidades,cuantas unidades darn por resultado launidad mxima?

18.Maximizar ingresos. Una manera equiva-lente de resolver el ejemplo 18 consiste enexpresar el ingreso total en funcin de q, elnmero de pasajeros por da. Formule lafuncin R = g(q) y determine el nmero depasajeros q que produzca el mximo ingre-so total. Verifique que el valor mximo de Ry el precio que debera fijarse sean los mis-mos que los que se obtuvieron en el ejem-plo 18.

19.Aproximacin marginal. Las funciones decosto e ingreso totales de un producto son

20001.020000.50)( qqqC ++= ,y 2004.060)( qqqR =

a) Por medio de la aproximacin marginal de-termine el nivel de produccin que maximi-ce las utilidades.

b) Cul es la utilidad mxima?.


225.0000.15000.000.1 qqC ++=

212

La Derivada6

20.Aproximacin marginal. Una empresa vendecada unidad de un producto en $75. El costototal de producir q (mil) unidades se describemediante la funcin

3220200.1)( qqxC donde C (q) se mide en miles de dlares.

a) Utilice la aproximacin marginal para determinarel nivel de produccin que maximice las utilida-des.

b) Cul es el ingreso total en este nivel de produc-cin? el costo total? las utilidades totales?

21.Aproximacin marginal. La funcin de utilidadde una firma es

000.45000.3610)( 2 qqqUa) con la aproximacin marginal, determine el nivel

de produccin que maximice las utilidades

b) Cul es la utilidad mxima?

22. Aproximacin marginal. Las funciones de costoe ingreso totales de un producto son

2005.030000.1)( qqqC 2004.0000.2)( qqqR

a) Mediante la aproximacin marginal determineel nivel de produccin que maximice las utili-dades.

b) Cul es utilidad mxima?

23.Aproximacin marginal. Las funciones de cos-to e ingresos totales de un producto son

201.0100)( qqqR , y

a) Con la aproximacin marginal determine el nivelde produccin que maximice las utilidades.

b) Cul es la utilidad mxima?

24.Funcin consumo. Para Estados Unidos(1922-1942), la funcin de consumo se es-tim por la ecuacin

Encuentre la propensin marginal al con-sumo.

25.Funcin consumo. Suponga que la fun-cin de consumo de un pas est dadapor

donde C e I estn en miles de millones dedlares

a) Encuentre la propensin marginal al aho-rro cuando el ingreso es de 25.000 mi-llones de dlares.

b) Hallar la PMC cuando el ingreso nacio-nal es de 30.000 millones de dlares.

26.Propensiones marginales a consumiry a ahorrar. Suponga que la funcin deahorro de un pas es:

donde el ingreso nacional I y el ahorronacional S se miden en miles de millo-nes de dlares. Encuentre la propensinmarginal del pas a consumir y su pro-pensin marginal al ahorro cuando el in-greso nacional es de 16.000 millones dedlares.

27.Costo marginal. Si la funcin de costototal de un fabricante est dada por:

50003

5 2 qqC , encuentre la funcin

de costo marginal.


1.113672.0 YC

YYYYC 2.07.010

3

26

YYYS

2005,040000.25)( qqqC

213

Matemtica I

28.Relacin husped - parsito. Para la rela-cin particular husped - parsito, se deter-min que cuando la densidad de los hus-pedes (nmero de huspedes por unidad derea) es x, el nmero de huspedes que tie-nen parsitos es y, donde

xxy4510

900+=

A qu razn est cambiando el nmerode huspedes que tienen parsitos con res-pecto a la densidad de los huspedes cuan-do x = 2?

29.Depredador - presa. En un experimentodepredador - presa, se determin estadsti-camente que el nmero de presas consu-midas Y, por un depredador individual esuna funcin de la densidad X de presas (elnmero de presas por unidad de rea), don-de

Determine la razn de cambio de las presasconsumidas con respecto a su densidad.

30.Estudios Polticos. En una ciudad interme-dia se estima que la poblacin votante enmiles, aumentar o disminuir segn la si-guiente frmula:

( ) 321230 tttN += ; donde: 80 t Siendo t el tiempo en aos y N(t) la pobla-

cin en funcin del nmero de aos.

Cundo ser ms rpido el aumento de lapoblacin?

31. Ecuacin de demanda. Suponga que

20100 2 += qp es una ecuacin dedemanda para el producto de un fabricante.

a) Encuentre la razn de cambio de p con res-pecto a q

b) Determine la funcin de ingreso marginal

32.Producto de ingreso marginal. Si qkp = ,

donde k es una constante, es la ecuacinde demanda para el producto de un fabri-cante, y define una funcin que da el n-mero total de unidades producidas al dapor m empleados, demuestre que el pro-ducto del ingreso marginal es siempre iguala cero.

33.Funcin costo. El costo de producir q uni-dades de un producto est dado por

21.0104000 qqC ++=Si el precio de p unidades est dado por laecuacin

pq 5.2800 =

utilice la regla de la cadena para encontrarla razn de cambio del costo con respectoal precio por unidad cuando p = 80.

34.Altas de hospital. En un centro de saludse examinaron las altas de un grupo de in-dividuos que estuvieron hospitalizados conuna enfermedad especfica. Se encontr quela cantidad total de personas que fuerondadas de alta al final de t das de hospitali-zacin estaba dada por

Encuentre e interprete su respuesta.

35.Costo marginal. Si la funcin de costo to-tal para un fabricante est dada por

Encuentre la funcin de costo marginal

PRACTICA DE APLICACIN

O +=

02744.017355.0Y

50003

52

2

++= qqC

3

3003001)(

+= ttf

214

La Derivada6

36.Condicin social/educacin. Para cierta po-blacin, si E es el nmero de aos de educa-cin de una persona y S representa un valornumrico de su condicin social basada en ese

nivel educativo, entonces2

14

4

+= ES

a) Qu tan rpido estar cambiando la condi-cin social con respecto a la educacin cuan-do E = 16?

b) A qu nivel de educacin es igual a 8 la raznde cambio de la condicin social?

37.Presin en tejido vivos. Bajo ciertas condi-ciones, la presin p desarrollada en tejidos vi-vos por la radiacin ultrasnica est dada enfuncin de la intensidad I:

( ) 2/12 IVp =donde ( letra griega "rho") es la densidad y Vla velocidad de propagacin. Aqu y V sonconstantes.

a) Determine la razn de cambio de p con res-pecto a I

b) Encuentre la razn de cambio relativa.

38.Demografa. Suponga que para cierto grupode 20.000 nacimientos, el nmero N de genteque alcanza a vivir x aos viene dada por

a) Encuentre la razn de cambio de N, con res-pecto de x, y evale su respuesta para x = 36.

b) Encuentre la razn de cambio relativa de N,cuando x = 36

39.Contraccin muscular. Un msculo tiene lahabilidad de acortarse al estar sometido a unacarga. La ecuacin

se llama "ecuacin fundamental de la contrac-cin muscular". Aqu, P es la carga impuesta almsculo, V la velocidad del acortamiento delas fibras musculares y a, b y k son constantes


positivas. Exprese V como funcin de P. Use

su resultado para encontrar dPdV

40.Encuentre la funcin de costo marginal sila funcin de costo medio es

2

100002q

qc +=

41.Costo marginal. La funcin del costo me-dio de un fabricante, en dlares, est dadapor

( )5ln400+= qc

Encuentre el costo marginal (redondeandoa dos decimales) cuando q = 45.

42.Ahorro y consumo. El ahorro S de un pas(en miles de millones de dlares) est rela-cionado con el ingreso I nacional (en milesde millones de dlares) por la ecuacin

+= IeS 23ln

a) Demuestre que la propensin marginal al

consumo en funcin del ingreso es Ie+22

b) Al milln ms cercano. Cul es el ingresonacional cuando la propensin marginal alahorro es de 1/10?

43.Derivada implcita. Encuentre dxdy

por de-

rivacin implcita

a) 3=+ yx b) 253 32 =+ yxyxc) 933 =+ xyx

1000,1002000 = xxN

( )( ) kbVaP =++ )

215

Matemtica I

d) 200111 =++ xyyxe) 52 223 =+ yxyx f )

4)ln( =+ + yxexy44.Propensin marginal del consumo. Los aho-

rros S de un pas se definen implcitamente entrminos de su ingreso nacional I por medio dela ecuacin

IISIS +=+ 2241

donde S e I estn en miles de millones de dla-res. Encuentre la propensin marginal al consu-mo cuando I = 16 y S = 12

45. Para las ecuaciones de demanda dadas a conti-nuacin, encuentre la razn de cambio de q conrespecto a p.

a) 2100 qp = b) qp = 400

c) ( )2520+= qp d) 5

202 += qp

46.Tamao del lote econmico. Un material se de-manda a una tasa de 10.000 unidades por ao;el precio al costo del material es de $2 por uni-dad y el costo de volver a llenar el almacn delmaterial por orden sin importar el tamao de laorden (x) de la orden es de $ 40 por orden; elcosto de almacenar el material por un ao esdel 10% del valor de las existencias (x/2). C es elcosto anual de acomodar y tener almacenado elmaterial.

a) demuestre que C = 20.000 +400.000 /x + x/10

b) encuentre el tamao econmico del lote.

47. Modelo de control de inventarios. Una fbricaha de producir 96.000 unidades de un artculo alao. El costo del material es de $2 por unidad yel costo de volver a surtir la existencia de mate-rial por orden sin importar el tamao x de la or-den es de $25 por orden. El costo de tener al-macenado el material es de 30% por artculo porao sobre las existencias (x/2). Pruebe que el

costo total C est dado por

203000.400.2000.192 x

xC ++=Determine tambin el tamao del lote eco-nmico (esto es, el valor de x para el que Ces mnimo).

48. Mximo ingreso. Un restaurante especiali-zado en carnes determina que el precio $5por platillo de carne tendr en promedio 200clientes por noche, mientras que si lo ven-de a $7 el nmero promedio de clientesbajar a $100. Determine la relacin de de-manda suponiendo que es lineal. Encuen-tre el precio que maximiza el ingreso.

49.Utilidad y satisfaccin del cliente. Un ban-co quiere recortar sus costos laborales re-duciendo el nmero de cajeros pero espe-ra una prdida de negocios debido al des-contento de los clientes por el tiempo deesperar. Supongamos que el salario de loscajeros es de $80 diarios y la prdida deutilidad por tener nicamente n cajeros esde 5000/ (n+1) dlares diarios. Determineel valor de n que minimiza la suma de susprdidas ms el costo del salario.

50.Rendimiento mximo de impuestos sobrelas ventas. La cantidad q de un artculo quepuede venderse al mes a un precio p estdada por q = 100 (5-p). La cantidad que losproveedores ofrecern a un precio p1 es q1= 200(p1 -1). Si existe un impuesto por cadaartculo (de modo que p1 = p - t ), determi-ne la cantidad q que se vende al mes si elmercado est en equilibrio. Encuentre elvalor de t que da el mximo impuesto totalpor mes al gobierno.

51. Elasticidad. Si la demanda de un bien estadada por:

Determinar la elasticidad de la demandapara precios de p=5, p=10, p=15, p=20.Determine los intervalos en los cuales la de-manda es elstica, inelstica o unitaria. Re-cuerde la notacin de intervalos.es un va-lor acertado el obtenido al calcular la elasti-cidad de la demanda para p=20?


)3000(300 2 = pparapq

216

La Derivada6

1. a) p=49, b) R=48.020

2. a) p=2.000 b) R=300.000.000 c) q=150.000

3. a) q=25.000 b) U=50.000.000

4. a) p=250 b) R=1.250.000 c) q=5.000

5. t=2.000 b) R=80.000.000 c) D=40.000

6. q=250 b) C=155.000

7. En el lmite de la restriccin se da el mnimo costo.En q=225 entonces C=155.027,78

8. a) q=2.000 C=220.000

9. b) C=220.833,33

10. a) q=20.000 b) c=700

11. a) 2.000 b)16.000 c) 32.000.000

12. q=1000, c=16.250 C=16.250.000

13. a) r=25, b) p=26.250.000

14. a) 25.000.000

15. a) q=42.000, b) p=552, c) U=8.470.000

16. a) q=42.000, b) p=552, c) U=8.470.000

17. q=40.000, U=8.450.000

18. q=10.000-125p, q=5.000, R=200.000

19. q=4.878, U=47.560,9

20. a) q=15, R=1.125, U=1.050

21. a) q=1.800, U=32.355.000

22. a) q=109.444, b) 107.801.777,8

23. a) q=2.000, b) U=35.000

24. PMC=0.672

25. a) PMS=0.3, r=0.000028

26. PMS=0.004, PMC=0.996

27. 2

2

)3(305

qqqMC

28. y(2)=0.9

29. 202744,017355,0

Xdxdy

30. En cuatro aos.

31. a) 202 qq

dqdp

; b)

24 20100 qqqR

32. kqqkpqR ; 0 dq

dRMR

33. 325dpdC

35. 32

2

)3()6(5

qqqMC

36. a) 10, b) q=12

37. a) IV

dIdP

2 ; b) I2

1

38. a) -125, b) r=-0.0078

39. bapkV ; 2ap

kdpdV

40. 2000.14q

qMC

41.MC(45)=78.73

42.a) Derivando S se calcula la PMS, luego secalcula la propensin marginal al consumousando:

PMC=1-PMS; b) I=1.5

43. a) xy

dxdy ; b) 22

3

9161

yxxy

dxdy

;

c) 23

32

331yxyx

dxdy ; d)

011

112

dxdyx

xyy

dxdy

yx

RESPUESTAS

217

Matemtica I

e) xyyyx

dxdy

4223 22

;

f) 011

dxdyey

dxdyx

xyyx

44. 85PMC

45. a) qdqdp 2 ; b) qdq

dp21 ; c)

3520 qp ;

d) 22 540 q qdqdp46. 1. b) x=2.000

47. x=4.000

48. 4,5

49. n=2 (por ser personas variable discreta, seaproxima a unidades enteras)

50. t = 1,5; q=177.

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