Aplicaciones de las derivadas en ingeniera Electrnica y de Telecomunicaciones:

Como sabemos la Ingeniera electrnica y de Telecomunicaciones es una rama de la ingeniera, que resuelve problemas de transmisin y recepcin de seales e interconexin de redes, as como la solucin a problemas de circuitos de pequea escala, as como su diseo. El trmino telecomunicacin se refiere a la comunicacin a distancia a travs de la propagacin de ondas electromagnticas. Esto incluye muchas tecnologas, como radio, televisin, telfono, comunicaciones de datos y redes informticas. Al resolver problemas de trasmisin y recepcin de seales e interconexin de redes, estamos hablando de ondas; el anlisis de las formas de onda a travs de las series de Fourier se utiliza en toda la ingeniera elctrica, electrnica, de telecomunicaciones, de procesamiento de seales de redes.

Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una funcin peridica y continua a trozos. Las series de Fourier constituyen la herramienta matemtica bsica del anlisis de Fourier empleado para analizar funciones peridicas a travs de la descomposicin de dicha funcin en una suma infinita de funciones senoidales mucho ms simples. Algunas de las Aplicaciones de las Series de Fourier que se aplican a nuestra carrera son:

* Anlisis en el comportamiento armnico de una seal. * Generacin de formas de onda de corriente o tensin elctrica por medio de la superposicin de senoidales generados por osciladores electrnicos de amplitud variable cuyas frecuencias ya estn determinadas. En cuanto a las derivadas, e integrales de lnea suelen usarse para anlisis de curvas, mximos y mnimos o formas de onda y sobre todo para anlisis de potenciales elctricos y magnticos en diseos de alto voltaje y antenas. El clculo en la ingeniera en Electrnica.

Sabemos la utilidad que pueden tener las integrales, la integral definida es un mtodo rpido para calcular reas, volmenes, longitudes, etc. Lejos de los procesos lentos y laboriosos que empleaban los griegos. Ahora vamos a ilustrar las distintas aplicaciones que tiene el clculo integral, el lgebra y la Trigonometra sirven para estudiar los objetos que se mueven con velocidad constante, pero si la velocidad es variable y la trayectoria es irregular se necesita el Clculo. Una descripcin rigurosa del movimiento requiere definiciones precisas de velocidad y aceleracin, usando uno de los conceptos fundamentales de clculo: la derivada.

El poder y la flexibilidad del Clculo hacen ste til en muchos campos de estudio. Entre algunas de las casi infinitas aplicaciones de la derivada en el campo de la Ingeniera Electrnica y de Telecomunicaciones, se pueden mencionar: Los cambios instantneos de una corriente elctrica. Variaciones del flujo magntico. Variaciones de los campos elctricos y magnticos. Las leyes de Maxwell ( Su compresin , requieren un amplio dominio del clculo diferencial ) El anlisis grfico de funciones complicadas. En la formulacin de conceptos bsicos de Control. Conversin de energa. Circuitos Elctricos Las leyes del electromagnetismo en general, hacen uso de las derivadas (La ley de ampere, la ley de Gauss, la ley de Faraday, etc.) En electrnica, hay un programa muy usado denominado MATLAB, dicho programa, puede ser utilizado combinando un correcto dominio de su lenguaje de programacin y mtodos numricos basados en el clculo, para dar origen a programas capaces de calcular, aproximar e interpolar funciones, para poder plantear la derivada en programacin, todo lo mencionado se derivan del polinomio de Taylor y otros como el mtodo de newton-rapshon, etc. Se puede crear un modelo de ecuaciones diferenciales para proponer un modelo de crecimiento poblacional, crecimiento de activos de empresas, comportamiento de partes mecnicas de un automvil, y muchas aplicaciones ms en ingeniera y fsica. Fabricacin de chips (obleas de microprocesadores) Miniaturizacin de componentes internos. Administracin de las compuertas de los circuitos integrados. Compresin y digitalizacin de imgenes, sonidos y videos.

Puede afirmarse que el clculo se aplica en casi todas las ramas del conocimiento ciencias Fsico-Matemticas y, con particular nfasis, en las Ingenieras y profesiones afines.En los sistemas elctricos y en general los sistemas dinmicos de parmetros concentrados e invariantes en el tiempo se pueden representar por medio de una Ecuacin Diferencial Lineal o un Sistema de Ecuaciones Diferenciales Lineales, as que para su rpida resolucin se utiliza la Transformada de Laplace, pues convierte al sistema en una Ecuacin Algebraica de fcil solucin.Para encontrar respuestas forzadas de los sistemas elctricos se utiliza el anlisis de Fourier en su forma ms sencilla, conocido como el mtodo fasorial y consiste en transformar las Ecuaciones Diferenciales en ecuaciones algebraicas con coeficientes complejos de fcil resolucin.

Todo lo mencionado, nos da a entender, que si no conocemos ni sabemos aplicar correctamente una derivada, jams podramos plantear una ecuacin diferencial y por consiguiente resolver los problemas mencionados anteriormente. (Existen tambin ejercicios que resultan de la definicin de razn de cambio de la derivada, que por electromagnetismo bsico y el uso de derivadas se resuelven, pero cabe destacar que ms importante es la presencia de las derivadas en las ecuaciones diferenciales)

Hablar de aplicaciones de las derivadas en la electrnica es hablar de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en dicha rama (pues una ecuacin diferencial no es ms que una ecuacin que tiene como elementos variables independientes, dependientes y sus derivadas), por ello, a continuacin se tratar dicho tema, especficamente: La solucin de circuitos elctricos tanto de corriente continua como corriente alterna.Veamos el siguiente ejemplo de solucin de un circuitoEn General es evidente, que la derivada aparece ms de una vez en cuestiones de circuitos elctricos, a continuacin enunciaremos las siguientes frmulas, en las que se puede apreciar ecuaciones diferenciales, tiles en la solucin de circuitos.

Circuitos Elctricos.

Otra aplicacin, de las derivadas en ecuaciones diferenciales, son los SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES (que nacen por la aparicin de 2 o ms mallas): Circuitos Elctricos.

Datos del circuito:

Malla1:

Malla 2:

De (3.18):

De (3.19)100 : (3.21)

En notacin operacional:

Para hallar la ecuacin diferencial en i1:

Luego : .i1=

( Este ejercicio se desarroll por el mtodo de notacin operacional).

En electrnica, la diferencia de potencial (voltaje), es muy utilizada, y su definicin nos permite entender por qu la derivada

En electromagnetismo, las leyes de Faraday y la de Lenz, se formularon gracias a las derivadas, como herramientas matemticas muy poderosas.

La definicin de Inductancia Mutua , utiliza derivadas en su frmula :

Otra aplicacin, en el campo del electromagnetismo y por ende en electrnica es la definicin de corriente:

Aqu tenemos ms ejemplos de aplicacin : en ecuaciones diferenciales

1. Se tiene el circuito elctrico como en la fig. 3. Se pide hallar:

a. Ecuacin diferencial del circuito elctrico: que se puede escribir como: Resolviendo la ecuacin caracterstica: Solucin transitoria: , Solucin particular: , derivando y reemplazando en la ecuacin diferencial se hallan: , Solucin completa:

Reemplazando las condiciones iniciales, se hallan 0.0012, B=-0.01.La corriente en 0.1 seg es: -0.024A

b. 1. Se tiene el circuito elctrico de la fig.1, con E(t)=100 sin(10t), con , , . Determine:(6p)a. Las ecuaciones diferenciales del circuito Ecuaciones diferencialesb. Las corrientes e .

Fig.1Soluciones

Ecuacin diferencial para Q1: Solucin homognea: Races de la ecuacin caracterstica:

Solucin particular: , derivando y reemplazando en la ecuacin diferencial se obtiene: Solucin completa: , (1)Derivando se obtiene la corriente: De la ecuacin , se despeja , entonces:(2)Reemplazando las condiciones iniciales en (1) y (2), se hallan:

Soluciones para las corrientes:

1. Se tiene un circuito elctrico como en la Fig. 1 al que se le aplica una tensin . Se pide:(5p)

Fig. 1

a.

Hallar la corriente en t=0.1 seg, si y Ecuacin diferencial: 1/ Ecuacin caracterstica: 2/ , reemplazando en la ecuacin diferencial se obtiene: Solucin completa: Derivando :

Reemplazando las condiciones iniciales: Luego

b. Cul es la frecuencia natural y la impedancia compleja en condiciones de rgimen estacionario con ?

Conclusin: En general, las derivadas, tienes mltiples aplicaciones en el campo de la electrnica, por el mismo motivo en que el electromagnetismo las incorpora, como herramientas matemticas para medir una magnitud que se origina como la variacin de otra magnitud con respecto a una variable independiente. Por Ello, cuando trabajamos con magnitudes que se describen usando ecuaciones que no son del tipo lineal, es necesario DERIVAR, pues de esta manera podemos obtener mucha informacin de dicha magnitud.En general, se ha visto, que las derivadas aparecen ms de una vez en numerosas leyes y frmulas, as como en el planteo de ecuaciones (Ecuaciones Diferenciales), o el clculo de expresiones que resultan requerir el uso de derivadas, y dichas expresiones se plantean por problemas cotidianos o cientficos. Por ello es importante recordar que la derivada es RAZON DE CAMBIO INSTANTANEA DE CUALQUIER TIPO DE FUNCION , si se tiene eso claro , se puede reconocer la idea una y otra vez y aplicarla.Por ltimo, cabe mencionar que es imposible, imaginar una fsica sin derivadas, pues constituyen an, una base para las ciencias exactas y naturales.