11-02

Edison Alonso

Karen Hernández

Jhoan Moreno

APLICACIONES DE LA DERIVADAMÁXIMOS Y MÍNIMOS

16 de Julio de 2012

PASOS:

1. Derivar la función

2. Hallar un(os) valor(es) tal(es) que

3. Formar intervalos con los valores hallados.

4. Se toma un valor de cada intervalo, se sustituye en la primer derivada, si:

• Si f'(x) > 0 es creciente.

• Si f'(x) < 0 es decreciente.

EJEMPLO:

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO EN UNA FUNCIÓN

Grafica de la función

CALCULAR MÁXIMOS Y MÍNIMOS

PASOS:

1. Hallar la primer derivada de la función.

2. Buscar números para sustituir en la variable, tales que.

3. Se realiza la segunda derivada

4. Se sustituye x por los valores encontrados en el punto 2, se mira el resultado y si:

• f''(x) > 0 Tenemos un mínimo.

• f''(x) < 0 Tenemos un máximo.

MÁXIMOS

f'(a) = 0

f''(a) < 0

MÍNIMOS

f'(a) = 0

f''(a) > 0

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

EJEMPLO

1.

2.

3.

4.

f''(x) > 0 Tenemos un mínimo.f''(x) < 0 Tenemos un máximo.

-6<0 → máximo

6>0→mínimo

PASOS:

1. Se toma la función original y se sustituyen los valores hallados en la primer derivada para igualar a 0

2. Se escribe como coordenadas para saber en que puntos van.

PUNTOS DE GRÁFICA DEMÁXIMOS Y MÍNIMOS

GRÁFICA DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS

• Para que haya máximo y mínimo en un intervalo, entonces este debe ser cerrado.

• La función debe ser continua.

[a, b]

CARACTERÍSTICAS

PUNTOS EN MÁXIMOS Y MÍNIMOS

PUNTOS CRÍTICOS• Fronterizos:

puntos finales.

• Estacionarios:

• Singulares:

EJEMPLO1. Encuentre los puntos críticos de en

SOLUCIÓN

• Los puntos fronterizos son y .

• Los puntos estacionarios son:

x=1 x=0

• No hay puntos singulares.

R/ los puntos críticos son .

• Halle el valor máximo y mínimo de en

SOLUCIÓN:Como ya se encontraron los puntos críticos, entonces

EJEMPLO

Gráfica de la función