Aplicaciones de la Derivada: Valores Máximos y...
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Lección 4.1 Aplicaciones de la Derivada: Valores Máximos y Mínimos 04/07/2011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 16
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Lección 4.1
Aplicaciones de la Derivada: Valores
Máximos y Mínimos
04/07/2011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 16
Objetivo
Al finalizar esta lección podrás:
• Diferenciar entre los valores extremos
relativos y absolutos de una función.
• Identificar los números críticos de una
función en un intervalo.
• Hallar los números críticos de una función en
un intervalo.
• Determinar los valores extremos de una
función continua en un intervalo cerrado.
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Puntos y Valores extremos
Puntos máximo relativos vs. máximo absoluto
Máximo relativos:
Máximo absoluto:
Puntos mínimo relativos vs. mínimo
absoluto Mínimo relativos:
Mínimo absoluto:
Los valores de x de un punto
mínimo o máximo relativo tienen
que estar en el intervalo (a, b).
(a, f(a)) es un punto extremo de una función f si es un punto
relativo o absoluto. Se dice que ocurre en x = a y que f(a) es
un valor extremo (relativo o absoluto) de f.
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Un punto mínimo o máximo absoluto
puede ser un punto relativo o puede ser
uno de los puntos límites del intervalo
cerrado [a, b].
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Ejemplo 1
• De las gráficas, determine si la función tiene un valor
extremo absoluto en el intervalo [a, b].
En [a,b] sólo tiene un valor máximo
absoluto y ocurre en a. No hay un
valor mínimo absoluto.
En [a,b] tiene un valor mínimo absoluto
que ocurre en a. Hay un valor máximo
absoluto donde la función NO parece
ser diferenciable.
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Ejemplo 2
• De la gráfica aproxime dónde la función tiene un
extremo relativo. Además, aproxime estos valores e
indique si hay un valor extremo absoluto.
• La función asume un valor máximo
relativo en aproximadamente en x = -1.
• No hay extremos absolutos ya que
el dominio de la función no se limita
a un intervalo cerrado.
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• En x = -1, el valor máximo relativo de
la función es aproximadamente 2.
•La función asume un valor mínimo relativo
aproximadamente en x = 1. El valor
mínimo relativo de la función es
aproximadamente -2.
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Puntos críticos
• Números Críticos
– Números del dominio donde:
• Valores Críticos
– Valores de la función correspondientes a sus números críticos
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0)( xf
existenoxf )(
X = -3, 4
X = -1, 2
f(x) = -2, 2, -6, 5
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Ejemplo 3
De la gráfica, aproxime el número
y valor crítico de la función en el
intervalo (-13/7,3/4).
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Identifique puntos dónde la función
derivada f’ es posiblemente 0 o
donde no está definido.
Único posible número crítico
es x=-1
Posible valor crítico es f(-1) = -2
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Ejemplo 4
Determine el número y valor crítico de la función
en el intervalo (-13/7,3/4).
Solución (analítica):
Paso 1- Calcule la función derivada f’
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𝑓 𝑥 =4𝑥
𝑥2 + 1
22
22
)1(
)1(4)4()1(
)(
x
xdx
dxx
dx
dx
xf
22
2
)1(
)2(4)1(4
x
xxx
22
22
)1(
844
x
xx
22
2
)1(
)1(4
x
x
En el intervalo abierto (-13/7,3/4),
el único número crítico es x = -1
𝑓′ 𝑥 =−4(𝑥2 − 1)
𝑥2 + 1 2
En x = -1, el valor crítico se calcula
evaluando la función f(-1):
𝑓 −1 =4(−1)
(−1)2+1 = −2
0 = −4(𝑥2 − 1)
𝑥 = ±1
Paso 2 - Identifique puntos dónde f’ toma
el valor de 0 o donde no está definido:
0 = (𝑥2 + 1)2
𝑥 = no tiene solución
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Ejercicio #1
• Encuentre los valores críticos de
• Solución (analítica):
• Calcule f’(x)
• Determine los números críticos. Esto son, valores en
donde
• Los valores críticos son:
xxx
xf 223
)(23
22
23
3)(2
xxxf 22 xx
20 2 xx
0)( xf existenoxf )( o
)2)(1( xx
2y 1 xx
)1(22
)1(
3
)1()1(
23
f6
7
)2(f3
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Ejemplo 5
Determine si asume un mínimo o un máximo relativo
en el intervalo (-2,1). En el caso afirmativo, indentifíquelo.
Solución (analítica):
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𝑓 𝑥 =4𝑥
𝑥2 + 1
22
2
)1)5.1((
)1)5.1((4)5.1(f
22
2
)1)0((
)1)0((4)0(f
En x = -1 hay un mínimo relativo
1. Calcule valores críticos f’(x) en (-2,1)
El único número crítico en (2,1) es x =-1
2. Determine cambio de signo de
alrededor del número crítico (si existe). Para x = -1, tome x = -1.5 y x = 0
22
2
)1(
)1(4)(
x
xxf
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Ejemplo 6
Determine si asume un mínimo o un máximo
relativo en el intervalo [0,2]. En el caso afirmativo, indentifíquelo.
Solución (analítica):
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𝑓 𝑥 = 2 − (𝑥 − 1)3
2)1)5.0((3)5.0(f
2)1)5.1((3)5.1(f
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NO HAY ni un mínimo o máximo
relativo en [0,2]
1. Calcule valores críticos f’(x) en [0,2]
El único número crítico en [0,2] es x = 1
2. Determine cambio de signo de f’(x)
alrededor del número crítico (si existe). Para x = 1, tome x = 0.5 y x = 1.5
𝑓′ 𝑥 = −3(𝑥 − 1)2
Solución (gráfica)
NO HAY ni un mínimo o
máximo relativo en [0,2]
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¿Cómo determinar valores extremos?
Para encontrar los valores extremos absolutos de
una función f en un intervalo cerrado [a,b] son:
1. Encuentre los valores críticos de f en (a,b).
2. Evalúe la función f en a y b.
3. Compare los valores críticos con los valores de f(a)
y f(b).
El valor mínimo será el el mínimo absoluto en [a,b].
El valor máximo será el máximo absoluto en [a,b].
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Ejemplo 7
• Encuentre los valores extremos en [-2, 5] de
• Solución:
1. Números críticos:
2. Valores críticos:
3. Valor de la función en a y b.
4. Compare
xxx
xf 223
)(23
6
7)1( f
2y 1 xx
)2(22
)2(
3
)2()2(
23
f3
2
)5(f6
115
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absoluto mínimo el es 3
102
)f(
absoluto máximo el es 6
115)5( f
3
102y
)f(
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Ejemplo 8
• Se desea fabricar una caja
rectangular con una base
cuadrada sin tope con un
volumen de 108 pulgadas
cúbicas (vea figura).
• Determine las dimensiones
(ancho x, altura h) de la caja si se
desea usar la cantidad mínima de
material (área de superficie S)
posible.
• Asuma que el área de superficie
ésta por:
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S 𝑥 = 𝑥2 +432
𝑥
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Solución del Ejemplo 8 …
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S 𝑥 = 𝑥2 +432
𝑥
𝑆′ 𝑥 = 2𝑥 −432
𝑥2
𝑆𝑖 𝑆′ 𝑥 = 0
0 = 2𝑥 −432
𝑥2
432
𝑥2= 2𝑥
𝑥3 = 216
𝑥 = 6
𝑆𝑖 𝑆′(𝑥) = 𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑡á 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜
𝑥 = 0
Un ancho de 0 no es posible.
El único ancho posible es
de 6 pulgadas
Calculamos los números críticos de S …
Para calcular el alto h, usamos
el dato que el volumen es 108 y
que para una caja el volumen
está dado por el producto:
largo x ancho x alto …
𝑉 = 𝑥2ℎ
108 = 62ℎ
ℎ = 3
Las dimensiones de la caja
deben ser 6 pulgadas de
ancho por 3 pulgadas de alto
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Referencias del Web 4.1
• Paul's Online note: Minimum and Maximum
values.
• Extrema on the Interval
• eMathLab – Derivative Aplications
• Ejercicios de Práctica:
• Página 162 – Problemas 1 al 30. Ver
soluciones de ejercicios impares en la página
A47
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![Exponentes Racionales y Radicalesmyfaculty.metro.inter.edu/.../Lecci%F3n%207%20-%20Radicales.pdf · −1−8−27 −64−125 32𝑛 ^−127[ 𝑛𝑡 𝑟] 0 Aprox 3.3 Aprox-5.03](https://static.fdocuments.es/doc/165x107/5c01a52309d3f22b088cf8ac/exponentes-racionales-y-f3n20720-20radicalespdf-1827-64125.jpg)
