Aplicaciones de La Derivada2

8/16/2019 Aplicaciones de La Derivada2

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PROBLEMA 1: Construir la gráfca determinando los puntos críticos, puntosde discontinuidad, los etremos relati!os, los inter!alos de crecimiento "decrecimiento, los puntos de in#ei$n " la direcci$n de su conca!idadgráfca de:

3 2

(x) 3 f x x= −

%oluci$n:

Calculando: los !alores críticos

0dy

dx=

, es decir:

23 6 0 0, 2dy

x x x xdx

= − = ⇒ = =

&alores críticos'

Para el !alor critico0 x =

0 , 0dy

xdx

+< >

Entonces∃

máimo relati!o en () donde se tiene el puntomáimo *),)+

0 2 , 0dy

xdx

−< < <

Para el punto crítico (

0 2 , 0dy

xdx

−< < <

Entonces∃

mínimo relati!o en ( donde se tiene elpunto mínimo *,-.+

2 , 0dy

xdx

+< < +∞ >

La cur!a

3 23 y x x= −

es creciente so/re los inter!alos

, 0 y 2,< −∞ > < +∞ >

"

es decreciente en el inter!alo0,2< >

'

A0ora calculamos lo puntos de in#ei$n, es decir:

2

26 6 0 1 2

d y x x y

dx= − = ⇒ = ⇒ = −

Luego *1,-+ es el punto de in#ei$n'


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Pro/lema :

3 46(x)

9

x x f

−=

%oluci$n:

Primero 0allaremos los puntos críticos:

3212 4'(x) 0 4 (3 ) 0 0, 3

9

x x f x x x x

−= = ⇒ − = ⇒ = = ±

Luego

{ }3,0, 3− son los !alores críticos'

4 ( 3 )( 3 )

dy

x x xdx = − +

A0ora !eremos en 4u5 puntos críticos se tienen máimos " mínimos'

Para el punto critico3 x = −

3, 0dy

xdx

−< − >

máx relativo en 3,( 3,1) x⇒ ∃ = − −

3 0, 0dy xdx

− < < <

Para el punto crítico ()

3 0, 0dy

xdx

− < < <

min relativo en 0,(0,0) x⇒ ∃ =

0 3 0dy

xdx

< < >

Para el punto critico3 x =

0 3, 0dy

xdx

+< < >

máx relativo en 3,( 3,1) x⇒ ∃ =

3 , 0dy

xdx

−< < +∞


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La 6unci$n 6*+ es creciente so/re los inter!alos, 3 , 0, 3< −∞ − > < >

" es

decreciente so/re3,0 , 3,< − > < +∞ >

a0ora calcularemos los puntos dein#ein, es decir:

212 12 5 5''(x) 0 1 (1, ), ( 1, )

9 9 9

x f x

−= = ⇒ = ± ⇒ −

%on los puntos de in#ei$n' A0ora calcularemos los inter!alos de conca!idad

12''(x) (1 )(1 )

9 f x x= − +

Para

1, ''( ) 0 ( ) es concava hacia abajo sobre el intervalo ! ,!1" x f x f x< − < ⇒ ∞

Para

1 1, ''( ) 0 ( ) es concava hacia arriba sobre el intervalo !1,1" x f x f x− < < > ⇒

Para1, ''( ) 0 ( ) es concava hacia abajo sobre el intervalo 1, " x f x f x> < ⇒ +∞

'( ) f x Conclusiones

, 3< −∞ − > 2 Creciente

3, 0< − > - 3ecreciente

0, 3< > 2 Creciente

3,< +∞ > - 3ecreciente

''( ) f x Conclusiones

, 1< −∞ − >

- C$nca!a a/ao1,1< − > 2 C$nca!a arri/a

1,< +∞ > - C$nca!a a/ao


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Pro/lema 7

8na caa rectangular tiene una /ase cuadrada " no tiene tapa' El áreacom/inada de los lados " el 6ondo es de .9 pies cuadrados' allar las

dimensiones de la caa de máimo !olumen 4ue cumpla estosre4uerimientos'

%oluci$n:

Condiciones del pro/lema:

2 4 4# A x xy= + =

3e donde

224# a$emás

4

x y V x y

x

−= =

2 32 4# 4#( ) ( )4 4

x x xV x x x

− −= =

34#

'( ) 0 4 %&ntos criticos4

x xV x x

−= = ⇒ = ±

3''( ) ''(4) 6 0 máximo en 4

2V x x V x= − ⇒ = − < ⇒ ∃ =

Como

24#y y24

x

x

−⇒

Luego las dimensiones de la caa de/en ser (., "('


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PROBLEMA .

3ada una 0oa cuadrada de lado a, se desea construir con ella una caa sintapa, cortando en sus es4uinas cuadradas iguales " do/landocon!enientemente la parte restante' 3eterminar el lado de los cuadrados4ue de/en ser cortados de modo 4ue el !olumen de la caa sea el ma"orposi/le'

%oluci$n:

El lado del cuadrado cortado ( entonces el !olumen de la caa es:

2( ) ( 2 ) , 02

aV x x a x x= − < <

2'( ) ( 2 ) !4 ( 2 )V x a x x a x= − −

'( ) ( 2 )( 6 ) 0 x , x2 6

a aV x a x a x= − − ⇒

''( ) # 24 ''( ) # 4 4 06

aV x a x V a a a= − + ⇒ = − + = − <

máximo en6

a x⇒ ∃ =

Por lo tanto el lado del cuadrado cortado para o/tener !olumen máimo es

6

a x =


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PROBLEMA ;

8na estatua de


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PROBLEMA


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PROBLEMA @

nscri/ir en una elipse dada, un rectángulo de la ma"or área posi/le, 4uetenga los lados paralelos a los ees de la propia elipse:

%oluci$n:

La ecuaci$n de la elipse es:

2 2

2 2 1

x y

a b+ =

En donde:

2 2b y a x

a= −

Condicion del pro/lema:

2 2 2 2 ( )bx bx

A xy a x A x a xa a

= = − ⇒ = −

deri!ando

22 2

2 2 ! 0 x

2

dA b bx aa x

dx a a a x= − = ⇒

−

como

2 2 y

2

b b y a x

a= − ⇒

Luego las dimensiones del rectángulo son:

2 22 2 , 2 2

2 2

a b x a y b= = = =


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PROBLEMA 9

8na !entana tiene la 6orma rectangular con su parte superior en mediacircun6erencia' Cuáles serán sus dimensiones para 4ue penetre el máimode lu= para un perímetro dado'

%oluci$n:

3e los datos del pro/lema se tiene:

12 , ( )

2 2 2

x x P y x perimetro y P x

π π = + + = = − −

La cantidad total de lu= corresponde a la ma"or superfcie es:

2

( ) ( )# 2 2

x x x A x P x

π π = + − −

2 2 2 2 2

( )# 2 2 4 2 2 #

x Px x x Px x x A x

π π π = + − − = − −

2'( ) 0

2 4 4

P x P A x x x

π

π = − − = ⇒ =

+

2''( ) 1 0 máximo en

4 4

P A x x

π

π = − − < ⇒ ∃ =

+

Como

1 1 2 2( ) ( ( ))

2 2 2 4 2 4 4

x P P P y P x P

π π

π π π = − − = − − =

+ + +

Por lo tanto las dimensiones son:

2 y

4 4

P P x y

π π = =

+ +

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