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Sbado 10 de Febrero de 2007Pgina 1 de 14

Elabor Revis AprobMinniti

Ctedra de Fsica 1

ndice

Figura 1 - Enunciado .........................................................................................................................2Solucin ......................................................................................................................................................2

Ecuacin 1 - Momento de inercia (definicin) ....................................................................................2Figura 2 - Sistema de estudio ............................................................................................................3Ecuacin 2 - Descomposicin del momento de inercia......................................................................3Figura 3 - Clculo del momento de inercia ........................................................................................3Ecuacin 3 - El diferencial de volumen..............................................................................................4Ecuacin 4 - el diferencial de volumen en coordinadas cilndricas ....................................................4Ecuacin 5 - las constantes salen fuera de la integral .......................................................................4Ecuacin 6 - resultado de la primer integracin.................................................................................4Ecuacin 7 - resolviendo segn los limites de integracin.................................................................4Ecuacin 8 - simplificando .................................................................................................................4Ecuacin 9 - Volumen del cilindro......................................................................................................5Figura 4 - Volumen 1;2 y su masa (m1;2)............................................................................................5Ecuacin 10 - Clculo del momento de inercia de un cilindro hueco.................................................5Ecuacin 11 - El volumen de un tubo ................................................................................................5El segundo trmino de la Ecuacin 10...............................................................................................5Ecuacin 12 - Diferencia de cuadrados .............................................................................................6Ecuacin 13 - el momento de inercia de un tubo...............................................................................6Figura 5 - la masa anular ...................................................................................................................6Ecuacin 14 - masa de seccin anular ..............................................................................................6Figura 6 - el momento de inercia baricntrico de todo el cuerpo .......................................................7

Para donde girar el cuerpo y como es la fuerza de rozamiento? ............................................................7Figura 7 - Ecuaciones bsicas de traslacin y rotacin .....................................................................7Ecuacin 15 - Ecuacin de momentos...............................................................................................7Figura 8 - El punto de contacto..........................................................................................................8Figura 9 - Una fuerza cualquiera .......................................................................................................8Ecuacin 16 - Momento de inercia respecto a un eje cualquiera.......................................................9Ecuacin 17 - Teorema de Steiner ....................................................................................................9Figura 10 - La fuerza de rozamiento..................................................................................................9Ecuacin 18 - Invariante vectorial ....................................................................................................10

Qu sucede a distintos ngulos "a"?.......................................................................................................10Figura 11 - el CIR en el impropio del plano - "fr" incorrecta.............................................................10Figura 12 - Traslacin pura, "fr" correcta .........................................................................................11

Incoherencias ............................................................................................................................................11Figura 13 - Descomposicin de fuerzas, ya no es ms un DCL ......................................................12Figura 14 - MRU del CM..................................................................................................................12Ecuacin 19 - existe un valor posible - MRU ...................................................................................13Ecuacin 20 - Aceleracin angular igual a cero...............................................................................13

Pregunta de inters ...................................................................................................................................13

Autor: Ing. Ricardo Minniti



Ctedra de Fsica 1

EjercicioCalcular el sentido de rotacin del cuerpo, la fuerza de rozamiento y el momento de inerciade un cuerpo compuesto por dos cilindros de distintos dimetro.

Figura 1 - Enunciado

SolucinDado que es un cuerpo rgido se debe calcular su momento de inercia, este parmetrotomado desde el eje baricntrico se calcula como:

=R

GG dmxI0

2.Ecuacin 1 - Momento de inercia (definicin)

Para calcular el momento de inercia, primero debemos elegir un sistema de referenciaacorde al problema. El eje "x" es el eje baricntrico ya comentado y el sistema dereferencia elegido es:



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Figura 2 - Sistema de estudioDado que la integral representa una sumatoria se puede dividir el clculo del momento deinercia en dos integrales a saber:

+=2

1

1

.. 20

2R

R

R

GG dmxdmxI

Ecuacin 2 - Descomposicin del momento de inerciaTomando un diferencial de volumen calcularemos la integral, de manera tal que tendremosque este volumen estar a una distancia "r" del centro de masa y tendr un espesor "dr"

Figura 3 - Clculo del momento de inerciaEn este caso la integral quedar



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+=2

1

1

.... 20

2R

R

R

GG dVrdVrI Ecuacin 3 - El diferencial de volumen

Pero

+ +=

2

01

22

0 021

22

1

1

........)..( drdrLrdrdrLLrIR

R

R

GG

Ecuacin 4 - el diferencial de volumen en coordinadas cilndricasOperando

+ +=

2

0

31

2

0 0

321

2

1

1

..).( ddrrLddrrLLIR

R

R

GG

Ecuacin 5 - las constantes salen fuera de la integral

++=

2

01

2

0 021

4.

4).(

44 2

1

1

drLdrLLIR

R

R

GG

Ecuacin 6 - resultado de la primer integracin

)4

(..24

).(24

14

21

41

21RRLRLLIGG

++= Ecuacin 7 - resolviendo segn los limites de integracin

Simplificando

)2

(..2

).(4

14

21

41

21RRLRLLIGG

++= Ecuacin 8 - simplificando



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Dado que el volumen de un cilindro se puede calcular como la superficie de la base por laaltura, es decir:

LRV .. 2=Ecuacin 9 - Volumen del cilindro

Multiplicando por la densidad y reemplazando, queda

Figura 4 - Volumen 1;2 y su masa (m1;2)

)2

(..2

41

42

1

21

2;1RRLRmIGG

+=

Ecuacin 10 - Clculo del momento de inercia de un cilindro huecoEl segundo sumando se corresponde con el momento de inercia de la seccin anular,donde el volumen de este anillo es:

).(. 212

21 RRLV =Ecuacin 11 - El volumen de un tubo

El segundo trmino de la Ecuacin 10



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=

2)()(...)

2(..

221

222

1

41

42

1RRLRRL

Ecuacin 12 - Diferencia de cuadradosDonde se puede apreciar claramente la diferencia de cuadrados, operando queda:

)()(2..

2)()(... 21

22

21

22

122

122

21 RRRR

LRRL +=

Ecuacin 13 - el momento de inercia de un tubo

Por lo que vimos en la Ecuacin 11, la masa de la corona circular (Figura 5), es:

Figura 5 - la masa anular

)(.. 212

211 RRLm = Ecuacin 14 - masa de seccin anular

Y reemplazando todo lo calculado en la Ecuacin 10, tenemos



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)2

(2

21

22

1

21

2;1RRmRmIGG

++=

Figura 6 - el momento de inercia baricntrico de todo el cuerpoQue es el momento de inercia total del cuerpo, respecto al eje baricntrico

Para donde girar el cuerpo y como es la fuerza de rozamiento?Para esto recordamos cual es el sistema de referencia

Figura 7 - Ecuaciones bsicas de traslacin y rotacinEl equilibrio de un cuerpo se debe garantizar a travs de las ecuaciones de traslacin y derotacin, esto se obtiene planteando

amFin

i.

1=

=

y

.1

ooi

n

iIM =

=

Ecuacin 15 - Ecuacin de momentosDebe observarse en la ltima ecuacin, que se plantea al momento de inercia respecto almismo punto en el cual se toma momentos. En nuestro caso es conveniente tomarmomento siempre respecto a un punto por donde pasen la mayor cantidad de fuerzas, esto



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permitir realizar menos clculos. Este punto es el punto de contacto, que denominaremos"PC" (Figura 8)

Figura 8 - El punto de contactoEl diagrama de cuerpo libre es

Figura 9 - Una fuerza cualquieraPero ante la duda de cmo es la fuerza de rozamiento, es conveniente tomar momentorespecto al punto de contacto "PC", de manera tal que la nica fuerza que provocamomento es "F", pero debe tenerse en cuenta ahora que la Ecuacin 15, se transformaren la Ecuacin 16



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.1

PCPCi

n

iIM =

=

Ecuacin 16 - Momento de inercia respecto a un eje cualquieraEn este caso el momento de inercia respecto a "PC" es

22

21

22

1

21

2;1 .)2(

2RmRRmRmI totalPC +

++=

Ecuacin 17 - Teorema de SteinerDe esta manera la Ecuacin 16 queda

..)2

(2

. 222

12

21

21

2;11

+

++==

=

RmRRmRmlFM totalPCi

n

i

Figura 10 - La fuerza de rozamientoEsto permite observar que la aceleracin angular es horaria (negativa) y la longitud "l" sedetermina por geometra. Ahora si estamos en condiciones de determinar la fuerza derozamiento. Como el momento debe ser el mismo respecto a cualquier punto del espacio yde la misma manera la aceleracin angular. Ahora sabiendo esto y tomando momentorespecto al centro de masa (punto o), tendremos



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.)2

(2

.2

12

21

21

2;121

++==

=

RRmRmRfM roi

n

i

Ecuacin 18 - Invariante vectorial

Como ya hemos dicho, la es antihoraria, lo que obligar a una fuerza de rozamientoresultante que provoque el mismo sentido de momento, por lo tanto ser contraria al eje"x".

Qu sucede a distintos ngulos "a"?Si el ngulo "a" es tal que la fuerza "F" pasa por el centro de momentos, no habr fuerzaque genere la rotacin del cuerpo, por lo que solo habr traslacin, en este caso vemosque el sistema se trasladar hacia la izquierda (deslizando) por lo que se tendr rozamiento

Figura 11 - el CIR en el impropio del plano - "fr" incorrectadinmico, pero la fuerza de rozamiento se encuentra mal representada en la Figura 11, demanera tal que se debe concluir que la fuerza de rozamiento por deslizamiento y eldiagrama de cuerpo libre, se encontrarn representados segn la Figura 12



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Figura 12 - Traslacin pura, "fr" correctaEn el caso que el ngulo "a" sea an mayor, la fuerza "F" provocar un momentoantihorario, haciendo que la polea gire alrededor del punto "PC" (CIR), de manera anlogase puede explicar que la fuerza de rozamiento estar representada de la misma maneraque en la Figura 12, pero ahora el rozamiento ser esttico, es decir que rodar sinresbalar, siendo bajo estas condiciones el punto "PC" el centro instantneo de rotacin.

IncoherenciasSi pensramos que el diagrama de cuerpo libre fuese el de la "Figura 11 - el CIR en elimpropio del plano - "fr" incorrecta", veramos que es imposible concluir ecuaciones quepermitan determinar un MRU del centro de masa, ya que

amFin

i.

1=

=

0.



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sin embargo hemos visto en clase que se puede tirar de la soga (en un yo - yo) y que elCM se mueva a velocidad constante (experiencia ulica)

Figura 13 - Descomposicin de fuerzas, ya no es ms un DCLPero con este otro esquema, si es posible encontrar valores de la fuerza "F" y "fr" quepermitan que la velocidad del centro de masa sea constante.

Figura 14 - MRU del CM



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0. ==+ amfF rxEcuacin 19 - existe un valor posible - MRU

0)cos(. =+ rfaF

con esta sola condicin no alcanza para encontrar el valor de las magnitudes fsicas queestn en juego en este problema, es necesario plantear la ecuacin de momento, peroahora esta estar igualada a cero ya que el CM realiza un MRU no puede existiraceleracin angular.

0... 211

==+==

oroi

n

iIRfRFM

21 .. RfRF r=Ecuacin 20 - Aceleracin angular igual a cero

Resolviendo este sistema de dos ecuaciones (Ecuacin 19 - existe un valor posible - MRUy Ecuacin 20 - Aceleracin angular igual a cero) permite encontrar las condiciones para unMRU del CM.

Pregunta de intersEn funcin de lo recin comentado dejamos pendiente esta inquietud: Realizar el diagramade cuerpo libre de una rueda de automvil que tracciona al vehculo, e indicar cual es elsentido de la fuerza de rozamiento, desarrollar el problema justificando los resultados conecuaciones.



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El diagrama de cuerpo libre de una rueda ser

Ayuda: si realiza la traslacin del momento de una fuerza de manera tal que una de lasfuerzas que provoca el par pasa por el punto contacto y la otra por el CM habr trasladadola fuerza de rozamiento al CM que es la que provoca el movimiento del automvil.

Autor: Ing. Ricardo Minniti

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