INDICEINTRODUCCIN..TRASLACIN.ROTACION EN TORNO A UN EJE FIJO.MOVIMIENTO GENERAL EN EL PLANO.LEYES DEL MOVIMIENTO DE NEWTON.TRABAJO Y ENERGIA...CONCLUSINBIBLIOGRAFIAS..

IntroduccinEn este trabajo se dar a conocer las exposiciones de los 5 equipos en especial el trabajo del equipo nmero 2 del tema rotacin en torno a un eje fijo entre otros se anexaran los 5 trabajos en uno solo as terminando la unidad 2 y 3 de dinmica en nuestro tema tratara sobre; l campo de velocidades de un slido rgido tiene la formaUn caso particular importante se da cuando existe al menos un punto tal que su velocidad es nula. Tomando dicho punto como origen de coordenadas, tenemos de forma que la velocidad instantnea de cada punto. Esta forma del campo de velocidades posee una serie de propiedades que lo identifican como movimiento de rotacin: Existe una lnea recta (eje de rotacin) cuyos puntos poseen velocidad nula La velocidad de cualquier otro punto es perpendicular al eje de rotacin. Todos los puntos a la misma distancia del eje poseen la misma celeridad. La celeridad de cada punto es proporcional a su distancia al eje. El sentido de las velocidades cumple la regla de la mano derecha respecto al vector

TRASLACIONLa traslacin es un movimiento en el cual se modifica la posicin de un objeto, en contraposicin a una rotacin.Mecnica clsicaPara un cuerpo clsico (y, por tanto, movindose en un espacio eucldeo), una traslacin es la operacin que modifica las posiciones de todos los cuerpos segn la frmula:

(x,y,z)(x+x,y+y,z+z)Donde (x,y,z) es un vector constante. Dicha operacin puede ser generalizada a otras coordenadas, por ejemplo la coordenada temporal. Obviamente una traslacin matemtica es una isometra del espacio eucldeo.Para un objeto que no posee estructura, como por ejemplo un subconjunto del espacio, se considera el rango del subconjunto afectado por la transformacin. En forma alternativa, es posible definir una traslacin como una operacin sobre los objetos, tal que todas sus propiedades como color, composicin, etc. se corresponden. Pero no deben confundirse las dos: una traslacin del espacio no posee puntos fijos, los puntos fijos de una traslacin en el otro sentido son los objetos con sus correspondientes simetras de traslacin. De acuerdo con el teorema de Noether, la simetra de traslacin es equivalente a la conservacin del momento de fuerza.Mecnica relativistaEn teora de la relatividad especial sigue siendo posible considerar la traslacin de un cuerpo, debido a que el espacio-tiempo tiene curvatura constante (e igual a cero). Sin embargo, en esa teora aparecen diversos problemas relacionados con la simultaneidad, y un observador en movimiento arbitrario podra inferir que incluso un slido que no cambia su forma no tiene una forma constante.En teora de la relatividad general la situacin es ms complicada an, ya que al ser la curvatura local del espacio-tiempo variable de un punto a otro estrictamente no puede existir un movimiento de traslacin o movimiento de slido rgido, debido a que no exista ninguna transformacin isomtrica que relacione la forma del cuerpo en dos puntos diferentes del espacio-tiempo. Para cuerpos de pequeas dimensiones, puede definirse de manera aproximada que constituye un movimiento de traslacin pero no para objetos grandes, cuyas dimensiones no sean despreciables frente al inverso de algn escalar relacionado con la curvatura seccional del espacio-tiempo.

Rotacin de un cuerpo Rgido en torno a un eje fijo.Considerar un cuerpo rgido que gira alrededor de un eje que tiene una direccin fija y supongamos que esta direccin coincide con el eje z, como se ve en la figura 8.10.Cada partcula del cuerpo rgido gira en el plano xy en torno al eje z con rapidez angular . Entonces la magnitud del momento angular de la partcula en torno al origen es Li = mi.vi.ri, ya que v es perpendicular a r.Pero como vi =ri, la magnitud del momento angular para una partcula i sepuede escribir como:

Li = mi.ri2

Figura 8.10

El vector L est en direccin del eje z igual que el vector , por lo que se considera como la componente z del momento angular de la partcula i.Para todo el cuerpo rgido, la componente z del momento angular total es la suma de Li de cada partcula del cuerpo rgido:

Lz = mi ri2 Lz = I

donde I es el momento de inercia del cuerpo rgido alrededor del eje z. Notar que L = I es el anlogo rotacional del momento lineal p = mv. Se puede derivar Lz respecto al tiempo considerando que I es constante:

dLz/dt = I d/dt= I

donde es la aceleracin angular del cuerpo rgido. Pero dLz/dt es el torque neto, entonces se puede escribir:

t = I

que dice que el torque neto sobre un cuerpo que gira en torno a un eje fijo es igual al momento de inercia por la aceleracin angular, ecuacin que ya haba sido deducida anteriormente.

Movimiento plano generalEn el movimiento plano del slido rgido, la aceleracin angular, al igual que la velocidad angular, tiene la direccin del eje de rotacin y viene dada por:

\alpha={d^2\theta\over dt^2}={d\omega\over dt}

donde \theta\, representa el ngulo girado en funcin de t y \omega la velocidad angular.

\omega={d\theta\over dt}

En el movimiento plano tanto la velocidad angular como la aceleracin angular son vectores perpendiculares al plano en el que se produce el movimiento.Leyes de NewtonLas leyes de Newton, tambin conocidas como leyes del movimiento de Newton,1 son tres principios a partir de los cuales se explican la mayor parte de los problemas planteados por la mecnica, en particular, aquellos relativos al movimiento de los cuerpos. Revolucionaron los conceptos bsicos de la fsica y el movimiento de los cuerpos en el universo.

Constituyen los cimientos no slo de la dinmica clsica sino tambin de la fsica clsica en general. Aunque incluyen ciertas definiciones y en cierto sentido pueden verse como axiomas, Newton afirm que estaban basadas en observaciones y experimentos cuantitativos; ciertamente no pueden derivarse a partir de otras relaciones ms bsicas. La demostracin de su validez radica en sus predicciones... La validez de esas predicciones fue verificada en todos y cada uno de los casos durante ms de dos siglos.2En concreto, la relevancia de estas leyes radica en dos aspectos:

Por un lado, constituyen, junto con la transformacin de Galileo, la base de la mecnica clsica;Por otro, al combinar estas leyes con la Ley de la gravitacin universal, se pueden deducir y explicar las Leyes de Kepler sobre el movimiento planetario.As, las Leyes de Newton permiten explicar tanto el movimiento de los astros, como los movimientos de los proyectiles artificiales creados por el ser humano, as como toda la mecnica de funcionamiento de las mquinas.

Su formulacin matemtica fue publicada por Isaac Newton en 1687 en su obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica.a

La dinmica de Newton, tambin llamada dinmica clsica, slo se cumple en los sistemas de referencia inerciales (que se mueven a velocidad constante; la Tierra, aunque gire y rote, se trata como tal a efectos de muchos experimentos prcticos). Solo es aplicable a cuerpos cuya velocidad dista considerablemente de la velocidad de la luz (que no se acerquen a los 300 000 km/s); la razn estriba en que cuanto ms cerca est un cuerpo de alcanzar esa velocidad (lo que ocurrira en los sistemas de referencia no-inerciales), ms posibilidades hay de que incidan sobre el mismo una serie de fenmenos denominados efectos relativistas o fuerzas ficticias, que aaden trminos suplementarios capaces de explicar el movimiento de un sistema cerrado de partculas clsicas que interactan entre s. El estudio de estos efectos (aumento de la masa y contraccin de la longitud, fundamentalmente) corresponde a la teora de la relatividad especial, enunciada por Albert Einstein en 1905.Fundamentos tericos de las leyes[editar]La base terica que permiti a Newton establecer sus leyes est tambin precisada en sus Philosophiae naturalis principia mathematica.

El primer concepto que maneja es el de masa, que identifica con cantidad de materia. La importancia de esta precisin est en que permite prescindir de toda cualidad que no sea fsica-matemtica a la hora de tratar la dinmica de los cuerpos. Con todo, utiliza la idea de ter para poder mecanizar todo aquello no reducible a su concepto de masa.

Newton no asume a continuacin que la cantidad de movimiento es el resultado del producto de la masa por la velocidad, y define dos tipos de fuerzas: la vis insita, que es proporcional a la masa y que refleja la inercia de la materia, y la vis impressa (momento de fuerza), que es la accin que cambia el estado de un cuerpo, sea cual sea ese estado; la vis impressa, adems de producirse por choque o presin, puede deberse a la vis centrpeta (fuerza centrpeta), una fuerza que lleva al cuerpo hacia algn punto determinado. A diferencia de las otras causas, que son acciones de contacto, la vis centrpeta es una accin a distancia. En esta distingue Newton tres tipos de cantidades de fuerza: una absoluta, otra aceleradora y, finalmente, la motora, que es la que interviene en la ley fundamental del movimiento.

En tercer lugar, precisa la importancia de distinguir entre lo absoluto y relativo siempre que se hable de tiempo, espacio, lugar o movimiento.

En este sentido, Newton, que entiende el movimiento como una traslacin de un cuerpo de un lugar a otro, para llegar al movimiento absoluto y verdadero de un cuerpo.

compone el movimiento (relativo) de ese cuerpo en el lugar (relativo) en que se lo considera, con el movimiento (relativo) del lugar mismo en otro lugar en el que est situado, y as sucesivamente, paso a paso, hasta llegar a un lugar inmvil, es decir, al sistema de referencias de los movimientos absolutos.3De acuerdo con esto, Newton establece que los movimientos aparentes son las diferencias de los movimientos verdaderos y que las fuerzas son causas y efectos de estos. Consecuentemente, la fuerza en Newton tiene un carcter absoluto, no relativo.

Las leyes de NewtonPrimera ley de Newton o ley de la inerciaLa primera ley del movimiento rebate la idea aristotlica de que un cuerpo slo puede mantenerse en movimiento si se le aplica una fuerza. Newton expone que:

Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus illud a viribus impressis cogitur statum suum mutare4Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilneo a no ser que sea obligado a cambiar su estado por fuerzas impresas sobre l.5Esta ley postula, por tanto, que un cuerpo no puede cambiar por s solo su estado inicial, ya sea en reposo o en movimiento rectilneo uniforme, a menos que se aplique una fuerza o una serie de fuerzas cuyo resultante no sea nulo sobre l. Newton toma en cuenta, as, el que los cuerpos en movimiento estn sometidos constantemente a fuerzas de roce o friccin, que los frena de forma progresiva, algo novedoso respecto de concepciones anteriores que entendan que el movimiento o la detencin de un cuerpo se deba exclusivamente a si se ejerca sobre ellos una fuerza, pero nunca entendiendo como esta a la friccin.

En consecuencia, un cuerpo con movimiento rectilneo uniforme implica que no existe ninguna fuerza externa neta o, dicho de otra forma; un objeto en movimiento no se detiene de forma natural si no se aplica una fuerza sobre l. En el caso de los cuerpos en reposo, se entiende que su velocidad es cero, por lo que si esta cambia es porque sobre ese cuerpo se ha ejercido una fuerza neta.

La primera ley de Newton sirve para definir un tipo especial de sistemas de referencia conocidos como Sistemas de referencia inerciales, que son aquellos sistemas de referencia desde los que se observa que un cuerpo sobre el que no acta ninguna fuerza neta se mueve con velocidad constante.

En realidad, es imposible encontrar un sistema de referencia inercial, ya que siempre hay algn tipo de fuerzas actuando sobre los cuerpos, no obstante siempre es posible encontrar un sistema de referencia en el que el problema que estemos estudiando se pueda tratar como si estuvisemos en un sistema inercial. En muchos casos, por ejemplo, suponer a un observador fijo en la Tierra es una buena aproximacin de sistema inercial. Lo anterior porque a pesar que la Tierra cuenta con una aceleracin traslacional y rotacional estas son del orden de 0.01 m/s^2 y en consecuencia podemos considerar que un sistema de referencia de un observador dentro de la superficie terrestre es un sistema de referencia inercial.

Segunda ley de Newton o ley de fuerzaLa segunda ley del movimiento de Newton dice:

Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impress, & fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.4El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre segn la lnea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime.6Esta ley explica qu ocurre si sobre un cuerpo en movimiento (cuya masa no tiene por qu ser constante) acta una fuerza neta: la fuerza modificar el estado de movimiento, cambiando la velocidad en mdulo o direccin. En concreto, los cambios experimentados en el momento lineal de un cuerpo son proporcionales a la fuerza motriz y se desarrollan en la direccin de esta; las fuerzas son causas que producen aceleraciones en los cuerpos. Consecuentemente, hay relacin entre la causa y el efecto, la fuerza y la aceleracin estn relacionadas. Dicho sintticamente, la fuerza se define simplemente en funcin del momento que se aplica a un objeto, con lo que dos fuerzas sern iguales si causan la misma tasa de cambio en el momento del objeto.

En la mayora de las ocasiones hay ms de una fuerza actuando sobre un objeto, en este caso es necesario determinar una sola fuerza equivalente ya que de sta depende la aceleracin resultante. Dicha fuerza equivalente se determina al sumar todas las fuerzas que actan sobre el objeto y se le da el nombre de fuerza neta. 7

En trminos matemticos esta ley se expresa mediante la relacin:

\mathbf{F}_{\text{net}} = {\mathrm{d}\mathbf{p} \over \mathrm{d}t}

Donde:

\mathbf{p} es el momento lineal\mathbf{F}_{\text{net}} la fuerza total o fuerza resultante.Suponiendo que la masa es constante y que la velocidad es muy inferior a la velocidad de la luzb la ecuacin anterior se puede reescribir de la siguiente manera:

Sabemos que \mathbf{p} es el momento lineal, que se puede escribir m.V donde m es la masa del cuerpo y V su velocidad.

\mathbf{F}_{\text{net}} = {\mathrm{d}(m\mathbf{v}) \over \mathrm{d}t}

Consideramos a la masa constante y podemos escribir {\mathrm{d}\mathbf{v} \over \mathrm{d}t}=\mathbf{a} aplicando estas modificaciones a la ecuacin anterior:

\mathbf{F} = m\mathbf{a}

La fuerza es el producto de la masa por la aceleracin, que es la ecuacin fundamental de la dinmica, donde la constante de proporcionalidad, distinta para cada cuerpo, es su masa de inercia. Veamos lo siguiente, si despejamos m de la ecuacin anterior obtenemos que m es la relacin que existe entre \mathbf{F} y \mathbf{a}. Es decir la relacin que hay entre la fuerza aplicada al cuerpo y la aceleracin obtenida. Cuando un cuerpo tiene una gran resistencia a cambiar su aceleracin (una gran masa) se dice que tiene mucha inercia. Es por esta razn por la que la masa se define como una medida de la inercia del cuerpo.

Por tanto, si la fuerza resultante que acta sobre una partcula no es cero, esta partcula tendr una aceleracin proporcional a la magnitud de la resultante y en direccin de sta. La expresin anterior as establecida es vlida tanto para la mecnica clsica como para la mecnica relativista, a pesar de que la definicin de momento lineal es diferente en las dos teoras: mientras que la dinmica clsica afirma que la masa de un cuerpo es siempre la misma, con independencia de la velocidad con la que se mueve, la mecnica relativista establece que la masa de un cuerpo aumenta al crecer la velocidad con la que se mueve dicho cuerpo.

De la ecuacin fundamental se deriva tambin la definicin de la unidad de fuerza o newton (N). Si la masa y la aceleracin valen 1, la fuerza tambin valdr 1; as, pues, el newton es la fuerza que aplicada a una masa de un kilogramo le produce una aceleracin de 1 m/s. Se entiende que la aceleracin y la fuerza han de tener la misma direccin y sentido.

La importancia de esa ecuacin estriba sobre todo en que resuelve el problema de la dinmica de determinar la clase de fuerza que se necesita para producir los diferentes tipos de movimiento: rectilneo uniforme (m.r.u), circular uniforme (m.c.u) y uniformemente acelerado (m.r.u.a).

Si sobre el cuerpo actan muchas fuerzas, habra que determinar primero el vector suma de todas esas fuerzas. Por ltimo, si se tratase de un objeto que cayese hacia la tierra con una resistencia del aire igual a cero, la fuerza sera su peso, que provocara una aceleracin descendente igual a la de la gravedad.

Tercera ley de Newton o principio de accin y reaccinActioni contrariam semper & qualem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse quales & in partes contrarias dirigi.4Con toda accin ocurre siempre una reaccin igual y contraria: quiere decir que las acciones mutuas de dos cuerpos siempre son iguales y dirigidas en sentido opuesto.6La tercera ley de Newton es completamente original (pues las dos primeras ya haban sido propuestas de otras maneras por Galileo, Hooke y Huygens) y hace de las leyes de la mecnica un conjunto lgico y completo.8 Expone que por cada fuerza que acta sobre un cuerpo (empuje), este realiza una fuerza de igual intensidad, pero de sentido contrario sobre el cuerpo que la produjo. Dicho de otra forma, las fuerzas, situadas sobre la misma recta, siempre se presentan en pares de igual magnitud y de direccin, pero con sentido opuesto.

Este principio presupone que la interaccin entre dos partculas se propaga instantneamente en el espacio (lo cual requerira velocidad infinita), y en su formulacin original no es vlido para fuerzas electromagnticas puesto que estas no se propagan por el espacio de modo instantneo sino que lo hacen a velocidad finita "c".

Es importante observar que este principio relaciona dos fuerzas que no estn aplicadas al mismo cuerpo, produciendo en ellos aceleraciones diferentes, segn sean sus masas. Por lo dems, cada una de esas fuerzas obedece por separado a la segunda ley. Junto con las anteriores leyes, sta permite enunciar los principios de conservacin del momento lineal y del momento angular.

GeneralizacionesDespus de que Newton formulara las tres famosas leyes, numerosos fsicos y matemticos hicieron contribuciones para darles una forma ms general o de ms fcil aplicacin a sistemas no inerciales o a sistemas con ligaduras. Una de estas primeras generalizaciones fue el principio de d'Alembert de 1743 que era una forma vlida para cuando existieran ligaduras que permita resolver las ecuaciones sin necesidad de calcular explcitamente el valor de las reacciones asociadas a dichas ligaduras.

Por la misma poca, Lagrange encontr una forma de las ecuaciones de movimiento vlida para cualquier sistema de referencia inercial o no-inercial sin necesidad de introducir fuerzas ficticias. Ya que es un hecho conocido que las Leyes de Newton, tal como fueron escritas, slo son vlidas a los sistemas de referencia inerciales, o ms precisamente, para aplicarlas a sistemas no-inerciales, requieren la introduccin de las llamadas fuerzas ficticias, que se comportan como fuerzas pero no estn provocadas directamente por ninguna partcula material o agente concreto, sino que son un efecto aparente del sistema de referencia no inercial.

Ms tarde la introduccin de la teora de la relatividad oblig a modificar la forma de la segunda ley de Newton (ver (2c)), y la mecnica cuntica dej claro que las leyes de Newton o la relatividad general slo son aproximaciones al comportamiento dinmico en escalas macroscpicas. Tambin se han conjeturado algunas modificaciones macroscpicas y no-relativistas, basadas en otros supuestos como la dinmica MOND.

Generalizaciones relativistasLas leyes de Newton constituyen tres principios aproximadamente vlidos para velocidades pequeas. La forma en que Newton las formul no era la ms general posible. De hecho la segunda y tercera leyes en su forma original no son vlidas en mecnica relativista sin embargo formulados de forma ligeramente diferente la segunda ley es vlida, y la tercera ley admite una formulacin menos restrictiva que es vlida en mecnica relativista.

Primera ley, en ausencia de campos gravitatorios no requiere modificaciones. En un espacio-tiempo plano una lnea recta cumple la condicin de ser geodsica. En presencia de curvatura en el espacio-tiempo la primera ley de Newton sigue siendo correcta si sustituimos la expresin lnea recta por lnea geodsica.Segunda ley. Sigue siendo vlida si se dice que la fuerza sobre una partcula coincide con la tasa de cambio de su momento lineal. Sin embargo, ahora la definicin de momento lineal en la teora newtoniana y en la teora relativista difieren. En la teora newtoniana el momento lineal se define segn (1a) mientras que en la teora de la relatividad de Einstein se define mediante (1b):(1a)\bold{p} = m\bold{v}

(1b)\bold{p} = \cfrac{m \bold{v}}{ \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

donde m es la masa invariante de la partcula y \bold{v} la velocidad de sta medida desde un cierto sistema inercial. Esta segunda formulacin de hecho incluye implcitamente definicin (1) segn la cual el momento lineal es el producto de la masa por la velocidad. Como ese supuesto implcito no se cumple en el marco de la teora de la relatividad de Einstein (donde la definicin es (2)), la expresin de la fuerza en trminos de la aceleracin en la teora de la relatividad toma una forma diferente. Por ejemplo, para el movimiento rectilneo de una partcula en un sistema inercial se tiene que la expresin equivalente a (2a) es:(2b)\bold{F} = m \bold{a} \left( 1-\frac{v^2}{c^2} \right)^{-\frac{3}{2}}

Si la velocidad y la fuerza no son paralelas, la expresin sera la siguiente:(2c)\bold{F} = \frac{m\bold{a}}{(1-\frac{v^2}{c^2})^{\frac{1}{2}}} + \frac{m(\bold{v}\cdot\bold{a})\bold{v}}{c^2(1-\frac{v^2}{c^2})^{\frac{3}{2}}}

Ntese que esta ltima ecuacin implica que salvo para el movimiento rectilneo y el circular uniforme, el vector de aceleracin y el vector de fuerza no sern parelelos y formarn un pequeo ngulo relacionado con el ngulo que formen la aceleracin y la velocidad.Tercera Ley de Newton. La formulacin original de la tercera ley por parte de Newton implica que la accin y reaccin, adems de ser de la misma magnitud y opuestas, son colineales. En esta forma la tercera ley no siempre se cumple en presencia de campos magnticos. En particular, la parte magntica de la fuerza de Lorentz que se ejercen dos partculas en movimiento no son iguales y de signo contrario. Esto puede verse por cmputo directo. Dadas dos partculas puntuales con cargas q1 y q2 y velocidades \mathbf{v}_i, la fuerza de la partcula 1 sobre la partcula 2 es:\mathbf{F}_{12}= q_2 \mathbf{v}_2\times \mathbf{B}_1 = \frac{\mu q_2q_1}{4\pi}\ \frac{\mathbf{v}_2\times (\mathbf{v}_1\times\mathbf{\hat{u}}_{12})}{d^2}

donde d la distancia entre las dos partculas y \mathbf{\hat{u}}_{12} es el vector director unitario que va de la partcula 1 a la 2. Anlogamente, la fuerza de la partcula 2 sobre la partcula 1 es:

\mathbf{F}_{21}= q_1 \mathbf{v}_1\times \mathbf{B}_2 = \frac{\mu q_2q_1}{4\pi}\ \frac{\mathbf{v}_1\times (\mathbf{v}_2\times(-\mathbf{\hat{u}}_{12}) )}{d^2}

Empleando la identidad vectorial \mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) = (\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b} - (\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{c}, puede verse que la primera fuerza est en el plano formado por \mathbf{\hat{u}}_{12} y \mathbf{v}_1 que la segunda fuerza est en el plano formado por \mathbf{\hat{u}}_{12} y \mathbf{v}_2. Por tanto, estas fuerzas no siempre resultan estar sobre la misma lnea, aunque son de igual magnitud (siempre que \mathbf{u}_{12} no sea paralela a \mathbf{v}_1 o \mathbf{v}_2, ya que entonces ni siquiera se cumplira la forma dbil.)

Versin dbil del principio de accin y reaccinComo se explic en la seccin anterior ciertos sistemas magnticos no cumplen el enunciado fuerte de este principio (tampoco lo hacen las fuerzas elctricas ejercidas entre una carga puntual y un dipolo). Sin embargo si se relajan algo las condiciones los anteriores sistemas s cumpliran con otra formulacin ms dbil o relajada del principio de accin y reaccin. En concreto los sistemas descritos que no cumplen este principio en su forma fuerte, si cumplen el principio de accin y reaccin en su forma dbil:

La accin y la reaccin deben ser de la misma magnitud (aunque no necesariamente deben encontrarse sobre la misma lnea)Todas las fuerzas de la mecnica clsica y el electromagnetismo no-relativista cumplen con la formulacin dbil, si adems las fuerzas estn sobre la misma lnea entonces tambin cumplen con la formulacin fuerte de la tercera ley de Newton.

Teorema de EhrenfestEl teorema de Ehrenfest permite generalizar las leyes de Newton al marco de la mecnica cuntica. Si bien en dicha teora no es lcito hablar de fuerzas o de trayectoria, se puede hablar de magnitudes como momento lineal y potencial de manera similar a como se hace en mecnica newtoniana.

En concreto la versin cuntica de la segunda Ley de Newton afirma que la derivada temporal del valor esperado del momento de una partcula en un campo iguala al valor esperado de la "fuerza" o valor esperado del gradiente del potencial:

\frac{d}{dt}\langle p\rangle = \int \Phi^* V(x,t)\nabla\Phi~dx^3 - \int \Phi^* (\nabla V(x,t))\Phi ~dx^3 - \int \Phi^* V(x,t)\nabla\Phi~dx^3

= 0 - \int \Phi^* (\nabla V(x,t))\Phi ~dx^3 - 0 = \langle -\nabla V(x,t)\rangle = \langle F \rangle,Donde:

V(x,t)\, es el potencial del que derivar las "fuerzas".\Phi, \Phi^*\,, son las funciones de onda de la partcula y su compleja conjugada.\nabla\, denota el operador nabla.Concepto de trabajoSe denomina trabajo infinitesimal, al producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento.

DondeFtes la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento,dses el mdulo del vector desplazamientodr, yel ngulo que forma el vector fuerza con el vector desplazamiento.El trabajo total a lo largo de la trayectoria entre los puntos A y B es la suma de todos los trabajos infinitesimales

Su significado geomtrico es el rea bajo la representacin grfica de la funcinque relaciona la componente tangencial de la fuerzaFt,y el desplazamientos.

Ejemplo:Calcular el trabajo necesario para estirar un muelle 5 cm, si la constante del muelle es 1000 N/m.La fuerza necesaria para deformar un muelle esF=1000xN, dondexes la deformacin. El trabajo de esta fuerza se calcula mediante la integralEl rea del tringulo de la figura es (0.0550)/2=1.25 J

Cuando la fuerza es constante, el trabajo se obtiene multiplicando la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento por el desplazamiento.W=FtsEjemplo:Calcular el trabajo de una fuerza constante de 12 N, cuyo punto de aplicacin se traslada 7 m, si el ngulo entre las direcciones de la fuerza y del desplazamiento son 0, 60, 90, 135, 180.

Si la fuerza y el desplazamiento tienen el mismo sentido, el trabajo es positivo Si la fuerza y el desplazamiento tienen sentidos contrarios, el trabajo es negativo Si la fuerza es perpendicular al desplazamiento, el trabajo es nulo.Concepto de energa cinticaSupongamos queFes la resultante de las fuerzas que actan sobre una partcula de masam. El trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor final y el valor inicial de la energa cintica de la partcula.

En la primera lnea hemos aplicado la segunda ley de Newton; la componente tangencial de la fuerza es igual a la masa por laaceleracin tangencial.En la segunda lnea, la aceleracin tangencialates igual a la derivada del mdulo de la velocidad, y el cociente entre el desplazamientodsy el tiempodtque tarda en desplazarse es igual a la velocidadvdel mvil.Se define energa cintica como la expresin

El teorema del trabajo-energa indica que el trabajo de la resultante de las fuerzas que acta sobre una partcula modifica su energa cintica.Ejemplo: Hallar la velocidad con la que sale una bala despus de atravesar una tabla de 7 cm de espesor y que opone una resistencia constante deF=1800 N. La velocidad inicial de la bala es de 450 m/s y su masa es de 15 g.El trabajo realizado por la fuerzaFes -18000.07=-126 JLa velocidad finalves

Fuerza conservativa. Energa potencialUn fuerza es conservativa cuando el trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre los valores inicial y final de una funcin que solo depende de las coordenadas. A dicha funcin se le denomina energa potencial.

El trabajo de una fuerza conservativa no depende del camino seguido para ir del punto A al punto B.El trabajo de una fuerza conservativa a lo largo de un camino cerrado es cero.

EjemploSobre una partcula acta la fuerzaF=2xyi+x2jNCalcular el trabajo efectuado por la fuerza a lo largo del camino cerrado ABCA. La curva AB es el tramo de parbolay=x2/3. BC es el segmento de la recta que pasa por los puntos (0,1) y (3,3) y CA es la porcin del eje Y que va desde el origen al punto (0,1)

El trabajo infinitesimaldWes el producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamientodW=Fdr=(Fxi+Fyj)(dxi+dyj)=Fxdx+FydyLas variablesxeyse relacionan a travs de la ecuacin de la trayectoriay=f(x), y los desplazamientos infinitesimalesdxydyse relacionan a travs de la interpretacin geomtrica de la derivadady=f(x)dx. Dondef(x) quiere decir, derivada de la funcinf(x) con respecto ax.

Vamos a calcular el trabajo en cada unos de los tramos y el trabajo total en el camino cerrado. Tramo ABTrayectoriay=x2/3,dy=(2/3)xdx.

Tramo BCLa trayectoria es la recta que pasa por los puntos (0,1) y (3,3). Se trata de una recta de pendiente 2/3 y cuya ordenada en el origen es 1.y=(2/3)x+1,dy=(2/3)dx

Tramo CDLa trayectoria es la rectax=0,dx=0, La fuerzaF=0 y por tanto, el trabajoWCA=0 El trabajo totalWABCA=WAB+WBC+WCA=27+(-27)+0=0El peso es una fuerza conservativaCalculemos el trabajo de la fuerza pesoF=-mgjcuando el cuerpo se desplaza desde la posicin A cuya ordenada esyAhasta la posicin B cuya ordenada esyB.

La energa potencialEpcorrespondiente a la fuerza conservativa peso tiene la forma funcional

Dondeces una constante aditiva que nos permite establecer el nivel cero de la energa potencial.La fuerza que ejerce un muelle es conservativaComo vemos en la figura cuando un muelle se deformax, ejerce una fuerza sobre la partcula proporcional a la deformacinxy de signo contraria a sta.Parax>0,F=-kxParax