Aplicaciones de la primera y segunda derivada en las graficas de funciones

Lcdo. Eliezer Montoya Matemática I 1

Universidad Nacional Experimental Politécnica de las Fuerzas Armadas Núcleo Barinas Asignatura Matemática I código 21214 –Primera Versión 14-06-08 Facilitador: Licdo Eliezer Montoya Sección(es) C y H Aplicaciones de la Derivada: Representación Gráfica de Funciones) usando el criterio de la primera y segunda derivada Representación Gráfica de Funciones)

Para la representación gráfica de funciones utilizando la derivada se siguen los siguientes pasos:

1) Determinar el dominio y el rango de la función 2) Calcular los puntos de corte:

a) Con el eje x (se hace y = 0) b) Con el eje y (se hace x = 0) 3) Determinar puntos críticos (Xc ) y puntos de discontinuidad (si existen) Punto Crítico: Un valor c perteneciente al dominio de una función se llama punto critico si f´(c) = 0 ó f´(c) no existe

4) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento: a) Los puntos críticos y los valores donde el dominio de la función es

discontinua dividen el dominio en intervalos. b) Se examina el signo de f´(x) en cada uno de esos intervalos , tomando

cualquier valor de x perteneciente a dicho intervalo (supongamos x=a) y sustituyendo luego en f´(x)

c) Si f´(a) > 0 (la función crece en el intervalo. Si f´(a) < 0 la función decrece en el intervalo


5) Hallar punto(s) máximo(s) y mínimo(s) relativo(s):

Se puede maximizar o minimizar global y localmente una función representativa de algún contenido específico. Por ejemplo, en la siguiente gráfica se representan Máximos y Mínimos locales de la

función : donde y son

Mínimos de ; y son

Máximos de .

Según el criterio de la primera derivada: a) Cuando la función pasa de ser creciente a ser decreciente, es decir,

cuando f´(x) > 0 pasa f´(x) < 0, entonces en el punto critico (a) se considera que hay un máximo relativo. (esto es P(a, f´(a)) es un máximo relativo)

b) Cuando la función pasa de ser decreciente a ser decreciente, es decir, cuando f´(x) <0 pasa f´(x)> 0, entonces en el punto critico (b) se considera que hay un mínimo relativo (esto es P(b, f´(b)) es un mínimo relativo )


Según el criterio de la segunda derivada

*Se calcula )´´(xf y se halla la imagen de cada punto critico a través

de )´´(xf .

*Si 0)´´( >af entonces f(a) es un mínimo relativo

* Si 0)´´( <af entonces f(a) es un máximo relativo (suponiendo que a es

un punto critico).

6) Determinar puntos de inflexión: Son los valores de x en donde la segunda derivada es igual a cero )0)´´(( =xf ó )´´(xf no existe y hay un

cambio en la concavidad. 7) Estudiar la concavidad de la función: Una vez determinados los puntos de inflexión ( si los hay), se debe tener presente que estos dividen el dominio de la función en intervalos; se ‘procede a estudiar el signo de )´´(xf en cada intervalo:

*Si 0)´´( >xf entonces f(x) es cóncava hacia arriba.

*Si 0)´´( <xf entonces f(x) es cóncava hacia abajo.

En conclusión, para cumplir con los pasos anteriores (del 5º al 7º ) se tiene que Para estudiar el comportamiento de la curva que representa a la función en ciertos intervalos, y en definitiva encontrar máximos y mínimos, debemos realizar el siguiente procedimiento:

Considerando que es una Función Real y Continua:

a) Determinar

b) Hacer y obtener los valores críticos .

c) Determinar .

d) Evaluar con los valores críticos y examinar los signos obtenidos

Si entonces existe un Punto Mínimo (Min)

Si entonces existe un Punto Máximo (Máx.)

Si entonces existe un Punto de Inflexión (Inf)

Un punto se llama de inflexión si en él, la función, cambia el sentido de la concavidad.


e) Evaluar la función original con los valores críticos y determinar los

puntos críticos, es decir .

8) Determinar Asíntotas (si existen) Asíntotas verticales : Dada la función f y la recta vertical x = a ;se dice que x=a es una asíntota vertical de f sii:

±∞=+

→

)(lim xfax

y ±∞=−

→

)(lim xfax

Asíntotas horizontales: Dada la función f y la recta y = b ; se dice que y=b es una asíntota horizontal de f sii :

bxfx

=+∞→

)(lim y bxfx

=−∞→

)(lim

Asíntotas oblicuas: Dada la función y= mx+b , se dice que y =mx+b es una asíntota oblicua de f sii:

9) Con toda la información obtenida en los pasos anteriores, se procede a construir la grafica Veamos un ejemplo:

1) Graficar la función .

Solución

1)Dominio y Rango de la función: Dom f(x) = R = ),( +∞−∞

Rgo f(x) = R = ),( +∞−∞

2) Cortes con los ejes Corte con el eje y : se hace x =0 y se obtiene que y = 8 es decir el punto (0,8) Corte con el eje x: se hace y =0 y se obtiene 0= x3-6x2+9x-8 tiene una raíz ( 349/80,0) =( 4,3625;0) 3) Intervalos de crecimiento y decrecimiento Determinamos la primera derivada de f y la igualamos a cero

[ ])()(lim xmxfbx

−=±∞→x

xfm

x

)(lim

±∞→=


De donde obtenemos que

La función es creciente en el intervalo ( ]1,∞− U [ )+∞,3 , es decir, f´(a) > 0

donde a es un punto dentro del intervalo.

La función es decreciente en el intervalo comprendido entre [ ]3,1 , es decir,

f´(a)<0

5)Hallar punto(s) maximo(s) y mínimo(s) realtivo(s)

Ahora obtenemos la segunda Derivada y evaluamos en ella los valores críticos

Como , entonces decimos que la función tiene un mínimo en .

De la misma forma, considerando que , se dice que la función tiene un

máximo en . En definitiva, los puntos mínimos y máximo de la curva, serían:

• que es el punto mínimo de la función, y

• que es máximo de la función.

6) Determinamos puntos de inflexión:

Además, si hacemos , se tiene que:

es un punto de inflexión, en consecuencia:

es el punto de inflexión.


Finalmente se tiene que:

7) Estudiamos la concavidad:

)2,(−∞ Es cóncava hacia abajo, el signo de f´´(a) >0

),2( +∞ Es cóncava hacia arriba, el signo de f´´(a) <0

La grafica de 896)( 23−+−= xxxxf es:

Ejercicios propuestos: (I) Graficar las siguientes curvas haciendo uso de de las derivadas:

(1,-4) es un punto máximo de f

(3,-8) es un punto mínimo de f

(2,-6) es un punto de inflexión


1) 32)( 2−−= xxxf 8) 24)( xxf −=

2) xxxf 4)( 2+−= 9)

3)(

+=x

xxf

3) 652)( 23+−−= xxxxf 10)

5.

2)(

−

−=x

xxf

4) 44)( 23−+−= xxxxf 11)

2.

2)(

−

+=x

xxf

5) 26)( 24+−= xxxf 12)

2)3(

)1()(

+

+=x

xxxf

6) )34)(45()( 22+−++= xxxxxf 13) xexxf /1.)( −=

7) 24)( 4+−= xxxf 14) π20,2sin)( ≤≤= xxxf

Nota *Verifique dichas graficas en un software matemático, Use modellus la aplicación de física o graphmatics u otro que este a su alcance

(II ) Calcular los puntos máximos y mínimos de las funciones siguientes

a) 21

4)(

x

xxh

+= b)

x

xxg

1)(

3−

=

c) 3/23/1 )1.()( −= xxxf d) 33)( 3+−= xxxf en el intervalo

−

2

3,3

e) 1

)(+

=x

xxf en el intervalo

− 1,2

1


Referencias bibliográficas: :

*Stewart, J. (1999) Cálculo conceptos y contextos. Editorial Thomson. *Purcel, E. y Varberg, D. (2001). Cálculo con Geometría Analítica. Octava Edición. Editorial Prentice Hall Hispanoaméricana. México *Leithold, L. (1998) El Calculo VII edición. Edit Oxford *Munem M.A. Foulis D.J. (1984) Calculus with Analytic Geometry . II edicion.Edit. Worth Publishers, Inc. USA.


Soluciones de los ejercicios propuestos Graficar las funciones siguientes usando el criterio de la primera y segunda la derivada (para la representación grafica se uso el software Graphmatics y funciones para Windows)

1) f(x) = x2 -2x-3

Nombre de la función f(x) = x2 -2x-3

Función Cuadrática: y =x^2-2x-3

1-Dominio f(x) Rango f(x)

Dom f(x) = R Rgo f(x) = R

2.-Corte con los ejes Corte con el eje X (-1,0) y (3,0)

Corte con el eje Y (0,-3)

3.-Puntos críticos donde f´(x) =0

F´(x)=2x-2 0 = 2x-2 entonces Xc= 1

4.-Intervalos de crecimiento y decrecimiento * f´(a)>0 → crece ,

* f´(a)<0 → decrece

( ]1,∞− decrece

( ] [ ]1,11, −∪−∞− decrece

[ )+∞,1 crece

[ ] [ )+∞∪ ,33,1 crece

5.-Coordenadas del punto Máximo y Mínimo f´(xc) >0 → Mínimo

f´(xc)<0 → Máximo

Máximo : (xc, f(xc)) Max: No hay

Mínimo: ( xc , f(xc)) Min : (1,-4)

6.-Puntos de inflexión f´´(x) = 0 f´´(x)>0 → cóncava hacia

arriba f´´(x)<0 → cóncava hacia

abajo

f´´(x)=2

Cóncava hacia arriba pues la segunda derivada es positiva

7.-Asintotas. No presenta asintotas

Con la información anterior se procede a graficar la función:

x

y

-6 -4 -2 0 2 4 6

-6

-4

-2

0

2

4

6


2) f(x) = - x2 + 4x Nombre de la función f(x) = -x

2 +4x

Cuadrática: y =-x^2+4x



2.-Corte con los ejes Corte con el eje X (0,0) y (4,0)

Corte con el eje Y (0,0)


F´(x)=-2x+4 0 = -2x+4 entonces Xc= 2



( ]0,∞− crece

( ] [ ]2,00, ∪∞− crece

[ )+∞,2 decrece

[ ] [ )+∞∪ ,44,2 decrece

5.-Coordenadas del punto Máximo y Mínimo f´(xc) >0 → Minimo

f´(xc)<0 → Maximo

Máximo : (xc, f(xc)) Max: (2,4)

Mínimo: ( xc , f(xc)) Min : No hay

6.-Puntos de inflexión f´´(x) = 0 f´´(x)>0 → cóncava hacia


abajo

f´´(x)=-2

Cóncava hacia abajo pues la segunda derivada es positiva


Con la información anterior se procede a graficar la función

x

y

-6 -4 -2 0 2 4 6

-6

-4

-2

0

2

4

6


3) f(x) = x3- 2x

2 - 5x+6

Nombre de la función f(x) = x

3- 2x

2 - 5x+6

Cúbica:

y=x^3-2x^2-5x+6



2.-Corte con los ejes Pto de Corte con el eje X (-2,0) , (1,0) y (3,0)

Pto de Corte con el eje Y (0,6)


F´(x) = 3x2-4x-5

0 = 3x2-4x-5 entonces las raices son x1c= 2,11 y x2c = -

0.78



( ]78.0,−∞− crece

( ] [ ]078,11, −−∪−∞− crece

[ )+∞;11.2 crece

[ ] [ )+∞∪ ;33;11.2 crece

[ )11.2,78.0 +− decrece

[ ] [ ]11.2;11;78.0 ∪− decrece



Máximo : (xc, f(xc)) Max: (-0.78; 8.21)

Mínimo: ( xc , f(xc)) Min : (2.11;-4.06)

6.-Puntos de inflexión f´´(x) = 0

f´´(x)=6x-4 0 = 6x-4 → x=2/3=0.66..

Coordenada del pto. de inflexión (0.6 ; 2.2 )

7.- Concavidad: f´´(x)>0 → cóncava hacia


abajo

( ]3/2,∞− cóncava hacia

abajo

[ )+∞,3/2

Cóncava hacia arriba




4) f(x) = x3- x2 +4x-4 Nombre de la función f(x) = x3- x2 +4x-4

Cúbica:

y=x^3-x^2+4x-4



2.-Corte con los ejes Pto de Corte con el eje X (1;0)

Pto de Corte con el eje Y (0,-4)


F´(x) = 3x2-2x+4

0 = 3x2-2x+4 entonces las raices son x1c= 1/3+1.1i y x2c =

1/3-1.1 (son imaginarias) No son reales



( )+∞∞− , crece



Máximo : (xc, f(xc)) Máx.: No posee-no existen

Mínimo: ( xc , f(xc)) Min : No posee -no hay


f´´(x)=6x-2 0 = 6x-2 → x=1/3=0.33..

Coordenada del pto. de inflexión (0.33 ; -2.77 )

7.- Concavidad: f´´(x)>0 →cóncava hacia

arriba f´´(x)<0 →cóncava hacia

abajo

( ]3/1,∞− cóncava hacia

abajo

[ )+∞,3/1

Cóncava hacia arriba




5).f(x) = x4- 6x2 + 2 (polinomio de cuarto orden) Nombre de la función f(x) = x4-6 x2 +2

Bicuadratica o Polinomial:

Y = x^4-6x^2+2



2.-Corte con los ejes Pto de Corte con el eje X (-2.39;0) ; (-0.59;0) , (0.59;0) y (2.39;0)



F´(x) = 4x3-12x = 2x.(2x

2-6)

0 =4x3-18x = 2x.(2x

2-9) entonces las raíces son x1c= 0 ;

x2c = 73.13 ±=



[ ]0;3− crece

[ )+∞;3 crece

( ]3,−∞− decrece

[ ]3;0 decrece



Máximo : (xc, f(xc)) Máx.: (0,2)

Mínimo: ( xc , f(xc)) Min : (1.73;-7) y (-173;-7)


f´´(x)=12x2-12

0 =12x2-12 → x= 11 ±= ..

Coordenada del pto. de inflexión (+1 ; -3 ) y (-1,-3)



abajo

[ ]1,1− cóncava hacia abajo ( ]1,−∞− Cóncava hacia

arriba

[ )+∞,1 Cóncava hacia arriba




6) f(x)= ( x2 + 5x + 4 )( x2 - 4x + 3 ) Nombre de la función f(x) = ( x

2 + 5x + 4) * (x

2-

4x+3) = x4 + x

3-13x

2-x+12

Función Polinomial:

Y = (x^2+5x+4).(x^2-

4x+3).



2.-Corte con los ejes Pto de Corte con el eje X (-4;0) ; (-1;0) , (1;0) y (3;0)



F´(x) =( 2x+5)((x2-4x+3) + (2x-4) ( x

2 + 5x + 4) = 4x

3+3x

2-

26x-1 =0 entonces las raíces son x1c=-0.05 ; x2c =-2.92 y x3c = 2.22



[ ]05.0;92.2 −− crece

[ )+∞;22.2 crece

( ]92.2,−∞− decrece

[ ]22.2;05.0− decrece



Máximo : (xc, f(xc)) Máx.: (-0.05 ;12.01)

Mínimo: ( xc , f(xc)) Min : (-2.92;-48.1) y (-2.22 ; -19.1)


f´´(x)=12x2+6x-26

0 =12x2+6x-26

0 =6x2 +3x-13 →

x1 =1.23 y x2=1.75

Coordenada del pto. de inflexión (1.23 ; -4.6 ) y (-1.75,-22)



abajo

[ ]23.1;75.1− cóncava hacia

abajo

( ]75.1,−∞− Cóncava hacia

arriba

[ )+∞;23.1 Cóncava hacia

arriba




Con un zoom acercando los valores en un intervalo pequeños vemos


7) f(x) = x4 - 4x +2

Nombre de la función f(x) = x4 -4x+2

Función Polinomial:

Y = x^4-4x+2



2.-Corte con los ejes Pto de Corte con el eje X (0.51;0) ; (1.36;0)



F´(x) = 4x3-4

0=4x3-4 entonces las raíces son x1c=1



[ )+∞;1 crece

( ]1,∞− decrece



Máximo : (xc, f(xc)) Máx.: no existe

Mínimo: ( xc , f(xc)) Min : (1;-1)


f´´(x)=12x2

0 =12x2

→ x = 0

Coordenada del pto. de inflexión (0;2)



abajo

( ]0,∞− Cóncava hacia

arriba

[ )+∞;0 Cóncava hacia arriba




8) 24)( xxf −= = 2/12 )4( x− (semi- circunfencia)

Nombre de la función f(x) = (4-x

2)1/2

Función Irracional : f:R → R Definida así:

n xPxf )()( =

si n es par, la función tiene

restricciones P(x) 0≥

si n es impar no posee restricciones (esta definida en todo valor de X)


Dom f(x) = [ ]2;2− Rgo f(x) = [ ]2;0

2.-Corte con los ejes Pto de Corte con el eje X (-2;0) ; (2;0)


3.-Puntos críticos donde f´(x) =0 F´(x) =

242

2

x

x

−− =

24 x

x

−−

0 = x entonces los puntos críticos son x1c=0



[ ]0,2− crece

[ ]2,0 decrece



Máximo : (xc, f(xc)) Máx.: (0,2)

Mínimo: ( xc , f(xc)) Min : No existen


f´´(x)=-4(4-x2)1/2

0 = -4(4-x2)1/2

→ x = 2±

Coordenada del pto. de inflexión (0;2)



abajo

[ ]2,2− es cóncava hacia

abajo

En otro intervalo no esta definida



En la grafica adjunta puedes ver la en rojo la recta tangente y como muestra su pendiente cero ( la derivada en el punto x=0)


En la grafica adjunta puedes ver la en rojo la recta tangente y como muestra su pendiente positiva ( la derivada en el punto x=1)

En la grafica adjunta puedes ver la en rojo la recta tangente y como muestra su pendiente negativa ( la derivada en el punto x=1) **Recuerde la aplicación de la recta tangente y normal de una función en el punto x = a


9)3

)(+

=x

xxf

Nombre de la función f(x) = x/( x+3 )

Función Racional: f:R → R

Definida así:

)(

)()(

xQ

xPxf = donde

0)( ≠xQ


Dom f(x) = R - { }3−

El valor que anula a x+3 es -3 (este se excluye )

Rgo f(x) = R-{ }1

f(x)= y y su inversa es f(y)=x donde x= 3y/(y-1) el valor que anula a y-1 es 1 (este se excluye del rango)

2.-Corte con los ejes Pto de Corte con el eje X (0,0)



2)3( +x

x => 0=

2)3( +x

x

0 = x entonces los puntos críticos son x1c=0



( )3,−∞− crece

( )+∞− ,3 crece

No posee intervalos de decrecimiento

5.-Coordenadas del punto Máximo y Mínimo f´(xc) >0 → Mínimo

f´(xc)<0 → Máximo

Máximo : (xc, f(xc)) Máx.: No tiene



f´´(x)= 4

2

)3(

9

+

+−

x

x

0 = 4

2

)3(

9

+

+−

x

x

→ x = 39 ±=

Coordenada del pto. de inflexión Para x=-3 no esta definida



abajo

8.-Asíntotas. Asíntota Horizontal Y= 1 es una asíntota horizontal ya que :

1)(lim =+∞→

xfx

y también

1)(lim =−∞→

xfx

Asíntota Vertical X=3 es una asíntota vertical ya que:

−∞=+

→

)(lim3

xfx

y

∞=+

→

)(lim3

xfx



En rojo podemos ver la asíntota vertical (el valor que se excluye del dominio)


10) 5.

2)(

−

−=x

xxf

Nombre de la función f(x) = (x-2) / ( x-5 )


Definida así:

)(

)()(

xQ

xPxf = donde

0)( ≠xQ


Dom f(x) = R - { }5

El valor que anula a x-5 es 5 (este se excluye )

Rgo f(x) = R-{ }1

f(x)= y ; su inversa es f(y)=x donde despejando x=( 5y-2)/(y-1) el valor que anula a y-1 es 1 (este se excluye del rango)

2.-Corte con los ejes Pto de Corte con el eje X (2,0)

Pto de Corte con el eje Y (0,2/5) =(0;0.4)


2)5(

3

−

−

x => 0=

2)5(

3

−

−

x

No posee.


* f´(a)<0 →decrece

No posee intervalos de crecimiento

( )5,∞− decrece

( )+∞,5 decrece






f´´(x)= 3)5(

6

−x

0 = 3)5(

6

−x

Coordenada del pto. de inflexión No existen



abajo

No hay


1)(lim =+∞→

xfx

y también

1)(lim =−∞→

xfx


+∞=+

→

)(lim5

xfx

y

−∞=−

→

)(lim5

xfx



En azul la función 5.

2)(

−

−=x

xxf y en verde su derivada f´(x)=

2)5(

3

−

−

x


11)2.

2)(

−

+=x

xxf

Nombre de la función f(x) = (x+2) / ( x-2 )


Definida así:

)(

)()(

xQ

xPxf = donde

0)( ≠xQ


Dom f(x) = R - { }2

El valor que anula a x-2 es 2 (este se excluye del dominio )

Rgo f(x) = R-{ }1

f(x)= y ; su inversa es f(y)=x donde despejando x=( y+2)/(y-1) el valor que anula a y-1 es 1 (este se excluye del rango)

2.-Corte con los ejes Pto de Corte con el eje X (-2,0)

Pto de Corte con el eje Y (0,-1)


2)5(

3

−

−

x => 0=

2)5(

3

−

−

x

No posee.


* f´(a)<0 →decrece

No posee intervalos de crecimiento

( )2,∞− decrece

( )+∞,2 decrece






f´´(x)= 3)2(

8

−x

0 = 3)2(

8

−x

Coordenada del pto. de inflexión No existen



abajo

No hay


1)(lim =+∞→

xfx

y también

1)(lim =−∞→

xfx


+∞=+

→

)(lim2

xfx

y

−∞=−

→

)(lim2

xfx


Aplicaciones de la primera y segunda derivada en las graficas de funciones

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