UNIVERSIDAD DE PANAMAVICERRECTORIA DE INVESTIGACION Y POSTGRADO

PROGRAMA CENTROAMERICANO DE MAESTRIA EN MATEMATICA

APLICACIONES DE LA PROGRAMACION PSEUDO-BOOLEANA

ILKA A. GRIMALDO G.

TESIS PRESENTADA COMO UNO DE LOS REQUISITOS PARAOPTAR AL GRADODE MAESTRA EN CIENCIAS CON

ESPECIALIZACION EN INVESTIGACION DE OPERACIONES

PANAMA

2002

APROBADO POR:

M. en C. EydaMIEMBRO

Dra. Manuela Foster VegaMIEMBRO

REPRESEN ANTE DE L&VICER-RECTORIADE INVESTIGAC N Y POSTGRADO

o (President())PRESIDENTE

44u"^~.~~J'~m ez

FECHA: W_e ~.»,y~lv di~dJ.2

RESUMEN

"APLICACIONES DE LA PROGRAMAC1ON PSEUDO- BOOLEANA"

Se estudia un metodo para resolver sistemas de ecuaciones ydesigualdades con variables bivalentes (que toman Los valores 0 y 1) . Despuesde esto, se trata la resoluci6n de problemas de programacidn con variablesbivalentes, en particular el metodo pseudo- booleano . Se revisa c6mo unproblema de programacidn en numeros enteros se puede reducir a unproblema de programacidn bivalente . Finalmente, se explica c6mo resolverproblemas de programacidn bivalente con tecnicas booleanas y se presentanejemplos de algunas aplicaciones practicas de estos problemas.

SUMMARY

"APPLICATION OF PSEUDO-BOOLEAN PROGRAMMING"

It's study a method to solve equations and inequalities systems, withbivalent v:-: :.' 'es, (they take values 0 and I) . After that, it treat the resolutionof programming problem with bivalent variables, in particular, the Pseudo-Boolean Method. It's also check how a programming problem with integerscan be reduce to a bivalent programming problem . Finally, it's explain how tosolve bivalent programming problems with booleans teeniques and someapplications practices are shown .

AGRADECIMIENTO

Me complace expresar mi gratitud al Doctor JOSE DEL ROSARIO GARRIDO,

quien con empeho y dedicacidn me ayudd a alcanzar mi objetivo mediante su valioso

asesoramiento y toda su colaboracidn en la preparaci6n de este trabajo, asi Como a todos

los profesores del Programa de Maestria en Investigacidn de Operaciones por brindarme

su ayuda e interesantes conocimientos a travEs de estos estudios .

INDICE GENERAL

INTRODUCCIONPaginas

viCapitulo I : CONCEPTOS PRELIMINARES 11 .1 . Algebra Boolean 21 .2. Funciones Booleanas 61 .3. Funciones Pseudo- Booleanas 12Capitulo 2: SISTEMAS DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES 17PSEUDO- BOOLEANAS2.1 . Solucien de Base y Familia de Soluciones de una Desigualdad Pseudo- 19

Boolean2.1 .1. Ejemplo I 21

2.2. Algoritmo en Tres Etapas pare solucionar Sistemas de Desigualdades 25Pseudo-Booleanas

2 .3 . Conclusiones Referentes a las Desigualdades del Sistema 272.3.1 . Ejemplo II 31

2.4. Observaciones respecto al volumen de los celculos 43Capitulo 3: PROGRAMACION PSEUDO- BOOLEANA 463 .1 Metodo Pseudo-Booleano 47

3.1 .1 . Ejemplo III 473.1 .2. Ejemplo IV 49

3.2 . Prescripciones para acelerar el proceso 503 .2 .1 . La introduccion de restricciones suplementarias 503 .2 .2 . La elecci&n del orden de bifurcacibn 523 .2 3 . El Test acelerador 52

3 .3 . Ejemplo V 53Capitulo 4 : APLICACIONES 604.1 . Ejemplos 61

4 .1 .1 . Ejemplo VI 614 .1 .2. Ejemplo VII 624 .1 .3 . Ejemplo VIII 644 .1 .4 . Ejemplo IX 66

Conclusiones y Recomendaciones 78BIBLIOGRAFIA 81

JNTRODUCCION

Existe, en el analisis clasico, una gran diferencia entre problemas que

pueden ser resueltos por metodos de cQlculos y problemas que requieren

tecnicas combinatorias . Con el surgimiento de las computadoras esta

diferencia se aminora, y con el enfasis creciente sobre problemas que

involucran optimization sobre estructuras, esta distincion desaparece.

Se hizo necesaria una nueva y mss flexible teoria matematica que

incluyera algoritmos cidsicos, tanto los discretos como los continuos ; pars el

tratamiento computacional y analitico de problemas surgidos en la teoris de

control, economia matematica, teoria de proyectos, investigacic On de

operaciones, bioingenierla y otros campos.

El trabajo de Hammer (ivanescu) y Rudeanu sobre M&todos

Booleanos represents un importante paso en esta direccit n y estimula una

gran cantidad de investigaciones adicionales en la teoria y aplicacion de estos

metodos.

Es natural el use de variables bivalentes cuando enfrentamos problemas

que tienen solo dos resultados posibies . La importancia y extension de esta

clase de problemas de "decisiones binarias" fue sefialada primeramente por G.

B . Dantzig en 1957. Desde entonces muchos estudios se han publicado sobre

estos tdpicos. Algunos trabajos aplican tecnicas booleanas, las cuales utilizan

vii

propiedades del algebra booleana, mientras otros son principalmente

combinatorios.

Peter I. Hammer (Ivanescu) y Sergio Rudeanu en 1967, tratan las

aplicaciones de las teenicas booleanas en investigation de operaciones y areas

relacionadas . Utilizan como principales herramientas el calculo de matrices

booleanas, ecuaciones booleanas y la programaeien pseudo-booleana . La

programacion pseudo-booleana incluye un metodo pan resolver problemas

bivalentes (0, 1) que fue desarrollado por 1 . Rosenberg y otros en 1963

usando una idea de R. Fortet.

El motodo de programacion pseudo-booleana presentado (en forma

mejorada) por Hammer y Rudeanu es una combination del principio de

programacion dinamica de R . Gellman con procedimientos booleanos . Varias

aplicaciones de este metodo han sido realizadas por Hammer y Rudeanu ; asi

como por otros autores basados en su primers version (no mejorada) . Estas

son las contribuciones de I . Rosenberg, Y. lxagaxt y K. Sugino, U.S.R.

Murty, G .B . ihde, J . Kral y otros.

Los metodos de programacitin pseudo-booleana permiten la solution de

problemas bivalentes lineales y no lineales asi como varies generaiizaciones

que incluyen programacion polinomial entera .

Los problemas de optimizacien en los cuales las variables asumen

valores enteros debido a interpretaciones econemicas y tecnicas, no se pueden

resolver con los metodos acostumbrados de programacien lineal.

La preocupacidn pot este tipo de problemas surge de modo natural en el

contexts de una tradician de investigacien en el dominio de la ibgica

matematica y en las aplicaciones a la teoria de automatizacien.

El estudio del metodo de programacien pseudo-booleana y de sus

aplicaciones brinda las bases para abordar, plantear y finalmente solucionar

este tipo de problemas.

Este estudio sobre "Aplicaciones de la Programacicn Pseudo-Booleana:

♦ Trata sobre problemas de optimizacidn en las cuales las variables asumen

valores enteros debido a interpretaciones econemieas y tecnicas.

• Revisa crime un problema de programaciOn con numeros enteros se puede

reducir a un problema de programaciOn bivalente.

♦ Define, en el Capitulo 1, 1os conceptos preliminares de la programacien

pseudo-booleana.

♦ Desarrolla, en el Capitulo 2, un metodo para resolver sistemas de

ecuaciones y desigualdades bivalentes, Ilamadas ecuaciones y

desigualdades pseudo-booleanas .

ix

♦ Expiica, en el Capitulo 3, el metodo pseudo-booleano mejorado pars la

resoluci5n de problemas de programacibn con variables bivalentes.

♦ Presenta, en el Capitulo 4, algunos ejemplos de aplicaciones practicas de

estos problemas .

cAPf ruLO

CONCEPTOS PRELIMINARES

CONCEPTOS PRELIMINARES.

1 .1. Algebra Booleana.

El algebra booleana tiene sus primeras aplicaciones en el estudio de los circuitos

electricos. Los problemas de "decisiones binarias", es decir, problemas que envuelven

solo dos posibles resultados, son encontrados frecuentemente en la investigacion de

operaciones, teoria de grafos, matematica combinatoria, etc.

Los conceptos que definiremos tienen aplicacion en problemas tipicos de

optimifarion de funciones booleanas y en la solucion de ciertas ecuaciones booleanas.

Definicion 11; Un ALGEBRA BOOLEANA es un conjunto B (fmito o infmito)

en el cual son distinguidos dos elementos, 0 y 1, y donde tres operaciones:

u (disyuncion), - (conjuncion) y — (negacion) son definidas y satisfacen las siguientes

propiedales.

IL

(l) ruy=yuI

(2) r(xuy)uz=xu(yuz)

x • y=y - x

IL (x-y)-z=x-(y-z)

X V X y=x

:•(xuy)=xxu(y•z)=(xuy)•(xuz)

x-(yVz)=(x-y)u(x-z)(3) (4)

xul=1(5)

x .0 = 0

(6)

En un algebra booleana, se cumplen ademas, las siguientes propiedades.

xx=x(~) I xvx=x `

(8)

l xvl x

xux=1

x-x=0

2

[xvy=0 sii x=y=0

•y=1 sii x=y=1(9) (10) xv y=x• y

x•y=zvy;

xv(x•y)=xvy_

x •{xv y) =x y(11) s= x

(13)

donde x, y, z son elementos arbitrarios de B.

El et-den verifica tarnbien las siguientes propiedades:

(13) i xsy sit xvy=y1

(14) 1xsxvy , yin)/x<_ysiix•y=x

x•y<_x, x-y_<y_

(Si xz,y5z entonces xvyz

.Sit_<x, t<_yrntnnr.es t_<x•y

[x � z,_yrz sii xvy5zt_<x,tSYStt ISx•y

(15)

(1b)

F x y rmplica x- z y- z

x y impiica x v z <_ yv z(17) J (1S)

x5y sii xvy=1

xy sii x-=0

1x = y sii x•yvx•y=0

x= y sii (xvy) •(xvy)=1

donde x, y, z son elementos arbitrarios de B.

(19)

t20)

3

1 .1 .1. Principio de Dualidad:

Si la propiedad de B, expresada en terminos de Ias operaciones u, • , — ; de las

relaciones <, > y las constantes 0, 1 ; es valida, entonces la "PROPIEDAD DUAL",

obtenida intercambiando u con • , 5 con ? y 0 con 1, tambien es valida.

Por ejemplo, to mayor pane de las propiedades anotadas anteriormente son

anotadas en PAREJAS DUALES.

El principio de dualidad es uno de los teoremas centrales del algebra booleana.

Las propiedades (7) al (20) se pueden deducir de las leis primeras (1) a (6),

aplicando el principio de dualidad.

1.1 .2. Ejemplos de Algebras Booleanas.

Ejemplo 1 : La estructura algebraica formada por el conjunto de dos elementos

B2 = {0,1} , junto con las operaciones de disyunci6n (u), conjunci6n (-) negaci6n O,

definidas respectivamente como sigue:

(i) Ou0 = 0

0 u 1 = 1 u 0 = 1

(ii) 0 . 0=0 . 1=1 . 0 = 0 I-1

=1

(iii) 0 =1

,

1 = 0

Es un algebra booleana, Ilamada ALGEBRA BOOLEANA DE DOS ELEMENTOS.

Nob: En esta definicion, 0 y I no representan numeros- Sin embargo, es necesario

utili7ar estos elementos como numeros pan el estudio posterior de Ias funciones pseudo-

booleanas.

El algebra booleana de dos elementos B2; satisface ademas la propiedad.

4

(21){~rvy=] sii 1=1 o y=l

iLx-y=i3 sii x=0 6y=©

Una caracteristica especial de 82 es que las operaciones booleanas pueden ser

expresadas en una forma aritmEtica.

(22) xvy=x+y-xy

(23) x=1-x

y ademas

(24) xy=1-zy

{25) xuy=x•y=(1-x)(i-y)

ademas en B2 se define:

(26) x° = x

E plo 2: El cogjunto de matrices booleanas (matrix de ceros y unos) de onion

mxn, es un Algebra booleana con respect a las operaciones u, - y— definidas per:

Disyuncion

(27) (a;,) u (b„) = (a;, a b,,)

Conjuncien

(28) (ad (bid =(;• bu)

NegaciOn

(29) (a +I)= (a)~

5

En las matrices booleanas mxn se define ademas la siguiente relation de order:

(30) (ay) ~ (bry) sii a,1 b,~, pats todo

Los elementos distinguidos O y I para las matrices booleanas mxn son:

/0 . . .

\0=

y

1=

(31 )

Obsen'acidn : Dos matrices booleanas no son necesariamente comparables.

1.2. Funciones Booleanas

Definici6n 1 .2: Una land-6n booleanafes una aplicacien,

f : Bz =: B2xB2x . . .xB2 1

B2

n veces

esto es, es una funcidr cuyos argumentos y valetas deperiden de B 2 .

Mein* 3: El conjunto de Codas las funciones booleanas de it variables, resulta tarnbien

un algebra buuic ua, donde D y I son las funciones de n variables definidas pot

0(x1, x2, , .,xn) = 0 ,

1(x1, x2, --,

1

pare todo (x1,a2,

Bz

y las operations de disyunciOn, conjurcion y negaciOn son defrnidas corn sigue:

Sify g son funciones booleanas de n variables;

- set disyurcien sera la funcien fu'g de n variables defluids pot

6

(32)

(33)

(f g)(x„ .„x,, )— .f(x,, . .,x,, )g(x,, . .,x,, )

- su conjunc

/

ion sera la fiancibn jg definida por

}}((

- la negaci6n de is Thncidn booleana de n variables f sera la funcibn

f definida por

f (x,, . . .,xi,)=f(x~,. . ., xA)

L2.1 Expresiones Boolea®es

Una funcibn booleana tienc una "expresi(n booleana" come por

ejemplo

1(x,y,z)=x yzvx•y vx•yavx•y<-

xu(y•z)

6

y•(xu(y•z)•(tux•y))

Una expresibn baoleans esti constituida par un numero finito de

variables booleanas, ligadas per operaciones booleanas, 4e acuerdo a la

siguiente informacion:

Delinicien 1 .3:

1)0 y 1 son expresienes booleanas

2)las indeterrninaciones z„z°,z,,z,, . . .,z

7

son expresiones booleanas

Son llamadas indeterminaciones plies dependen del valor de las i

las clue tarnan los valcres fl o 1.

3) Si E1 y E2 son expresiones booleanas, entrances

v 2,

- Ez

y

E,

son expresiones booleanas

4) Cualquier expresien booleana es formada per una aplicacidn repetida

de las reglas 1), 2), 3).

1 .2.2 Conjunciones Elementales y Disyunelones Elementales

Dermicion 1.4'. Las expresiones booleanas que no contienen disyunciones

son llamedas conjunciones elementales.

Ejemplos :

x' .y° z°

s , y°, 0, 1, x, . . .xp , etc.

Definition 1 .4': Las expresiones booleanas que no contienen conjunciones

son llamadas disyunciones elementales.

£lemplos :

x' u y° vz° ,

x' us? uz° ,

xi , y°, 0, 1, x; v ..ux,'„

etc.

1 .2.3. Forma Disyuntiva y Forma Conjuntiva

Definition 1 .5' : Una disyuncidn de conjunciones elementales, esto es, una

expresidn del tips

c, Uc2 e~_•eJc,

(35)

donde c1 ,c2 . . :c,son conjunciones elementales, es liarnada una forma

disynntiva.

Definition 1,S": this conjuncion de disyunciones eiementales, esto es, una

expresion del tipo

•dz •d,

(36)

donde d„dd, . . .,d,son disyunciones eleinentales, es llamada una forma

tonjuntiva.

Definition

La funcion4generada por una expresion booleana E es la

funcibn booleana obtemda de E interrpretando los caracteres

x2, . .-, x,,

encontrados en las indeterminaciones

como variables en B 2, los

exponentes 0 y 1 comp funciones definidas por Jr' = x ;x = x ; los conectivos

v, y — como las funciones definidas por (i), (ii) y (iii), respectivamente, y

los caracteres 0 y I come las funciones constantes 0(x) = 0, 1(x) = 1,

respectivamente.

Debemos distinguir entre funciones booleanas y expresiones booleanas.

Por un lade, una expresion booleana genera una funcion booleana simple;

mientras clue, una funci&n booleana es generada por varias expresiones

booleanas .

9

?or ejemplo; x v y, x v x- y son diferentes, pero generan la misma

funcic n.

.{x,Y):

j{OO)=-(l

.0,1)=,(1,0)=ft1,1)= I.

Sin embargo, adoptaremos la convenciOn usual y denotaremos igual a

una expresi6n booleana que a la funci6n booleana generada por ella.

For ejemplo, escribiremos x L) x y = xv y ; en Lugar de

= EJrl

Cada funcibn booleana es generada pot, al memos, una expresisn

booleana.

Propiedad LL: Cada funcic n booleana f puede set escrita en la forma

(37) f

a, s,x -,z~- xr) =

.fla~,az,~--,arx,a,x'z ---a«

donde II significa que la disyuncidn es extendida sobre todos los

posibles valores de los vectores (a„a2,. .,a„) e BZ ..

to

Observaci6n : La formula (37 ) puede ser escrita en la forma.

(38)

f(x„x2, . . .>xn) _ 11 ( 4 '

donde II significa que la disyunciOn es extendida sobre aquellos valores

(a,,a2,. . .,an) a B, para Ios cuales f(a,, . . .,an) =1

1.2.4 Forma Can6nica Disyuntiva y Forma Canonica Conjuntiva

N6tese que (37) es una forma disyuntiva con la propiedad especial de

que en cada una de las conjunciones todas las variables x i , x2, . . .xa aparecen.

Definici6n 1 .7 : El miembro derecho de la relaciOn (38 ) se Ilamara forma

disyuntiva canOnica de la funeion f(x,,x2, . . .,xn).

Cada conjunto de la forma x; •x;° . . .x°^ (que contiene todas las variables

x„x2, . . .,xn) es llamado una conjunci6n elemental complete de x„x2, . . .,x,.

Propiedad 1.2 : Cada funcion booleana f puede ser escrita en la forma

(39) f(x,,x2, . . .,x, )= f If(a l ,a2 , . . .an)vxr u47}a„a,. ..a,

donde (a„aZ,. . .,an) toma todos los posibles valores de B2donde fia,ax,

significa que la conjuncion es extendida sobre todos los 2' posibles valores de

BnZ

11

Observacibn: La formula ( 39 ) puede ser escrita en la forma

(40 )

fix, x2, . .2,2)= fl(xa, uxz' v. . .uCP. )

donde fl significa que la conjuncion es extendida sabre aquellos valores

(a„a3, . . .,a„) a B'para 1os cuales f(Q, d,r., ar t = 0

Definici6n l .7": El miembro derecho de la relation (40) se Ilamara forma

canonita conjuntiva de 1a funcion J(x„x2, . . .,x„).

Cada disyuncit n de la forma xf' ux~' u . . .i+xa° (que tot-them todas las

variables x„x2, . . .xA) es Ilamada una disyuncien elemental complete de

x„ x2 , . . .x,, .

1.3. Funcioues Pseudo Booleanas

Definitions LS: Sea 91 el cameo de los naimeros reales, una fencidn

pseudo - booleana es una funcidn.

(41) f :B= > 91

es una funcibn de elementos bivalentes, con valores Teaks.

Los dates basados en aplicacions no son usuaimente reales, sin

embargo, si resultan mimeros rationales pueden ser transformados a enteros

multiplicandolos par un enter() apropiado_ Par esta razon, en los ejemplos

12

podemos asumir que los datos van a ser enteros.

R. Fortet llama a estas funciones "funciones algebraicas enteral" . Si los

elementos 0 y 1 de B2 son identificados con los numeros 0 y 1, to cual

asumiremos en to que sigue, entonces la fimcien booleana

tp : BZ

> B2

es tambien una funcibn pseudo- booleana.

Propiedad 1 .3: Cada fancier] pseudo- booleana puede ser escrita en la forma

( 42 ) .i (x1, x2r ,xn)= lc

n

donde is suma

E es extendida sobre los 2g valores del vector

(a„a2, . . .,an) a BZ y los coeficientes ca 4

son unicamente determinados por

las relaciones.

( 43 )

= .f„a,,. . .,an)

Demostracien

Usando las formulas x° = x= (1-x) ,

x'= x

eoncluimos que, pars cads a, ft e Bz .

a =l,sia=Qa,sia#ft

13

En efecto

1,si .r=D

fl,six=1

j 1 ,si x=ix =x= 0,six=O

De aqui que pars a„a2, . . .,ap a B2

tenemos

e

,si xi =ai ,x2 =a2 , . . .,x„ =aXi .xn

O , de otra forma

de deride resulta que pars cualquier sistema de valores

x,, el dada

derecho de (42) se reduce a

= 1{ ,fie>. .,fi„)

de dende

RC A .Ba p = Jj {fi„ fi2r . . ,7'n)

Asi

f x„x2, . . .,xa)=

, .f{A~>12, . . .,}'„)x,A •x2~, . . .,x°.

come ahora dos valores 0 y 1 son nemeros males ; usamos Z en lugar dea, .a a.

II

14

Ejemplo 4 : La funcion pseudo- booleana.

(44) f (xx ,x2 ,x3 ) = 2xa x2+6xix3 -5x2 x3

puede ser definida por la siguiente tabla

Tabla 1

x1 x 2 x3 ,l(xl, x2, x3)

0 0 0 -5 -5

0 0 1 -5+5 0

0 1 0 -5+5 0

0 1 1 -5+5+5-5 0

i 0 0 -5+2 -3

1 0 1 -5+2+5+6 8

1 1 0 -5+2+5-2 0

1 1 l -5+2+5+6

+5-2–5

6

y puede ser escrita en la forma

f(x i ,x2 ,x3 )= 2x,(1—x2 )+6xlx3 -5(1—x2)(1—x3)

f(x i ,x2 ,x3 ) = 2x1 -2xix2 +6xix3 —(5—5x,)(1—x3)

15

f (x,,x2 ,x 3 ) = 2x, -2x,x2 +bx,x3 -5+5x2 +5x3 -5x2x3

(44')

f(x„x2 ,x3 )=-5+2x,+5x2 +5x3 -2x,x2 +bx1;-5x2x3

sustituyendo x por(1-x).

La misma funcion tambien puede ser escrita en la forma.

(44") f(xx3 ,x3 )=-5 x x2 x3 3xi x2 x ; +$xx2 z ; + bx,xzx 3

la coal es obtenida 4e la tabla de arriba par aplicacibn de la propiedad 13.

Por la propiedad 1 .3 tenemos:

/

Qi

a.f(xl,x2, . . .,xn)—

~al, .. .q

xaz2 . . .x n

al .a2, . . .Ra

(xl,-;z,x3)= E,f(a1,a2,a3 X' ' .xi'

f(x,x x )= -5x°x°x° -3x ' x°x° +8x'x°x ' +6&x'x lL

2~ 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 — 3

f(x 1 , x2 , x 3 ) = -5x1 x2 x3 - 3x, x2 x3 + 8x, x2 x3 +6x,x2x3

15

CAPITULO 2

SISTEMAS DE ECUACI©NES

Y DESIGUALDADES PSEUDO-$OOLEANAS

La necesidad de solucionar un sistema de ecuaciones y desigualdades

eon variables bivalentes. (O,1); resulta, par un lado del hecho de que los

modelos matematicos de algunos procesos economicos reflejan un sistema de

este tipo y, por otro lado del hecho de clue los mttodos descritos Para la

resolution de problemas bivalentes se basan en el conocimiento de familias de

soluciones y las restricciones.

Estudiaremos primeramente una desigualdad de la forma

(1) c1xl +c2 x 2 -~ . . . #cnxr � b

Reemplazando cede x, pare la awl c; < fl con (l- x,) ; y denotando

despues de esto la transformation de 1a nueva variable con Xj (*goal a x, si

e, ? 0, igual a it =1- x, si c, < 0); el termino fibre con d y reordenando las

variables, la desigualdad (1) puede Ilevarse a la forma

(2) +c,X2t . . .#cn . >_d

donde

(3) c, >_c 2 >_ . . .>_c,, >_{)

X,

si

0

x,1-x,<tit x,=1-x, , si c,<0

18

2.1 Solucidn de Base y Familia de Soluciones de una Desigualdad

Pseudo-Booleana

Definic Mn 2 .1 Una solucion S. =(X;, . . .,X;,)de la inecuacibn (2) va a

denominarse una solucion de base si para cualquier i eon X ; = l , el vector

X; __X; „D X;,, X„ j no es solucion de la desigualdad (2)_

Sea I el conjunto de indices i para los cuales X; = l y sea J un conjunto

que contiene a I: .ICI . Vamos a denotar eon F(S*, J) el eonjunto de todos los

vectores S(X1 , . . .,X,1) con is propiedad de que k = 1 para todos los je J, ias

otras componentes Xk (k e J) siendo arbitrarias (0 i 1).

Es evidente que cualquier vector S E F(S*, J) es una solucion de (2). El

conjunto F(S*, J) va a denominarse una farnilia de solo-clones de (2)

Para determinar todos las soluciones de base de la desigualdad (2)

vamos a aplicar respectivamente la siguiente regla:

1°) Si d 0 entonces la (mica solucion de base es X, = . . .= X„ =0.

2°)

Si d>0 y c1>_ . ..>_cpdc

entonces

(c) pare cuaiquier k € {1,2, . . .,p) ; el vector X k =1, X~ = 0 (j ~ k) es

una solucion de base .

19

(¢) las otras soluciones de base deben buscarse entre los vectores

n

que satisfacen X,= . . .=X,=0 y tc1Xf ?dJ=ptl

30) Si d > 0 , c, <d (i E (1,2, . .4 y yr, <d entonces no existe solucien.r=l

A

4°j Si d >0 , c, < d fie

y Ec, = d entonces la tnica solucit n de

base es X, = . . .= Xn =1 .

n

n

5°)

Si d>0, c; <d (ic {i, . . .n)) y Ec, >d y lrf Sd entonces lar=l

f-z

solucian de base debe busearse entre los vectores Clue satisfacen X, =

y en consecuencia

E cfXf d - c, .rz

b°)

Si d>0, c, <d (ie{l ._n}l y

>d lrf > d entonces debenf=z

Y

estudiarse separadamente los cases :

.6r1) X, =1 y en consecuencia Ec,,XJ ? d-c,

R

6r2) X, =0 y en consecuencia Ecf Xf a'J-2

20

Sean S,̀ = (X; , . . .,X;, ), (k a {1,2, . . .,K}), todas las soluciones de base de la

desigualdad (2) . Denotemos pars cada k con u(k) el ultimo lndice pan el que

la componente correspondiente de S; es igual a 1:

(4) X4,,., =1, Xk =0

(v > u(k))

Sea dt = (1,2, . . .,u(k)) . Entonces time lugar la siguiente afirmacidn;

Propiedad 2.1 : La familia de soluciones F(S;,J1 ), (ke{l, . . .,K}), contiene

todas las soluciones de la desigualdad (2) y ellas son dos a dos disjuntas.

2 .1 .1 Ejemplo I : Para resolver la desigualdad

(5) x1 +7x 2 +7x3 -2x, -9xs+3x 6 ?9

x, +7x, +7x3 -2(1-x,)-9(1-x 5 )+3x6 z9

x, +7x2 +7x3 +2x{ +9xj +3x6 ? 9+2+9=20

tenemos

(5 ' ) XI =xs, X2 =x2, X3 =x3 , X, =x4, Xs =xe, X4 =xa.

de donde obtenemos

(6) 9X1 +7X2 +7X3 +3X, +2X 5 +X6 20

Desigualdad que se encuentra en el caso 5° anterior, luego debe tenerse

X, =1, to que conduce a la desigualdad

21

(7) 7X2 + 7X3 +3X4 +2X5 +Xfi > I 1

que se encuentra en el caso 6' ; por consiguiente deben estudiarse

separadamente los casos.

a)

X2 =1

b)

X2 = 0

a)

Para X2 =1 obtenemos la desigualdad

(8) 7X3 +3X4 +2X5 +Xfi >_4

la cual estando en el caso 2° admite la solucion de base

X3 =1,

X 4 = X5 =Xfi = 0 . Asi que la primera solucion para (6) es

(1, 1, 1, 0,0,0)

Para estudiar el caso X3 =0, tenemos:

(9) 3X4 +2X5 +X6 4

Aplicando dos veces las conclusions del caso

X4 =1,

2X5 +X 6 (4—3)=1

(?apiicacion)

X6 1—2 = -1

(2' aplicacibn)

Xfi = 0

deducimos que (9) tiene la solution de base (Mica

=X3 =],

X6 = 0

La segunda solucion de (6) es (1, 1, 0, 1, 1, 0)

b)

Tomando para {7), A'2 =0 , obtenemos:

(10) 7X 3 +3X4 +2X5 +X6 z11

22

La aplicacion repetida de las condiciones del caso 5°

X s =1,

3X, +2X 5 + X6 4

(la aplicacibn)

X4 = I ,

2X5 + X6 ? 1

(r aplicaci6n)

X5 =1,

X6 >_ I - 2 = -I

(3° aplicacibn)

X6 = it

muestra clue la (mica solution de base de la inecuacibn (10) es:

X3 =X, =Xs =1 , X6 =0.

Asique la tercera solucibn de (6) es (1, 0, 1, 1, 1,0)

Par consiguiente la desigualdad (5) tiene las siguientes tres soluciones

de base:

X~ X2 X3 X4 Xs X6

1 1 1 0 0 0

1 1 0 1 1 0

1 0 1 1 1 0

Asi tenemos j; = (7 , 2, 3) y J2 = J3 = 11, 2, 3, 4, 5).

Volviendo a la desigualdad (5) y teniendo en cuenta (5') encontramos

en el siguiente tablero la familia de soluciones.

23

EJENPLO I

Figura 1

24

Sol . xi x2 x3x 4 x5x 6

1 - 1 0

- 1

-

2 - 1 1

0 1

1

3 - 0 0

0 1

1

Aquf, el guidn -, indica las variables arbitrarias de la familia.

El metodo anterior puede ser utilizado tambien para dar solucibn a un

sistema de ecuaciones o inecuaciones con variables bivalentes.

2 .2 Algoritmo de Tres Etapas pare solucionar Sistemas de

Desigualdades Pseudo-Booleanas (Piigina 82, [II ; (ver bibliografia)):

Etapa 1 : Al reemplazar las inecuaciones en las formas f > 0, g < 0, h 5 0

respectivamente por inecuaciones en las formas

f–10

-g-10,

–h?0

yala ecuacibnen la forma

e = 0 por el par de desigualdades e 0 y e � 0 se puede obtener un sistema

que contiene solamente ecuaciones de la forma

F?0

25

Etapa 2 : Sean x 1 , x2 , . . .,x11 las variables del sistema. Utilizando las relaciones

x, =1-x, y x~ =1—xj , podemos escribir cada inecuacibn del sistema de la

forma

(11)Cry

x; +C; x , + . . .+CL

?d '

donde x, ,. . . .x,, son aquellas variables x1 , . . .,x„ de las cuales la desigualdad

respeetiva depende efectivamente, x es x 6

, respetando la relation.

C;' 2C.' 2 ..2C zfl

ie11,2, . . .,n}

m5n

Etapa 3 : Se basa en la siguiente idea: Carla desigualdad considerada

separadamente se escribe en forma eanlnica con respecto a las variables x

contenidas en ella, de aqua que de las conclusions anteriores referentes a la

desigualdad, se deducen las conclusions referentes al sistema complete.

I or ejempiv, si cierta desigualdad del sistema no tiene solution, el

sistema es incompatible. En el mismo sentido vemos que si alguna

desigualdad tiene todas sus soluciones y algunas variables fijadas

=

= x7 ; entonces en cualquier solution del sistema (si el sistema es

compatible) las variables x , . . .,x,. deben tener los valores fijados

anteriormente .

26

2.3 Conclusiones Referentes a las Desigualdades del Sistema

En to cue sigue presentamos una iista de las conelusiones referentes a

la desigualdad

.e .(11) EC'y xy zd'

del sistema considerado . Aplicando sucesivamente estas conclusions, se

obtienen las soluciones del sistema inicial, agrupadas en dos conjuntos

disjuntos.

l°) Si d' <0 , la desigualdad es redundante, y asi ells puede ser eliminada

del sistema.

2°)

Si d' >0,

C1 � . . . � C,„,'. . . 2 C;~ z d' 2 Co,+n 2 . . . 2 C®, ) entonces existen las

siguientes (p+l) posibilidades a„_ .a,, f3_

.

.Xi, _ . . .=Xta-t>=0, xg = 1, xgt+ij= . . .x*=0

(k e {i,2, . . .,p})

son soluciones base de la desigualdad (11).

(~) Las otras soluciones de base de la desigualdad (11) deben

buscarse entre los vectores que satisfacen

,= . . .=x =0

y

cn xai=(a+H

3°)

Si d ' >0,

C'.<d' ,

(fe{1,2, . ..,m(i)}) y

(ak )

27

E4 <d', entonces la desigualdad y el sistema son incompatibles.J_)

4°)

Si d ' > 0,

<d' ,

(je (12,. . .,m(i)}) Y

TcnEc = d', entonces todas las variables x x,_ tienen valor fijado 1.

m(f)

5°)

Si d'>0,

(je(1,2,_ ..,m(i))) y E>d Yi-'

inn

-Se < d' , entonces la variable x 4 tiene valor l y, en consecuencia, las demas

=2

variables satisfacen la desigualdad

-(nLc x, � d' - c

*l )Si d' >0,

c9 <d',

(j e (1,2, . . .,m(i))) y Ec > d' y

£C„ � d' , entonces existen dos posibilidadesJ-2

((x,) x, =1, y, en consecuencia, las demes variables satisfacen la

desigualdad

n, ),cyx°->d'-c' ,

, .2

(a2 ) x4 = 0 y, en consecuencia, las demiis variables satisfacen la

desigualdad

28

e (I)

.

Ec .ry>d .J=2

Asi coma se ve, existen situaciones en las que algunas variables son

fijadas (conclusiones (4°) y (5°), otras en las que el sistema no tienc solution

(conclusidn 3 0), otras en las que la desigualdad considerada es redundante

(conclusion (1°)) ., todos estos casos se Haman determinados . Existen

situaciones en las que practicamente no disponemos de ningun tipo de

information (conclusion (6°)), asi que estamos obligados a dividir la discusibn

en otras dos conclusiones (v, y 62)., estos eases vamos a llamarios no

determinados . Finalmente, existen situaciones en las que la discusien debt

dividirse en (p + 1) opciones con information creciente (conclusidn (2°)) .,

estos casos se Haman parcialmente determinados.

Orden preferential Conclusiones Caso

i ( i °), (3°), (4°), (5°) Determinado

2 (2°) Parcialmente determinado

3 (6°) No determinado:(lndeterminado)

La tercera etapa (etapa 3) del proceso de resolution de sistemas de

inecuaciones continua asi :

29

Si algunas desigualdades pertenecen a algunas casos determinados,

entonces obtenemos todas las conclusiones posibles y las confrontamos . Dos

situaciones pueden aparecer: que exista alguna desigualdad sin solucion, o

que dos desigualdades diferentes conduzcan a conclusiones incompatibles

x, = I y x i = 0, entonces el sistema es incompatible. En los otitis cases los

valores de ciertas variables son determinados y esto nos conduce a un sistema

de dimensions m's pequeftas que debeinos examinar posteriormente.

Si ninguna tie las desigualdades se encuentra en los cast's determinados,

pero existen desigualdades en los cases parcialmente determinados, entonces

seguimos con las conclusiones correspondientes a una de las desigualdades de

este caso . Parece ventajoso que se elija aquella desigualdad en la que p es el

mayor .

En fin, si todas las desigualdades se encuentran en los cases no

determinados, bifurcamos la discusion con respecto a una de las variables;

parece ventajoso que se elija la variable que aparece con coeficiente mds

grande en el sistema.

Queda claro entonces que el proceso anterior conduce a todas las

soluciones del sistema de desigualdades lineales con variables bivalentes

considerado .

30

Por supuesto, el sistema anterior puede ser enriquecido con reglas

suplementarias con miras a acelerar Ios calculos . Sin embargo, en el ejemplo

que sigue nos hemos abstenido de mode consistente de la utilizacicn de

observaciones directas, pars ilustrar nada mils la esencia del proceso.

Observation: Las familias de soluciones obtenidas anteriormente

corresponden a caminos distintos en el sistema de soluciones, y asi, ellas son

dos a dos disjuntas.

2 .3 .1 Ejemplo II: Consideremos el sistema:

(12 .1) x, - 3; +12x3 +x5 - 7; +x 7 -3x,, +5x„ + x13 -6 2 0

x, -3(1- x3)+12x3 +is -7{1-x6 )+x7 -3(1-x,o)+5x11 +272 -6>-0

x, -3+3x2 +12x, +x5 -7+7xb +x7 -3+3x10 +5x 11 +x12 -S>0

x, +3x2 +12x3 +x5 +7x6 +17 +3x10 +5x11 +x12 >19

(13 .2)-3x,+7x1 -x,-fix,+10

-3(1-x,)+7x3 -(1-x4 )-6(1-x5 )+120

-3+3x,+7x1 -1+x4 -fi+6x5 +10

3x,+7x,2 +x,+6x5 z9

(12 .3)-11x1 -x3 +7x4 +xs 5x9 -9x11 -40

31

- 11(1-xl)-(1-x;)+7x4 +x5 -2(1-x,)-(1-xg)+5x9 -9(1-x„)-4>>-0

- 11+iix,-1+x3 +7x, +x6 -2+2x,-1.+x8+5x9 -9+9x„-41. 0

11x,+x3 +7x4 +x6 +2x7 +xg+5x9 +9x—n >28

(12 .4)—5x2 —6x,+12x5 —7x6 —3x8 —x9 +8;, -5x,2 +820

-5(1-x2 )-6(1-x3 )+72x3 -7(l —xb )—3(1 —x8 )—(1—x9 )+8x10 -50 -x14 )+820

-5+5x2 —6+6x 3 +12x5 -7+7x6 —3+3xg —1+x9 +8x14 -5+5x72 +820

5x2 +6x3 +12x5 +7x6 +3xg +x9 +8x 10 +5x12 219

(12 .5) 7x1 +x2 + 5x 3 — 3x 4 — x 5 + 8x6 + 2xg — 7x9 — x10 + 7x12 — 7 0

7x1 +x2 +5x3 -3(1—x,) —(1—xs)+art, +2x8 -7(1 — x9 ) —(1—x10)+7x12 -7 20

7x1 +x2 +5x3 -3+3x4 —1+x5 +8x6 + 2; -7+7x9—1+xle+7x12 -7 2 0

7x1 +x2 +5x3 +3x4 +x5 +Sxb +2x8 +7x9 +xi0 +7x12 > 19

(12 .6) 2x, +4x4 +3x,+5xg+x9 —x 11 —x1i —4 ?0

2x,+4x4 +3x7 +5x15 +x9 -(1-x11 )-(1-x12 )-420

2x, +4x, +3x, +5; + x9 -I+x71 -1+x12 -4 z0

2x 1 +4x,+3x 7 +5x8 +x9 +xil +xi2 ?6

clue puede ser Nevado a la forma equivalente

32

(13 .1) 12x3 +7x6 +5x11 +3x2 +3x10 +x,+x3 +x7 +x12 ?19

(13 .2) 7x 2 +6x5 +3x1 +x, ?9

(13 .3) 11x 1 +9x11 +7x4 +5x9 +2x7 +x3 +x6 +x8 ? 28

(13.4) 12x 5 +8x,0 +7x6 +6x3 +5x2 +5x12 +3 ;+x9 219

(13 .5) 8x6 +7x, +7x9 +7xi2 + 5x3 + 3x4 + 2x8 +x2 + xs + x,o >19

(13 .6) 5x8 +4x, +3x 7 +2x, +x9 +x11 +x{2 ?6

Observamos que, siguiendo el order preferencial, ninguna desigualdad

de este sistema se encuentra en los eases 1°, 3° o 4°. Sin embargo,

observamos que is desigualdad (13 .3) esta en el 5° caso implicando

x, =1, o sea xi = 0 y que 9x„+7x,+5 ;+2x3 +x3 +xt; +xi ?17.

Introducimos este valor en el sistema y observamos que ninguna

desigualdad se encuentra en algun caso determinado ; la relacitin (13 .2) se

reduce a:

7x 2 +6x5 +x4 ?6

que se encuentra en el caso 2° . Se deben considerar las siguientes tres

alternativas:

a,) x2 = i

33

a2 ) x2 = d,

x5 =1

Y2) x2 = x5 =0 y x, � 6, to cual es imposible, luego esta alternativa se

elimina .( =)

Iniciemos con la alternativa a,) que implica la verificacion de la

desigualdad {13 .2) y x 1 = 0, x2 = 1 . Estes valores reducen la desigualdad

(13 .1)a

12x 1 +7x4 +5x+3x1fl +xs +x, +x,2 ? 19

y se encuentra en el caso 5° implicando x 3 = 1 y que

7x-6+5x, 1 +3x1° +xs +x, +x1 , ?7.

Los valores x i=0,x2=1,x3=1 reducen (113) a la desigualdad

9x11 +7x 4 +5; +2x7 +x6 +xe >17

que esta de nuevo en el caso 5° implicando x„ =1 a =0 y que

7x4 +5x9 +2x7+x6 +xs ?8.

Ahora la desigualdad (13 .1) se reduce a

7x6 +3xi° +x5 +x, +xi2 ?7

que de nuevo en el caso 5°, implica =1 c x 6 = 0 y que 3x, .° +x5 +x, +x12 ? 0.

La desigualdad (13 .1) se transforma en

34

la cual es una desigualdad redundante por caso 1° (*), y asi el sistema (13) se

reduce a.

(14.0)x4 =x~ =x11 =0

x 2 =x 3 =1

(143) 7x 4 +5x9 +2x,+x8 >8

(14 .4) 12xs +8x14 +5+3.+. 9 12

( 4 .5) 7x9 +7x11 +3x4 +2x8 +xs +xlo ? 13

(14 .6) 5x 8 +4x4 +3x,+x9 +x12 5

Las desigualdades (14.4) y (14 .6) estan en el 2° caso, mientras que

(143) y (14 .5) pertenecen al caso 6°.

Efectuando la bifurcacibn que resulta de (14 .6):

a') x8 = 1

y

4x4 +3x, +x9 +x12 ? 0 que es una desigualdad

redundante(*)

if) x8 =0

Y

4; +3x, +x 9 +x32 ? 5

En la alternativa a', la desigualdad (14 .3) se reduce a.

3x4 + 5x9 + 2 x, >_ 8

que se encuentra en el case 5°, implicando x4 =1 y 5; +2x, � 1.

35

UNIVERSIDAD DE PANAMA

13T BLIOTECA

Por consiguiente (14 .5) se transforma en:

7x9 +7x12 +x5 +x10 211

y por eso (caso 5°), x9 =1

y

7x,2 +x5 +x10 >_ 4

Esta ultima desigualdad se encuentra en el caso 5° nuevamente, implicando

x12 = 1, y que x,+ x, o >_ -3, desigualdad del case 1° redundante (*).

Ahora (14.3) se transforma en

2x, 21

yluegox,=icx,=0.

Mks adelante (14.4) se transforma en

12x 5 +8x,0 211

que el caso 5° implica .x5 =1 y 8x,o 2 -1, que en el caso 1°, implica que x,o es

arbitrario, es decir, x,0 = 0 6 x,o =1.

Estos valores satisfacen el sistema (14), mostrando que hemos encontrado las

siguientes soluciones de (13):

(15) x isx 7= 1

x3= 1

x4= l

x5=1

x~l

x7 t)

x8=1

xy~

xiD arbitrario xi i0

X12= 1

En Is alternativa if, x8 3, la desigualdad (14 .5) se transforma en

7x9 +7x12 +3x4 +x5 +x10 213

36

que se encuentra en el caso 5°

implicando x9 =1 c) x9 =0

y

7x 12 +3x4+x5 +x,o >>6

la cual otra vez en el caso 5° implica

x12 = 1 y 3x4 +x3 +x10 � -1, Is cual results ser una desigualdad redundante por

el caso I° (*).

Mss adelante (14 .6) se transforms en

4x4 +3x, ? 5

que en el caso 5° implies

x4 =1 y 3x, z 1, iuego x, =1

Ademas se satisface (14 .3) pars x80, x90, x4=1, x7= 1.

Entonces las desigualdades (14 .3), (14.5) y (14 .6) son verificadas, asi el

sistema (14) se reduce a (14 .4) el cual se transforma en:

12x5 +8x10 ? 8

Esta desigualdad en el caso 2° se resuelve tomando ya sea (x5=1), v (x5D y

x 1 o=1). Se obtienen asi las siguientes soluciones del sistema (13):

(16) xi=O

x2= 1

x3= 1

x4=1

x$=1

x6 2)

x7= 1

x84l

x9 9

xio arbitrario

xi1=0

ziz= l

Y

37

(

(17)

x 1 0 x2=1 x3=1 x4=1 x5

Z) x =O

x7=1 x8=0 x9=0 xlu= 1 xn) x12= 1

Queda por estudiar la alternativa rx, : x2 = 0, x5 0

(17.0) x 1 = x2 = x5 Al

17.1)12x,+7x6 +5x„+3x7-0 +x7 +x,2 >16

(17.3) 9271 + 7x, +Sx9 +2x,+x,+x6 +x, 217

(17.4) 8x,o +7x— +6x3 +5x,2 +3x3 +x9 � 14

(17.5) 8x6 +7x9 +7x, 2 +5x, +3x,+2x3 +x1D 218

(17 .6) 5x3 +4x4 +3x,+x,+x„+x12 >_6

Teniendo en cuenta que todas estas desigualdades se encuentran en el

caso 6°, debemos hacer una bifurcacion, para la cual partimos de la variable

xa , o sea.

x3 =1

y

a2 ) x3 =0

En la alternativa o , tenemos x,, =1 y por to Canto (17 .6) pasa a ser

4x 4 +3x, +x9 +x„+x12 2 1 y (17.3) se reduce a

9x, t +7x4 +5x9 +2x7 +x3 +x6 217

38

que se encuentra en el caso 5° e implica x„ = 7 r* x„ = 0 y consecuentemente

7x4 +5x9 +2x7+x3 +x6 ? 8 .

Despues (17 .1) se transforma en

12x 3 +7x6 +3x10 +2, +x12 a16

implicando (caso 5°) x3 =1 y que 7x6 +3x10 +x, +x12 ? 4.

Ahora la desigualdad (17 .4) deviene en

8xi6 +7x6 +5x12 +x9 ?14

mplicando asi (caso 5°) x, 6 =1 y 726 +5x, 2 +x9 6.

luego (17 .1) queda come, sigue

7x6 +x, +x, 2 > 4

que se encuentra en el caso 2° . Considerando x6 = 0 implica x, +x12 >_ 4

desigualdad sin solucidn (*); luego tenemos que tomar x6 =1 ; la desigualdad

(17A) se verifica de esta forma.

Ahora (173) se transforma en

7x4 +5x9 +2z, Z8

que se encuentra en el ease 5° e implica x 4 =1 y consecuentemente

5; +2x, ? 1, la cual en el caso 2° implica

39

(x9= 1 y x, = 0) b (x9=0 y x, =1)

Mas adelante la desigualdad (17.5) se reduce a

7x—9 + 7x12 ? 11

que en el caso 50 implica x9 = l p x9 = 0 y 7x 2 4 ; o sea x12 =1

Ahora 1a desigualdad (17 .3) queda 2x, ? 1 to cual implica x, =1

Los valores asi encontrados satisfacen el sistema (17), de donde resulta

que hemos encontrado la siguiente solucion del sistema (13):

(18) x1=0

x2=0

x3= 1

x4= 1

xs~l,

x iskl

X7. 0

xg= l

x9=O

x10= 1

xll~l,

x17=

En la alternativa Q2 ) x8=0, todas las desigualdades de (17) se

encuentran en el caso 6° ; vamos a bifurcar la discusion con respecto a x 11 :

c1)xg=0,

x 11=1

=x„ =0

En la alternativa v ; ), la desigualdad (17.3) queda en

7x,+5x9 +2x,+x3 +x6 216

to que implica (caso 4°) x, = x9 = x, = .x, = x6 =1, de manera que (17.1) se

reduce a is desigualdad

3x, o+x12 21I

40

que es incompatible.

Queda estudiar is altemativa c) en la que (17 .1) se reduce a.

12x3 +7x6 +3x10 +x7 +x,2 216

e implica (caso 5°), x3 =1 y consecuentemente 7x 6 +3x19 +x, +x,= 2 4.

Por consiguiente el sistema (17) se transforma en:

(18.0)x 1 =x2 = x5 =x8 =x i1 =0, x 3 = 1

(18 .1) 7x6+3x,0+x7 +x12 2 4

(18 .3) 7x9 +5x9 +2x,+x6 2 7

{18 .4) 8x, 9 +7x 6 +5x, 2 +x9 11

(18 .5) 8x6 +7x 9 +7x12 +3x,+x, 9 213

(18 .6)4;+3x7 +x9 +xi2 25

Observamos que las desigualdades (18 .1) y (18.3) se encuentran en el caso 2°,

mientras que las desigualdades (18 .4), (18 .5) y (18 .6) se encuentran en el case

6°.

lniciemos la bifurcacinn a partir de x6.

Si x, =1, entonces (18 .1) se transforma en

3xi9 +x, +x{2 2 4

41

luego (case 5°), x10 =1 y x7 +x12 1.

Al tiempo que (18 .4) se reduce a

5x,2 +x9 >-11

que se encuentra en el case 3°, desigualdad sin solucion, per to que esta

desigualdad y el sistema son incompatibles.

Si x 6 = 0, la desigualdad (18 .5) se reduce a.

7x9 +7x12 +3x,+x10 >13

implicando (case 50), x9 =1 y

7x12 +3x,+x-m >6

o sea (case 2°), x, 2 =1, 3X-4+ x--, 9 ? -1 (case 1°, desigualdad redundante).

Ahora (18 .3) se transforma en

7X, +2x7 z 7

y ]uego x4 = 1, mientras que (18,4) se reduce a 8x 10 � 3

implicando x10 = 1 . Mss adelante (18 .6) se transforms en 3x 7>- 1, o sea, x? = 1.

Estes valores satisfacen el sistema (18), asi que se ha obtenido la ultima

solution del sistema (13) :

42

(19) x l = 0, x2 = 0, x3 = 1, x4 = 1, x5 = 0, x6 = 0,

x~ = 1, x8 = 0, x9 = 0, x10 = 1, x1 = 0, X12 = 1

Por consiguiente, el tablero de todas las soluciones del sistema (13) que.

es equivalente al sistema (12), es el siguiente:

XI X2 X3 X4 X5 X6 X7 Xg X9 X10 Xl1 X12

0 1 1 1 1 0 0 1 0 _ 0 1

0 1 1 1 1 0 1 0 0 _ 0 1

0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1

0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1

0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1

2.4 Observaciones respecto at volumen de los calculos

Siguiendo las etapas del proceso en el arbol de la Figura L, Ilegamos a

las siguientes conclusiones :

43

EJEMPLO 11

IX 1

X9° 0 i

S. I. : Sistema Inconsistente3 : Soluciones del Sistema

Figura 2

44

Se ve en que en lugar de hacer 2 12 = 4096 intentos, el proceso anterior

nos ha permitido encontrar todas las soluciones pasando por 40 nodos del

arbol considerado . Tambien se ve que de los 7 caminos seguidos, 5 nos han

conducido a soluciones del sistema, y que nada mas 2 caminos han conducido

a busqueda infructuosa . El caso menos favorable (la bifurcacidn) ha aparecido

en total cinco veces, 6 de los nodos alcanzados por los caminos en el arbol

considerado no tenian que ser examinados (*), pudiendose pasar directamente

a Ios nodos siguientes.

Posteriormente veremos (Ejemplo V) que en el caso en que tengamos

una funcion que optimizar, estos calculos se simplifican mucho mas.

45

CAPITULO 3

PROGRAMACION PSEUDO-BOOLEANA

PROGRAMAC[ON PSEUDO- BOOLEA NA

3.1 Mftodo Pseudo-Boolean

La minimizacibn de funciones con variables bivalentes

(20) err, + . . .+c„x„

se efectua sin ninguna dificultad . En efecto, los puntos se obtienen haciendo

1 si c, <0

(21) x,= 0 si c,>0

p, si c, =0

dondep; es un parametro arbitrario en el conjunto (0, 1).

3.1 .1 EJemplo HI : Los puntos de minimo de la funcibn con variables

bivalentes

(22) 2+3x3 —2x2 —5x3 +2x6 —x7

son

(23) x, = 0, x2 =1, x3 =1, x4 = pa, xs = ps, x6 =0, x7 =1

donde p4 y ps son parimetros arbitrarios con valores 0 0 1.

Luego, el valor minimo de la funcion (22) es -6.

La minimizacibn de funciones con variables bivalentes

(24) f(x,,._.,x„)= f(X)=c,x,+ . . . .+

que satisfacen inecuaciones, se puede efectuar de modo similar.

Mas exactamente, podemos efectuar los siguientes pasos:

47

(1) La determinacion de las soluciones del sistema de restricciones

agrupadas en familias de soluciones F i , . . ., F.

(2) Para cada familia de soluciones Fk, 1a determinacion de los valores

(25) min f(X)

y de los puntos X° e F# para los cuales

(26) f(X°)= min f(X)AEr,

(3) La determinacion (por verificacion directa) de los valores

(27) min3

min f(X)KEF,

y de los puntos X* pars los cuales

(28) f(X*)= min min f(X)kep p a er,

Queda ahora indicar, el modo de efectuar el paso (2).

Los vectores X= (x i , . . . . xn) que aparecen en la familia de soluciones Fk

son caracterizados por el hecho de que los valores x; son fijados pars los i que

estan contenidos en cierto conjunto de indices 4:

(29) i e I r implica x; = xi fijado en 0 6 en 1 ; mientras que xj queda

arbitrario part j I k .

Razonando como en el easo anterior, es facil ver que los puntos X° que

satisfacen (26) son dados de la siguiente formula:

48

si t e ik

(30) x,= 1si iElk

yc,<0

0 si iClty c,>0

P, si felt

y c, =0

donde los p i son parnetros arbitrarios con valores en el conjunto (0, 1 }.

3.1 .2 Ejemplo IV : Minimizar la funcidn

(31) 3x 1 - 5x2 + 3x4 - x5 + 8x6 + 2x 7 + 4x10 + x11 - 3x12

con las condiciones dadas por el sistema de inecuaciones (12), resuelto

anteriormente en el Ejemplo 11.

(12 .1)x 1 –3x2 +12x3 +x5 -7x6+x2-3x10 +5x11 + x12 – 60

(12 .2)-3x 1 +7x2 -x4 -6x 5 +1 0

(12 .3)-11x 1 -x3 +7x4 +xb -2x7 -xs+ 5xy - 9x1i -4 ? 0

(12 .4) -5x 2 -6x, + 12x5 -7x6 -3x8 -x, +8x,,, -5x12 +8 2 0

(12 .5) ix, +x2 +5x3 -3x,-x5 +8x 6 +2x8 -7x9 -x,p+7x12 -7 -0

(12 .6)2x,+4x,+3x.,+5x8 +x9 –x1i –x12 -4 ?0

Reemplazando, en el tablero del ejemplo II, las soluciones encontradas

que indican el hecho de que ciertas variables eran arbitrarias en una familia

dada, con los valores de estas variables dadas por (30), obtenemos

49

Sol . xl x2 x3 x4 x3 x6 x7 xg x9 x1D xll x12 Valores de (31)

i 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 -6

2 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 -4

3 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 +1

4 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 +4

5 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 4-6

Luego, el minimo buscado es -6 y el punto minimo es

(32) xi = 0, x2 = 1,x3 = 1, x4 = 7,x5 = 1, x6 = 0,x7 = 0,x8 = 1,x9 = 0,

xlo = 0,xl l = 0,x 12 = 1

X"=(0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1,0,0,0, I)

3.2 Prescripciones para acelerar el proceso

El proceso anterior puede ser bastante acelerado aplicando las

prescripciones que siguen:

3.2.1 La introduccibn de algunas restricciones suplementarias

Vamos a partir de la observacibn simple de que una vez que

conozcamos los valoresfo de la funcion que se va a minimizar en un punto

(xl, . . .,xn) que satisface las restricciones, no nos interesan aquellas soluciones

50

del sistema de restricciones en las que la funcion se optimiza con valores

menos eficientes ; o sea Para fo, en el caso de minimization, con valores mks

grander . Para validar esta idea podemos proceder como sigue:

Agregamos al sistema de restricciones la condition ftX)5 fo, dondefo es

el margen superior de la funcion f, por ejemplo la suma de los coeficientes

c, > U. Es decir, si conocemos desde el principio el punto (x i, que

satisface las restricciones, vamos a tomar directamente como fo el valor de la

funcion f en este punto. Si no nos interesa determinar todos Ios puntos de

Optima sine uno solo, entonces en lugar de f(X)<_ f, vamos a introducir la

restriction J(X)<fo.

La restriccion suplementaria es ilevada a is forma canOnica

g(X)=bax,+ . . .-i-b, x, >_do

Vamos a observar que el minimo de la funcion fdifiere de —(maxima de

la funcion g) por una constante aditiva, luego el problema nuestro es

equivalente al de maximizar la funcion g(X) eon respecto a las mismas

restricciones.

Despues que hemos encontrado la primera familia de soluciones Ft,

buscamos el minimo de la funcion f relativo a esta familia (los puntos en los

cuales el es alcanzado); sea este minimof,.

51

Reemplazando la restriccion ,J(X) 5 fi (restriccion f(X) < fe) por la

restriccion f(X) <— fi (con f(X) < fi) ; la cual Ilevamos a la forma canonica

g(X) ? di , despues de to cual continuamos el proceso de bifurcaci6n asi como

to aplicamos al mismo sistema. Cada vez que encontramos nuevas soluciones

—no necesariamente las mds buenas - procedemos igual.

Cuando el proceso de bifurcacien termina, la ultima solucion

encontrada es ademes el optimo buscado.

3 .2.2 La deceit's' del orders de bifurcacidn

Cuando nos encontramos en uno de los easos de no determinacidn o de

determinacion parcial (6°, 2°), vamps a hacer una bifurcacien a partir de

la variable x~. que es la primera en la restriccion suplementaria

g(A) > d, o sea vamos a tomar primero x,; =1, y despues, xy = 0.

3.2.3 El test acelerador

Sean x; , . . .,x;. , las variables asi como aparecen en la restriccion

g(X) d. Supongamos que to ultima bifurcacion antes de to ultima solucion

encontrada, ha sido con respecto a to variable x;; y ha resultado (por 3 .2.2)

xn =1 . Sea H (sea K) el conjunto de aquellos indices h (indices k) con las

52

propiedades de que despues de la bifurcaciOn ha resultado x,h =1 (ha resultado

x,k =0). Cuando vamos a explorar la rama xy =0, es seguro que la funcibn

g(X) cae en el valor by y en el mejor de Ios casos, crece con el valor

Eh, (suponiendo, luego, el hecho de que todas las variables x, h (h e H) quedankeK

en 1 y que todas las variables x,k (k E K) se transforman en 1) . Por consiguiente

si

(33) by > Eby,keK

es seguro que la rama xy = 0 conducird a una solucibn menos eficiente por to

que no vamos a explorar esta rama.

3.3 Ejemplo V: Volvamos al ejemplo IV aplicando Ios procesos

aceleradores '.., .2 .1, 3 .2.2 y 3 .2 .3) anteriores . Un margen superior de la

funcibn econbmica (31) es la suma de los coeficientes positivos 3 + 3 + 8+ 2

+ 4 + 1 = 21 . Vamos a agregar entonces la restriccion suplementaria

(34) 3x, -5x2 +3x4 —x 5 +8x; +2x, +4x10 +x11 -3x12 <— 21

que Ilevada a la forma canonica queda como sigue:

3x, -5(1-x 2 )+3x4 -(1-x,)+8x,;+2x,+4x,,+x„ -3(1-x, 2 )<21

3x1 +5x2 +3x4 +x5+8x6 +2x1 +4x10 +x11 +3x12 <30

53

(34.0) 8x6 +5x2 +4x,0+3x 1 +3x4 +3xi2 +2x7+x, +x11 ? 0

Como en el ejemplo II, deducimos que x 1 = O.

Sigue despues la primera bifurcacion, segun el criterio 3 .2 .2, para

xb =1 y el sistema deviene en:

1') 12x 3 +5x11 +3x2 +3x10 +x5 +x7 +x12 ? 12

2 ') 7x2 +6x5 +x4 >_6

3 ' ) 9x11 +7x4 +5x9 +2x7 +x3 +x8 ?17

4') 12x, +8x10 +6x3 +5x2 +5x12 +3x8 +x9 212

5') 7X 9 +7Xi2 +5x3 +3x4 +2x8 +x2 +x5 +x10 ? 19

6 ') 5x8 +4x4 +3x,+x9 +x11 +x12 z6

La tercera mecuacion (caso 5°) implies x„ =1, lo que reduce la primera

inecuackin a

12x3 +3x 2 +3x10 +x 3 +x,+ xu >12

que por el case 5° resulta x, =1 y 3x 2 + 3 x1o + x 5 + x 7 +x 12 ? 0 .

Como la primera inecuacion es resuelta, el recto del sistema se reduce al

siguiente :

54

2') 7x2 +6x5 +x4 ?6

3') 7x4 +5x9 +2x,+x8 8

4') 12x5 +8xl0 +5x2 +5x,2 +3x8 +x9 212

5') 7x9 +7x,2 +3x4 +2x8 +x2 +x5 +x10 14

6') 5x8 +4x4 +3x, +x 9 +x12 ? 5

Ninguna de las inecuaciones esta en un caso determinado . Vamos a

hacer entonces una nueva bif rcacibn tomando x2 =1 . La primera inecuacibn

es entonces resuelta y ias otras quedan en casos no determinados . Hacemos

entonces una nueva bifurcacibn tomando x10 =1 . El sistema queda come

sigue :

3 ' 1 7x4 +5x9 +2x,+xs ?8

4') 12x 5 +5x,2 +3x8 +x9 ? 12

5') 7x9 +7x12 +3x4 +2x8 +x5 ? 12

6 ') 5x, 1 +4x 4 +3x7 +xg +x,2 ?5

De is segunda restriccibn (caso 5°) resulta ahora x5 =1 ; to que resuelve

esta inecuacibn y deja las demas sobre los otros cases no determinados.

55

Hacemos aim otra bifurcaci6n : x, =1 . Entonces la primera inecuacion

implica que x9 = x, = x8 =1 ; de donde la ultima inecuacion queda en x12 ? 4 la

coal no tiene soluci6n.

Volvemos a la ultima bifurcacion, tomando x, =0 . El sistema deviene

en :

3') 5x9 +2x,+x8 1

5') 7x9 +7x,2 +2x8 >12

6') 5x 8 +3x,+x9 +x12 1

La segunda inecuacion (caso 5°) implica x9 =1, de donde 7x12 +2x8 > 5;

que en el caso 5° implica x, 2 =1 y 2x2 -2 , to que resuelve la inecuacion y

reduce las otras a lo siguiente:

3') 2x-,+x-8 ?1

6')

5x8 +3x, ? 1

Hacemos una bifurcaci6n tomando =1 (conforme al criteria de

bifurcaciOn con respecto a la funcion objetivo) . Resulta x8 =1 y el sistema se

ha resuelto. El valor de la funci6n econ6mica es

56

(35)

X1

X2

x3

X4

X5

X6

X7

x8

X9 x10 x11 x12

,j(

0,

i,

i,

i,

1,

0,

0,

1,

0,

0,

0, i

)=-6

Entonces agregamos la restriccion j(X) S -6 que, Nevada a la forma

cantnica, deviene en

(34.1) 8x6 +5x2 +4xia+3xi +3x4 +3x12 +2x,+x 5 +xii 2 27

De la ultima bifurcacihn con respecto a x, , tenemos b, =2, K = 4,

luego la condicidn (33)

(33) bf >„

kEl:

se cumple y conforme al test acelerador no vamos a explorar x 7 = O.

La bifurcacion anterior respecto a x, es completada.

En la bifurcacion anterior con respecto a x, a ; tenemos que alli b10 =4,

K = $, luego de nuevo el test acelerador nos muestra que no debemos

investigar las ramas xi0 = 0.

La bifurcacidn anterior respecto a x2, se encuentra en la misma

situacion (b2 = 5, K = 4), luego no vamos a investigar x 2 = 0.

57

La bifurcacibn anterior es con respecto a xb y se encuentra en la misma

situaci6n (b6 = 8, K = .)„ es decir, no vamos a explorer x6 = O.

Asi, gracias al test acelerador, sabemos que el proceso de bifurcacidn se

ha terminado, sin tener necesidad de utilizar la restriccion suplementaria

(34 .1) .

La (mica soluci6n es (35).

El arbol asociado al problema descrito es el de la figura 3 y se pueden

seguir alli, de mode sintetico, los c6lculos del ejemplo V.

Aqui S significa soluciones del sistema de restricciones, N muestra que

no tenemos soluciones y T que la rama respectiva no ha sido explorada, como

lo indica el test acelerador .

58

EJEMPLO V

X1 )

X,=1

X,o =

X,o =

x7_

Figura 3

XE =

X„ =

Xfi = 0

S:&Auden del slate= demsniooiones

N. No l mes solucicmT:Rama no explorada

59

CAPITULO 4

APLICACIONES

API.] CA 0 ONES

4.1 Ejemplos

4.1 .1 Ejemplo VI : Para el desarrollo de una industria esta asignada una suma

S . Existen n proyectos que pueden contribuir a la realizacion de este

proposito. Cada proyecto j necesita una cierta inversion denotada I j y

suministra un cierto beneficio bj por aflo. El plan prevee la realizacion de una

produccion de al menos fl unidades anuales.

El proyecto j permite la realizacion de una produccion anual gr. . La

realizacion del proyecto j requiere importar equipo con valor vJ; la cantidad

total de importacion admisible para el desarrollo de la industria que nos

interesa es V . Se pide tomar una decision : t,cuales de entre los proyectos

posibles van a ser puestos en practica, de tal manera que, respetandose las

condiciones impuestas, se alcance el beneficio maximo?

Para resolver este problema asignamos a cada proyecto j (je {1, 2, . . .,n})

una variable xi que va a tomar valor 1 si el proyecto se ejecuta y 0 en el caso

contrario.

El problema se traduce en la siguiente forma:

Encuentrese el maximo de la funcion

max Ebj xjj .l

61

con las variables bivalentes x 1 , . . ., xH ; y las supuestas restricciones

n

J xJ SJ-I

i-I

4.1 .2 Ejemplo VII: Vajda examina el siguiente problema:

En cierta region geografica accionan n emisiones de television por m

canales . La election de los canales que emiten diversas estaciones debe

hacerse de tal manera que Ias acciones con zonas comunes de emisiones

funcionen en canales diferentes.

El primer problems que se presenta es determinar atribuciones de los

canales a las emisoras.

Se supone ademas que despuds de un tiempo, el emisor (n+l) empiece a

funcionar . El problema se presenta en la siguiente forma : tcomo se atribuyen

62

los canales aI emisor de tal manera que el numero- de canales que se cambian

at canal de Ia emision sea minimo?

Figura 4(Ejemplo de cinco-emisiones por 9-canales)

Denotando i (ic {1,2, . . .,n}) las emisiones, con je {1,2, . . .,m} Ios canales,

poniendo v ;k = 1 si no existe- alguna region donde accionan ambas emisiones y

vik = 0 en caso contrario; haciendo a 1 = 1 si al comienzo del proceso de la

emision i acciona el canal j, y au = 0 en caso contrario, poniendo- finalmente

xu = 1 si despues de entrar en funcionamiento eI nodo- emisor (n + 1), la

estacion i emite sobre el canal j, y, xu = 0 en caso contrario, Ilegamos al

siguiente problema :

63

Que se determine la variable bivalente x ;j que maximiza la funcien.

n+l

E Ea,xy1 =i

i=l

y satisface las condiciones

(ie.{1,2, . . .,n+1})

Cadaemisien i emite en forma

exclusiva sobre un area en unsolo canal].

x +x . <_1+v k(i

+1}

ke{1,2,. . .,n+l}Existe una sola emisi6n sobre el

canal j.

La funci6n que se va a maximizar nos indica el mimero de emisiones en

que no se cambia el canal que emite.

4.1 .3 Ejemplo VIII: La fabricaci6n de n productos diferentes 1, 2,, . ., n

necesita la utilizaci6n de m maquinas 1, 2, . . ., m; mks precisamente, ponemos

a;, = 1 si la fabricaci6n del producto i necesita la utilizaci6n de la maquina j,

y hacemos au = 0 en caso contrario. Sea p, el precio de yenta de la cantidad de

producto i fabricado en cierto periodo de tiempo y qh el precio de explotaciGn

de la maquina j en el periodo respectivo.

Hacemos x, = I si el producto i es el que se va a fabricar y x; = 0 en

caso contrario. Ponemos yl =1 si la maquina j es utilizada en el proceso

y yJ = 0 en caso contrario.

64

El problema de determinar el plan que asegura un beneficio maximo

consiste entonces en determinar las cantidades x, y yi que maximizan la

expresidn

a

P+ x+ — E g1y 1

satisfaciendo siempre las condiciones:

Cualquiera que sea i ( {1,2, . . .,n}), si xi = 1 entonces existe al menos un j;

je {1,2, . . .,m})tal que

a . . = 1

y

En otras palabras, el problema se puede tambi$n formular como sigue:

Que se determine los valores de las variables bivalentes con valores en

el conjunto {0, 1) ; xi, yi que satisfacen las condiciones.

m

(i

{1,2, . . .,n})

y que se maximice en estas condiciones la expresi6n

Ep,x, - D imyl

EaiiY;

Proceso de fabricaci6n delProducto i con la utilizaci6nmaquina j .

x,

Se va a fabricarel producto i.

Al menos una maquina j es usadaen la producci6n de i .

?0

65

1 .

Ejemplo IX : Para la conversion del IDAAN en una entidad moderna,

eficiente y productiva esta asignada a una suma S y existen al menos 10

proyectos que pueden contribuir a la realizacion de este prop6sito.

1.

Rehabilitation de la Planta Potabilizadora de Chilibre.

2.

Construction de la Red de Distribution de Laguna Alta de Arraijan.

3.

Construction de la Linea paralela Chilibre Maria Henriquez — Tinajitas.

4.

Mejoras al Acueducto de Colon.

Construction de la Planta Potabilizadora de Pacora.

6.

Reconstruccien administrativa, tecnica y comercial del IDAAN.

7.

Levantamiento de un catastro real de los clientes del IDAAN.

8.

Instalaci6n de medidores.

9.

Ampliacien de la Planta Potabilizadora de Chilibre.

10. Programa de Optimization de la Red de Distribution.

Cada proyecto j (j e {1,2,3, . . .,10}, necesita una cierta inversion denotada

I, (en millones de ddlares) y suministra un cierto beneficio b, (en mites de

usuarios beneficiados) por alto.

El plan prevee la realization de al menos H unidades anuales (en

millones de galones de agua potable).

El proyecto j permite la realization de una production anual n, . La

realization del proyecto j requiem importar equipo por valor v,, la cantidad

66

total de importacion admisible para la modernizacion del IDAAN es V . (en

maquinaria, tecnicos, etc .).

Se pide tomar una decision tcuales de entre los proyectos posibles van

a ser puestos en practica, de tai manera que, respetandose las condiciones

impuestas, se alcance el beneficio maximo?

Para resolver este problema asignamos a cada poyecto 3

(j e 01,2,3, . . .,10} una variable x i que va a tomar valor 1 si el proyecto se ejecuta

y 0 en el caso contrario.

El problema se traduce en la siguiente forma:

Encuentrese el maximo de la funcion

10

max Ebj .l

con las variables bivalentes x 1 , x2, x3 , . . .x 10 y las supuestas restricciones

to

to

<S ;

jxj17

E vjxjj.l

J ai

Las expresiones anteriores se identifican con el modelo del ejemplo VI.

67

Supongamos que los datos son los del tablero siguiente

PROYECTO

DATO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

bj 6 8 3 7 10 9 9 10 11 7

5 4 4 4 7 8 6 7 10 4

II; 10 3 6 5 4 7 4 8 12 8

v, 3 2 0 2 0 0 0 3 4 0

Se da una suma asignada S = 40, la produccion obligatoria fl= 45, la

cuantia de divisa permitida es V = 10.

(vi) Max. 6x, +8x2 +3x3 + 7x4 +10x5 +9x6 + 9x,+10x5 +11x9 +7x,p

Sujeta a las restricciones.

(vi .1) 5x, +4x2 +4x3 +4x, +7x5 +8x6 +6x, +7x5 +10x9 +4x19 <_ 40

- 50-x,)-4(1-x2)-4(1-x3)-4(1-x,)-70-x5)-8(1-x6)-6(1-x,)- . ..

- 4(1-x19 )-40

(vi .2) 10x, +3x2 +6x3 +5x, +4x 5 + 7; +4x, +8x8 +12x9 +8x,o ? 45

(vi.3) 3x, + 2x2 + 2x, + 3x8 + 4x9 <_ 10

-3(1-x,)-2(1-x2)-2(1-x,)-3(1-x8)-4(1-x9)-.-10

68

(1) 5x,+4x 2 +4x3 +4x4 +7x 5 +8x6 +6x7 +7x8 +10x9 +4x,0 +? 19

(2) 10x, +3; +6x3 +5x 4 +4x5 +7x6 +4x7 +8x8 +12x9 +8x10 z 45

(3) 3x1 +2x2 +2x4 +3x8 +4x9 >4

(1 .1) 10x9 +8x6 +7x 5 +7x8 +6x7 +5x,+4x2 +4x3 +4x4 +4x10 +z19

(1 .2) 12x9 +10x, + 8x 8 + 8x 10 + 7x6 + 6x3 + 5x 4 + 4x3 + 4x7 + 3x2 z 45

(1 .3) 4x+3x,+3x8+2x2 +2x4 >4

Como la desigualdad (1 .3) se encuentra en el caso(2°) tenemos

x9 =1

Y

x, = x 8 = x 2 = x4 = 0 ; lo que es equivalente a

x9 =0

y

x1 =x8 =x2 =x4 =1

de donde resulta el sistema

(2 .0) xl = x2 = x4 = x8 =1, x9=0

(2 .1) 8x6 +7x5 +6x7 +4x3 +4x10 ? 9

(2 .2) 8x,0 +7x6 +6x3 +4x 5 +4x7 ?19

Las dos desigualdades se encuentran en el caso 6°. Tomemos de la

desigualdad (2 .1), la variable x0 , para la cual existen dos posibilidades

(a,) x6 =1

0

(a2 ) x6 = 0

Consideremos (a, )x6 =1 a x6 = 0

69

Para xb =1 tenemos

(3 .1) 7x5 +6x7 +4x,+4x,0 ?1

(3 .2) 8xi0 + 6x3 + 4x, + 4x, 19

Puesto que la desigualdad (12) se encuentra en el caso (5°), entonces

tenemos

xi° =1

y

6x, + 4x5 + 4x, ? 11

de donde resulta el sistema

(4.1) 7x5 +6x7 +4x3 _> 1

(4.2) 6x3 +4x5 +4x, 11

Resulta que 1a desigualdad (4 .2) se encuentra en el caso (5°) por to que

tenemos

x3 =1

y

4x5 +4x, 5

y resulta entonces el sistema

(5 .1) 7x 5 +6x, 21

(5 .2) 4x5 +4x, ? 5

La desigualdad (5 .2) se encuentra en el caso (5°), por lo que debemos

considerar

(a, u )x5 =1

4x,21

70

Considerando (a„ )x5 =1 resulta el sistema

6.1) 6x,1

(6 .2) 4x, 21 x, =Contradicci6n

Luego, por esta Tama no tenemos una soluci6n al sistema.

Veamos

(a, )x6 =0sx6 =1

Para x6 = 0 tenemos el sistema

(8 .1) 7x 5 +6x7 +4x 3 +4x, o >9

(8.2) 8x, o + 6x3 + 4x5 + 4x, > 12

Las dos desigualdades se encuentran en e1 caso (6°) ; por to que la

variable x,° tiene dos posibilidades

(a21)X1o=1 6

(an)`io =0

Consideramos v6lido (a3 , )xn =1.

De aqua resulta el sistema

71

(9.0) xl = x 2 = x4 = x6 = x,, = x10 = 1, x9=0

(9.1)7x5 +6x7 +4x3 29

(9.2)6x3 +4x5 +4x7 2 4

La desigualdad (9.2) se encuentra en el caso (2°), por to que debemos

considerar tres posibilidades.

(a211)x 3 =1 , x5—x7=0, (a212)x3 =0 , x5=1 , x7=0; (a213 x3=x5 =O, x7=1

Para (a2„) las dos desigualdades del sistema son resueltas . Por esta

rama hemos encontrado una solucion para el sistema de desigualdades dada

por :

(XI, x2, x3, X4, X5, x6, x7, x8, x9, x10)

Pi :( 1, 1,

1,

1, 0,

1,

0,

1, 0,

1

)

Falta considerar las posibilidades (a 212 ) y (a213 ) . Para (a212 )x3 = 0, x5 =1,

x7=0; resulta el sistema

( 10 .0) x1 =x2 =x4 =X6=Xg =x

1o =1 ; X9=0

(101)109

(10 .2)4 >_ 4

donde las dos desigualdades son resueltas.

Otra soluciOn para el sistema de desigualdades es

72

(xi, x2, x3, x4, x5, x6, x7, xa, x9, x10)

P2:( 1, 1, 0,

1, 1,

1, 0,

1, 0,

1 )

Para (a21 )x, = xs = 0, x7= 1 resulta el sistema

01 .0) x, = x2 = x4 = x6 = xa = x io = 1 ; x91

(11 .1)119

(11 .2)4?4

donde las dos desigualdades son resueltas . Luego, una tercera soluci6n del

sistema de desigualdad es

(xi, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, X I9)

P3:( I, 1,

0,

1, 0,

1,

1,

1, 0,

I )

Para obtener

Max (6x1 + 8x2 + 3x3 + 7x4 + 10x 5 +9x6 + 9x7 + l Ox8 + 1 lx9 + 7x10)

valoriza. _as la funcisn objetivo en los puntos P1, P2 y P3

Para elpuntoPl=(1,1,1,1,0,1,0,1,0,1)

el valor de la funci6n resulta

B1 = 6(1)+8(1)+3(1)+7(1)+10(0)+9(1)+9(0)+10(1)+11(0)+7(1)

B1 =50

Para el punto P2 = ( 1, 1, 0, 1, 1, 1,0, 1, 0, 1) el valor de la funci6n es

B2 = 6(1)+8(1)+3(0)+7(1)+10(1)+9(1)+9(0)+10(1)+11(0)+7(1)

B2=57

73

Para el punto P3 = (1, 1, 0, 1, 0, 1,1, 1, 0, 1)

el valor de la funcion es

B3 = 6(1)+8(1)+3(0)+7(1)+10(0)+9(1)+9(1)+10(1)+11(0)+7(1)

B3 = 56

Observamos que, el valor maximo de la funci&n objetivo se obtiene en

el punto P2 = ( 1, 1, 0, 1, 1, 1,0, 1, 0, 1)

Veamos si existe otra solucion.

Tomemos como valida en (8 .1) y (8.2) : (a4r10 = 0

El sistema resultante sera

(12 .1) 7x5 +6x7+4x3 >—5

(12 .2) 6x3 +4x 5 +4x, 212

Como (12.2) esta en el caso 5°, tenemos

(13.1) 7x 5 +6x,5x3 =1

=(13.2) 4x5 + 4x, 2 6

Ahora (13 .2) se encuentra en el caso 5° ; por lo que tenemos

1(14.1)6x,5

x,=1x5 =1(14.2) 4x,>2

{x,=Ix,=O

lo cual es una contradiccion.

74

Por lo tanto, esta rama no nos conduce a ninguna otra soluciOn del

sistema.

Resuelto el problema por el metodo descrito en el capitulo 2, se llega a

la conclusion de que la producciOn optima asegura un beneficio de 57 mil

usuarios beneficiados y consta de la realizacion de los proyectos 1, 2, 4,5, 6, 8

y 10, los proyectos 3, 7, 9 debenser abandonados.

Observacibn : En este problema se han utilizado datos ficticios, pero el

modelo queda a disposiciOn para ser utilizado en el caso del problema real

declarado a nivel nacional . (PeriOdico "La Prensa", Ediciones de Ios dias

de agosto al 12 de agosto de 2001) .

75

EJEMPLO IX

x9=0,x1=x2=x4=x8= 1

x3=1X5-=OX7-=0

X5= 1x3=0x7=0

x7=1x3=0x5=Q

Figura 5

N : No hay solucionS : Solucion del SistemaMax: Solucion que proporciona el beneficio maxim.

76

El analisis de la estructura del problema anterior nos permite hacer las

siguientes observaciones : El numero total de variantes que deben ser

examinadas en case de una enumeration total de todas las posibilidades es

2 10 = 1024 . Este numero no es prohibitivo, por lo que el problema se puede

resolver por medios elementales.

En la practica, el numero de variables puede ser facilmente del orden de

los cientos, lo que hate que el problema exija gran capacidad de memoria al

resolverse par computadora .

77

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

CONCLUSIONES

El estudio de la Programacibn Pseudo-Booleana lleva a las

conclusiones siguientes:

1. Son muchos los problemas practicos que se pueden tratar, en

planificacibn, con programacibn pseudo-booleana : de asignacibn, de

transporte, de ordenamiento entre otros . Asi, con toda seguridad, el use

de la programacibn pseudo-booleana implica una fabulosa oportunidad

de ahorrar en gastos de operaciones, en actividades como planificacibn,

organizacibn y administrac

2. Es importante conocer con relativa profundidad el comportamiento de

las expresiones algebraicas discretas, en particular los sistemas de

ecuaciones y desigualdades pseudo-booleanas, para abordar los

metodos de programacibn pseudo-booleana.

3. Para tener una mayor cobertura en el tratamiento de problemas, es

importante estudiar Ios metodos para transformar problemas de

optimizacibn entera en problemas de programacibn bivalente.

4. Aparte del estudio de los principios y fundamentos de cada algoritmo,

es importante solucionar problemas practicos y representar en esquemas

los pasos intermediarios, de modo tal que siempre sea posible observar

79

el procedimiento global . Este ejercicio es basico pars desarrollar la

destreza necesaria que luego se traduciria en una economia de

procedimiento.

5. Es posible abreviar la resolucibn de problemas de programacibn

bivalente aplicando el acelerador del metodo pseudo-booleano que

hemos estudiado en el capitulo 3.

6. Una vez que el investigador de operaciones se sienta diestro en el

manejo de Ios metodos pseudo-booleanos puede plasmar las rutinas en

algun lenguaje de programacion o tener a su disposicion paquetes

especializados para la resolucidn de estos problemas y ocuparse

tambien de los analisis de sensibilidad.

80

RECOMENDACIONES

Este estudio de Programacion Pseudo-Booleana nos permite

recomendar:

1.

Considerar la Programacion Pseudo-Booleana entre las materias

electivas de la Licenciatura.

2. Estudiar como un problema de programacibn continua puede

transformarse en un problema de programacibn discreta, asi como

tambien, came un problema de programacion discreta puede ser

transformado en un problema de programacion pseudo-booleana.

3.

Aplicar los procedimientos aceleradores de metodos en la resolucian de

problemas de programacion pseudo-booleana.

4. Que en el CENIO (Centro de Investigacion de Operaciones de la

Universidad de Panama) se propongan soluciones a nivel nacional con

el use de tecnicas como las tratadas en este trabajo.

5.

Trabajar en una coleccion de Problemas Resueltos y Problemas por

Resolver del area de Programacian Pseudo-Booleana.

81

BIBLIOGRAFIA

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RUDEANU, Sergiu. 1974.Boolean Funtions and EquationsAmerican Elsevier Publishing Company, Inc ., New York.

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