Aplicaciones de las derivadas 01
4
APLICACIONES DE DERIVADAS (Joaquín Aroca Gomez) Página 1 de 4 TANGENTE A LA GRAFICA DE LA FUNCION y = f(x) EN UN PUNTO 0 0 0 0 0 0 ´ ´ ´ ; y f x y f x m f x x x P x f x Tangente en P 0 : 0 0 0 0 0 0 0 0 ´ t y y m x x t y f x f x x x Ejemplo: Determinar la tangente a la función: 2 2 8 x f x x , en el punto de abcisa x=1. 0 2 0 0 0 1 5 1; 5 1 1 2 ´1 4 1 2 8 ´ 2 2 1 ´ 5 4 4 9 x x f P t x m f t x t f x x f x x y f f y y x TANGENTES A LA GRAFICA DE LA FUNCION y = f(x) PARALELAS A UNA RECTA DADA Y SUS PUNTOS DE CONTACTO r y mx n y f x 1. ´ ´ y f x y f x 2. 1 1 1 1 *1 2 2 2 2 ; ´ ; x x P x f x f x m x x P x f x [*1} Pueden existir más de una solución dependiendo del grado de la ecuación f´(x)=m. 3. 1 1 1 2 2 2 m x x m x x t y f x t y f x Ejemplo: Determinar las tangentes a la función: 3 2 2 x f x x x , paralelas a la recta y x . 3 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 10 3 1 10 3 1 10 20 11 10 ; ; 3 27 1 10 20 11 10 ; ; 3 27 2 ´ 3 2 2 ´ 1 3 2 2 1 3 2 3 0 1 10 3 1 10 3 2 x x y mx n m x x x x fx x fx t x x t f x x x f x x y x f x x x x x P P x P P y f x m y 1 2 2 2 2 2 0 11 10 1 10 29 20 10 27 3 27 20 11 10 1 10 29 20 10 27 3 27 t t x x t t x y x y f x m y x y x 1 t ; 1 1 1 P x f x ; 2 2 2 P x f x 2 t r y=f x 0 0 0 0 t y ‐ f x = f´ x x ‐ x ; 0 0 0 P x fx 0 x=x 0 x=f x m = tg = f´ x 0 y=f x 0 P 1;‐5 0 t y = 4x ‐ 9 2 y=x +2x ‐ 8 2 P 1 P 1 t 29 ‐ 20 10 y=x ‐ 27 3 2 y=x ‐ x ‐ 2x 2 t 29 + 20 10 y=x ‐ 27 r y=x
-
Upload
joaquin-aroca-gomez -
Category
Education
-
view
343 -
download
7
Transcript of Aplicaciones de las derivadas 01
APLICACIONES DE DERIVADAS (Joaquín Aroca Gomez) Página 1 de 4
TANGENTE A LA GRAFICA DE LA FUNCION y = f(x) EN UN PUNTO
0 0
0 0 0 0
´ ´ ´
;
y f x y f x m f x
x x P x f x
Tangente en P0:
0 0 0 0 0 0 0 0´t y y m x x t y f x f x x x
Ejemplo:
Determinar la tangente a la función: 22 8xf x x , en el punto de abcisa x=1.
0
2
0
0 0
1 5 1; 51 1 2
´ 1 4
1
2 8 ´ 2 2
1 ´
5 4 4 9
x x
f Pt x
m f
t x t
f x x f x
x y f f
y y x
TANGENTES A LA GRAFICA DE LA FUNCION y = f(x) PARALELAS A UNA RECTA DADA Y SUS PUNTOS DE CONTACTO
r y mx n
y f x
1. ´ ´y f x y f x
2.
1 1 1 1*1
2 2 2 2
;´
;
x x P x f xf x m
x x P x f x
[*1} Pueden existir más de una solución dependiendo del grado de la ecuación f´(x)=m.
3.
11 1
22 2
m x x
m x x
t y f x
t y f x
Ejemplo:
Determinar las tangentes a la función: 3 22xf x x x , paralelas a la recta y x .
3 2 2
12 2
2
1 11 1 1
2 22 2 2
11 1 1
1
1 10
3
1 10
3
1 10 20 11 10; ;
3 27
1 10 20 11 10; ;
3 27
2 ´ 3 2 2
´ 1 3 2 2 1 3 2 3 0
1 10
3
1 10
3
2
x x
y mx n m
x
x
x
x f x
x f x
t x x t
f x x x f x x
y x
f x x x x
x P P
x P P
y f x m y
1
22 2 2 2
0 11 10 1 10 29 20 10
27 3 27
20 11 10 1 10 29 20 10
27 3 27
t
t x x t t
x y x
y f x m y x y x
1t
;1 1 1P x f x
;2 2 2P x f x
2t r
y = f x
0 0 0 0t y ‐ f x = f´ x x ‐ x
;0 0 0P x f x
0x = x
0x = f x
m= tg = f´ x0
y = f x
0P 1;‐5
0t y = 4x ‐ 92y = x + 2x ‐ 8
2P
1P
1t29 ‐ 20 10
y = x ‐27
3 2y = x ‐ x ‐ 2x
2t29 + 20 10
y = x ‐27
r y = x
APLICACIONES DE DERIVADAS (Joaquín Aroca Gomez) Página 2 de 4
EXTREMOS RELATIVOS DE LA FUNCION y = f(x) [MAXIMOS Y MINIMOS, CRECIMIENTO DECRECIMIENTO]
1
2
´ ´
´´ ´´
´ 0....
´ 0 ´ 0
´´ 0 ´´ 0
NO
RESOLVIENDO LA ECUACIONx x POSIBLES EXTREMOS
n
y f xy f x
y f x
x x
x xf x
x x
f x f xx x
f x f x
MINIMO MAXIMO
1.
2.
3.
i
i i
i
i i
´
´
0Si
TA: Cuando ´´ 0 0
Si
n
n
f xla primera derivada no nula es par
f x f x
la primera derivada no nula es impar
f
Tambien podemos aplicar : x x
MINIMO
MAXIMO
PUNTO DE INFLEXION.
MINIMO
i
i i
i
´ 0 ´ 0
´ 0 ´ 0
´ 0 ´ 0
x f x
f x f x
f x f x
MAXIMO
i i
i i
i i
Ejemplo 1:
Determinar los máximos, mínimos y monotonía de la función: 3 22 9 12xf x x x .
1.
23 2 ´ 6 18 12
´´ 12 182 9 12
f x x xx
f x xf x x x
2. 2 1
2
1´ 0 6 18 12 0
2x
xf x x
x
3.
; 1; 5
; 2; 4
´ 1 01
´´ 1 6 0
´ 2 02
´´ 2 6 0
x f x
x f x
fx x P
f
fx x P
f
MAXIMO
MINIMO
1 11 1
2 22 2
0,66
; 1; 5
0, 54
0, 54
; 2; 4
0,66
´ 1 ´ 0,9 0
1 ´ 1 0
´ 1 ´ 1,1 0
´ 2 ´ 1,9 0
2 ´ 2 0
´ 2 ´ 2,1 0
x f x
x f x
f f
x x f P
f f
f f
x x f P
f f
MAXIMO
MINIMO
1 11 1
2 22 2
MONOTONIA (CRECIMIENTO DECRECIMIENTO)
;1x 1x 1;2x 2x 2;x
;1 2;
1;2
x
x
CRECIENTE
DECRECIENTE
2´ 6 18 12f x x x ´ 0f x ´ 0f x ´ 0f x ´ 0f x ´ 0f x
3 23 9 12y f x x x x CRECIENTE MAXIMO DECRECIENTE MINIMO CRECIENTE
1 1; 5 MAXIMOP
2 2; 4 MINIMOP
2x = 21x = 1
;0 0 0P x f x
0x
0x
0x
0 0t y = f x
y = f x
;0 0 0P x f x 0 0t y = f x
0x
0x
0x
y = f xMAXIMOMINIMO
´ 0f x DECRECIENTE0 ´ 0f x CRECIENTE0
´ 0f x DECRECIENTE0 ´ 0f x CRECIENTE0
APLICACIONES DE DERIVADAS (Joaquín Aroca Gomez) Página 3 de 4
Ejemplo 2:
Determinar los máximos y mínimos de la función: 3
1x
xf
x
.
1.
2 3 3 2
2
3 22 3 2 3 2
4 3
3 1 2 3´
1 1
6 12 1 2 2 6 1 2 6 6´´
1 1
24´´´
51
1
x x x x xf x
x x
x x x x x x x x xx f xx x
f xx
xf
x
2. 3 2 1
2
3
2
0´ 0 2 3 0x
xf x x
x
3.
´´ 0 0
´´´ 0 24 0
; 0; 0
3
3 2 3 27; ;
32 2 418
2
´ 0 0
0 ´´ 0 0
´ 0
´´ 0
f
f Primera derivada no nula impar
x f x
x f x
f
x xf
P
fx x P
f
PUNTO DE INFLEXION
MINIMO
1
1 11
2 22 2
MONOTONIA (CRECIMIENTO DECRECIMIENTO)
;0x 0x 30;2
x
3
2x 3
;2
x
3;
2
3;0 0;
2
x
x
CRECIENTE
DECRECIENTE
2´ 6 18 12f x x x ´ 0f x
´ 0
´´ 0
´´´ 0
f x
f x
f x
´ 0f x ´ 0f x ´ 0f x
3 23 9 12y f x x x x DECRECIENTE
PUNTO DE INFLEXION
DECRECIENTE MINIMO CRECIENTE
PUNTOS DE INFLEXION DE LA FUNCION y = f(x) [CURVATURA]
1x = 0
1 0; 0 P. INFLEXIONP
2
3 27; MINIMO
2 4P
2
3
2x =
y = f x
;0 0 0P x f x
0t
0x
0f´´ x 0
CONCAVA HACIA ARRIBA
y = f x
;0 0 0P x f x
0t
0x
0f´´ x 0
CONCAVA HACIA ABAJO
P. INFLEXION
´ 0f x CRECIENTE0
´ 0f x CRECIENTE0
y = f x
;0 0 0P x f x0t
0x
0x
0x
´ 0f x DECRECIENTE0 ´ 0f x DECRECIENTE0
P. INFLEXION
y = f x
;0 0 0P x f x
0t
0x
0x
0x
0
0
f´´ x 0
f´´´ x 0
0
0
f´´ x 0
f´´´ x 0
APLICACIONES DE DERIVADAS (Joaquín Aroca Gomez) Página 4 de 4
1
2
´ ´
´´ ´´
´´´ ´´´
´´ 0....
´´ 0
´´´ 0
RESOLVIENDO LA ECUACIONx x POSIBLES PUNTOS DE INFLEXION
n
y f x
y f x y f x
y f x
x x
x xf x
x x
f xx x
f x
PUNTO DE INFLEXION
1.
2.
3.
i
i
i
i
NOTA: Cuando ´´ 0 Si
´´ 0 ´
´´ 0
´´ 0
f x la primera derivada no nula es impar
f x f
Tambien podemos aplicar : x x f x
f x
PUNTO DE INFLEXION.
PUNTO DE INFLEXION PUNTO DE INFLEXION
i
i
i i
i
´ 0
´´ 0
´´ 0
x
f x
f x
i
i
i
Ejemplo 1:
Determinar los puntos de inflexión y curvatura de la función: 3 22 9 12xf x x x .
1.
3 2
2´ 6 18 12
2 9 12 ´´ 12 18
´´´ 12
x
x x
x
f x x
f x x x f x
f
2. 1
18 3
12 2´´ 0 12 18 0xf x x
3.
3
3 2 3 9; ;
32 2 2
2
´´ 0
´´´ 12 0x f x
fx x P
f
PUNTO DE INFLEXION1 11 1
CURVATURA
3;2
x
3
2x
3;
2x
3;2
3;
2
x
x
CONVEXA
CONCAVA
´´ 12 18f x x ´´ 0f x
´´ 0
´´´ 0
f x
f x
´´ 0f x
3 23 9 12y f x x x x
CONCAVA HACIA ABAJO
P. INFLEXION
CONCAVA HACIA ARRIBA
OPTIMIZACION DE FUNCIONES La optimización es una aplicación directa del cálculo diferencial y sirve para calcular máximos y mínimos de funciones sujetas a determinadas condiciones. La aplicación práctica de los problemas de optimización es bien clara: calcular superficies o volúmenes máximos, costes mínimos, forma óptima de determinadas figuras... Es importante en este tipo de problemas identificar claramente la función a optimizar que suele depender de dos variables. El ejercicio nos dará una condición que liga a ambas y lo que debemos hacer es despejar una de ellas y sustituirla en la función a optimizar, de forma que tengamos una sola variable. A partir de aquí aplicaremos la teoría del cálculo diferencial para identificar máximos o mínimos. Aquí van algunos ejemplos: EJEMPLO 1. Disponemos de 100 m. de alambre para vallar un campo rectangular. Calcula las dimensiones que debe tener dicho campo para que la superficie vallada sea máxima.
2
2 2 10050 50 50 50
S x x ySUPERFICIE QUE QUEREMOS SEA MAXIMA
x yx y y x S x x x S x x x
S x x y
2 ´ 50 250
´´ 2
´ 0 50 2 0 25 / ´´ 25 2 0
S x xS x x x
S x
S x x x S
MAXIMO
Las dimensiones del campo serán 25x25 m. Para que la superficie vallada sea máxima.
1
3 9; P. INFLEXION
2 2P
1
3
2x =
x
y S = x y
Perimetro : 2x + 2y = 100 m.
